Символ Шлефли - Schläfli symbol

В геометрии , то символ Шлефл является обозначением формы , которая определяет регулярные многогранники и мозаики . ${\ Displaystyle \ {п, д, г, ... \}}$

Символ Шлефли назван в честь швейцарского математика XIX века Людвига Шлефли , который обобщил евклидову геометрию до более чем трех измерений и открыл все их выпуклые правильные многогранники, включая шесть, которые встречаются в четырех измерениях.

Определение

Символ Шлефли является рекурсивным описанием, начиная с { р } для р односторонний правильного многоугольника , который выпукло . Например, {3} - равносторонний треугольник , {4} - квадрат , {5} - выпуклый правильный пятиугольник и т. Д.

Правильные звездчатые многоугольники не являются выпуклыми, а их символы Шлефли { ^p / _q } содержат неприводимые дроби ^p / _q , где p - количество вершин, а q - их число поворота . Эквивалентно, { ^p / _q } создается из вершин { p }, соединенных через каждые q . Например, { 5 ⁄ 2 } - пентаграмма ; { 5 ⁄ 1 } - пятиугольник .

Правильный многогранник , который имеет Q регулярных р односторонний полигон сталкивается вокруг каждую вершина представлена { р , д }. Например, куб имеет 3 квадрата вокруг каждой вершины и представлен как {4,3}.

Правильный 4-мерный многогранник с r { p , q } правильными многогранными клетками вокруг каждого ребра представлен как { p , q , r }. Например, тессеракт {4,3,3} имеет 3 куба {4,3} по краю.

В общем, правильный многогранник { p , q , r , ..., y , z } имеет z { p , q , r , ..., y } фасет вокруг каждой вершины , где вершина - это вершина в многограннике , ребро в 4-многограннике, грань в 5-многограннике, ячейка в 6-многограннике и ( n -3) -граница в n- многограннике.

Характеристики

У правильного многогранника есть правильная вершина . Вершинная фигура правильного многогранника { p , q , r , ..., y , z } - это { q , r , ..., y , z }.

Правильные многогранники могут иметь элементы звездообразного многоугольника , такие как пентаграмма , с символом { 5 ⁄ 2 }, представленные вершинами пятиугольника, но соединенными поочередно.

Символ Шлефл может представлять конечный выпуклый многогранник , бесконечную тесселяцию из евклидова пространства или бесконечная тесселяции из гиперболического пространства , в зависимости от угла дефекта конструкции. Дефект с положительным углом позволяет фигуре вершины сворачиваться в более высокое измерение и возвращается в себя как многогранник. Дефект с нулевым углом разбивает пространство мозаикой того же размера, что и фасеты. Дефект с отрицательным углом не может существовать в обычном пространстве, но может быть построен в гиперболическом пространстве.

Обычно фасет или фигура вершины считается конечным многогранником, но иногда сама может рассматриваться как тесселяция.

Правильный многогранник также имеет двойственный многогранник , представленный элементами символа Шлефли в обратном порядке. Самодуальный регулярный многогранник будет иметь симметричный символ Шлефли.

Помимо описания евклидовых многогранников, символы Шлефли могут использоваться для описания сферических многогранников или сферических сот.

История и вариации

Работы Шлефли при его жизни были почти неизвестны, а его система обозначений для описания многогранников была переоткрыта независимо несколькими другими авторами. В частности, Торольд Госсет заново открыл символ Шлефли, который он написал как | p | q | г | ... | z | а не скобками и запятыми, как это сделал Шлефли.

Форма Госсета имеет большую симметрию, поэтому количество измерений - это количество вертикальных полос, а символ в точности включает подсимволы для фигуры фасета и вершины. Госсет считает | p как оператор, который можно применить к | q | ... | z | построить многогранник с p -угольными гранями, фигура вершины которого равна | q | ... | z |,

Случаи

Группы симметрии

Символы Шлефли тесно связаны с (конечными) группами симметрии отражения , которые точно соответствуют конечным группам Кокстера и обозначаются теми же индексами, но квадратными скобками вместо [ p , q , r , ...]. Такие группы часто называют правильными многогранниками, которые они порождают. Например, [3,3] - это группа Кокстера для отражательной тетраэдрической симметрии , [3,4] - это отражательная октаэдрическая симметрия , а [3,5] - это отражательная икосаэдрическая симметрия .

Правильные многоугольники (плоскость)

Символ Шлефли (выпуклого) правильного многоугольника с p ребрами равен { p }. Например, правильный пятиугольник представлен {5}.

