Равномерный 4-многогранник - Uniform 4-polytope

В геометрии , A равномерного 4-многогранник (или однородный polychoron ) представляет собой 4-мерный многогранник , который является вершиной-симметрической и чья клетки являются равномерной многогранники , а грани правильных многоугольников .

Описаны 47 непризматических выпуклых равномерных 4-многогранников, один конечный набор выпуклых призматических форм и два бесконечных набора выпуклых призматических форм. Также неизвестно количество невыпуклых звездных форм.

История открытия

• Выпуклые правильные многогранники :
  • 1852 : Людвиг Шлефли доказал в своей рукописи Theorie der vielfachen Kontinuität, что существует ровно 6 правильных многогранников в 4-х измерениях и только 3 в 5-ти или более измерениях.
• Правильные звездные 4-многогранники (клетки звездных многогранников и / или вершинные фигуры )
  • Тысяча восемьсот пятьдесят два : Шлефла также обнаружила 4 из звездных 10 регулярных 4-многогранников, дисконтирование 6 с клетками или цифрами вершин { ⁵ / ₂ , 5} и {5, ⁵ / ₂ } .
  • 1883 : Эдмунд Гесс завершил список 10 невыпуклых правильных 4-многогранников в своей книге (на немецком языке) Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen [2] .
• Выпуклые полуправильные многогранники : (Различные определения до равномерной категории Кокстера )
  • 1900 : Торольд Госсет перечислил список непризматических полуправильных выпуклых многогранников с правильными ячейками ( Платоновы тела ) в своей публикации « О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений» .
  • 1910 : Алисия Буль Стотт в своей публикации « Геометрический вывод полурегулярности из регулярных многогранников и заполнений пространства» расширила определение, допустив также архимедовы твердые тела и призматические ячейки. Эта конструкция перечислила 45 полуправильных 4-многогранников.
  • 1911 : Питер Хендрик Схоут опубликовал « Аналитическое рассмотрение многогранников, регулярно получаемых из правильных многогранников , в соответствии с нотациями Буля-Стотта», перечисляя выпуклые однородные многогранники по симметрии, основанной на 5-ячеечном , 8-ячеечном / 16-ячеечном и 24-ячеечном .
  • 1912 : Э.Л. Элте независимо расширил список Госсета публикацией «Полурегулярные многогранники гиперпространств» , многогранники с одним или двумя типами полуправильных граней.
• Выпуклые равномерные многогранники :
  • 1940 : Поиск был систематически расширен HSM Coxeter в его публикации Regular and Semi-Regular Polytopes .
  • Выпуклые равномерные 4-многогранники :
    • 1965 : Полный список выпуклых форм был окончательно перечислен Джоном Хортоном Конвеем и Майклом Гаем в их публикации « Четырехмерные архимедовы многогранники» , установленным компьютерным анализом, и добавлен только один невыпуклый 4-многогранник, не относящийся к Витоффу, - великая антипризма .
    • 1966 Норман Джонсон получает докторскую степень. Диссертация «Теория однородных многогранников и сот» под руководством Кокстера завершает основную теорию однородных многогранников для размерностей 4 и выше.
    • 1986 Кокстер опубликовал статью « Регулярные и полурегулярные многогранники II», в которой был проведен анализ уникальной курносой 24-клеточной структуры и симметрии аномальной большой антипризмы.
    • 1998-2000 : 4-многогранники были систематически названы Норманом Джонсоном и даны индексированным онлайн-списком Джорджа Ольшевского (использованным в качестве основы для этого списка). Джонсон назвал 4-многогранники полихорами, как многогранники для 3-многогранников, от греческих корней поли («многие») и choros («комната» или «пространство»). Имена однородных полихор начинались с 6 правильных полихор с приставками, основанными на кольцах на диаграммах Кокстера; усечение t _0,1 , cantellation, t _0,2 , runcination t _0,3 , с одинарными кольцевыми формами, называемыми выпрямленными, и bi, tri-префиксы, добавленные, когда первое кольцо было на втором или третьем узлах.
    • 2004 : Доказательство полноты множества Конвея-Гая было опубликовано Марко Мёллером в его диссертации Vierdimensionale Archimedische Polytope . Мёллер воспроизвел систему именования Джонсона в своем списке.
    • 2008 : Книга Симметрии Вещей была опубликована Джоном Х. Конвеем и содержит первый опубликованный в печати список выпуклых однородных 4-многогранников и многогранников более высокой размерности по семейству групп Кокстера, с общими диаграммами вершинных фигур для каждой перестановки кольцевых диаграмм Кокстера - пренебрежительный , великая антипризма и дуопризма, которые он назвал пропризмами для призм продукта. Он использовал свою собственную схему именования ijk -ambo для перестановок индексированных колец помимо усечения и усечения битов, и все имена Джонсона были включены в указатель книги.
• Нерегулярные однородные звездные 4-многогранники : (аналогично невыпуклым однородным многогранникам )
  • 2000-2005 : В ходе совместного поиска до 2005 года Джонатаном Бауэрсом и Джорджем Ольшевским было идентифицировано 1845 однородных 4-многогранников (выпуклых и невыпуклых), а в 2006 году было обнаружено еще четыре, всего 1849.
  • 2020-2021 : было обнаружено 339 новых полихор, в результате чего общее количество известных однородных 4-многогранников достигло 2188.

Правильные 4-многогранники

Правильные 4-многогранники являются подмножеством равномерных 4-многогранников, удовлетворяющих дополнительным требованиям. Регулярные 4-многогранники могут быть выражены с помощью символа Шлефли { p , q , r }, имеющего ячейки типа { p , q }, грани типа { p }, фигуры ребер { r } и фигуры вершин { q , r }.

Существование правильного 4-многогранника { p , q , r } ограничивается существованием правильных многогранников { p , q }, которые становятся клетками, и { q , r }, которые становятся фигурой вершины .

Существование конечного 4-многогранника зависит от неравенства:

${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {p}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {r}} \ right)> \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {q}} \ right).}$

16 правильных 4-многогранников со свойством, что все ячейки, грани, ребра и вершины конгруэнтны:

• 6 правильных выпуклых 4-многогранников : 5-клеточный {3,3,3}, 8-клеточный {4,3,3}, 16-клеточный {3,3,4}, 24-клеточный {3,4,3} , 120-элементный {5,3,3} и 600-элементный {3,3,5}.
• 10 регулярных звезда 4-многогранников : икосаэдрические 120-элементный {3,5, ⁵ / ₂ }, небольшая звездообразных 120-ячейка { ⁵ / ₂ , 5,3}, большие 120-элементный {5, ⁵ / ₂ , 5}, гранд 120-элементный {5,3, ⁵ / ₂ }, большая звездообразный 120-ячейки { ⁵ / ₂ , 3,5}, Гранд звездообразный 120-ячейки { ⁵ / ₂ , 5, ⁵ / ₂ }, большая великое 120- ячейки {5, ⁵ / ₂ , 3}, большие икосаэдрические 120-элементных {3, ⁵ / ₂ , 5}, гранд-600 клеток {3,3, ⁵ / ₂ }, и большая гранд звездообразных 120-клеток { ⁵ / ₂ , 3,3}.

Выпуклые равномерные 4-многогранники

Симметрия однородных 4-многогранников в четырех измерениях

Ортогональные подгруппы

16 зеркал B 4 можно разложить на 2 ортогональные группы, 4 A 1 и D 4 : знак равно (4 зеркала) знак равно (12 зеркал)

24 зеркала F 4 можно разложить на 2 ортогональные группы D 4 : знак равно (12 зеркал) знак равно (12 зеркал)

10 зеркал B 3 × A 1 можно разложить на ортогональные группы, 4 A 1 и D 3 : знак равно (3 + 1 зеркала) знак равно (6 зеркал)

Существует 5 основных семейств точечных групп зеркальной симметрии в 4-х измерениях: A ₄ =, B ₄ =, D ₄ =, F ₄ =, H ₄ =. Также есть 3 призматические группы A ₃ A ₁ =, B ₃ A ₁ =, H ₃ A ₁ =, и дуопризматические группы: I ₂ (p) × I ₂ (q) =. Каждая группа определяется фундаментальной областью тетраэдра Гурса, ограниченной зеркальными плоскостями.

