Равномерный 6-многогранник - Uniform 6-polytope

Графы трех правильных и связанных однородных многогранников

6-симплекс				Усеченный 6-симплексный				Ректифицированный 6-симплексный
Сквозной 6-симплексный						Ранцинированный 6-симплексный
Стерилизованный 6-симплексный						Пятисторонний 6-симплексный
6-ортоплекс				Усеченный 6-ортоплекс				Ректифицированный 6-ортоплекс
Сквозной 6-ортоплекс				Ранцинированный 6-ортоплекс				Стерилизованный 6-ортоплекс
Скошенный 6-куб						Бегущий 6-куб
Стерилизованный 6 кубиков						Пятиугольный 6-куб
6-куб				Усеченный 6-куб				Ректифицированный 6-куб.
6-полукуб				Усеченный 6-полукуб				Сквозной 6-полукуб
Runcinated 6-demicube						Стерилизованный 6-сегментный
2 21						1 22
Усеченный 2 21						Усеченный 1 22

В шестимерной геометрии , A равномерное polypeton (или равномерный 6-многогранник ) является шестимерным равномерным многогранником . Равномерный полипетон является вершинно-транзитивным , а все грани являются однородными 5-многогранниками .

Полный набор выпуклых однородных полипет не определен, но большинство из них могут быть построены как конструкции Уитхоффа из небольшого набора групп симметрии . Эти строительные работы, представлены перестановками из колец этих диаграмм Кокстера-Дынкин . Каждая комбинация хотя бы одного кольца на каждой связанной группе узлов на диаграмме дает равномерный 6-многогранник.

Простейшие однородные полипеты - это правильные многогранники : 6-симплекс {3,3,3,3,3}, 6-куб (гексеракт) {4,3,3,3,3} и 6-ортоплекс (гексакросс ) {3,3,3,3,4}.

История открытия

• Правильные многогранники : (выпуклые грани)
  • 1852 : Людвиг Шлефли доказал в своей рукописи Theorie der vielfachen Kontinuität, что существует ровно 3 правильных многогранника в 5 или более измерениях .
• Выпуклые полуправильные многогранники : (Различные определения до равномерной категории Кокстера )
  • 1900 : Торольд Госсет перечислил список непризматических полуправильных выпуклых многогранников с правильными гранями (выпуклые правильные многогранники) в своей публикации « О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений» .
• Выпуклые равномерные многогранники :
  • 1940 : поиск был систематически расширен HSM Coxeter в его публикации Regular and Semi-Regular Polytopes .
• Неправильные однородные звездные многогранники : (аналогично невыпуклым однородным многогранникам )
  • Текущее : известны тысячи невыпуклых однородных полипет, но большинство из них не опубликованы. Предполагается, что список неполный, и нет никакой оценки того, как долго будет полный список, хотя в настоящее время известно более 10000 выпуклых и невыпуклых однородных полипет, в частности 923 с 6-симплексной симметрией. В число участвующих исследователей входят Джонатан Бауэрс , Ричард Клитцинг и Норман Джонсон .

Равномерные 6-многогранники фундаментальными группами Кокстера

Равномерные 6-многогранники с отражающей симметрией могут быть порождены этими четырьмя группами Кокстера, представленными перестановками колец диаграмм Кокстера-Дынкина .

Есть четыре фундаментальные группы отражающей симметрии, которые порождают 153 уникальных однородных 6-многогранников.

#	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера-Дынкина
1	А 6	[3,3,3,3,3]
2	В 6	[3,3,3,3,4]
3	D 6	[3,3,3,3 1,1 ]
4	E 6	[3 2,2,1 ]
		[3,3 2,2 ]

Соответствия диаграмм Кокстера-Дынкина между семействами и высшая симметрия внутри диаграмм. Узлы одного цвета в каждом ряду представляют собой одинаковые зеркала. Черные узлы в переписке не активны.

Однородные призматические семейства

Равномерная призма

Есть 6 категориальных однородных призм, основанных на однородных 5-многогранниках .

#	Группа Кокстера			Ноты
1	А 5 А 1	[3,3,3,3,2]		Семейство призм на основе 5-симплекса
2	В 5 А 1	[4,3,3,3,2]		Семейство призм на основе 5-куба
3а	D 5 A 1	[3 2,1,1 , 2]		Семейство призм на основе 5-полукуба

#	Группа Кокстера			Ноты
4	A 3 I 2 (p) A 1	[3,3,2, п, 2]		Семейство призм на основе тетраэдрических -p-угольных дуопризм
5	В 3 И 2 (п) А 1	[4,3,2, п, 2]		Семейство призм на основе кубических -p-угольных дуопризм
6	H 3 I 2 (p) A 1	[5,3,2, п, 2]		Семейство призм на основе додекаэдрических -p-угольных дуопризм