Для (невыпуклых) звездообразных многоугольников используется конструктивное обозначение { p ⁄ q }, где p - количество вершин, а q −1 - количество вершин, пропущенных при рисовании каждого ребра звезды. Например, { 5 ⁄ 2 } представляет пентаграмму .

Правильные многогранники (3 измерения)

Символ Шлефли правильного многогранника равен { p , q }, если его грани являются p -угольниками и каждая вершина окружена q гранями ( фигура вершины - это q -угольник).

Например, {5,3} - правильный додекаэдр . Он имеет пятиугольные (5 ребер) грани и по 3 пятиугольника вокруг каждой вершины.

Посмотрите на 5 выпуклых Платоновых тел , 4 невыпуклых многогранника Кеплера-Пуансо .

Топологически правильную 2-мерную мозаику можно рассматривать как подобную (3-мерному) многограннику, но такую, что угловой дефект равен нулю. Таким образом, символы Шлефли также могут быть определены для регулярных мозаик в евклидовой или гиперболической пространства аналогичным образом , как и для многогранников. Аналогия верна и для более высоких измерений.

Например, шестиугольная мозаика представлена ​​{6,3}.

Правильные 4-многогранники (4 измерения)

Символ Шлефли правильного 4-многогранника имеет вид { p , q , r }. Его (двумерные) грани - правильные p -угольники ({ p }), клетки - правильные многогранники типа { p , q }, вершинные фигуры - правильные многогранники типа { q , r }, а реберные фигуры - правильные r -угольники (тип { r }).

См. Шесть выпуклых правильных и 10 правильных звездных 4-многогранников .

Например, 120 ячеек представлены как {5,3,3}. Он состоит из ячеек додекаэдра {5,3} и имеет по 3 ячейки по каждому краю.

Существует одна регулярная мозаика евклидова 3-пространства: кубические соты с символом Шлефли {4,3,4}, состоящие из кубических ячеек и 4 кубов вокруг каждого края.

Есть также 4 регулярных компактных гиперболических мозаики, включая {5,3,4}, гиперболические маленькие додекаэдрические соты , которые заполняют пространство ячейками додекаэдра .

Регулярные n -многогранники (более высокие измерения)

Для многомерных регулярных многогранников символ Шлефли определяется рекурсивно как { p ₁ , p ₂ , ..., p _{n  - 1} }, если фасеты имеют символ Шлефли { p ₁ , p ₂ , ..., p _{n  - 2} }, а фигуры вершин имеют символ Шлефли { p ₂ , p ₃ , ..., p _{n  - 1} }.

Вершинная фигура фасеты многогранника и фасета вершинной фигуры одного и того же многогранника одинаковы: { p ₂ , p ₃ , ..., p _{n  - 2} }.

Есть только 3 правильных многогранника в 5 измерениях и выше: симплекс , {3,3,3, ..., 3}; кроссполитоп , {3,3, ..., 3,4}; и гиперкуб , {4,3,3, ..., 3}. Не существует невыпуклых правильных многогранников выше четырех измерений.

Двойные многогранники

Если многогранник размерности n ≥ 2 имеет символ Шлефли { p ₁ , p ₂ , ..., p _{n  - 1} }, то его двойственный многогранник имеет символ Шлефли { p _{n  - 1} , ..., p ₂ , p ₁ }.

Если последовательность палиндромная , т.е. одна и та же вперед и назад, многогранник самодвойственный . Каждый двумерный правильный многогранник (многоугольник) самодвойственен.

Призматические многогранники

Равномерные призматические многогранники можно определить и назвать как декартово произведение (с оператором "×") регулярных многогранников меньшей размерности.

• В 0D точка обозначена (). Его диаграмма Кокстера пуста. Его симметрия обозначений Кокстера -] [.
• В 1D сегмент линии представлен {}. Его диаграмма Кокстера имеет вид. Его симметрия [].
• В 2D прямоугольник представлен как {} × {}. Его диаграмма Кокстера имеет вид. Его симметрия [2].
• В 3D p -угольная призма представлена ​​как {} × { p }. Его диаграмма Кокстера имеет вид. Его симметрия [2, p ].
• В 4D однородная { p , q } -эдральная призма представлена ​​как {} × { p , q }. Его диаграмма Кокстера имеет вид. Его симметрия [2, p , q ].
• В 4D однородная p - q дуопризма представлена ​​как { p } × { q }. Его диаграмма Кокстера имеет вид. Его симметрия [ p , 2, q ].

Призматические двойники или бипирамиды могут быть представлены как составные символы, но с оператором сложения «+».

• В 2D ромб представлен как {} + {}. Его диаграмма Кокстера имеет вид. Его симметрия [2].
• В 3D p -угольная бипирамида представлена ​​как {} + { p }. Его диаграмма Кокстера имеет вид. Его симметрия [2, p ].
• В 4D { p , q } -эдральная бипирамида представлена ​​как {} + { p , q }. Его диаграмма Кокстера имеет вид. Его симметрия [ p , q ].
• В 4D дуопирамида p - q представлена ​​как { p } + { q }. Его диаграмма Кокстера имеет вид. Его симметрия [ p , 2, q ].

Пирамидальные многогранники, содержащие ортогонально смещенные вершины, можно представить с помощью оператора соединения «∨». Каждая пара вершин между соединенными фигурами соединена ребрами.

В 2D равнобедренный треугольник можно представить как () ∨ {} = () ∨ [() ∨ ()].

В 3D:

• Дигональный равногранный тетраэдр может быть представлен в виде {} ∨ {} = [() ∨ ()] ∨ [() ∨ ()].
• Р-угольной пирамиды представлена в виде () ∨ { р }.

В 4D:

• Рд-гранный пирамида представлена в виде () ∨ { р , д }.
• 5-клеток представлена в виде () ∨ [() ∨ {3}] или [() ∨ ()] ∨ {3} = {} ∨ {3}.
• Квадратная пирамидальная пирамида представлена ​​как () ∨ [() ∨ {4}] или [() ∨ ()] ∨ {4} = {} ∨ {4}.

При смешивании операторов порядок операций от высшего к низшему - ×, +, ∨.

Осевые многогранники, содержащие вершины на параллельных смещенных гиперплоскостях, могут быть представлены символом || оператор. Однородная призма - это { n } || { n }, а антипризма { n } || г { п }.

Расширение символов Шлефли

Многоугольники и мозаики кругов

Усеченный правильный многоугольник удваивается по сторонам. Правильный многоугольник с четными сторонами можно разделить пополам. Измененный четный правильный 2n-угольник образует соединение в виде звездочки 2 {n}.

Форма	Символ Шлефли	Симметрия	Диаграмма Кокстера		Пример, {6}
Обычный	{п}	[п]				Шестиугольник
Усеченный	t {p} = {2p}	[[p]] = [2p]	знак равно			Усеченный шестиугольник (Додекагон)	знак равно
Переделано и Голоскуббед	а {2p} = β {p}	[2p]	знак равно			Измененный шестиугольник (гексаграмма)	знак равно
Половина и пренебрежительный	h {2p} = s {p} = {p}	[1 + , 2p] = [p]	знак равно знак равно			Половина шестиугольника (Треугольник)	знак равно знак равно

Многогранники и мозаики

Кокстер расширил использование символа Шлефли до квазирегулярных многогранников , добавив к символу вертикальное измерение. Это была отправная точка для построения более общей диаграммы Кокстера . Норман Джонсон упростил обозначение вертикальных символов с префиксом r . T-нотация является наиболее общей и напрямую соответствует кольцам диаграммы Кокстера. Символы имеют соответствующее чередование , замену колец с отверстиями в диаграмме Кокстера и х в префиксе стоящих за половину , строительство ограниченно требованием , что соседние ветви должны быть даже упорядоченные и порезы порядок симметрии пополам. Связанный оператор, a для измененного , показан с двумя вложенными отверстиями, представляет собой составные многогранники с обеими чередующимися половинами, сохраняющими исходную полную симметрию. Вздернутое это половина форма усечения и holosnub это обе половинки альтернированного усечения.

Форма	Символы Шлефли			Симметрия	Диаграмма Кокстера		Пример, {4,3}
Обычный	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	{p, q}	т 0 {p, q}	[p, q] или [(p, q, 2)]				Куб
Усеченный	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	т {р, д}	т 0,1 {p, q}					Усеченный куб
Bitruncation ( усеченный двойной)	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}$	2t {p, q}	т 1,2 {р, q}					Усеченный октаэдр
Выпрямленный ( квазирегулярные )	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	г {р, д}	t 1 {p, q}					Кубооктаэдр
Биректификация ( обычная двойная)	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}$	2r {p, q}	t 2 {p, q}					Октаэдр
Cantellated ( ректифицированный ректификованный )	${\ displaystyle r {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	rr {p, q}	т 0,2 {р, q}					Ромбокубооктаэдр
Cantitruncated ( Усеченное исправленное)	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	tr {p, q}	т 0,1,2 {p, q}					Усеченный кубооктаэдр

Чередования, четверти и пренебрежение

Чередования имеют половину симметрии групп Кокстера и представлены незаполненными кольцами. Возможны два варианта выбора половины вершин, но символ не указывает, какая именно. Формы четверти показаны здесь со знаком + внутри полого кольца, что означает, что они представляют собой два независимых чередования.

Чередования

Форма	Символы Шлефли			Симметрия	Диаграмма Кокстера		Пример, {4,3}
Чередующийся (половинный) обычный	${\ displaystyle h {\ begin {Bmatrix} 2p, q \ end {Bmatrix}}}$	h {2p, q}	ht 0 {2p, q}	[1 + , 2p, q]	знак равно			Демикуб ( Тетраэдр )
Курносый обычный	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p, 2q \ end {Bmatrix}}}$	s {p, 2q}	ht 0,1 {p, 2q}	[p + , 2q]
Курносый двойной обычный	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} q, 2p \ end {Bmatrix}}}$	s {q, 2p}	ht 1,2 {2p, q}	[2p, q + ]				Курносый октаэдр ( икосаэдр )
Попеременное выпрямление (p и q четные)	${\ displaystyle h {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	ч {р, д}	ht 1 {p, q}	[p, 1 + , q]
Переменный выпрямленный выпрямленный (p и q четные)	${\ displaystyle hr {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	hrr {p, q}	ht 0,2 {p, q}	[(p, q, 2 + )]
Четвертные (p и q четные)	${\ displaystyle q {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	д {р, д}	ht 0 ht 2 {p, q}	[1 + , p, q, 1 + ]
Snub выпрямленный Snub квазирегулярный	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	sr {p, q}	ht 0,1,2 {p, q}	[p, q] +				Курносый кубооктаэдр (Курносый куб)

Переделал и голозуб

Измененные и голонубчатые формы обладают полной симметрией группы Кокстера и представлены двойными незаполненными кольцами, но могут быть представлены как соединения.

Переделал и голозуб.

Форма	Символы Шлефли			Симметрия	Диаграмма Кокстера		Пример, {4,3}
Изменен обычный	${\ displaystyle a {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	а {р, д}	в 0 {p, q}	[p, q]	знак равно ∪			Звездчатый октаэдр
Голоснуб двойной обычный	ß { q , p }	ß {q, p}	при 0,1 {q, p}	[p, q]				Соединение двух икосаэдров

ß , похожая на греческую букву бета (β), является буквой немецкого алфавита eszett .

Полихора и соты

Линейные семейства

Форма	Символ Шлефли			Диаграмма Кокстера		Пример, {4,3,3}
Обычный	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	{p, q, r}	t 0 {p, q, r}				Тессеракт
Усеченный	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	т {р, д, г}	т 0,1 {p, q, r}				Усеченный тессеракт
Исправленный	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q, r \ end {array}} \ right \}}$	г {р, д, г}	t 1 {p, q, r}				Исправленный тессеракт	знак равно
Bitruncated		2t {p, q, r}	t 1,2 {p, q, r}				Обрезанный тессеракт
Birectified (выпрямленный двойной)	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} q, p \\ r \ end {array}} \ right \}}$	2r {p, q, r} = r {r, q, p}	t 2 {p, q, r}				Выпрямленный 16-элементный	знак равно
Tritruncated ( усеченное двойное)	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} r, q, p \ end {Bmatrix}}}$	3t {p, q, r} = t {r, q, p}	t 2,3 {p, q, r}				Обрезанный тессеракт
Триректифицированный (двойной)	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} r, q, p \ end {Bmatrix}}}$	3r {p, q, r} = {r, q, p}	t 3 {p, q, r} = {r, q, p}				16 ячеек
Собранный	${\ displaystyle r \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q, r \ end {array}} \ right \}}$	rr {p, q, r}	т 0,2 {p, q, r}				Кантеллированный тессеракт	знак равно
Усеченный	${\ displaystyle t \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q, r \ end {array}} \ right \}}$	tr {p, q, r}	т 0,1,2 {p, q, r}				Урезанный тессеракт	знак равно
Runcinated ( расширенный )	${\ displaystyle e_ {3} {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	е 3 {p, q, r}	t 0,3 {p, q, r}				Бегущий тессеракт
Runcitruncated			т 0,1,3 {p, q, r}				Выполнить усеченный тессеракт
Усеченный			т 0,1,2,3 {p, q, r}				Омниусеченный тессеракт

Чередования, четверти и пренебрежение

Чередования

Форма	Символ Шлефли			Диаграмма Кокстера		Пример, {4,3,3}
Чередования
Половина р даже	${\ displaystyle h {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	h {p, q, r}	ht 0 {p, q, r}				16 ячеек
Четверть p и r даже	${\ displaystyle q {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	д {р, д, г}	ht 0 ht 3 {p, q, r}
Курносый q даже	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	s {p, q, r}	ht 0,1 {p, q, r}				Курносый 24-элементный
Курносый выпрямленный р даже	${\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q, r \ end {array}} \ right \}}$	sr {p, q, r}	ht 0,1,2 {p, q, r}				Курносый 24-элементный	знак равно
Альтернативная дуопризма		с {п} с {q}	ht 0,1,2,3 {p, 2, q}				Большой дуоантипризм

Бифуркационные семьи

Бифуркационные семьи

Форма	Расширенный символ Шлефли			Диаграмма Кокстера		Примеры
Квазирегулярный	${\ Displaystyle \ влево \ {р, {д \ на вершине д} \ вправо \}}$	{p, q 1,1 }	t 0 {p, q 1,1 }				16 ячеек
Усеченный	${\ Displaystyle т \ влево \ {р, {д \ на вершине д} \ вправо \}}$	т {р, q 1,1 }	t 0,1 {p, q 1,1 }				Усеченная 16-ячеечная
Исправленный	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ q \ end {array}} \ right \}}$	г {р, q 1,1 }	t 1 {p, q 1,1 }				24-элементный
Собранный	${\ displaystyle r \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ q \ end {array}} \ right \}}$	rr {p, q 1,1 }	т 0,2,3 {р, q 1,1 }				Собранная 16-ячеечная
Усеченный	${\ displaystyle t \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ q \ end {array}} \ right \}}$	tr {p, q 1,1 }	t 0,1,2,3 {p, q 1,1 }				Cantitruncated 16-элементный
Курносый исправленный	${\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ q \ end {array}} \ right \}}$	sr {p, q 1,1 }	ht 0,1,2,3 {p, q 1,1 }				Курносый 24-элементный
Квазирегулярный	${\ Displaystyle \ влево \ {г, {п \ на вершине д} \ вправо \}}$	{г, / д \, р}	т 0 {г, / д \, р}
Усеченный	${\ Displaystyle т \ влево \ {г, {п \ на вершине д} \ вправо \}}$	т {г, / д \, р}	т 0,1 {г, / д \, р}
Исправленный	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} r \\ p \\ q \ end {array}} \ right \}}$	г {г, / д \, р}	т 1 {г, / д \, р}
Собранный	${\ displaystyle r \ left \ {{\ begin {array} {l} r \\ p \\ q \ end {array}} \ right \}}$	rr {r, / q \, p}	т 0,2,3 {г, / д \, р}
Усеченный	${\ displaystyle t \ left \ {{\ begin {array} {l} r \\ p \\ q \ end {array}} \ right \}}$	тр {г, / д \, р}	т 0,1,2,3 {г, / д \, р}
Курносый исправленный	${\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ r \ end {array}} \ right \}}$	sr {p, / q, \ r}	ht 0,1,2,3 {p, / q \, r}

Мозаики

Сферический

Обычный

Полурегулярный

Гиперболический

использованная литература

Источники

• Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Dover Publications. стр.  14 , 69, 149. ISBN 0-486-61480-8. OCLC  798003 . Правильные многогранники.
• Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони С .; Вайс, Азия Ивич, ред. (1995). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter . Вайли. ISBN 978-0-471-01003-6.
  • (Документ 22), стр. 251–278 Кокстер , HSM (1940). «Правильные и полурегулярные многогранники I». Математика. Zeit . 46 : 380–407. DOI : 10.1007 / BF01181449 . Zbl  0022.38305 . MR 2,10
  • (Документ 23), стр. 279–312 - (1985). «Правильные и полурегулярные многогранники II». Математика. Zeit . 188 (4): 559–591. DOI : 10.1007 / BF01161657 . Zbl  0547.52005 .
  • (Документ 24), стр. 313–358 - (1988). «Правильные и полурегулярные многогранники III». Математика. Zeit . 200 (1): 3–45. DOI : 10.1007 / BF01161745 . Zbl  0633.52006 .

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Символ Шлефли» . MathWorld . Проверено 28 декабря 2019 года .
• Старк, Морис (13 апреля 2012 г.). «Многогранные имена и обозначения» . Поездка по миру многогранников . Проверено 28 декабря 2019 года .