Гиперкуб - Hypercube

Перспективные прогнозы

Куб (3-куб)	Тессеракт (4-куб)

В геометрии , A гиперкуба является п - мерный аналог квадрата ( п = 2 ) и куб ( п = 3 ). Это замкнутая , компактная , выпуклая фигура, 1- скелет которой состоит из групп противоположных параллельных отрезков, выровненных в каждом из измерений пространства , перпендикулярных друг другу и одинаковой длины. Самая длинная диагональ единичного гиперкуба в n измерениях равна . ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$

П - мерный гиперкуб чаще называют п -куба , а иногда как п - мерного куба . Термин « многогранник меры» (первоначально из Elte, 1912) также используется, особенно в работе HSM Coxeter, который также помечает гиперкубы многогранниками γ n .

Гиперкуб - это частный случай гиперугольника (также называемого н-ортотопом ).

Блок гиперкуб является гиперкубом которого сторона имеет длину один блок . Часто гиперкуба , чьи углы (или вершины ) являются 2 ^п точек в R ^п с каждой из координат равно 0 или 1, называется блок гиперкуба.

Строительство

Схема, показывающая, как создать тессеракт из точки.

Анимация, показывающая, как создать тессеракт из точки.

Гиперкуб можно определить, увеличив количество измерений формы:

0 - Точка - это гиперкуб нулевой размерности.

1 - Если переместить эту точку на одну единицу длины, она выметет линейный сегмент, который представляет собой единичный гиперкуб размерности один.

2 - Если переместить этот отрезок линии на его длину в перпендикулярном направлении от себя; он выметает двумерный квадрат.

3 - Если переместить квадрат на одну единицу длины в направлении, перпендикулярном плоскости, на которой он лежит, получится трехмерный куб.

4 - Если переместить куб на одну единицу длины в четвертое измерение, он генерирует четырехмерный единичный гиперкуб (единичный тессеракт ).

Это можно обобщить на любое количество измерений. Этот процесс выметания объемов может быть формализован математически как сумма Минковского : d -мерный гиперкуб - это сумма Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков прямой единичной длины, и поэтому он является примером зонотопа .

1- скелет гиперкуба - это граф гиперкуба .

Координаты вершины

Единичный гиперкуб размерности - это выпуклая оболочка всех точек, декартовы координаты которых равны либо или . Это гиперкуб также декартово произведение из экземпляров единичного интервала . Другой единичный гиперкуб с центром в начале окружающего пространства может быть получен из этого гиперкуба путем перевода . Это выпуклая оболочка точек, векторы декартовых координат которых равны ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle [0,1] ^ {п}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle [0,1]}$

${\ displaystyle \ left (\ pm {\ frac {1} {2}}, \ pm {\ frac {1} {2}}, \ cdots, \ pm {\ frac {1} {2}} \ right) \! \ !.}$

Здесь символ означает, что каждая координата либо равна, либо . Этот единичный гиперкуб также является декартовым произведением . Любой единичный гиперкуб имеет длину ребра и размерный объем . ${\ displaystyle \ pm}$${\ displaystyle 1/2}$${\ displaystyle -1/2}$${\ Displaystyle [-1 / 2,1 / 2] ^ {п}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 1}$

- Мерный гиперкуб получается как выпуклая оболочка точек с координатами или, что то же самое , как декартово произведение также часто рассматривается в связи с более простой форме ее координат вершин. Длина его края равна , а его -мерный объем равен . ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle (\ pm 1, \ pm 1, \ cdots, \ pm 1)}$${\ Displaystyle [-1,1] ^ {п}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle 2 ^ {п}}$

Лица

Каждый гиперкуб допускает в качестве граней гиперкубы меньшей размерности, содержащиеся на его границе. Гиперкуб измерения допускает фасеты или грани измерения : ( -мерный) линейный сегмент имеет конечные точки; ( -мерный) квадрат имеет стороны или края; мерный куб имеет квадратное лицо; ( -мерный) тессеракт имеет трехмерный куб в качестве граней. Число вершин гиперкуба размерности равно (например, у обычного -мерного куба есть вершины). ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 6}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle 2 ^ {п}}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$

Число -мерных гиперкубов (далее именуемых -кубами), содержащихся на границе -куба, равно ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle E_ {m, n} = 2 ^ {nm} {n \ select m}}$, Где и обозначает факториал из .${\ displaystyle {n \ choose m} = {\ frac {n!} {m! \, (nm)!}}}$${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n}$

Например, граница -куба ( ) содержит кубы ( -кубы), квадраты ( -кубы), отрезки ( -кубы) и вершины ( -кубы). Это тождество может быть доказано простым комбинаторным аргументом: для каждой вершины гиперкуба есть способы выбрать набор ребер, инцидентных этой вершине. Каждый из этих наборов определяет одну из -мерных граней, инцидентных рассматриваемой вершине. Выполняя это для всех вершин гиперкуба, каждая из -мерных граней гиперкуба подсчитывается раз, поскольку у него столько вершин, и нам нужно разделить на это число. ${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle n = 4}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 24}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 32}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 16}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle 2 ^ {п}}$${\ displaystyle {\ tbinom {n} {m}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle 2 ^ {m}}$${\ Displaystyle 2 ^ {п} {\ tbinom {п} {м}}}$

Число граней гиперкуба можно использовать для вычисления -мерного объема его границы: этот объем умножен на объем -мерного гиперкуба; то есть где - длина ребер гиперкуба. ${\ Displaystyle (п-1)}$${\ displaystyle 2n}$${\ Displaystyle (п-1)}$${\ displaystyle 2ns ^ {n-1}}$${\ displaystyle s}$

Эти числа также могут быть порождены линейным рекуррентным соотношением

${\ displaystyle E_ {m, n} = 2E_ {m, n-1} + E_ {m-1, n-1} \!}$С , и когда , или .${\ displaystyle E_ {0,0} = 1}$${\ displaystyle E_ {m, n} = 0}$${\ Displaystyle п <м}$${\ displaystyle n <0}$${\ displaystyle m <0}$

Например, расширение квадрата через его 4 вершины добавляет один дополнительный отрезок (ребро) на каждую вершину. Добавление противоположного квадрата для формирования куба дает линейные сегменты. ${\ displaystyle E_ {1,3} = 12}$

Число из - мерных граней n - мерного гиперкуба (последовательность A038207 в OEIS ) ${\ displaystyle E_ {m, n}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

			м	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
п	n -куб	Имена	Schläfli Coxeter	Вершина 0-грань	Кромка 1-гранная	Лицо 2-х лицо	Ячейка 3-гранная	4-гранный	5-гранный	6-гранный	7-гранный	8-гранный	9-гранный	10-гранный
0	0-куб	Point Monon	()	1
1	1-куб	Отрезок Дион	{}	2	1
2	2-куб	Квадратный Тетрагон	{4}	4	4	1
3	3-куб	Куб шестигранник	{4,3}	8	12	6	1
4	4-куб	Тессеракт Октахорон	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5-куб	Пентеракт Дека-5-топ	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6-куб	Hexeract додек-6-Тоуп	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7-куб	Hepteract Tetradeca -7-tope	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8-куб	Octeract Hexadeca-8-Тоуп	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9-куб	Enneract Octadeca-9-топ	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016 г.	672	144	18	1
10	10-куб	Dekeract Icosa-10-топе	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Графики

П -куба может проецироваться внутри обычного 2 п -gonal многоугольника с помощью косой ортогональной проекции , показанного здесь из отрезка к 15-кубе.

Ортографические проекции многоугольника Петри

Точка	Отрезок	Квадрат	Куб	Тессеракт
5-куб	6-куб	7-куб	8-куб
9-куб	10-куб	11-куб	12-куб
13-куб	14-куб	15-куб	16-куб

Проекция вращающегося тессеракта .

Связанные семейства многогранников

Гиперкубы - одно из немногих семейств правильных многогранников , которые представлены в любом количестве измерений.

Семейство гиперкубов (смещений) - одно из трех семейств регулярных многогранников , обозначенных Кокстером как γ _n . Два других - это двойственное семейство гиперкубов, кросс-многогранники , обозначенные как β _n, и симплексы , обозначенные как α _n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , он обозначил как δ _n .

Другое родственное семейство полуправильных и однородных многогранников - это полугиперкубы , которые построены из гиперкубов с удаленными альтернативными вершинами и добавленными в промежутки симплексными фасетами , обозначенными как hγ _n .

n -кубов можно комбинировать со своими двойниками ( кросс-политопами ) для образования составных многогранников:

• В двух измерениях мы получаем восьмигранную звезду {8/2},
• В трех измерениях мы получаем соединение куба и октаэдра ,
• В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16 ячеек .

Отношение к ( n −1) -симплексам

График н ребер -hypercube является изоморфно к Хассе диаграмме из ( п - 1) - симплекс «с лицом решетки . В этом можно убедиться, ориентируя n -гиперкуб так, чтобы две противоположные вершины лежали вертикально, что соответствует самому ( n −1) -симплексу и нулевому многограннику соответственно. Каждая вершина, соединенная с верхней вершиной, затем однозначно отображается на одну из граней ( n - 1) -симплекса ( n - 2 грани), и каждая вершина, соединенная с этими вершинами, отображается на одну из n - 3 граней симплекса и т. Д. , а вершины, соединенные с нижней вершиной, отображаются в вершины симплекса.

Это отношение можно использовать для эффективного генерирования решетки граней ( n -1) -симплекса, поскольку алгоритмы перечисления решетки граней, применимые к общим многогранникам, являются более дорогостоящими в вычислительном отношении.

Обобщенные гиперкубы

Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве, называемом обобщенными гиперкубами , γ^п
_п= _p {4} ₂ {3} ... ₂ {3} ₂ или... Реальные решения существуют с p = 2, т. Е. Γ²
_п= γ _n = ₂ {4} ₂ {3} ... ₂ {3} ₂ = {4,3, .., 3}. При p > 2 они существуют в . Грани представляют собой обобщенный ( n - 1) -куб, а фигура вершины - правильные симплексы . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

Правильный многоугольник периметром видели в этих ортогональных проекций называется Petrie многоугольник . Обобщенные квадраты ( n = 2) показаны с краями, обведенными красными и синими чередующимися цветными p- ребрами, в то время как более высокие n -кубы нарисованы с черными обведенными p- ребрами.

Количество м -Лицо элементов в р -generalized п -куба являются: . Это p ⁿ вершин и pn граней. ${\ displaystyle p ^ {nm} {n \ select m}}$

Обобщенные гиперкубы

	р = 2		р = 3	р = 4	р = 5	р = 6	р = 7	р = 8
${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$	γ2 2= {4} = 4 вершины	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$	γ3 2 знак равно 9 вершин	γ4 2 знак равно 16 вершин	γ5 2 знак равно 25 вершин	γ6 2 знак равно 36 вершин	γ7 2 знак равно 49 вершин	γ8 2 знак равно 64 вершины
${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$	γ2 3= {4,3} = 8 вершин	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$	γ3 3 знак равно 27 вершин	γ4 3 знак равно 64 вершины	γ5 3 знак равно 125 вершин	γ6 3 знак равно 216 вершин	γ7 3 знак равно 343 вершины	γ8 3 знак равно 512 вершин
${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$	γ2 4= {4,3,3} = 16 вершин	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$	γ3 4 знак равно 81 вершина	γ4 4 знак равно 256 вершин	γ5 4 знак равно 625 вершин	γ6 4 знак равно 1296 вершин	γ7 4 знак равно 2401 вершина	γ8 4 знак равно 4096 вершин
${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {5}}$	γ2 5= {4,3,3,3} = 32 вершины	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$	γ3 5 знак равно 243 вершины	γ4 5 знак равно 1024 вершины	γ5 5 знак равно 3125 вершин	γ6 5 знак равно 7776 вершин	γ7 5 знак равно 16,807 вершин	γ8 5 знак равно 32 768 вершин
${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {6}}$	γ2 6= {4,3,3,3,3} = 64 вершины	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {6}}$	γ3 6 знак равно 729 вершин	γ4 6 знак равно 4096 вершин	γ5 6 знак равно 15625 вершин	γ6 6 знак равно 46 656 вершин	γ7 6 знак равно 117,649 вершин	γ8 6 знак равно 262 144 вершины
${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {7}}$	γ2 7= {4,3,3,3,3,3} = 128 вершин	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {7}}$	γ3 7 знак равно 2187 вершин	γ4 7 знак равно 16 384 вершины	γ5 7 знак равно 78,125 вершин	γ6 7 знак равно 279 936 вершин	γ7 7 знак равно 823,543 вершины	γ8 7 знак равно 2,097,152 вершины
${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}}$	γ2 8= {4,3,3,3,3,3,3} = 256 вершин	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {8}}$	γ3 8 знак равно 6561 вершина	γ4 8 знак равно 65 536 вершин	γ5 8 знак равно 390,625 вершин	γ6 8 знак равно 1,679,616 вершин	γ7 8 знак равно 5,764,801 вершина	γ8 8 знак равно 16,777,216 вершин

Смотрите также

• Гиперкуб взаимосвязанная сеть компьютерной архитектуры
• Группа гипероктаэдра, группа симметрии гиперкуба
• Гиперсфера
• Симплекс
• Параллелотоп
• Распятие (Corpus Hypercubus) (известное произведение искусства)

Примечания

использованная литература

• Боуэн, JP (апрель 1982 г.). «Гиперкуб» . Практические вычисления . 5 (4): 97–99. Архивировано из оригинала на 2008-06-30 . Проверено 30 июня 2008 года .
• Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). §7.2. см. иллюстрацию Рис. 7-2 C : Dover . С.  122-123 . ISBN 0-486-61480-8.CS1 maint: location ( ссылка )п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n измерениях ( n  ≥ 5)
• Хилл, Фредерик Дж .; Джеральд Р. Петерсон (1974). Введение в теорию переключения и логический дизайн: второе издание . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-39882-9.См. Главу 7.1 «Кубическое представление булевых функций», в которой понятие «гиперкуб» вводится как средство демонстрации кода расстояния 1 ( кода Грея ) как вершин гиперкуба, а затем гиперкуб с помеченными таким образом вершинами является сдавлены в два измерения, чтобы сформировать либо диаграмму Вейча, либо карту Карно .

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперкуб» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик У. "Графы гиперкубов" . MathWorld .
• www.4d-screen.de (Вращение 4D - 7D-куба)
• Вращение гиперкуба. Автор Энрике Зелени, Wolfram Demonstrations Project .
• Стереоскопический анимированный гиперкуб
• Загрузки гиперкуба Руди Ракера и Фариде Дормишян
• A001787 Количество ребер в n-мерном гиперкубе. в OEIS