Равномерная дуопризма

Существует 11 категориальных однородных дуопризматических семейств многогранников, основанных на декартовых произведениях однородных многогранников меньшей размерности. Пять образованы как произведение однородного 4-многогранника с правильным многоугольником , а шесть образованы как произведение двух однородных многогранников :

#	Группа Кокстера			Ноты
1	A 4 I 2 (p)	[3,3,3,2, p]		Семейство на основе 5-клеточных -p-гональных дуопризм.
2	В 4 И 2 (р)	[4,3,3,2, p]		Семейство на основе тессеракт -п-гональных дуопризм.
3	F 4 I 2 (p)	[3,4,3,2, п]		Семейство на основе 24-клеточной -p-гональной дуопризмы.
4	H 4 I 2 (p)	[5,3,3,2, p]		Семейство на основе 120-клеточных -p-гональных дуопризм.
5	D 4 I 2 (p)	[3 1,1,1 , 2, p]		Семейство на основе димитессеракта -p-гональных дуопризм.

#	Группа Кокстера			Ноты
6	А 3 2	[3,3,2,3,3]		Семейство на основе тетраэдрических дуопризм.
7	А 3 В 3	[3,3,2,4,3]		Семейство на основе тетраэдрических - кубических дуопризм.
8	А 3 Н 3	[3,3,2,5,3]		Семейство на основе тетраэдрических - додекаэдрических дуопризм.
9	В 3 2	[4,3,2,4,3]		Семья на основе кубических дуопризм.
10	В 3 Н 3	[4,3,2,5,3]		Семья на основе кубических - додекаэдрических duoprisms.
11	H 3 2	[5,3,2,5,3]		Семья на основе додекаэдрических дуопризм.

Равномерная триапризма

Существует одно бесконечное семейство равномерных триапризматических семейств многогранников, построенных как декартовы произведения трех правильных многоугольников. Каждая комбинация хотя бы одного кольца в каждой связной группе дает однородный призматический 6-многогранник.

#	Группа Кокстера			Ноты
1	I 2 (p) I 2 (q) I 2 (r)	[p, 2, q, 2, r]		Семейство на основе p, q, r-угольных трипризм

Перечисление выпуклых равномерных 6-многогранников

• Семейство симплексных : A ₆ [3 ⁴ ] -
  • 35 равномерных 6-многогранников как перестановок колец в групповой диаграмме, включая один регулярный:
    1. {3 ⁴ } - 6-симплекс -
• Семейство гиперкубов / ортоплексов : B ₆ [4,3 ⁴ ] -
  • 63 равномерных 6-многогранников как перестановки колец в групповой диаграмме, включая две регулярные формы:
    1. {4,3 ³ } - куб 6 (шестигранник) -
    2. {3 ³ , 4} - 6-ортоплекс , (гексакросс) -
• Семейство Demihypercube D ₆ : [3 ^3,1,1 ] -
  • 47 равномерных 6-многогранников (16 уникальных) как перестановок колец в групповой диаграмме, в том числе:
    1. {3,3 ^2,1 }, 1 ₂₁ 6-полукруглый (полусухой) -; также как h {4,3 ³ },
    2. {3,3,3 ^1,1 }, 2 ₁₁ 6-ортоплекс -, полусимметричная форма .
• Семья E ₆ : [3 ^3,1,1 ] -
  • 39 равномерных 6-многогранников (16 уникальных) как перестановок колец в групповой диаграмме, в том числе:
    1. {3,3,3 ^2,1 }, 2 ₂₁ -
    2. {3,3 ^2,2 }, 1 ₂₂ -

Эти фундаментальные семейства порождают 153 непризматических выпуклых однородных полипета.

Кроме того, существует 105 конструкций однородных 6-многогранников на основе призм однородных 5-многогранников : [3,3,3,3,2], [4,3,3,3,2], [5,3, 3,3,2], [3 ^2,1,1 , 2].

Кроме того, существует бесконечно много равномерных 6-многогранников, основанных на:

1. Семейства двойных призм: [3,3,2, p, 2], [4,3,2, p, 2], [5,3,2, p, 2].
2. Семейства дуопризм: [3,3,3,2, p], [4,3,3,2, p], [5,3,3,2, p].
3. Семейство триапризмы: [p, 2, q, 2, r].

Аналого ₆ семьи

Существует 32 + 4−1 = 35 форм, полученных путем маркировки одного или нескольких узлов диаграммы Кокстера-Дынкина . Все 35 перечислены ниже. Они названы Норманом Джонсоном из операций по построению Wythoff на обычном 6-симплексе (гептапетон). Названия акронимов в стиле Bowers даны в скобках для перекрестных ссылок.

Семейство A ₆ имеет симметрию порядка 5040 (7 факториал ).

Координаты равномерных 6-многогранников с 6-симплексной симметрией могут быть сгенерированы как перестановки простых целых чисел в 7-пространстве, все в гиперплоскостях с вектором нормали (1,1,1,1,1,1,1).