Каждый отражающий равномерный 4-многогранник может быть построен в одной или нескольких группах отражающих точек в 4-х измерениях с помощью конструкции Wythoff , представленной кольцами вокруг перестановок узлов на диаграмме Кокстера . Зеркальные гиперплоскости могут быть сгруппированы по цветным узлам, разделенным четными ветвями. Группы симметрии вида [a, b, a] обладают расширенной симметрией [[a, b, a]], удваивающей порядок симметрии. Сюда входят [3,3,3], [3,4,3] и [ p , 2, p ]. Равномерные многогранники в этой группе с симметричными кольцами содержат эту расширенную симметрию.

Если в данном однородном многограннике все зеркала данного цвета не закручены (неактивны), он будет иметь конструкцию с более низкой симметрией, удалив все неактивные зеркала. Если все узлы данного цвета обведены (активны), операция чередования может сгенерировать новый 4-многогранник с киральной симметрией, показанный как «пустые» обведенные узлы », но геометрия обычно не регулируется для создания однородных решений .

Группа Вейля	Конвей Кватернион	Абстрактная структура	Заказ	Диаграмма Кокстера		Обозначение Кокстера	Подгруппа коммутатора	Число Кокстера (h)	Зеркала m = 2 ч
Неприводимый
А 4	+1/60 [I × I] .21	S 5	120			[3,3,3]	[3,3,3] +	5		10
D 4	± 1/3 [Т × Т] .2	1/2. 2 S 4	192			[3 1,1,1 ]	[3 1,1,1 ] +	6		12
В 4	± 1/6 [O × O] .2	2 S 4 = S 2 ≀S 4	384			[4,3,3]		8	4	12
П 4	± 1/2 [O × O] .2 3	3. 2 S 4	1152			[3,4,3]	[3 + , 4,3 + ]	12	12	12
H 4	± [I × I] .2	2. (А 5 × А 5 ) .2	14400			[5,3,3]	[5,3,3] +	30		60
Призматические группы
А 3 А 1	+1/24 [O × O] .2 3	S 4 × D 1	48			[3,3,2] = [3,3] × []	[3,3] +	-		6	1
В 3 А 1	± 1/24 [O × O] .2	S 4 × D 1	96			[4,3,2] = [4,3] × []		-	3	6	1
H 3 A 1	± 1/60 [I × I] .2	А 5 × Д 1	240			[5,3,2] = [5,3] × []	[5,3] +	-		15	1
Дуопризматические группы (используйте 2p, 2q для четных целых чисел)
I 2 ( p ) I 2 ( q )	± 1/2 [D 2 p × D 2 q ]	D p × D q	4 шт.			[ p , 2, q ] = [ p ] × [ q ]	[ p + , 2, q + ]	-		п	q
I 2 ( 2p ) I 2 ( q )	± 1/2 [D 4 p × D 2 q ]	D 2 p × D q	8 шт.			[2 p , 2, q ] = [2 p ] × [ q ]		-	п	п	q
I 2 ( 2p ) I 2 ( 2q )	± 1/2 [D 4 p × D 4 q ]	D 2p × D 2q	16 шт.			[2 п , 2,2 q ] = [2 p ] × [2 q ]		-	п	п	q	q

Перечисление

Имеется 64 выпуклых равномерных 4-многогранника, включая 6 правильных выпуклых 4-многогранников, исключая бесконечные множества дуопризм и антипризматических призм .

• 5 - многогранные призмы, основанные на Платоновых телах (1 перекрываются с регулярными, поскольку кубическая гиперпризма является тессерактом )
• 13 - многогранные призмы, основанные на архимедовых телах.
• 9 принадлежат к самодуальной регулярной группе A ₄ [3,3,3] ( 5-клеточной ).
• 9 находятся в семействе самодуальной регулярной группы F ₄ [3,4,3] ( 24 клетки ). (Исключая курносый 24-элементный)
• 15 принадлежат к обычной группе B ₄ [3,3,4] ( тессеракт / 16-элементное семейство) (3 пересекаются с 24-элементным семейством)
• 15 находятся в регулярном H ₄ [3,3,5] группа ( 120 клеток / 600 клеток семьи).
• 1 специальная курносая форма в группе [3,4,3] ( 24-элементное семейство).
• 1 специальный не-Wythoffian 4-многогранник, большая антипризма.
• ИТОГО: 68 - 4 = 64

Эти 64 равномерных 4-многогранника проиндексированы ниже Георгием Ольшевским. В скобках указаны повторяющиеся формы симметрии.

В дополнение к 64 выше, есть 2 бесконечных призматических набора, которые генерируют все оставшиеся выпуклые формы:

• Набор однородных антипризматических призм - sr { p , 2} × {} - Многогранные призмы двух антипризм .
• Набор равномерных дуопризм - { p } × { q } - декартово произведение двух многоугольников.

_Четыре семьи

5-клетка имеет диплоидный pentachoric [3,3,3] симметрия , из порядка 120, изоморфную перестановки пяти элементов, потому что все пары вершин связаны таким же образом.

Даны фасеты (ячейки), сгруппированные в их положениях диаграммы Кокстера путем удаления указанных узлов.

[3,3,3] равномерные многогранники

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Подсчет ячеек по местоположению				Количество элементов
				Поз. 3 (5)	Поз. 2 (10)	Поз. 1 (10)	Поз. 0 (5)	Клетки	Лица	Края	Вершины
1	5-элементный пентахорон		{3,3,3}	(4) (3.3.3)				5	10	10	5
2	выпрямленный 5-элементный		г {3,3,3}	(3) (3.3.3.3)			(2) (3.3.3)	10	30	30	10
3	усеченный 5-элементный		т {3,3,3}	(3) (3.6.6)			(1) (3.3.3)	10	30	40	20
4	скошенный 5-элементный		рр {3,3,3}	(2) (3.4.3.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	20	80	90	30
7	усеченный 5-элементный		tr {3,3,3}	(2) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	20	80	120	60
8	усеченный 5-элементный		т 0,1,3 {3,3,3}	(1) (3.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	30	120	150	60

[[3,3,3]] равномерные многогранники

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Подсчет ячеек по местоположению			Количество элементов
				Поз. 3-0 (10)	Поз. 1-2 (20)	Alt	Клетки	Лица	Края	Вершины
5	* 5-клеточный		т 0,3 {3,3,3}	(2) (3.3.3)	(6) (3.4.4)		30	70	60	20
6	* усеченный 5-ти клеточный декахорон		2т {3,3,3}	(4) (3.6.6)			10	40	60	30
9	* полностью усеченная 5-ячеечная		т 0,1,2,3 {3,3,3}	(2) (4.6.6)	(2) (4.4.6)		30	150	240	120
Неоднородный	омниснуб 5-элементный		ht 0,1,2,3 {3,3,3}	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	90	300	270	60

Три однородных формы 4-многогранников, отмеченные звездочкой , * , имеют более высокую расширенную пентахорическую симметрию порядка 240, [[3,3,3]], поскольку элемент, соответствующий любому элементу лежащей в основе 5-ячейки, может быть заменен с одним из тех, которые соответствуют элементу его дуального. Существует одна небольшая индексная подгруппа [3,3,3] ⁺ , порядок 60 или ее удвоение [[3,3,3]] ⁺ , порядок 120, определяющая 5-ячейку омнисуба, которая указана для полноты, но не является униформа.

