6-полукуб - 6-demicube

Демигексеракт
(6-полукуб)
Demihexeract ortho petrie.svg
Проекция многоугольника Петри
Тип Равномерный 6-многогранник
Семья полугиперкуб
Символ Шлефли {3,3 3,1 } = h {4,3 4 }
s {2 1,1,1,1,1 }
Диаграммы Кокстера CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png знак равно CDel узел h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Узлы CDel 01r.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split5c.pngCDel nodes.png знак равно CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split5c.pngУзлы CDel 10l.png

CDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.pngCDel 2x.pngCDel узел h.png

Символ Кокстера 1 31
5 лиц 44 год 12  {3 1,2,1 } 32 {3 4 }Граф Demipenteract ortho.svg
5-симплексный t0.svg
4-гранный 252 60 {3 1,1,1 } 192 {3 3 }Кросс-граф 4.svg
4-симплексный t0.svg
Клетки 640 160 {3 1,0,1 } 480 {3,3}3-симплексный t0.svg
3-симплексный t0.svg
Лица 640 {3} 2-симплексный t0.svg
Края 240
Вершины 32
Фигура вершины Ректифицированный 5-симплексный
5-симплексный t1.svg
Группа симметрии D 6 , [3 3,1,1 ] = [1 + , 4,3 4 ]
[2 5 ] +
Многоугольник Петри десятиугольник
Характеристики выпуклый

В геометрии , A 6-demicube или demihexteract является однородным 6-многогранник , построенный из 6-куба ( hexeract ) с чередующимися удаленными вершинами. Он является частью безмерно бесконечного семейства однородных многогранников, называемых полугиперкубами .

EL Elte определил его в 1912 году как полуправильный многогранник, обозначив его как HM 6 для шестимерного многогранника с половинной мерой .

Коксетер назвал этот многогранник как 1 31 из его диаграммы Кокстера с кольцом на одной из ветвей длины 1, CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png . Он может быть назван аналогично 3-мерным экспоненциальным символом Шлефли или {3,3 3,1 }.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин полугексеракта с центром в начале координат являются альтернативными половинами гексеракта :

(± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1)

с нечетным количеством знаков плюс.

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет собой 6-полукуб. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам, 4-граням и 5-граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 6-полукубе. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

Диагональные числа f-вектора выводятся с помощью конструкции Wythoff , деля полный порядок группы в порядке подгруппы, удаляя по одному зеркалу за раз.

D 6 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png к-лицо f k f 0 f 1 ж 2 ж 3 ж 4 ж 5 k -фигурка заметки
А 4 CDel nodea x.pngCDel 2.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png () f 0 32 15 60 20 60 15 30 6 6 г {3,3,3,3} D 6 / A 4 = 32 * 6! / 5! = 32
А 3 А 1 А 1 CDel nodea 1.pngCDel 2.pngУзлы CDel x0.pngCDel 2.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png {} f 1 2 240 8 4 12 6 8 4 2 {} x {3,3} D 6 / A 3 A 1 A 1 = 32 * 6! / 4! / 2/2 = 240
А 3 А 2 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngУзлы CDel 0x.pngCDel 2.pngCDel nodea x.pngCDel 2.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png {3} ж 2 3 3 640 1 3 3 3 3 1 {3} v () D 6 / A 3 A 2 = 32 * 6! / 4! / 3! = 640
А 3 А 1 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 2.pngCDel nodea x.pngCDel 2.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png ч {4,3} ж 3 4 6 4 160 * 3 0 3 0 {3} D 6 / A 3 A 1 = 32 * 6! / 4! / 2 = 160
А 3 А 2 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngУзлы CDel 0x.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodea x.pngCDel 2.pngCDel nodea.png {3,3} 4 6 4 * 480 1 2 2 1 {} v () D 6 / A 3 A 2 = 32 * 6! / 4! / 3! = 480
D 4 A 1 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodea x.pngCDel 2.pngCDel nodea.png ч {4,3,3} ж 4 8 24 32 8 8 60 * 2 0 {} Д 6 / Д 4 А 1 = 32 * 6! / 8/4! / 2 = 60
А 4 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngУзлы CDel 0x.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodea x.png {3,3,3} 5 10 10 0 5 * 192 1 1 D 6 / A 4 = 32 * 6! / 5! = 192
D 5 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodea x.png ч {4,3,3,3} ж 5 16 80 160 40 80 10 16 12 * () D 6 / D 5 = 32 * 6! / 16/5! = 12
А 5 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngУзлы CDel 0x.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png {3,3,3,3} 6 15 20 0 15 0 6 * 32 D 6 / A 5 = 32 * 6! / 6! = 32

Изображений

орфографические проекции
Самолет Кокстера В 6
График 6-demicube t0 B6.svg
Двугранная симметрия [12/2]
Самолет Кокстера D 6 D 5
График 6-demicube t0 D6.svg 6-demicube t0 D5.svg
Двугранная симметрия [10] [8]
Самолет Кокстера D 4 D 3
График 6-demicube t0 D4.svg 6-demicube t0 D3.svg
Двугранная симметрия [6] [4]
Самолет Кокстера А 5 А 3
График 6-demicube t0 A5.svg 6-demicube t0 A3.svg
Двугранная симметрия [6] [4]

Связанные многогранники

Имеется 47 однородных многогранников с симметрией D 6 , 31 разделяются симметрией B 6 , а 16 уникальны:

Многогранники D6
6-demicube t0 D6.svg
ч {4,3 4 }
6-demicube t01 D6.svg
ч 2 {4,3 4 }
6-demicube t02 D6.svg
h 3 {4,3 4 }
6-demicube t03 D6.svg
ч 4 {4,3 4 }
6-demicube t04 D6.svg
h 5 {4,3 4 }
6-demicube t012 D6.svg
ч 2,3 {4,3 4 }
6-demicube t013 D6.svg
ч 2,4 {4,3 4 }
6-demicube t014 D6.svg
ч 2,5 {4,3 4 }
6-demicube t023 D6.svg
ч 3,4 {4,3 4 }
6-demicube t024 D6.svg
h 3,5 {4,3 4 }
6-demicube t034 D6.svg
h 4,5 {4,3 4 }
6-demicube t0123 D6.svg
ч 2,3,4 {4,3 4 }
6-demicube t0124 D6.svg
ч 2,3,5 {4,3 4 }
6-demicube t0134 D6.svg
ч 2,4,5 {4,3 4 }
6-demicube t0234 D6.svg
ч 3,4,5 {4,3 4 }
6-demicube t01234 D6.svg
ч 2,3,4,5 {4,3 4 }

6-полукуб, 1 31 является третьим в ряду размерностей однородных многогранников, выраженных Кокстером как ряд k 31 . Пятая фигура - евклидовы соты, 3 31 , и последняя - некомпактные гиперболические соты, 4 31 . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из предыдущего как его вершина .

k 31 габаритные фигуры
п 4 5 6 7 8 9

Группа Кокстера
А 3 А 1 А 5 D 6 E 7 = E 7 + = E 7 ++

Диаграмма Кокстера
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 10.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
Симметрия [3 −1,3,1 ] [3 0,3,1 ] [3 1,3,1 ] [3 2,3,1 ] [3 3,3,1 ] [3 4,3,1 ]
Заказ 48 720 23 040 2 903 040
График Тетраэдрическая призма.png 5-симплексный t1.svg Demihexeract ortho petrie.svg Up2 2 31 t0 E7.svg - -
Имя −1 31 0 31 1 31 2 31 3 31 4 31

Он также является вторым в размерном ряду однородных многогранников и сот, выраженных Кокстером как 1 3k рядов. Четвертая фигура - это евклидовы соты 1 33, а последняя - некомпактные гиперболические соты, 1 34 .

1 3k размерные фигуры
Космос Конечный Евклидово Гиперболический
п 4 5 6 7 8 9

Группа Кокстера
А 3 А 1 А 5 D 6 E 7 = E 7 + = E 7 ++

Диаграмма Кокстера
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01l.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Симметрия [3 −1,3,1 ] [3 0,3,1 ] [3 1,3,1 ] [3 2,3,1 ] [[3 3,3,1 ]] [3 4,3,1 ]
Заказ 48 720 23 040 2 903 040
График 5-симплексный t0.svg Demihexeract ortho petrie.svg Up2 1 32 t0 E7.svg - -
Имя 1 3, -1 1 30 1 31 1 32 1 33 1 34

Наклонный икосаэдр

Кокстер идентифицировал подмножество из 12 вершин, которые образуют правильный косой икосаэдр {3, 5} с той же симметрией, что и сам икосаэдр, но под разными углами. Он назвал это правильным косым икосаэдром .

Рекомендации

  1. ^ Коксетер, Правильные многогранники, сек. 1.8 Конфигурации
  2. ^ Кокстер, Комплексные правильные многогранники, стр.117
  3. ^ Клитцинг, Ричард. «x3o3o * b3o3o3o - hax» .
  4. ^ Coxeter, HSM Красота геометрии: двенадцать эссе (Dover ed.). Dover Publications. С. 450–451. ISBN   9780486409191 .
  5. ^ Деза, Майкл; Штогрин, Михаил (2000). «Вложение графов регулярных мозаик и звездных сот в графы гиперкубов и кубических решеток» . Дополнительные исследования в чистых математиках : 77. DOI : 10,2969 / ASPM / 02710073 . Проверено 4 апреля 2020 года .
  • HSM Coxeter :
    • Коксетер, Регулярные многогранники , (3-е издание, 1973), Дуврское издание, ISBN   0-486-61480-8 , стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
    • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973, p.296, Table I (iii): Regular Polytopes, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
    • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
      • (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
      • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
      • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Hemicubes: 1 n1 )
  • Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты) x3o3o * b3o3o3o - hax» .

Внешние ссылки

Семья А п B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Правильный многоугольник Треугольник Квадратный п-угольник Шестиугольник Пентагон
Равномерный многогранник Тетраэдр Октаэдр Куб Демикуб Додекаэдр Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник 5-элементный 16 ячеек Тессеракт Demitesseract 24-элементный 120 ячеек 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс 5-куб 5-полукуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс 6-куб. 6-полукуб 1 22 2 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс 7-куб 7-полукруглый 1 32 2 31 3 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс 8-куб. 8-полукруглый 1 42 2 41 4 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс 9-куб 9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс 10-куб 10-полукуб
Равномерное n - многогранник n - симплекс n - ортоплекс n - куб n - demicube 1 к2 2 к1 к 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников Регулярный многогранник Список правильных многогранников и соединений