#	Кокстер-Дынкин	Система имен Johnson Имя Bowers и (акроним)	Базовая точка	Количество элементов
				5	4	3	2	1	0
1		6-симплексный гептапетон (хмель)	(0,0,0,0,0,0,1)	7	21 год	35 год	35 год	21 год	7
2		Ректифицированный 6-симплексный ректифицированный гептапетон (рил)	(0,0,0,0,0,1,1)	14	63	140	175	105	21 год
3		Усеченный 6-симплексный усеченный гептапетон (til)	(0,0,0,0,0,1,2)	14	63	140	175	126	42
4		Биректифицированный 6-симплексный биректифицированный гептапетон (брил)	(0,0,0,0,1,1,1)	14	84	245	350	210	35 год
5		Сквозной 6-симплексный малый ромбовидный гептапетон (sril)	(0,0,0,0,1,1,2)	35 год	210	560	805	525	105
6		Bitruncated 6-симплексный битрорезанный гептапетон (batal)	(0,0,0,0,1,2,2)	14	84	245	385	315	105
7		Cantitruncated 6-симплекс большой ромбовидный гептапетон (gril)	(0,0,0,0,1,2,3)	35 год	210	560	805	630	210
8		Ранцинированный 6-симплексный мелкопризматический гептапетон (спил)	(0,0,0,1,1,1,2)	70	455	1330	1610	840	140
9		Бикантеллированный 6-симплексный малый биомбированный гептапетон (сабрил)	(0,0,0,1,1,2,2)	70	455	1295	1610	840	140
10		Усеченный 6-симплексный призматический гептапетон (патал)	(0,0,0,1,1,2,3)	70	560	1820 г.	2800	1890 г.	420
11		Тритусеченный 6-симплексный тетрадекапетон (fe)	(0,0,0,1,2,2,2)	14	84	280	490	420	140
12		Гептапетон (прил) с ранциантеллированной 6-симплексной призмой	(0,0,0,1,2,2,3)	70	455	1295	1960 г.	1470	420
13		Бикантитусеченный 6-симплексный большой биомбированный гептапетон (габрил)	(0,0,0,1,2,3,3)	49	329	980	1540	1260	420
14		Рунцикантоусеченный 6-симплексный большой призматический гептапетон (гапил)	(0,0,0,1,2,3,4)	70	560	1820 г.	3010	2520	840
15		Стерифицированный 6-симплексный гептапетон (скальп)	(0,0,1,1,1,1,2)	105	700	1470	1400	630	105
16		Бирунцинированный 6-симплексный малый бипризмато-тетрадекапетон (сибпоф)	(0,0,1,1,1,2,2)	84	714	2100	2520	1260	210
17		Стеритоусеченный 6-симплексный гептапетон (катал)	(0,0,1,1,1,2,3)	105	945	2940	3780	2100	420
18		Стерикантеллированный 6-симплексный гептапетон (крал)	(0,0,1,1,2,2,3)	105	1050	3465	5040	3150	630
19		Бирунциркулированный 6-симплексный бипризматор, гомомизированный гептапетон (баприл)	(0,0,1,1,2,3,3)	84	714	2310	3570	2520	630
20		Стерикантитусеченный 6-симплексный клеточный анатомический гептапетон (каграл)	(0,0,1,1,2,3,4)	105	1155	4410	7140	5040	1260
21 год		Стерирунцинированный 6-симплексный целлипризмированный гептапетон (копал)	(0,0,1,2,2,2,3)	105	700	1995 г.	2660	1680	420
22		Стерино-усеченная 6-симплексная клетка - призматотусеченный гептапетон (каптал)	(0,0,1,2,2,3,4)	105	945	3360	5670	4410	1260
23		Стерируксантеллированный 6-симплексный клеточный призматор, комбинированный гептапетон (коприл)	(0,0,1,2,3,3,4)	105	1050	3675	5880	4410	1260
24		Бирунникантитусеченный 6-симплексный большой бипризмато-тетрадекапетон (гибпоф)	(0,0,1,2,3,4,4)	84	714	2520	4410	3780	1260
25		Steriruncicantitruncated 6-simplex great cellated heptapeton (gacal)	(0,0,1,2,3,4,5)	105	1155	4620	8610	7560	2520
26		Пентеллированный 6-симплексный малый тери-тетрадекапетон (посох)	(0,1,1,1,1,1,2)	126	434	630	490	210	42
27		Пентусеченный 6-симплексный терацеллированный гептапетон (токал)	(0,1,1,1,1,2,3)	126	826	1785	1820 г.	945	210
28		Пентикантеллированный 6-симплексный терипризматический гептапетон (топал)	(0,1,1,1,2,2,3)	126	1246	3570	4340	2310	420
29		Пентикантоусеченный 6-симплексный теригреат или гомомбированный гептапетон (тограл)	(0,1,1,1,2,3,4)	126	1351	4095	5390	3360	840
30		Пятирукорезанный усеченный 6-симплексный терицелл, гомомбированный гептапетон (токрал)	(0,1,1,2,2,3,4)	126	1491	5565	8610	5670	1260
31 год		Пентирунникателлитный 6-симплексный терипризматор гомби-тетрадекапетон (тапорф)	(0,1,1,2,3,3,4)	126	1596	5250	7560	5040	1260
32		Пентирунникантитусеченный 6-симплексный теригреатопризматический гептапетон (тагопал)	(0,1,1,2,3,4,5)	126	1701	6825	11550	8820	2520
33		Пентистеритусеченный 6-симплексный терицеллитрунки-тетрадекапетон (тактаф)	(0,1,2,2,2,3,4)	126	1176	3780	5250	3360	840
34		Пентистерикантитусеченный 6-симплексный терицеллигреат или гомомбированный гептапетон (такограл)	(0,1,2,2,3,4,5)	126	1596	6510	11340	8820	2520
35 год		Омнитусеченный 6-симплексный великий тери-тетрадекапетон (gotaf)	(0,1,2,3,4,5,6)	126	1806 г.	8400	16800	15120	5040