В ₄ семьи

Это семейство имеет диплоидную гексадекахорическую симметрию [4,3,3] порядка 24 × 16 = 384: 4! = 24 перестановки четырех осей, 2 ⁴ = 16 для отражения по каждой оси. Есть 3 подгруппы малых индексов, первые две порождают равномерные 4-многогранники, которые также повторяются в других семействах: [1 ⁺ , 4,3,3], [4, (3,3) ⁺ ] и [4, 3,3] ⁺ , все порядка 192.

Усечения Тессеракта

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
				Поз. 3 (8)	Поз. 2 (24)	Поз. 1 (32)	Поз. 0 (16)	Клетки	Лица	Края	Вершины
10	тессеракт или 8-элементный		{4,3,3}	(4) (4.4.4)				8	24	32	16
11	Исправленный тессеракт		г {4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)	24	88	96	32
13	Усеченный тессеракт		т {4,3,3}	(3) (3.8.8)			(1) (3.3.3)	24	88	128	64
14	Кантеллированный тессеракт		рр {4,3,3}	(1) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	56	248	288	96
15	Runcinated тессеракт (также runcinated 16-cell )		т 0,3 {4,3,3}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	80	208	192	64
16	Бит-усеченный тессеракт (также бит-усеченный 16-ячеечный )		2т {4,3,3}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)	24	120	192	96
18	Урезанный тессеракт		tr {4,3,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	56	248	384	192
19	Выполнить усеченный тессеракт		т 0,1,3 { 4,3,3 }	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	80	368	480	192
21 год	Омноусеченный тессеракт (также полностью усеченный 16-элементный )		т 0,1,2,3 {3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	80	464	768	384

Связанный полутессеракт, [1 ⁺ , 4,3,3] равномерные 4-многогранники

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
				Поз. 3 (8)	Поз. 2 (24)	Поз. 1 (32)	Поз. 0 (16)	Alt	Клетки	Лица	Края	Вершины
12	Половина тессеракт Demitesseract 16-элементная		знак равно h {4,3,3} = {3,3,4}	(4) (3.3.3)				(4) (3.3.3)	16	32	24	8
[17]	Кантический тессеракт (или усеченный 16-элементный )		знак равно h 2 {4,3,3} = t {4,3,3}	(4) (6.6.3)			(1) (3.3.3.3)		24	96	120	48
[11]	Рунский тессеракт (или исправленный тессеракт )		знак равно h 3 {4,3,3} = r {4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)		24	88	96	32
[16]	Runcicantic tesseract (или бит-усеченный тессеракт )		знак равно h 2,3 {4,3,3} = 2t {4,3,3}	(2) (3.4.3.4)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[11]	( исправленный тессеракт )		знак равно h 1 {4,3,3} = r {4,3,3}						24	88	96	32
[16]	( бит-усеченный тессеракт )		знак равно h 1,2 {4,3,3} = 2t {4,3,3}						24	120	192	96
[23]	( выпрямленный 24-элементный )		знак равно h 1,3 {4,3,3} = rr {3,3,4}						48	240	288	96
[24]	( усеченный 24-элементный )		знак равно h 1,2,3 {4,3,3} = tr {3,3,4}						48	240	384	192

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
				Поз. 3 (8)	Поз. 2 (24)	Поз. 1 (32)	Поз. 0 (16)	Alt	Клетки	Лица	Края	Вершины
Неоднородный	omnisnub tesseract (или omnisnub с 16 ячейками )		ht 0,1,2,3 { 4,3,3 }	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	272	944	864	192

Усечения из 16 ячеек

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
				Поз. 3 (8)	Поз. 2 (24)	Поз. 1 (32)	Поз. 0 (16)	Alt	Клетки	Лица	Края	Вершины
[12]	16-элементный , гексадекахорон		{3,3,4}				(8) (3.3.3)		16	32	24	8
[22]	* выпрямленный 16-элементный (такой же, как 24-элементный )		знак равно г {3,3,4}	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.3.3.3)		24	96	96	24
17	усеченный 16-элементный		т {3,3,4}	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.6.6)		24	96	120	48
[23]	* скошенный 16-элементный (такой же, как выпрямленный 24-элементный )		знак равно рр {3,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.3.4)		48	240	288	96
[15]	ранцинированный 16-клеточный (также управляемый 8-клеточный )		т 0,3 {3,3,4}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		80	208	192	64
[16]	битоусеченные 16-ячеечные (также бит-усеченные 8-ячеечные )		2т {3,3,4}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[24]	* усеченные 16 ячеек (то же, что и усеченные 24 ячейки )		знак равно tr {3,3,4}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.6)		48	240	384	192
20	усеченный 16-элементный		т 0,1,3 {3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)		80	368	480	192
[21]	полностью усеченные 16 ячеек (также полностью усеченные 8 ячеек )		т 0,1,2,3 {3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		80	464	768	384
[31]	чередующийся cantit (усеченный) 16-элементный (такой же, как курносый 24-элементный )		sr {3,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)		(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
Неоднородный	Runcic snub rectified 16-элементный		sr 3 {3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(2) (3.4.4)	(1) (4.4.4)	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)	176	656	672	192

(*) Так же, как выпрямление тетраэдра дает октаэдр , выпрямление 16-ячеечного дает 24-элементный, регулярный член следующего семейства.

Курносая 24-элементный является повторением этой семьи для полноты картины . Это чередование усеченных 16-ячеек или 24-ячеек с полусимметричной группой [(3,3) ⁺ , 4]. Усеченные октаэдрические ячейки становятся икосаэдрами. Кубики превращаются в тетраэдры, и 96 новых тетраэдров создаются в промежутках из удаленных вершин.

F ₄ семьи

Это семейство имеет диплоидную икоситетрахорическую симметрию [3,4,3] порядка 24 × 48 = 1152: 48 симметрий октаэдра для каждой из 24 ячеек. Есть 3 подгруппы с малым индексом, первые две изоморфные пары порождают равномерные 4-многогранники, которые также повторяются в других семействах: [3 ⁺ , 4,3], [3,4,3 ⁺ ] и [3,4, 3] ⁺ , всего порядка 576.

[3,4,3] равномерные 4-многогранники

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Подсчет ячеек по местоположению				Количество элементов
				Поз. 3 (24)	Поз. 2 (96)	Поз. 1 (96)	Поз. 0 (24)	Клетки	Лица	Края	Вершины
22	24-элементный , икоситетрахорон ( такой же, как ректифицированный 16-элементный )		{3,4,3}	(6) (3.3.3.3)				24	96	96	24
23	выпрямленный 24-элементный (такой же, как канеллированный 16-элементный )		г {3,4,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (4.4.4)	48	240	288	96
24	усеченные 24 ячейки (такие же, как усеченные 16 ячеек )		т {3,4,3}	(3) (4.6.6)			(1) (4.4.4)	48	240	384	192
25	наклонный 24-элементный		рр {3,4,3}	(2) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	144	720	864	288
28 год	усеченный 24-элементный		tr {3,4,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.8.8)	144	720	1152	576
29	усеченный 24-элементный		т 0,1,3 {3,4,3}	(1) (4.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	240	1104	1440	576

[3 ⁺ , 4,3] равномерные 4-многогранники

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
				Поз. 3 (24)	Поз. 2 (96)	Поз. 1 (96)	Поз. 0 (24)	Alt	Клетки	Лица	Края	Вершины
31 год	† курносый 24-элементный		с {3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)			(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
Неоднородный	runcic snub 24-элементный		s 3 {3,4,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)		(1) (3.6.6)	(3) Трикап	240	960	1008	288
[25]	cantic snub 24-cell (То же, что cantellated 24-cell )		с 2 {3,4,3}	(2) (3.4.4.4)			(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4)	144	720	864	288
[29]	runcicantic snub 24-cell (То же, что runcitruncated 24-cell )		с 2,3 {3,4,3}	(1) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	(2) (4.4.6)	240	1104	1440	576

(†) Курносый 24-элементный здесь, несмотря на свое общее название, не аналогичен курносому кубу ; скорее, получается путем чередования усеченных 24-ячеек. Его число симметрии составляет всего 576 ( ионная уменьшенная икозитетрахорическая группа, [3 ⁺ , 4,3]).

Как и 5-элементная, 24-элементная самодвойственная, поэтому следующие три формы имеют вдвое больше симметрий, в результате чего их общее количество составляет 2304 ( расширенная икоситетрахорическая симметрия [[3,4,3]]).

[[3,4,3]] равномерные 4-многогранники

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Подсчет ячеек по местоположению		Количество элементов
				Поз. 3-0 (48)	Поз. 2-1 (192)	Клетки	Лица	Края	Вершины
26 год	беглый 24-элементный		т 0,3 {3,4,3}	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.4.4)	240	672	576	144
27	усеченный 24-клеточный тетраконтоктахорон		2т {3,4,3}	(4) (3.8.8)		48	336	576	288
30	омниусеченный 24-элементный		т 0,1,2,3 {3,4,3}	(2) (4.6.8)	(2) (4.4.6)	240	1392	2304	1152

[[3,4,3]] ⁺ изогональный 4-многогранник

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Подсчет ячеек по местоположению			Количество элементов
				Поз. 3-0 (48)	Поз. 2-1 (192)	Alt	Клетки	Лица	Края	Вершины
Неоднородный	omnisnub 24-элементный		ht 0,1,2,3 {3,4,3}	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	816	2832	2592	576

Н ₄ семьи

Это семейство имеет диплоидную гексакосихорическую симметрию [5,3,3] порядка 120 × 120 = 24 × 600 = 14400: 120 для каждого из 120 додекаэдров или 24 для каждого из 600 тетраэдров. Есть одна небольшая индексная подгруппа [5,3,3] ⁺ , всего порядка 7200.

Усечения на 120 ячеек

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
				Поз. 3 (120)	Поз. 2 (720)	Поз. 1 (1200)	Поз. 0 (600)	Alt	Клетки	Лица	Края	Вершины
32	120-клеточный (гекатоникосахорон или додекаконтахорон)		{5,3,3}	(4) (5.5.5)					120	720	1200	600
33	выпрямленный 120-элементный		г {5,3,3}	(3) (3.5.3.5)			(2) (3.3.3)		720	3120	3600	1200
36	усеченная 120-ячеечная		т {5,3,3}	(3) (3.10.10)			(1) (3.3.3)		720	3120	4800	2400
37	скошенный 120-элементный		рр {5,3,3}	(1) (3.4.5.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)		1920 г.	9120	10800	3600
38	ранцинированный 120-клеточный (также ранцинированный 600-клеточный )		т 0,3 {5,3,3}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		2640	7440	7200	2400
39	усеченные по битам 120 ячеек (также усеченные по битам 600 ячеек )		2т {5,3,3}	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)		720	4320	7200	3600
42	усеченный 120-элементный		tr {5,3,3}	(2) (4.6.10)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)		1920 г.	9120	14400	7200
43 год	усеченный 120-ячеечный		т 0,1,3 {5,3,3}	(1) (3.10.10)	(2) (4.4.10)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)		2640	13440	18000	7200
46	полностью усеченные 120 ячеек (также полностью усеченные 600 ячеек )		т 0,1,2,3 {5,3,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		2640	17040	28800	14400
Неоднородный	omnisnub 120 ячеек (То же, что и omnisnub 600 ячеек )		ht 0,1,2,3 {5,3,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	9840	35040	32400	7200

Усечения на 600 ячеек

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Симметрия	Подсчет ячеек по местоположению				Количество элементов
					Поз. 3 (120)	Поз. 2 (720)	Поз. 1 (1200)	Поз. 0 (600)	Клетки	Лица	Края	Вершины
35 год	600 ячеек , гексакосихорон		{3,3,5}	[5,3,3] порядка 14400				(20) (3.3.3)	600	1200	720	120
[47]	20 уменьшенных 600 ячеек ( большая антипризма )		Nonwythoffian конструкция	[[10,2 + , 10]] порядок 400 Индекс 36	(2) (3.3.3.5)			(12) (3.3.3)	320	720	500	100
[31]	24 уменьшенных 600 ячеек ( курносый 24 ячеек )		Nonwythoffian конструкция	[3 + , 4,3] порядок 576 индекс 25	(3) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3)	144	480	432	96
Неоднородный	bi-24-уменьшенная 600-ячеечная		Nonwythoffian конструкция	порядок 144 индекс 100	(6) tdi				48	192	216	72
34	выпрямленный 600-элементный		г {3,3,5}	[5,3,3]	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3.3)	720	3600	3600	720
Неоднородный	120-элементный выпрямленный 600-элементный		Nonwythoffian конструкция	порядок 1200 индекс 12	(2) 3.3.3.5	(2) 4.4.5		(5) P4	840	2640	2400	600
41 год	усеченный 600-ячеечный		т {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.6.6)	720	3600	4320	1440
40	скошенный на 600 ячеек		рр {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(1) (3.4.3.4)	1440	8640	10800	3600
[38]	ранцинированный 600-клеточный (также ранцинированный 120-клеточный )		т 0,3 {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	2640	7440	7200	2400
[39]	усеченные по битам 600 ячеек (также усеченные по битам 120 ячеек )		2т {3,3,5}	[5,3,3]	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)	720	4320	7200	3600
45	усеченный 600-ячеечный		tr {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.6)	1440	8640	14400	7200
44 год	усеченный 600-ячеечный		т 0,1,3 {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.4.5.4)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)	2640	13440	18000	7200
[46]	полностью усеченные 600 ячеек (также полностью усеченные 120 ячеек )		т 0,1,2,3 {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	2640	17040	28800	14400

D ₄ семьи

Это семейство димитессерактов [3 ^1,1,1 ] не вводит новых однородных 4-многогранников, но стоит повторить эти альтернативные конструкции. Это семейство имеет порядок 12 × 16 = 192: 4! / 2 = 12 перестановок четырех осей, половина из которых чередуются, 2 ⁴ = 16 для отражения по каждой оси. Есть одна небольшая индексная подгруппа, порождающая равномерные 4-многогранники, [3 ^1,1,1 ] ⁺ , порядок 96.

[3 ^1,1,1 ] равномерные 4-многогранники

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера знак равно знак равно	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
				Поз. 0 (8)	Поз. 2 (24)	Поз. 1 (8)	Поз. 3 (8)	Поз. Альтернативный (96)	3	2	1	0
[12]	demitesseract половина тессеракт (То же, что 16-клетки )		знак равно ч {4,3,3}			(4) (3.3.3)	(4) (3.3.3)		16	32	24	8
[17]	кантический тессеракт (то же, что и усеченный 16-элементный )		знак равно ч 2 {4,3,3}	(1) (3.3.3.3)		(2) (3.6.6)	(2) (3.6.6)		24	96	120	48
[11]	runcic tesseract (То же, что и исправленный тессеракт )		знак равно ч 3 {4,3,3}	(1) (3.3.3)		(1) (3.3.3)	(3) (3.4.3.4)		24	88	96	32
[16]	runcicantic tesseract (То же, что и бит-усеченный тессеракт )		знак равно ч 2,3 {4,3,3}	(1) (3.6.6)		(1) (3.6.6)	(2) (4.6.6)		24	96	96	24

Когда 3 раздвоенных узла ветвления идентично окружены кольцами, симметрия может быть увеличена на 6, как [3 [3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3], и, таким образом, эти многогранники повторяются из 24-элементного семья.

[3 [3 ^1,1,1 ]] равномерные 4-многогранники

#	Имя	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера знак равно знак равно	Подсчет ячеек по местоположению			Количество элементов
				Поз. 0,1,3 (24)	Поз. 2 (24)	Поз. Альтернативный (96)	3	2	1	0
[22]	выпрямленный 16-элементный (такой же, как 24-элементный )		знак равно знак равно знак равно {3 1,1,1 } = r {3,3,4} = {3,4,3}	(6) (3.3.3.3)			48	240	288	96
[23]	скошенный 16-элементный (такой же, как выпрямленный 24-элементный )		знак равно знак равно знак равно r {3 1,1,1 } = rr {3,3,4} = r {3,4,3}	(3) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		24	120	192	96
[24]	усеченные 16 ячеек (такие же, как усеченные 24 ячейки )		знак равно знак равно знак равно t {3 1,1,1 } = tr {3,3,4} = t {3,4,3}	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		48	240	384	192
[31]	курносый 24-элементный		знак равно знак равно знак равно s {3 1,1,1 } = sr {3,3,4} = s {3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96

Здесь снова курносая 24-ячейка с группой симметрии [3 ^1,1,1 ] ^{+ на} этот раз представляет собой альтернативное усечение усеченных 24-ячеек, создающее 96 новых тетраэдров в позиции удаленных вершин. В отличие от его появления внутри прежних групп как частично курносый 4-многогранник, только внутри этой группы симметрии он имеет полную аналогию с курносыми Кеплера, то есть курносым кубом и курносым додекаэдром .

Великая антипризма

Существует один невыпуклый 4-мерный многогранник, не относящийся к Витоффу, известный как большая антипризма , состоящий из 20 пятиугольных антипризм, образующих два перпендикулярных кольца, соединенных 300 тетраэдрами . Это примерно аналогично трехмерным антипризмам , которые состоят из двух параллельных многоугольников, соединенных полосой треугольников . Однако в отличие от них большая антипризма не является членом бесконечного семейства однородных многогранников.

Его симметрия - ионная уменьшенная группа Кокстера , [[10,2 ⁺ , 10]], порядок 400.

#	Имя	Картина	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Ячейки по типу		Количество элементов				Сеть
							Клетки	Лица	Края	Вершины
47	великая антипризма			Нет символа	300 ( 3.3.3 )	20 ( 3.3.3.5 )	320	20 {5} 700 {3}	500	100

Призматические однородные 4-многогранники

Призматический многогранник - это декартово произведение двух многогранников меньшей размерности; знакомыми примерами являются трехмерные призмы , которые являются произведением многоугольника и отрезка линии . Призматические равномерные 4-многогранники состоят из двух бесконечных семейств:

• Многогранные призмы : произведения отрезка прямой и равномерный многогранник. Это семейство бесконечно, потому что оно включает призмы, построенные на трехмерных призмах, и антипризмы .
• Дуопризмы : произведения двух многоугольников.

Выпуклые многогранные призмы

Наиболее очевидное семейство призматических 4-многогранников - это многогранные призмы, то есть произведения многогранника с отрезком прямой . Ячейки такого 4-многогранника представляют собой два одинаковых однородных многогранника, лежащих в параллельных гиперплоскостях ( базовые ячейки) и соединяющий их слой призм ( боковые ячейки). Это семейство включает призмы для 75 непризматических однородных многогранников (из них 18 выпуклых; одна из них, куб-призма, указана выше как тессеракт ).

Есть 18 выпуклых многогранных призм, созданных из 5 Платоновых и 13 Архимедовых тел, а также для бесконечных семейств трехмерных призм и антипризм . Число симметрии многогранной призмы вдвое больше, чем у базового многогранника.

Тетраэдрические призмы: A ₃ × A ₁

Эта призматическая тетраэдрическая симметрия [3,3,2], порядок 48. Есть две подгруппы индекса 2, [(3,3) ⁺ , 2] и [3,3,2] ⁺ , но вторая не порождает равномерный 4-многогранник.

[3,3,2] равномерные 4-многогранники

#	Имя	Картина	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Ячейки по типу			Количество элементов				Сеть
								Клетки	Лица	Края	Вершины
48	Тетраэдрическая призма			{3,3} × {} t 0,3 {3,3,2}	2 3.3.3	4 3.4.4		6	8 {3} 6 {4}	16	8
49	Усеченная четырехгранная призма			т {3,3} × {} т 0,1,3 {3,3,2}	2 3.6.6	4 3.4.4	4 4.4.6	10	8 {3} 18 {4} 8 {6}	48	24

[[3,3], 2] равномерные 4-многогранники

#	Имя	Картина	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Ячейки по типу			Количество элементов				Сеть
								Клетки	Лица	Края	Вершины
[51]	Выпрямленная тетраэдрическая призма (такая же, как восьмигранная призма )			г {3,3} × {} т 1,3 {3,3,2}	2 3.3.3.3	4 3.4.4		6	16 {3} 12 {4}	30	12
[50]	Скошенная тетраэдрическая призма ( такая же, как кубооктаэдрическая призма )			rr {3,3} × {} t 0,2,3 {3,3,2}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4	16	16 {3} 36 {4}	60	24
[54]	Углово-усеченная тетраэдрическая призма (То же, что и усеченная октаэдрическая призма )			tr {3,3} × {} t 0,1,2,3 {3,3,2}	2 4.6.6	8 6.4.4	6 4.4.4	16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	Плоская тетраэдрическая призма (такая же, как икосаэдрическая призма )			sr {3,3} × {}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4		22	40 {3} 30 {4}	72	24
Неоднородный	всенаправленная тетраэдрическая антипризма			${\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} 3 \\ 3 \\ 2 \ end {array}} \ right \}}$	2 3.3.3.3.3	8 3.3.3.3	6 + 24 3.3.3	40	16 + 96 {3}	96	24

Октаэдрические призмы: B ₃ × A ₁

Симметрия этого призматического октаэдрического семейства - [4,3,2], порядок 96. Есть 6 подгрупп индекса 2, порядка 48, которые ниже выражены в чередующихся 4-многогранниках. Симметрии : [(4,3) ⁺ , 2], [1 ⁺ , 4,3,2], [4,3,2 ⁺ ], [4,3 ⁺ , 2], [4, (3,2) ⁺ ] и [4,3,2] ⁺ .

#	Имя	Картина	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Ячейки по типу				Количество элементов				Сеть
									Клетки	Лица	Края	Вершины
[10]	Кубическая призма (такая же, как тессеракт ) (такая же, как дуопризма 4-4 )			{4,3} × {} t 0,3 {4,3,2}	2 4.4.4	6 4.4.4			8	24 {4}	32	16
50	Кубооктаэдрическая призма ( такая же, как канеллированная тетраэдрическая призма )			г {4,3} × {} т 1,3 {4,3,2}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
51	Октаэдрическая призма ( такая же, как выпрямленная тетраэдрическая призма ) (такая же, как треугольная антипризматическая призма )			{3,4} × {} t 2,3 {4,3,2}	2 3.3.3.3	8 3.4.4			10	16 {3} 12 {4}	30	12
52	Ромбокубооктаэдрическая призма			rr {4,3} × {} t 0,2,3 {4,3,2}	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28 год	16 {3} 84 {4}	120	48
53	Усеченная кубическая призма			т {4,3} × {} т 0,1,3 {4,3,2}	2 3.8.8	8 3.4.4	6 4.4.8		16	16 {3} 36 {4} 12 {8}	96	48
54	Усеченная восьмигранная призма (То же, что и усеченная тетраэдрическая призма )			т {3,4} × {} т 1,2,3 {4,3,2}	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
55	Усеченная кубооктаэдрическая призма			tr {4,3} × {} t 0,1,2,3 {4,3,2}	2 4.6.8	12 4.4.4	8 4.4.6	6 4.4.8	28 год	96 {4} 16 {6} 12 {8}	192	96
56	Плоская кубическая призма			sr {4,3} × {}	2 3.3.3.3.4	32 3.4.4	6 4.4.4		40	64 {3} 72 {4}	144	48
[48]	Тетраэдрическая призма			h {4,3} × {}	2 3.3.3	4 3.4.4			6	8 {3} 6 {4}	16	8
[49]	Усеченная четырехгранная призма			h 2 {4,3} × {}	2 3.3.6	4 3.4.4	4 4.4.6		6	8 {3} 6 {4}	16	8
[50]	Кубооктаэдрическая призма			rr {3,3} × {}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
[52]	Ромбокубооктаэдрическая призма			с 2 {3,4} × {}	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28 год	16 {3} 84 {4}	120	48
[54]	Усеченная восьмигранная призма			tr {3,3} × {}	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	Икосаэдрическая призма			с {3,4} × {}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
[12]	16 ячеек			с {2,4,3}	2 + 6 + 8 3.3.3.3				16	32 {3}	24	8
Неоднородный	Омниснуб четырехгранная антипризма			sr {2,3,4}	2 3.3.3.3.3	8 3.3.3.3	6 + 24 3.3.3		40	16 + 96 {3}	96	24
Неоднородный	Омниснуб кубическая антипризма			${\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} 4 \\ 3 \\ 2 \ end {array}} \ right \}}$	2 3.3.3.3.4	12 + 48 3.3.3	8 3.3.3.3	6 3.3.3.4	76	16 + 192 {3} 12 {4}	192	48
Неоднородный	Рунчик курносый кубический хосохорон			с 3 {2,4,3}	2 3.6.6	6 3.3.3	8 треугольных куполов		16	52	60	24

Икосаэдрические призмы: H ₃ × A ₁

Эта призматическая икосаэдрическая симметрия [5,3,2] порядка 240. Есть две подгруппы индекса 2, [(5,3) ⁺ , 2] и [5,3,2] ⁺ , но вторая не порождает равномерный полихорон.

#	Имя	Картина	Фигура вершины	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Ячейки по типу				Количество элементов				Сеть
									Клетки	Лица	Края	Вершины
57 год	Додекаэдрическая призма			{5,3} × {} т 0,3 {5,3,2}	2 5.5.5	12 4.4.5			14	30 {4} 24 {5}	80	40
58	Икозододекаэдрическая призма			г {5,3} × {} т 1,3 {5,3,2}	2 3.5.3.5	20 3.4.4	12 4.4.5		34	40 {3} 60 {4} 24 {5}	150	60
59	Икосаэдрическая призма ( такая же, как курносая тетраэдрическая призма )			{3,5} × {} т 2,3 {5,3,2}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
60	Усеченная додекаэдрическая призма			т {5,3} × {} т 0,1,3 {5,3,2}	2 3.10.10	20 3.4.4	12 4.4.10		34	40 {3} 90 {4} 24 {10}	240	120
61	Ромбикосододекаэдрическая призма			rr {5,3} × {} t 0,2,3 {5,3,2}	2 3.4.5.4	20 3.4.4	30 4.4.4	12 4.4.5	64	40 {3} 180 {4} 24 {5}	300	120
62	Усеченная икосаэдрическая призма			т {3,5} × {} т 1,2,3 {5,3,2}	2 5.6.6	12 4.4.5	20 4.4.6		34	90 {4} 24 {5} 40 {6}	240	120
63	Усеченная икосододекаэдрическая призма			tr {5,3} × {} t 0,1,2,3 {5,3,2}	2 4.6.10	30 4.4.4	20 4.4.6	12 4.4.10	64	240 {4} 40 {6} 24 {10}	480	240
64	Плоская додекаэдрическая призма			sr {5,3} × {}	2 3.3.3.3.5	80 3.4.4	12 4.4.5		94	160 {3} 150 {4} 24 {5}	360	120
Неоднородный	Омниснуб додекаэдрическая антипризма			${\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} 5 \\ 3 \\ 2 \ end {array}} \ right \}}$	2 3.3.3.3.5	30 + 120 3.3.3	20 3.3.3.3	12 3.3.3.5	184	20 + 240 {3} 24 {5}	220	120

Дуопризмы: [p] × [q]

Второй - бесконечное семейство однородных дуопризм , произведений двух правильных многоугольников . Диаграмма Кокстера-Дынкина дуопризмы имеет вид. Его вершина фигура является равногранным тетраэдром тетраэдра , .

Это семейство частично совпадает с первым: когда один из двух «факторных» многоугольников является квадратом, продукт эквивалентен гиперпризме, основание которой является трехмерной призмой. Число симметрии дуопризмы, множителями которой являются p -угольник и q -угольник (« p, q -дупризма»), равно 4 pq, если p ≠ q ; если оба фактора являются p -угольниками, число симметрии равно 8 p ² . Тессеракт также можно считать 4,4-дуопризмой.

Элементами p, q -дупризмы ( p ≥ 3, q ≥ 3) являются:

• Ячейки: p q -угольные призмы, q p -угольные призмы
• Грани: pq квадратов, p q -угольников, q p -угольников.
• Края: 2 шт.
• Вершины: pq

Не существует единого четырехмерного аналога бесконечному семейству трехмерных антипризм .

Бесконечный набор pq duoprism -- p q -угольные призмы, q p -угольные призмы:

Имя	Граф Кокстера	Клетки	Картинки	Сеть
3-3 дуопризма		3 + 3 треугольные призмы
3-4 дуопризма		3 куба 4 треугольных призмы
4-4 дуопризма (как тессеракт)		4 + 4 кубика
3-5 дуопризма		3 пятиугольные призмы 5 треугольных призм
4-5 дуопризма		4 пятиугольные призмы 5 кубиков
5-5 дуопризма		5 + 5 пятиугольных призм
3-6 дуопризма		3 шестиугольные призмы 6 треугольных призм
4-6 дуопризма		4 шестигранные призмы 6 кубиков
5-6 дуопризма		5 шестиугольных призм 6 пятиугольных призм
6-6 дуопризма		6 + 6 шестиугольных призм

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

Многоугольные призматические призмы: [p] × [] × []

Бесконечный набор однородных призматических призм перекрывается с 4-p дуопризмами: (p≥3) - - p кубов и 4 p -угольных призм - (Все они такие же, как 4-p дуопризма ) Второй многогранник в серии представляет собой более низкую симметрию правильного тессеракта , {4} × {4}.

Выпуклые p -угольные призмы

Имя	{3} × {4}	{4} × {4}	{5} × {4}	{6} × {4}	{7} × {4}	{8} × {4}	{p} × {4}
Диаграммы Кокстера
Изображение
Клетки	3 {4} × {} 4 {3} × {}	4 {4} × {} 4 {4} × {}	5 {4} × {} 4 {5} × {}	6 {4} × {} 4 {6} × {}	7 {4} × {} 4 {7} × {}	8 {4} × {} 4 {8} × {}	p {4} × {} 4 {p} × {}
Сеть

Многоугольные антипризматические призмы: [p] × [] × []

Бесконечные множества однородных антипризматических призм построены из двух параллельных однородных антипризм ): (p≥2) -- 2 p -угольные антипризмы, соединенные 2 p -угольными призмами и 2p треугольными призмами.

Выпуклые p -угольные антипризматические призмы

Имя	с {2,2} × {}	с {2,3} × {}	с {2,4} × {}	с {2,5} × {}	с {2,6} × {}	с {2,7} × {}	с {2,8} × {}	s {2, p} × {}
Диаграмма Кокстера
Изображение
Фигура вершины
Клетки	2 с {2,2} (2) {2} × {} = {4} 4 {3} × {}	2 с {2,3} 2 {3} × {} 6 {3} × {}	2 с {2,4} 2 {4} × {} 8 {3} × {}	2 с {2,5} 2 {5} × {} 10 {3} × {}	2 с {2,6} 2 {6} × {} 12 {3} × {}	2 с {2,7} 2 {7} × {} 14 {3} × {}	2 с {2,8} 2 {8} × {} 16 {3} × {}	2 с {2, p} 2 {p} × {} 2 p {3} × {}
Сеть

Р-угольная призма antiprismatic имеет 4p треугольник, 4p квадрат и 4 п-угольник лица. У него 10p ребер и 4p вершины.

Неравномерные чередования

Кокстер показал только два равномерных решения для групп Кокстера 4-го ранга с чередованием всех колец (показаны с пустыми узлами в кружках ). Первый - это, s {2 ^1,1,1 }, который представляет форму подгруппы индекса 24 ( симметрия [2,2,2] ⁺ , порядок 8) димитессеракта ,, h {4,3,3} (симметрия [1 ⁺ , 4,3,3] = [3 ^1,1,1 ], порядок 192). Второй, s {3 ^1,1,1 }, которая является формой подгруппы индекса 6 (симметрия [3 ^1,1,1 ] ⁺ , порядок 96) курносой 24-клетки ,, s {3,4,3}, (симметрия [3 ⁺ , 4,3], порядок 576).

Другие варианты, такие как , как альтернатива полностью усеченному тессеракту , нельзя сделать единообразным, поскольку решение для равных длин ребер, как правило, переопределено (есть шесть уравнений, но только четыре переменные). Такие неоднородные чередующиеся фигуры могут быть построены как транзитивные по вершинам 4-многогранники путем удаления одного из двух полумножеств вершин полностью окольцованной фигуры, но будут иметь неодинаковые длины ребер. Так же, как равномерные чередования, они будут иметь половину симметрии однородной фигуры, например [4,3,3] ⁺ , порядок 192 - симметрия чередующегося омниусеченного тессеракта .

Конструкции Wythoff с чередованиями создают фигуры, транзитивные по вершинам, которые могут быть равносторонними, но не однородными, поскольку чередующиеся промежутки (вокруг удаленных вершин) создают ячейки, которые не являются регулярными или полуправильными. Предлагаемое название таких фигур - чешуйчатые многогранники . Эта категория допускает подмножество тел Джонсона в качестве ячеек, например треугольный купол .

Каждая конфигурация вершины в теле Джонсона должна существовать внутри фигуры вершины. Например, квадратная детская коляска имеет две конфигурации вершин: 3.3.4 вокруг основания и 3.3.3.3 на вершине.

Сети и фигуры вершин двух выпуклых случаев приведены ниже вместе со списком ячеек вокруг каждой вершины.

Два выпуклых вершинно-транзитивных 4-многогранника с неоднородными ячейками

Диаграмма Кокстера	s 3 {2,4,3},	s 3 {3,4,3},
Связь	24 из 48 вершин ромбокубооктаэдрической призмы	288 из 576 вершин бега усеченных 24-ячеечных
Сеть	рунчий курносый кубический хосохорон	runcic snub 24-элементный
Клетки
Фигура вершины	(1) 3.4.3.4: треугольный купол (2) 3.4.6: треугольный купол (1) 3.3.3: тетраэдр (1) 3.6.6: усеченный тетраэдр	(1) 3.4.3.4: треугольный купол (2) 3.4.6: треугольный купол (2) 3.4.4: треугольная призма (1) 3.6.6: усеченный тетраэдр (1) 3.3.3.3.3: икосаэдр

Геометрические выводы для 46 непризматических однородных полихор Витоффа

46 Wythoffian 4-многогранников включают шесть выпуклых правильных 4-многогранников . Остальные сорок могут быть получены из регулярных полихор с помощью геометрических операций, которые сохраняют большую часть или всю их симметрию , и, следовательно, могут быть классифицированы по группам симметрии, которые у них есть общие.

Сводная диаграмма операций усечения

Пример расположения точки калейдоскопического генератора в фундаментальной области.

Геометрические операции, которые выводят 40 однородных 4-многогранников из правильных 4-многогранников, являются операциями усечения . 4-многогранник может быть усечен по вершинам, ребрам или граням, что приведет к добавлению ячеек, соответствующих этим элементам, как показано в столбцах таблиц ниже.

На диаграмме Кокстера-Дынкина показана четыре зеркал Wythoffian калейдоскопа как узлы, а ребра между узлами обозначены целым числом , показывающим углом между зеркалами ( п / п радиан или 180 / п градусами). Узлы в кружках показывают, какие зеркала активны для каждой формы; зеркало активно по отношению к вершине, которая на нем не лежит.

Операция	Символ Шлефли	Симметрия	Диаграмма Кокстера	Описание
Родитель	t 0 {p, q, r}	[p, q, r]		Исходная правильная форма {p, q, r}
Исправление	t 1 {p, q, r}			Операция усечения применяется до тех пор, пока исходные ребра не превратятся в точки.
Биректификация (выпрямленная двойная)	t 2 {p, q, r}			Лица полностью усечены до точек. То же, что и выпрямленный двойной.
Триректификация ( двойная )	t 3 {p, q, r}			Ячейки обрезаются до точек. Правильный двойственный {r, q, p}
Усечение	т 0,1 {p, q, r}			Каждая вершина обрезается так, чтобы осталась середина каждого исходного ребра. На месте вершины появляется новая ячейка, фигура родительской вершины . Каждая исходная ячейка также усекается.
Bitruncation	t 1,2 {p, q, r}			Усечение между исправленной формой и двойной исправленной формой.
Усечение	t 2,3 {p, q, r}			Усеченный двойственный {r, q, p}.
Cantellation	т 0,2 {p, q, r}			Усечение, применяемое к ребрам и вершинам, определяет переход между регулярной и двойственно исправленной формой.
Бикантелляция	т 1,3 {p, q, r}			Сквозной двойственный {r, q, p}.
Runcination (или расширение )	t 0,3 {p, q, r}			Усечение, примененное к ячейкам, граням и краям; определяет прогрессию между обычной формой и дуальной.
Cantitruncation	т 0,1,2 {p, q, r}			И операции раскоса, и усечения применяются вместе.
Двухслойное усечение	т 1,2,3 {p, q, r}			Урезанный двойственный {r, q, p}.
Runcitruncation	т 0,1,3 {p, q, r}			Оба runcination и укороченные операции применяются вместе.
Runcicantellation	т 0,1,3 {p, q, r}			Выполните усеченный двойственный {r, q, p}.
Omnitruncation (runcicantitruncation)	т 0,1,2,3 {p, q, r}			Применение всех трех операторов.
Половина	h {2p, 3, q}	[1 + , 2p, 3, q] = [(3, p, 3), q]		Чередование из, такой же как
Кантик	h 2 {2p, 3, q}			Такой же как
Runcic	h 3 {2p, 3, q}			Такой же как
Runcicantic	h 2,3 {2p, 3, q}			Такой же как
Четверть	q {2p, 3,2q}	[1 + , 2p, 3,2q, 1 + ]		Такой же как
Курносый	s {p, 2q, r}	[p + , 2q, r]		Альтернативное усечение
Кантичное пренебрежение	s 2 {p, 2q, r}			Кантеллированное попеременное усечение
Рунчик пренебрежительно	s 3 {p, 2q, r}			Бугристое попеременное усечение
Runcicantic пренебрежение	s 2,3 {p, 2q, r}			Рунцикантеллированное попеременное усечение
Курносый исправленный	sr {p, q, 2r}	[(p, q) + , 2r]		Переменное усеченное выпрямление
	ht 0,3 {2p, q, 2r}	[(2p, q, 2r, 2 + )]		Чередование бега
Биснуб	2s {2p, q, 2r}	[2p, q + , 2r]		Альтернативное усечение битов
Омниснуб	ht 0,1,2,3 {p, q, r}	[p, q, r] +		Альтернативное омнитусечение

См. Также выпуклые однородные соты , некоторые из которых иллюстрируют эти операции применительно к обычным кубическим сотам .

Если два многогранники двойственные друг от друга (например, тессеракта и 16-клетки, или 120-клетки и 600-клетки), а затем bitruncating , runcinating или omnitruncating либо производит тот же показатель , как и ту же операцию к другим. Таким образом, если в таблице фигурирует только причастие, его следует понимать применительно к любому из родителей.

Сводка построений по расширенной симметрии

46 однородных полихор, построенных на основе симметрии A ₄ , B ₄ , F ₄ , H _4, представлены в этой таблице их полной расширенной симметрией и диаграммами Кокстера. Чередования сгруппированы по их киральной симметрии. Приведены все чередования, хотя курносый 24-элементный с его 3 семейством конструкций является единственным однородным. Счетчики в скобках либо повторяются, либо неоднородны. Диаграммы Кокстера даны с нижними индексами от 1 до 46. Включено дуопризматическое семейство 3-3 и 4-4, второе из-за его связи с семейством B ₄ .

Группа Коксетера	Расширенная симметрия	Полихора		Киральная расширенная симметрия	Чередование сот
[3,3,3]	[3,3,3] (заказ 120)	6	(1) |(2) |(3) (4) |(7) |(8)
	[2 + [3,3,3]] (заказ 240)	3	(5) |(6) |(9)	[2 + [3,3,3]] + (заказ 120)	(1)	(-)
[3,3 1,1 ]	[3,3 1,1 ] (заказ 192)	0	(никто)
	[1 [3,3 1,1 ]] = [4,3,3] знак равно (заказ 384)	(4)	(12) |(17) |(11) |(16)
	[3 [3 1,1,1 ]] = [3,4,3] знак равно (заказ 1152)	(3)	(22) |(23) |(24)	[3 [3,3 1,1 ]] + = [3,4,3] + (порядок 576)	(1)	(31) (=) (-)
[4,3,3]	[3 [1 + , 4,3,3]] = [3,4,3] знак равно (заказ 1152)	(3)	(22) |(23) |(24)
	[4,3,3] (заказ 384)	12	(10) |(11) |(12) |(13) |(14) (15) |(16) |(17) |(18) |(19) (20) |(21)	[1 + , 4,3,3] + (порядок 96)	(2)	(12) (=) (31) (-)
				[4,3,3] + (заказ 192)	(1)	(-)
[3,4,3]	[3,4,3] (заказ 1152)	6	(22) |(23) |(24) (25) |(28) |(29)	[2 + [3 + , 4,3 + ]] (порядок 576)	1	(31)
	[2 + [3,4,3]] (заказ 2304)	3	(26) |(27) |(30)	[2 + [3,4,3]] + (заказ 1152)	(1)	(-)
[5,3,3]	[5,3,3] (заказ 14400)	15	(32) |(33) |(34) |(35) |(36) (37) |(38) |(39) |(40) |(41) (42) |(43) |(44) |(45) |(46)	[5,3,3] + (заказ 7200)	(1)	(-)
[3,2,3]	[3,2,3] (заказ 36)	0	(никто)	[3,2,3] + (заказ 18)	0	(никто)
	[2 + [3,2,3]] (заказ 72)	0		[2 + [3,2,3]] + (заказ 36)	0	(никто)
	[[3], 2,3] = [6,2,3] знак равно (заказ 72)	1		[1 [3,2,3]] = [[3], 2,3] + = [6,2,3] + (порядок 36)	(1)
	[(2 + , 4) [3,2,3]] = [2 + [6,2,6]] знак равно (заказ 288)	1		[(2 + , 4) [3,2,3]] + = [2 + [6,2,6]] + (порядок 144)	(1)
[4,2,4]	[4,2,4] (заказ 64)	0	(никто)	[4,2,4] + (заказ 32)	0	(никто)
	[2 + [4,2,4]] (заказ 128)	0	(никто)	[2 + [(4,2 + , 4,2 + )]] (порядок 64)	0	(никто)
	[(3,3) [4,2 *, 4]] = [4,3,3] знак равно (заказ 384)	(1)	(10)	[(3,3) [4,2 *, 4]] + = [4,3,3] + (порядок 192)	(1)	(12)
	[[4], 2,4] = [8,2,4] знак равно (заказ 128)	(1)		[1 [4,2,4]] = [[4], 2,4] + = [8,2,4] + (порядок 64)	(1)
	[(2 + , 4) [4,2,4]] = [2 + [8,2,8]] знак равно (заказ 512)	(1)		[(2 + , 4) [4,2,4]] + = [2 + [8,2,8]] + (порядок 256)	(1)

Смотрите также

• Конечные правильные косые многогранники четырехмерного пространства
• Выпуклые однородные сотовые бесконечные 4-многогранники в евклидовом 3-пространстве.
• Выпуклые равномерные соты в гиперболическом пространстве. Связанные бесконечные 4-многогранники в гиперболическом 3-пространстве.
• Паракомпактные однородные соты

использованная литература

• А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных из регулярных многогранников и заполнений пространства , Верханделинген из академии Koninklijke van Wetenschappen, единица ширины Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910 г.
• Б. Выпуклые многогранники Грюнбаума , Нью-Йорк; Лондон: Springer, c2003. ISBN  0-387-00424-6 .
  Второе издание подготовили Фолькер Кайбель, Виктор Клее и Гюнтер М. Циглер.
• Элте, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена, ISBN 1-4181-7968-X [3] [4]
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins und JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londen, 1954.
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6
  • (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• HSM Coxeter и WOJ Moser. Генераторы и соотношения для дискретных групп 4-е изд., Springer-Verlag. Нью-Йорк. 1980 г. 92, стр. 122.
• Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 26)
• Джон Х. Конвей и MJT Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , Труды коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2015) Глава 11: Конечные группы симметрии
• Ричард Клитцинг, Снабс, чередующиеся фасетки и диаграммы Стотта-Кокстера-Дынкина , Симметрия: культура и наука, Vol. 21, № 4, 329-344, (2010) [5]
• Schoute, Питер Хендрик (1911), "Аналитическая обработка многогранников, регулярно получаемых из правильных многогранников", Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen Te Amsterdam , 11 (3): 87 стр. Googlebook, 370-381

внешние ссылки

• Выпуклые равномерные 4-многогранники
  • Равномерные выпуклые многогранники в четырех измерениях , Марко Мёллер (на немецком языке)
  • Однородные многогранники в четырех измерениях , Георгий Ольшевский.
    1. Выпуклая однородная полихора на основе пятихоронки Георгия Ольшевского.
    2. Выпуклая однородная полихора на основе тессеракта / 16-ячеечная , Георгий Ольшевский.
    3. Выпуклая равномерная полихора по мотивам 24-клеточной , Георгия Ольшевского.
    4. Выпуклая однородная полихора на основе 120/600 клеток , Георгий Ольшевский.
    5. Аномально выпуклый однородный полихорон: (большая антипризма) , Георгий Ольшевский.
    6. Выпуклая равномерно призматическая полихора , Георгий Ольшевский.
    7. Равномерная полихора, полученная из гломерного тетраэдра В4 , Георгия Ольшевского.
  • Регулярные и полурегулярные выпуклые многогранники краткий исторический обзор
  • Апплеты Java3D с исходниками
• Невыпуклые равномерные 4-многогранники
  • Равномерная полихора Джонатана Бауэрса
  • Stella4D Stella (программное обеспечение) создает интерактивные виды известных однородных полихор, включая 64 выпуклые формы и бесконечные призматические семейства.
• Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники» .
• 4D-многогранники и их двойственные многогранники группы Кокстера W (A4), представленные Quaternions International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, Vol. 9, No. 4 (2012) Mehmet Koca, Nazife Ozdes Koca, Mudhahir Al-Ajmi (2012) [6]

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
Семья	А п	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб.	5-полукуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб.	6-полукуб	1 22 • 2 21
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукруглый	1 32 • 2 31 • 3 21
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб.	8-полукруглый	1 42 • 2 41 • 4 21
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Равномерное n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - demicube	1 к2 • 2 к1 • к 21	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений