Пентагон - Pentagon

Пентагон
Равносторонний пятиугольник.SVG
Равносторонний пятиугольник, то есть пятиугольник, все пять сторон которого имеют одинаковую длину.
Ребра и вершины 5
Внутренний угол ( градусы ) 108 ° (при равноугловом, в том числе и обычном)

В геометрии , A пятиугольник (от греческого πέντε Pente означает пять и γωνία Gonia означает угол ) является любым пятисторонним многоугольник или 5-угольник. Сумма внутренних углов в простом пятиугольнике составляет 540 °.

Пятиугольник может быть простым или самопересекающимся . Самопересекающийся правильный пятиугольник (или звездный пятиугольник ) называется пентаграммой .

Правильные пятиугольники

Правильный пятиугольник
Правильный многоугольник 5 annotated.svg
Правильный пятиугольник
Тип Правильный многоугольник
Ребра и вершины 5
Символ Шлефли {5}
Диаграмма Кокстера CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Группа симметрии Двугранный (D 5 ), порядок 2 × 5
Внутренний угол ( градусы ) 108 °
Двойной многоугольник Себя
Характеристики Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Сторона ( ), радиус описанной окружности ( ), радиус вписанной окружности ( ), высота ( ) , ширина / диагональ ( )

У правильного пятиугольника есть символ Шлефли {5} и внутренние углы 108 °.

Регулярный пятиугольник имеет пять линий reflectional симметрии , и поворотную симметрию порядка 5 (через 72 °, 144 °, 216 ° и 288 °). В диагоналях из более выпуклого правильного пятиугольника находятся в золотая пропорция к его сторонам. Его высота (расстояние от одной стороны до противоположной вершины) и ширина (расстояние между двумя наиболее удаленными друг от друга точками, равное длине диагонали) задаются выражением

где R - радиус описанной окружности .

Площадь выпуклого правильного пятиугольника с длиной стороны t определяется выражением

Пентаграмма или Pentangle является регулярной звездой пятиугольника. Его символ Шлефли - {5/2}. Его стороны образуют диагонали правильного выпуклого пятиугольника - в этом расположении стороны двух пятиугольников находятся в золотом сечении .

Когда правильный пятиугольник описан окружностью радиуса R , длина его ребра t определяется выражением

и его площадь

поскольку площадь описанной окружности является правильным пятиугольником, он заполняет приблизительно 0,7568 всей описанной окружности.

Вывод формулы площади

Площадь любого правильного многоугольника равна:

где P - периметр многоугольника, а r - внутренний радиус (эквивалентно апофема ). Подстановка значений правильного пятиугольника вместо P и r дает формулу

с длиной стороны t .

Inradius

Подобно любому правильному выпуклому многоугольнику, правильный выпуклый пятиугольник имеет вписанную окружность . Апофема , что радиус г вписанной окружности, правильный пятиугольник связана с длиной стороны т путем

Хорды ​​от описанной окружности к вершинам

Как и любой правильный выпуклый многоугольник, правильный выпуклый пятиугольник имеет описанную окружность . Для правильного пятиугольника с последовательными вершинами A, B, C, D, E, если P - любая точка на описанной окружности между точками B и C, то PA + PD = PB + PC + PE.

Точка в плоскости

Для произвольной точки на плоскости правильного пятиугольника с описанным радиусом , расстояния до центра тяжести правильного пятиугольника и его пяти вершин равны и соответственно, имеем

Если - расстояния от вершин правильного пятиугольника до любой точки описанной окружности, то

Построение правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки , так как 5 - простое число Ферма . Известно множество методов построения правильного пятиугольника. Некоторые обсуждаются ниже.

Метод Ричмонда

Ричмонд пятиугольник 1.PNG
Ричмонд Пентагон 2.PNG

Один из методов построения правильного пятиугольника в данном круге описан Ричмондом и далее обсуждается в Многогранниках Кромвеля .

На верхней панели показана конструкция, использованная в методе Ричмонда для создания стороны вписанного пятиугольника. Круг, определяющий пятиугольник, имеет единичный радиус. Его центр расположен в точке C, а середина M отмечена на полпути по его радиусу. Эта точка соединена с периферией вертикально над центром в точке D . Угол ЦМД пополам, а биссектриса пересекает вертикальную ось в точке Q . Горизонтальная линия, проходящая через Q, пересекает окружность в точке P , а хорда PD - это искомая сторона вписанного пятиугольника.

Чтобы определить длину этой стороны, под кружком изображены два прямоугольных треугольника DCM и QCM . Используя теорему Пифагора и две стороны, гипотенуза большего треугольника находится как . Тогда сторона h меньшего треугольника находится по формуле полуугла :

где косинус и синус ϕ известны из большего треугольника. Результат:

Когда эта сторона известна, внимание обращается на нижнюю диаграмму, чтобы найти сторону s правильного пятиугольника. Во-первых, сторона a правого треугольника снова находится с помощью теоремы Пифагора:

Тогда s находится с помощью теоремы Пифагора и левого треугольника как:

Таким образом, сторона s :

что является хорошо известным результатом.

Карлейльские круги

Метод с использованием кругов Карлайла

Круг Карлайла был изобретен как геометрический метод нахождения корней квадратного уравнения . Эта методика приводит к процедуре построения правильного пятиугольника. Шаги следующие:

  1. Нарисуйте круг , в котором , чтобы вписать пятиугольник и пометить центральную точку O .
  2. Проведите горизонтальную линию через центр круга. Отметить левое пересечение с кругом в качестве точки B .
  3. Проведите вертикальную линию через центр. Отметьте одно пересечение с кругом в качестве точки А .
  4. Построить точку М как средняя точка O и B .
  5. Нарисуйте круг с центром в точке М через точку А . Отметьте ее пересечения с горизонтальной линией (внутри исходной окружности) в точке W и ее пересечение вне окружности в качестве точки V .
  6. Нарисуйте окружность радиуса ОА и центра W . Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
  7. Нарисуйте окружность радиуса ОА и центр V . Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
  8. Пятая вершина - это крайнее правое пересечение горизонтальной линии с исходной окружностью.

Шаги 6–8 эквивалентны следующей версии, показанной на анимации:

6а. Постройте точку F как середину точек O и W.
7а. Постройте вертикальную линию через F. Она пересекает исходную окружность в двух вершинах пятиугольника. Третья вершина - это крайнее правое пересечение горизонтальной линии с исходной окружностью.
8а. Постройте две другие вершины, используя циркуль и длину вершины, найденную на шаге 7a.

Использование тригонометрии и теоремы Пифагора

Использование тригонометрии и теоремы Пифагора для построения правильного пятиугольника.
Постройка
  1. Сначала отметим, что правильный пятиугольник можно разделить на 10 равных треугольников, как показано в наблюдении . Кроме того, cos 36 ° = .
  2. На шаге 1 мы используем четыре единицы (показаны синим цветом) и прямой угол, чтобы построить отрезок длиной 1+ 5 , в частности, создав прямоугольный треугольник 1-2- 5 и затем расширив гипотенузу 5 на длина 1. Затем мы делим этот сегмент пополам, а затем снова делим пополам, чтобы создать отрезок длины (показан красным).
  3. На шаге 2 мы строим две концентрические окружности с центром в точке O радиусом 1 и длиной . Затем мы произвольно помещаем P на меньший круг, как показано. Строя прямую, перпендикулярную OP, проходящую через P , мы строим первую сторону пятиугольника, используя точки, созданные на пересечении касательной и единичной окружности. Копирование этой длины четыре раза по внешнему краю единичных кругов дает нам правильный пятиугольник.

† Доказательство того, что cos 36 ° =

(с использованием формулы сложения углов для косинуса )
(с использованием формул двойного и половинного угла )
Пусть u = cos 36 °. Во-первых, обратите внимание, что 0 < u <1 (что поможет нам упростить работу). Теперь,

Это быстро следует из знания, что удвоение синуса 18 градусов является обратным золотым сечением, которое мы знаем геометрически из треугольника с углами 72,72,36 градусов. Из тригонометрии мы знаем, что косинус дважды 18 градусов равен 1 минус два квадрата синуса 18 градусов, и это сводится к желаемому результату с помощью простой квадратичной арифметики.

Длина стороны указана

Правильный пятиугольник согласно золотому сечению , разделяющий отрезок линии внешним делением

Пентагон при заданной длине стороны
  1. Нарисуйте отрезок AB , длина которого равна заданной стороне пятиугольника.
  2. Вытяните отрезок BA от точки A примерно на три четверти отрезка BA .
  3. Нарисуйте дугу окружности с центром в точке B и радиусом AB .
  4. Нарисуйте дугу окружности с центром A и радиусом AB ; возникает пересечение F .
  5. Постройте перпендикуляр к отрезку AB через точку F ; возникает пересечение G .
  6. Проведите линию, параллельную отрезку FG, от точки A до дуги окружности вокруг точки A ; возникает пересечение Н .
  7. Нарисуйте дугу окружности, центральную точку G с радиусом GH до продолжения отрезка AB ; возникает пересечение J .
  8. Нарисуйте дугу окружности, центральную точку B с радиусом BJ до перпендикуляра в точке G ; возникают пересечение D на перпендикуляре, и пересечение Е с дугой окружности , которая была создана вокруг точки А .
  9. Нарисуйте дугу окружности, центральную точку D , с радиусом BA, пока эта дуга окружности не пересечет другую дугу окружности вокруг точки B ; возникает пересечение С .
  10. Соедините точки BCDEA . Получается пятиугольник.
Золотое сечение

Метод Евклида

Метод Евклида для пятиугольника в заданной окружности, с использованием золотого треугольника , анимация 1 мин 39 с

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки , вписав один в заданный круг или построив один на заданном крае. Этот процесс был описан Евклидом в его « Элементах» около 300 г. до н.э.

Просто используя транспортир (не классическая конструкция)

Прямой метод с использованием степеней следующий:

  1. Нарисуйте круг и выберите точку, которая будет пятиугольником (например, верхний центр).
  2. Выберите точку A на окружности, которая будет одной из вершин пятиугольника. Нарисуйте линию через O и A .
  3. Проведите через него направляющую линию и центр круга.
  4. Нарисуйте линии под углом 54 ° (от направляющей), пересекающие точку пятиугольника.
  5. Там, где они пересекают круг, нарисуйте линии под углом 18 ° (от параллели к направляющей).
  6. Присоединяйтесь к тому месту, где они пересекают круг

После формирования правильного выпуклого пятиугольника, если соединить несмежные углы (нарисовать диагонали пятиугольника), получится пентаграмма с меньшим правильным пятиугольником в центре. Или, если расширить стороны до тех пор, пока несмежные стороны не встретятся, получится пентаграмма большего размера. Точность этого метода зависит от точности транспортира, используемого для измерения углов.

Физические методы

Узел на бумажной полоске сверху
  • Правильный пятиугольник можно создать просто из полоски бумаги, завязав на полоску узел сверху и аккуратно расплющивая узел, потянув за концы полоски бумаги. Если загнуть один из концов над пятиугольником, вы увидите пентаграмму при контровом свете.
  • Постройте правильный шестиугольник на плотной бумаге или картоне. Сделайте складку по трем диаметрам между противоположными вершинами. Вырежьте от одной вершины к центру, чтобы получился равносторонний треугольный лоскут. Закрепите этот клапан под его соседом, чтобы получилась пятиугольная пирамида . Основание пирамиды - правильный пятиугольник.

Симметрия

Симметрии правильного пятиугольника. Вершины раскрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркальные линии проводятся через вершины и ребра. В центре даны приказы гирации.

Правильный пятиугольник имеет DIH 5 симметрии , порядка 10. Так как 5 является простым числом , есть одна подгруппы с двугранной симметрией: DIH 1 , 2 и циклические группы симметрия: Z 5 и Z 1 .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях на пятиугольнике. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. Полная симметрия регулярной формы равна r10, а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i, когда линии отражения проходят через оба ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g для их центральных порядков вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g5 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Равносторонние пятиугольники

Равносторонний пятиугольник, состоящий из четырех равных кругов, расположенных в виде цепочки.

Равносторонний пятиугольник - это многоугольник с пятью сторонами равной длины. Однако его пять внутренних углов могут принимать ряд наборов значений, что позволяет ему образовывать семейство пятиугольников. Напротив, правильный пятиугольник уникален до подобия, потому что он равносторонний и равноугольный (его пять углов равны).

Циклические пятиугольники

Циклический пятиугольник один , для которых окружность называется окружность проходит через все пять вершин. Правильный пятиугольник - это пример циклического пятиугольника. Площадь циклического пятиугольника, правильного или неправильного, может быть выражена как одна четвертая квадратного корня одного из корней септического уравнения , коэффициенты которого являются функциями сторон пятиугольника.

Существуют циклические пятиугольники с рациональными сторонами и рациональной площадью; они называются пятиугольниками Роббинса . Было доказано, что диагонали пятиугольника Роббинса должны быть либо полностью рациональными, либо полностью иррациональными, и предполагается, что все диагонали должны быть рациональными.

Общие выпуклые пятиугольники

Для всех выпуклых пятиугольников сумма квадратов диагоналей меньше трехкратной суммы квадратов сторон.

Графики

Полный граф K 5 часто рисуется в виде правильного пятиугольника со всеми 10 связными ребрами. Этот граф также представляет собой ортогональную проекцию 5 вершин и 10 ребер 5-ячейки . Выпрямляется 5-элементный , с вершинами в середине ребер 5-клетки проецируются внутри пятиугольника.

4-симплексный t0.svg
5-элементный (4D)
4-симплексный t1.svg
Выпрямленный 5-элементный (4D)

Примеры пятиугольников

Растения

Животные

Минералы

Искусственный

Пентагоны в плитке

Самая известная упаковка равных по размеру правильных пятиугольников на плоскости - это структура двойной решетки, которая покрывает 92,131% плоскости.

Правильный пятиугольник не может появиться ни в одной мозаике из правильных многоугольников. Во-первых, чтобы доказать, что пятиугольник не может образовывать правильную мозаику (в которой все грани совпадают, что требует, чтобы все многоугольники были пятиугольниками), заметьте, что 360 ° / 108 ° = 3 13 (где 108 ° - внутренний угол ), которое не является целым числом; следовательно, не существует целого числа пятиугольников, разделяющих одну вершину и не оставляющих промежутков между ними. Сложнее доказать, что пятиугольник не может входить в состав любой мозаики от края до края, образованной правильными многоугольниками:

Максимальная известная плотность упаковки правильного пятиугольника составляет приблизительно 0,921, что достигается показанной двойной решетчатой упаковкой. В препринте, выпущенном в 2016 году, Томас Хейлз и Воден Куснер объявили о доказательстве того, что двойная решетчатая упаковка обычного пятиугольника (которую они называют упаковкой «пятиугольного ледяного луча» и которая восходит к работе китайских мастеров в 1900 году) имеет оптимальную плотность среди всех упаковок правильных пятиугольников на плоскости. По состоянию на 2020 год их доказательства еще не рецензировались и не публиковались.

Не существует комбинаций правильных многоугольников с 4 или более пересекающимися в вершине, содержащими пятиугольник. Для комбинаций с 3, если 3 многоугольника пересекаются в вершине и один имеет нечетное количество сторон, другие 2 должны быть конгруэнтными. Причина этого в том, что многоугольники, соприкасающиеся с краями пятиугольника, должны чередоваться вокруг пятиугольника, что невозможно из-за нечетного количества сторон пятиугольника. Для пятиугольника получается многоугольник, все углы которого равны (360-108) / 2 = 126 ° . Чтобы найти количество сторон этого многоугольника, результат: 360 / (180 - 126) = 6 23 , что не является целым числом. Следовательно, пятиугольник не может появиться ни в одной мозаике, состоящей из правильных многоугольников.

Существует 15 классов пятиугольников, которые могут моноэдрально выложить плоскость . Ни один из пятиугольников не обладает какой-либо симметрией в целом, хотя у некоторых есть особые случаи с зеркальной симметрией.

15 одноугольных пятиугольных плиток
1 2 3 4 5
Прототип p5-type1.png Прототип p5-type2.png Прототип p5-type3.png Prototile p5-type4.png Prototile p5-type5.png
6 7 8 9 10
Прототип p5-type6.png Прототип p5-type7.png Прототип p5-type8.png Прототип p5-type9.png Prototile p5-type10.png
11 12 13 14 15
Prototile p5-type11.png Prototile p5-type12.png Prototile p5-type13.png Прототип p5-type14.png Prototile p5-type15.png

Пентагоны в многогранниках

Я ч Т ч Т д О я D 5d
Додекаэдр.jpg Pyritohedron.png Тетартоид.png Pentagonicositetrahedronccw.jpg Пентагональный гексеконтаэдрccw.jpg Пентагональный усеченный трапецоэдр.png
Додекаэдр Пиритоэдр Тетартоид Пятиугольный икоситетраэдр Пятиугольный гексеконтаэдр Усеченный трапецоэдр

Смотрите также

Встроенные заметки и ссылки

внешние ссылки

Семья А п B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-угольник Шестиугольник Пентагон
Равномерный многогранник Тетраэдр ОктаэдрКуб Демикуб ДодекаэдрИкосаэдр
Равномерный полихорон Пентахорон 16 ячеекТессеракт Demitesseract 24-элементный 120 ячеек600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс5-куб. 5-полукуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс6-куб. 6-полукуб 1 222 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс7-куб 7-полукруглый 1 322 313 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс8-куб. 8-полукруглый 1 422 414 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс9-куб 9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс10-куб 10-полукуб
Равномерное n - многогранник n - симплекс n - ортоплексn - куб n - demicube 1 к22 к1к 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранниковПравильный многогранникСписок правильных многогранников и соединений