B ₆ семьи

Существует 63 формы, основанные на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами.

Семейство B ₆ имеет симметрию порядка 46080 (6 факториалов x 2 ⁶ ).

Они названы Норманом Джонсоном из строительных работ Wythoff на регулярном 6-кубовом и 6-ортоплексе. Имена Bowers и аббревиатуры даны для перекрестных ссылок.

#	Диаграмма Кокстера-Дынкина	Символ Шлефли	Имена	Количество элементов
				5	4	3	2	1	0
36		т 0 {3,3,3,3,4}	6-ортоплекс Hexacontatetrapeton (гы)	64	192	240	160	60	12
37		т 1 {3,3,3,3,4}	Ректифицированный 6-ортоплекс Ректифицированный гексаконатетрапетон (тряпка)	76	576	1200	1120	480	60
38		т 2 {3,3,3,3,4}	Биректифицированный 6-ортоплекс Биректифицированный гексаконатетрапетон (хвастовство)	76	636	2160	2880	1440	160
39		т 2 {4,3,3,3,3}	Биректифицированный 6-кубический Биректифицированный гексеракт (брокс)	76	636	2080 г.	3200	1920 г.	240
40		т 1 {4,3,3,3,3}	Ректифицированный 6-кубовый Ректифицированный шестигранник (rax)	76	444	1120	1520	960	192
41 год		т 0 {4,3,3,3,3}	6-кубический Гексеракт (топор)	12	60	160	240	192	64
42		т 0,1 {3,3,3,3,4}	Усеченный 6-ортоплекс Усеченный гексаконатетрапетон (тег)	76	576	1200	1120	540	120
43 год		т 0,2 {3,3,3,3,4}	Кантеллированный 6-ортоплекс Малый ромбовидный гексаконатетрапетон (srog)	136	1656	5040	6400	3360	480
44		т 1,2 {3,3,3,3,4}	Bitruncated 6-ортоплекс Bitruncated hexacontatetrapeton (botag)					1920 г.	480
45		т 0,3 {3,3,3,3,4}	Ранцинированный 6-ортоплекс Малый призматический гексаконатетрапетон (звездочка)					7200	960
46		т 1,3 {3,3,3,3,4}	Бикантеллированный 6-ортоплекс Малый биомбированный гексаконатетрапетон (сиборг)					8640	1440
47		т 2,3 {4,3,3,3,3}	Гексерактигексаконтетрапетон (xog), усеченный 6- кубиками					3360	960
48		т 0,4 {3,3,3,3,4}	Стерилизованный 6-ортоплекс Гексаконтатетрапетон с малыми ячейками (scag)					5760	960
49		т 1,4 {4,3,3,3,3}	Бирунцинированный 6-кубик Малый бипризмато-гексерактигексаконтетрапетон (собпоксог)					11520	1920 г.
50		т 1,3 {4,3,3,3,3}	Бикантеллированный 6-кубический Малый биомбированный гексеракт (саборкс)					9600	1920 г.
51		т 1,2 {4,3,3,3,3}	Bitruncated 6-cube Bitruncated hexeract (ботокс)					2880	960
52		т 0,5 {4,3,3,3,3}	Пятиугольник 6-кубик Малый тери-гексерактигексаконтитетрапетон (стоксог)					1920 г.	384
53		т 0,4 {4,3,3,3,3}	Стерифицированный 6-кубический малый клетчатый гексеракт (scox)					5760	960
54		т 0,3 {4,3,3,3,3}	Бугристый 6-кубический Малый призматический шестигранник (спокс)					7680	1280
55		т 0,2 {4,3,3,3,3}	Скошенный 6-кубик Малый ромбовидный гексеракт (srox)					4800	960
56		т 0,1 {4,3,3,3,3}	Усеченный 6-кубический усеченный гексеракт (tox)	76	444	1120	1520	1152	384
57		т 0,1,2 {3,3,3,3,4}	Кантитроусеченный 6-ортоплекс Большой ромбовидный гексаконатетрапетон (грог)					3840	960
58		т 0,1,3 {3,3,3,3,4}	Runcitruncated 6- orthoplex Prismatotruncated hexacontatetrapeton (potag)					15840	2880
59		т 0,2,3 {3,3,3,3,4}	Runcicantellated 6- orthoplex Prismatorhombated hexacontatetrapeton (прог)					11520	2880
60		т 1,2,3 {3,3,3,3,4}	Бикантитусеченный 6-ортоплекс Большой биомбированный гексаконатетрапетон (габорг)					10080	2880
61		т 0,1,4 {3,3,3,3,4}	Стеритоусеченный 6-ортоплекс Cellitruncated hexacontatetrapeton (catog)					19200	3840
62		т 0,2,4 {3,3,3,3,4}	Стерикантеллированный 6-ортоплекс Cellirhombated hexacontatetrapeton (скала)					28800	5760
63		т 1,2,4 {3,3,3,3,4}	Бирунциркулированный 6-ортоплекс Бипризматоусеченный гексаконатетрапетон (бопракс)					23040	5760
64		т 0,3,4 {3,3,3,3,4}	Стерирунцинированный 6-ортоплекс Celliprismated hexacontatetrapeton (copog)					15360	3840
65		т 1,2,4 {4,3,3,3,3}	Бирунсусеченный 6-кубический бипризматоусеченный шестигранник (бопраг)					23040	5760
66		т 1,2,3 {4,3,3,3,3}	Двухкоординатный 6-кубический Большой биомбированный гексеракт (габоркс)					11520	3840
67		т 0,1,5 {3,3,3,3,4}	Пентусеченный 6-ортоплекс Teritruncated hexacontatetrapeton (tacox)					8640	1920 г.
68		т 0,2,5 {3,3,3,3,4}	Пентикантеллированный 6-ортоплекс Terirhombated hexacontatetrapeton (tapox)					21120	3840
69		т 0,3,4 {4,3,3,3,3}	Стерирунцинированный 6-кубический клеточный гексеракт (копокс)					15360	3840
70		т 0,2,5 {4,3,3,3,3}	Пятиугольный 6-кубический Териромбированный гексеракт (топаг)					21120	3840
71		т 0,2,4 {4,3,3,3,3}	Стерикантеллированный 6-кубический гексеракт (Crax)					28800	5760
72		т 0,2,3 {4,3,3,3,3}	Ранкантеллированный 6-кубический призматический гексеракт (прокс)					13440	3840
73		т 0,1,5 {4,3,3,3,3}	Пятиусеченный 6-кубический территусеченный гексеракт (таког)					8640	1920 г.
74		т 0,1,4 {4,3,3,3,3}	Стеритоусеченная клетка с 6 кубами и усеченный гексеракт (катакс)					19200	3840
75		т 0,1,3 {4,3,3,3,3}	Runcitruncated 6-cube Призматоусеченный гексеракт (potax)					17280	3840
76		т 0,1,2 {4,3,3,3,3}	Угловоусеченный 6-кубический большой ромбовидный гексеракт (grox)					5760	1920 г.
77		т 0,1,2,3 {3,3,3,3,4}	Рунцикантоусеченный 6-ортоплекс Большой призматический гексаконатетрапетон (гопог)					20160	5760
78		т 0,1,2,4 {3,3,3,3,4}	Стерикантитусеченный 6-ортоплекс Celligreatorhombated hexacontatetrapeton (cagorg)					46080	11520
79		т 0,1,3,4 {3,3,3,3,4}	Стериро-усеченный 6-ортоплекс Celliprismatotruncated hexacontatetrapeton (captog)					40320	11520
80		т 0,2,3,4 {3,3,3,3,4}	Стерируксантеллированный 6-ортоплекс Celliprismatorhombated hexacontatetrapeton (coprag)					40320	11520
81 год		т 1,2,3,4 {4,3,3,3,3}	Biruncicantitruncated 6-cube Great biprismato-hexeractihexacontitetrapeton (gobpoxog)					34560	11520
82		т 0,1,2,5 {3,3,3,3,4}	Пентикантоусеченный 6-ортоплекс Теригреат или гомомбированный гексаконататрапетон (тогриг)					30720	7680
83		т 0,1,3,5 {3,3,3,3,4}	Пятиусеченный 6-ортоплекс Терипризматотусеченный гексаконататрапетон (токракс)					51840	11520
84		т 0,2,3,5 {4,3,3,3,3}	Пятизубчатый 6-кубический терипризматор, гомби-гексерактигексаконтитетрапетон (типриксог)					46080	11520
85		т 0,2,3,4 {4,3,3,3,3}	Стерируксусный гексеракт (коприкс), состоящий из 6 кубов					40320	11520
86		т 0,1,4,5 {4,3,3,3,3}	Пентистеритусеченный 6-кубик Теричелли-гексерактигексаконтитетрапетон (такаксог)					30720	7680
87		т 0,1,3,5 {4,3,3,3,3}	Пятизубчатый усеченный 6-кубический терипризматотрубный шестиугольник (токарк)					51840	11520
88		т 0,1,3,4 {4,3,3,3,3}	Стерино-усеченный 6-кубический целлипризматотрубный гексеракт (captix)					40320	11520
89		т 0,1,2,5 {4,3,3,3,3}	Пентикоусеченный 6-кубический терригатор или гомомбированный гексеракт (тогрикс)					30720	7680
90		т 0,1,2,4 {4,3,3,3,3}	Стерикантитусеченный 6-кубический клеточный гексеракт, гомомбированный гексеракт (кагоркс)					46080	11520
91		т 0,1,2,3 {4,3,3,3,3}	Рукоусеченный 6-кубический большой призматический гексеракт (гиппокс)					23040	7680
92		т 0,1,2,3,4 {3,3,3,3,4}	Steriruncicantitruncated 6- orthoplex Great cellated hexacontatetrapeton (gocog)					69120	23040
93		т 0,1,2,3,5 {3,3,3,3,4}	Pentiruncicantitruncated 6- orthoplex Terigreatoprismated hexacontatetrapeton (tagpog)					80640	23040
94		т 0,1,2,4,5 {3,3,3,3,4}	Пентистерикантитусеченный 6-ортоплекс Tericelligreatorhombated hexacontatetrapeton (tecagorg)					80640	23040
95		т 0,1,2,4,5 {4,3,3,3,3}	Пентистерикантитусеченный 6-кубический теричеллигреаторомбированный гексеракт (токагракс)					80640	23040
96		т 0,1,2,3,5 {4,3,3,3,3}	Пентирунникантитусеченный 6-кубический теригреатопризматический гексеракт (tagpox)					80640	23040
97		т 0,1,2,3,4 {4,3,3,3,3}	Steriruncicantitruncated 6-cube Great Cellated hexeract (gocax).					69120	23040
98		т 0,1,2,3,4,5 {4,3,3,3,3}	Омнитусеченный 6-кубовый Великий тери-гексерактигексаконтитетрапетон (gotaxog)					138240	46080

D ₆ семьи

Семейство D ₆ имеет симметрию порядка 23040 (6 факториалов x 2 ⁵ ).

Это семейство имеет 3 × 16−1 = 47 однородных многогранников Витоффа, созданных пометкой одного или нескольких узлов диаграммы Кокстера-Дынкина D ₆ . Из них 31 (2 × 16-1) повторяются из семейства B _6, а 16 являются уникальными для этого семейства. Ниже перечислены 16 уникальных форм. Названия сокращений в стиле Bowers даны для перекрестных ссылок.

#	Диаграмма Кокстера	Имена	Базовая точка (с альтернативной подписью)	Количество элементов						Circumrad
				5	4	3	2	1	0
99	знак равно	Hemihexeract с 6 полукубами (hax)	(1,1,1,1,1,1)	44	252	640	640	240	32	0,8660254
100	знак равно	Кантик 6-кубический усеченный полугексеракт (thax)	(1,1,3,3,3,3)	76	636	2080 г.	3200	2160	480	2,1794493
101	знак равно	Рунический 6-кубик Малый ромбовидный полугексеракт (сирхакс)	(1,1,1,3,3,3)					3840	640	1,9364916
102	знак равно	Стерический 6-кубический Малый призматический полугексеракт (софакс)	(1,1,1,1,3,3)					3360	480	1,6583123
103	знак равно	Пентичный 6-кубический Малый клетчатый демигексеракт (сошакс)	(1,1,1,1,1,3)					1440	192	1,3228756
104	знак равно	Рансикантический 6-кубический большой ромбовидный полугексеракт (гирхакс)	(1,1,3,5,5,5)					5760	1920 г.	3,2787192
105	знак равно	Стерикантический 6-кубический призматически усеченный полугексеракт (питакс)	(1,1,3,3,5,5)					12960	2880	2,95804
106	знак равно	Стерирунический 6-кубический призматический полугексеракт (прохакс)	(1,1,1,3,5,5)					7680	1920 г.	2,7838821
107	знак равно	Пентикантическая 6-кубовая клетка - усеченный полугексеракт (катикс)	(1,1,3,3,3,5)					9600	1920 г.	2,5980761
108	знак равно	Пентирункский 6-кубический целлир, гомогенизированный полугексеракт (крохакс)	(1,1,1,3,3,5)					10560	1920 г.	2,3979158
109	знак равно	Пентистерический 6-кубический целлипризматический полугексеракт (кофикс)	(1,1,1,1,3,5)					5280	960	2,1794496
110	знак равно	Steriruncicantic 6-куб Большой prismated hemihexeract (gophax)	(1,1,3,5,7,7)					17280	5760	4,0926762
111	знак равно	Пентируникантическая 6-кубическая клетка, гомогенизированный полугексеракт (кагрохакс)	(1,1,3,5,5,7)					20160	5760	3,7080991
112	знак равно	Пентистерикантический 6-кубический целлипризматический усеченный полугексеракт (каптикс)	(1,1,3,3,5,7)					23040	5760	3,4278274
113	знак равно	Пентистерирунский 6-кубический целлипризматор, гомогексеракт (капрогакс)	(1,1,1,3,5,7)					15360	3840	3,2787192
114	знак равно	Пентистерирункикантический 6-кубический большой клетчатый полугексеракт (гочакс)	(1,1,3,5,7,9)					34560	11520	4,5552168

E ₆ семьи

Существует 39 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами. Названия сокращений в стиле Bowers даны для перекрестных ссылок. Семейство E ₆ имеет симметрию порядка 51 840.

#	Диаграмма Кокстера	Имена	Количество элементов
			5 лиц	4 лица	Клетки	Лица	Края	Вершины
115		2 21 Икосигептахептаконтидипетон (як)	99	648	1080	720	216	27
116		Ректифицированный 2 21 Ректифицированный икосигептахептаконтидипетон (роджак)	126	1350	4320	5040	2160	216
117		Усеченный 2 21 Усеченный икосигептахептаконтидипетон (тояк)	126	1350	4320	5040	2376	432
118		Cantellated 2 21 Маленький ромбовидный икосигептахептаконтидипетон (сирджак)	342	3942	15120	24480	15120	2160
119		Runcinated 2 21 Малый демипризматический икозигептагептаконтидипетон (шопжак)	342	4662	16200	19440	8640	1080
120		Демифицированный икозигептагептаконтидипетон (хеджак)	342	2430	7200	7920	3240	432
121		Bitruncated 2 21 Bitruncated icosiheptaheptacontidipeton (botajik)						2160
122		Демиректифицированный икозигептахептаконтидипетон (харджак)						1080
123		Cantitruncated 2 21 Большой ромбовидный икосигептахептаконтидипетон (гирджак)						4320
124		Runcitruncated 2 21 Demiprismatotruncated icosiheptaheptacontidipeton (hopitjak)						4320
125		Steritruncated 2 21 Cellitruncated icosiheptaheptacontidipeton (catjak)						2160
126		Демитусеченный икозигептахептаконтидипетон (хотжак)						2160
127		Runcicantellated 2 21 Demiprismator комбинированный икосигептагептаконтидипетон (хапрожак)						6480
128		Малый демиромбированный икосигептахептаконтидипетон (шоржак)						4320
129		Икозигептахептаконтидипетон мелкопризматический (спояк)						4320
130		Икозигептахептаконтидипетон (титажак) усеченный						4320
131		Runcicantitruncated 2 21 Большой демипризмированный икосигептагептаконтидипетон (гхопжак)						12960
132		Stericantitruncated 2 21 Celligreatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (cograjik)						12960
133		Большой демиромбированный икосигептахептаконтидипетон (горжак)						8640
134		Призмато-усеченный икозигептагептаконтидипетон (потяк)						12960
135		Демицеллит усеченный икозигептагептаконтидипетон (иктиджик)						8640
136		Икозигептагептаконтидипетон (прояк) с призмой						12960
137		Икозигептахептаконтидипетон большой призматический (гапжак)						25920
138		Демицеллигреат или гомомбированный икосигептагептаконтидипетон (хочгарджик)						25920

#	Диаграмма Кокстера	Имена	Количество элементов
			5 лиц	4 лица	Клетки	Лица	Края	Вершины
139	знак равно	1 22 Пентаконтатетрапетон (мес.)	54	702	2160	2160	720	72
140	знак равно	Ректифицированный 1 22 Ректифицированный пентаконтатетрапетон (баран)	126	1566	6480	10800	6480	720
141	знак равно	Биректифицированный 1 22 Биректифицированный пентаконтатетрапетон (barm)	126	2286	10800	19440	12960	2160
142	знак равно	Триректифицированный 1 22 Триректифицированный пентаконтатетрапетон (обрезной)	558	4608	8640	6480	2160	270
143	знак равно	Усеченный 1 22 Усеченный пентаконтатетрапетон (тим)					13680	1440
144	знак равно	Bitruncated 1 22 Bitruncated pentacontatetrapeton (битем)						6480
145	знак равно	Tritruncated 1 22 Tritruncated пентаконтатетрапетон (титам)						8640
146	знак равно	Cantellated 1 22 Маленький ромбовидный пентаконтатетрапетон (sram)						6480
147	знак равно	Cantitruncated 1 22 Большой ромбовидный пентаконтатетрапетон (грамм)						12960
148	знак равно	Runcinated 1 22 Маленький призматический пентаконтатетрапетон (спам)						2160
149	знак равно	Bicantellated 1 22 Малый birhombated pentacontatetrapeton (sabrim)						6480
150	знак равно	Bicantitruncated 1 22 Большой birhombated pentacontatetrapeton (gabrim)						12960
151	знак равно	Runcitruncated 1 22 Призматоусеченный пентаконтатетрапетон (патом)						12960
152	знак равно	Runcicantellated 1 22 Prismatorhombated pentacontatetrapeton (пром)						25920
153	знак равно	Усеченный 1 22 Большой призматический пентаконтатетрапетон (гопам)						51840

Невитхоффовы 6-многогранники

В 6 размерах и выше, существует бесконечное количество не-Wythoffian выпуклых равномерных многогранников как декартово произведение в Гранд антипризмы в 4 -х размерах и правильный многоугольник в 2 -х измерениях. Еще не доказано, есть ли больше.

Обычные и однородные соты

Соответствия диаграмм Кокстера-Дынкина между семействами и высшая симметрия внутри диаграмм. Узлы одного цвета в каждом ряду представляют собой одинаковые зеркала. Черные узлы в переписке не активны.

Есть четыре фундаментальных аффинных группы Кокстера и 27 призматических групп, которые генерируют регулярные и однородные мозаики в 5-пространстве:

#	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера	Формы
1	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$	[3 [6] ]		12
2	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}$	[4,3 3 , 4]		35 год
3	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$	[4,3,3 1,1 ] [4,3 3 , 4,1 + ]		47 (16 новых)
4	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$	[3 1,1 , 3,3 1,1 ] [1 + , 4,3 3 , 4,1 + ]		20 (3 новых)

Обычные и однородные соты включают:

• ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$ Всего существует 12 уникальных однородных сот, в том числе:
  • 5-симплексные соты
  • Усеченные 5-симплексные соты
  • Омнитусеченные 5-симплексные соты
• ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}$ Есть 35 однородных сот, в том числе:
  • Регулярные гиперкубические соты евклидова 5-пространства, 5-кубические соты с символами {4,3 ³ , 4}, знак равно
• ${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$ В наличии 47 однородных сот, 16 новых, в том числе:
  • Однородные чередующиеся гиперкубические соты , 5-полукубические соты с символами h {4,3 ³ , 4}, знак равно знак равно
• ${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$, [3 ^1,1 , 3,3 ^1,1 ]: есть 20 уникальных окольцованных перестановок и 3 новых. Коксетер называет первую четверть 5-кубическими сотами с символами q {4,3 ³ , 4}, знак равно . Два других новых знак равно , знак равно .

Призматические группы

#	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера-Дынкина
1	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [5] , 2, ∞]
2	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,3 1,1 , 2, ∞]
3	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{4}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,3,4,2, ∞]
4	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 1,1,1,1 , 2, ∞]
5	${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3,4,3,3,2, ∞]
6	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$х х${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,4,2, ∞, 2, ∞]
7	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$х х${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3 1,1 , 2, ∞, 2, ∞]
8	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$х х${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [4] , 2, ∞, 2, ∞]
9	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$х х х${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
10	${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {2}}$х х х${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[6,3,2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
11	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$х х х${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [3] , 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
12	${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$х х х х${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
13	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$х х${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [3] , 2,3 [3] , 2, ∞]
14	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$х х${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [3] , 2,4,4,2, ∞]
15	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$х х${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [3] , 2,6,3,2, ∞]
16	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$х х${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2,4,4,2, ∞]
17	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$х х${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2,6,3,2, ∞]
18	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$х х${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[6,3,2,6,3,2, ∞]
19	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	[3 [4] , 2,3 [3] ]
20	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	[4,3 1,1 , 2,3 [3] ]
21 год	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	[4,3,4,2,3 [3] ]
22	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$	[3 [4] , 2,4,4]
23	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$	[4,3 1,1 , 2,4,4]
24	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$	[4,3,4,2,4,4]
25	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$	[3 [4] , 2,6,3]
26	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$	[4,3 1,1 , 2,6,3]
27	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$Икс${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$	[4,3,4,2,6,3]

Регулярные и однородные гиперболические соты

Не существует компактных гиперболических групп Кокстера ранга 6, групп, которые могут порождать соты со всеми конечными гранями, и конечной фигуры вершины . Однако существует 12 некомпактных гиперболических групп Кокстера ранга 6, каждая из которых порождает однородные соты в 5-пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера.