Кантеллированный тессеракт - Cantellated tesseract
тессеракт |
Кантеллированный тессеракт |
Собранный 16-элементный ( выпрямленный 24-элементный ) |
16 ячеек |
Усеченный тессеракт |
Cantitruncated 16 ячеек ( Усеченные 24 ячейки ) |
Ортогональные проекции на плоскость Кокстера A 4 |
---|
В четырехмерной геометрии , A cantellated тессеракт является выпуклым однородным 4-многогранник , будучи cantellation (2 - го порядка усечения) регулярного тессеракта .
Существует четыре степени наклонов тессеракта, в том числе с усечением перестановок. Два также происходят из 24-клеточного семейства.
Кантеллированный тессеракт
Кантеллированный тессеракт | ||
---|---|---|
Диаграмма Шлегеля с центром в октаэдрических ячейках ромбокубооктаэдра |
||
Тип | Равномерный 4-многогранник | |
Символ Шлефли | рр {4,3,3} |
|
Диаграмма Кокстера |
|
|
Клетки | 56 | 8 3.4.4.4 16 3.3.3.3 32 3.4.4 |
Лица | 248 | 128 {3} 120 {4} |
Края | 288 | |
Вершины | 96 | |
Фигура вершины |
Квадратный клин |
|
Группа симметрии | В 4 , [3,3,4], заказ 384 | |
Свойства | выпуклый | |
Единый индекс | 13 14 15 |
Cantellated тессеракт , bicantellated 16-клетки , или небольшие rhombated тессеракт является выпуклым однородным 4-многогранник или 4-мерный многогранник , ограниченный 56 клеток : 8 мал rhombicuboctahedra , 16 октаэдров , и 32 треугольных призм .
строительство
В процессе канелляции 2-грани многогранника эффективно сжимаются. Ромбокубооктаэдр можно назвать cantellated куб, поскольку , если его шесть граней были уменьшены в своих соответствующих плоскостях, каждая вершина будет разделить на три вершины треугольников в ромбокубооктаэдре, и каждое ребро будет разделить на два противоположных края rhombicuboctahedrons двенадцать , не -осевые квадраты.
Когда тот же процесс применяется к тессеракту, каждый из восьми кубов становится ромбокубооктаэдром описанным образом. Кроме того, однако, поскольку ребро каждого куба ранее было общим с двумя другими кубами, разделяющие ребра образуют три параллельных ребра треугольной призмы - 32 треугольных призмы, поскольку было 32 ребра. Кроме того, поскольку каждая вершина ранее использовалась совместно с тремя другими кубами, вершина будет разделена на 12, а не на три новые вершины. Однако, поскольку некоторые из усохших граней по-прежнему являются общими, определенные пары из этих 12 потенциальных вершин идентичны друг другу, и поэтому только 6 новых вершин создаются из каждой исходной вершины (следовательно, 96 вершин скошенного тессеракта по сравнению с 16 вершинами тессеракта. ). Эти шесть новых вершин образуют вершины октаэдра - 16 октаэдров, поскольку тессеракт имел 16 вершин.
Декартовы координаты
В декартовы координаты вершин в cantellated тессеракта с длиной ребра 2 задается всех перестановок:
Структура
8 маленьких ромбокубооктаэдрических ячеек соединены друг с другом их квадратными осевыми гранями. Их неосевые квадратные грани, соответствующие ребрам куба, соединены с треугольными призмами. Треугольные грани малых ромбокубооктаэдров и треугольных призм соединены с 16 октаэдрами.
Его структуру можно представить с помощью самого тессеракта: ромбокубооктаэдры аналогичны ячейкам тессеракта, треугольные призмы аналогичны ребрам тессеракта, а октаэдры аналогичны вершинам тессеракта.
Изображений
Самолет Кокстера | В 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
---|---|---|---|
График | |||
Двугранная симметрия | [8] | [6] | [4] |
Самолет Кокстера | П 4 | А 3 | |
График | |||
Двугранная симметрия | [12/3] | [4] |
Каркас |
Показано 16 октаэдров . |
Показаны 32 треугольные призмы . |
Прогнозы
Ниже показано расположение ячеек кантеллированного тессеракта в параллельной проекции в трехмерное пространство, сначала маленький ромбокубооктаэдр:
- Огибающая проекции представляет собой усеченный куб .
- Ближайшие и самые дальние маленькие ромбокубооктаэдрические клетки с точки зрения 4D проектируются в объем такой же формы, вписанный в конверт проекции.
- Осевые квадраты этого центрального маленького ромбокубооктаэдра касаются центров шести восьмиугольников оболочки. Восьмиугольники - это изображение остальных 6 маленьких ромбокубооктаэдрических ячеек.
- 12 клиновидных объемов, соединяющих неосевые квадратные грани центрального малого ромбокубооктаэдра с соседними восьмиугольниками, являются изображениями 24 треугольных призм.
- Остальные 8 треугольных призм выступают на треугольные грани конверта.
- Между треугольными гранями оболочки и треугольными гранями центрального малого ромбокубооктаэдра расположены 8 октаэдрических объемов, которые являются изображениями 16 октаэдрических ячеек.
Такое расположение ячеек в проекции аналогично расположению граней в проекции усеченного куба в 2 измерения. Следовательно, косоугольный тессеракт можно рассматривать как аналог усеченного куба в четырех измерениях. (Это не единственный возможный аналог; еще один близкий кандидат - усеченный тессеракт .)
Еще один однородный 4-многогранник с аналогичным расположением ячеек - это усеченный бегунок с 16 ячейками .
Усеченный тессеракт
Усеченный тессеракт | ||
Диаграмма Шлегеля с центром на усеченной ячейке кубооктаэдра со скрытыми восьмиугольными гранями. |
||
Тип | Равномерный 4-многогранник | |
Символ Шлефли | tr {4,3,3} |
|
Диаграммы Кокстера |
|
|
Клетки | 56 | 8 4.6.8 16 3.6.6 32 3.4.4 |
Лица | 248 | 64 {3} 96 {4} 64 {6} 24 {8} |
Края | 384 | |
Вершины | 192 | |
Фигура вершины |
Клиновидная |
|
Группа симметрии | В 4 , [3,3,4], заказ 384 | |
Свойства | выпуклый | |
Единый индекс | 17 18 19 |
В геометрии , то cantitruncated тессеракт или большим rhombated тессеракт является равномерным 4-многогранник (или равномерной 4-мерный многогранник ) , который ограничен 56 клеток : 8 усечен cuboctahedra , 16 усечены тетраэдров , и 32 треугольных призм .
строительство
Усеченный тессеракт создается путем усечения тессеракта . Cantitruncation часто рассматривается как исправление с последующим усечением. Однако результатом этой конструкции был бы многогранник, который, хотя его структура была бы очень похожа на структуру, заданную с помощью усечения, не все его грани были бы однородными.
В качестве альтернативы, однородный усеченный тессеракт может быть построен путем размещения 8 однородных усеченных кубооктаэдров в гиперплоскостях ячеек тессеракта, смещенных вдоль осей координат так, чтобы их восьмиугольные грани совпадали. Для длины ребра 2 эта конструкция дает декартовы координаты его вершин как все перестановки:
Структура
8 усеченных кубооктаэдров соединены друг с другом своими восьмиугольными гранями в порядке, соответствующем 8 кубическим ячейкам тессеракта. Они соединены с 16 усеченными тетраэдрами своими шестиугольными гранями, а их квадратные грани присоединены к квадратным граням 32 треугольных призм. Треугольные грани треугольных призм соединены с усеченными тетраэдрами.
Усеченные тетраэдры соответствуют вершинам тессеракта, а треугольные призмы соответствуют ребрам тессеракта.
Изображений
Самолет Кокстера | В 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
---|---|---|---|
График | |||
Двугранная симметрия | [8] | [6] | [4] |
Самолет Кокстера | П 4 | А 3 | |
График | |||
Двугранная симметрия | [12/3] | [4] |
Стереографическая проекция из cantitruncated тессеракта, как черепица на 3-сфере , с его 64 синими треугольниками, квадратами 96 зеленых и 64 красных шестиугольными гранями (восьмиугольные грани не обращается). |
Прогнозы
В первой параллельной проекции усеченного кубооктаэдра в 3 измерения ячейки наклонно-усеченного тессеракта располагаются следующим образом:
- Огибающая проекции представляет собой усеченный неоднородный куб с более длинными гранями между восьмиугольниками и более короткими гранями в 8 треугольниках.
- Неправильные восьмиугольные грани оболочки соответствуют изображениям 6 из 8 усеченных кубооктаэдрических ячеек.
- Две другие усеченные кубооктаэдрические ячейки выступают в усеченный кубооктаэдр, вписанный в конверт проекции. Восьмиугольные грани касаются неправильных восьмиугольников конверта.
- В пространствах, соответствующих граням куба, лежат 12 объемов в форме неправильных треугольных призм. Это изображения, по одному на пару, 24 ячеек треугольной призмы.
- Остальные 8 треугольных призм выступают на треугольные грани проекционной оболочки.
- Остальные 8 пространств, соответствующих углам куба, представляют собой образы 16 усеченных тетраэдров, по паре на каждое пространство.
Это расположение ячеек в проекции похоже на расположение наклонного тессеракта.
Альтернативные названия
- Урезанный тессеракт ( Норман В. Джонсон )
- Cantitruncated 4-куб
- Усеченный 8-элементный
- Гантусеченный октахорон
- Большой призматотессерактигексадекахорон (Георгий Ольшевский)
- Грит (Джонатан Бауэрс: для большого ромбовидного тессеракта)
- 012-амвонский тессеракт ( Джон Конвей )
Связанные однородные многогранники
Многогранники симметрии B4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
название | тессеракт |
исправленный тессеракт |
усеченный тессеракт |
скошенный тессеракт |
беглый тессеракт |
усеченный битовый тессеракт |
усеченный тессеракт |
runcitурезанный тессеракт |
усеченный тессеракт |
||
Диаграмма Кокстера |
знак равно |
знак равно |
|||||||||
Символ Шлефли |
{4,3,3} | т 1 {4,3,3} r {4,3,3} |
т 0,1 {4,3,3} т {4,3,3} |
т 0,2 {4,3,3} рр {4,3,3} |
т 0,3 {4,3,3} | т 1,2 {4,3,3} 2 т {4,3,3} |
t 0,1,2 {4,3,3} tr {4,3,3} |
т 0,1,3 { 4,3,3 } | т 0,1,2,3 { 4,3,3 } | ||
Диаграмма Шлегеля |
|||||||||||
В 4 | |||||||||||
название | 16 ячеек |
выпрямленный 16-элементный |
усеченный 16-элементный |
скошенный 16-элементный |
беглый 16-клеточный |
усеченный битами 16 ячеек |
усеченный 16-элементный |
усеченный 16-элементный |
усеченная 16-ячеечная |
||
Диаграмма Кокстера |
знак равно |
знак равно |
знак равно |
знак равно |
знак равно |
знак равно |
|||||
Символ Шлефли |
{3,3,4} | т 1 {3,3,4} r {3,3,4} |
т 0,1 {3,3,4} т {3,3,4} |
т 0,2 {3,3,4} рр {3,3,4} |
т 0,3 {3,3,4} | т 1,2 {3,3,4} 2 т {3,3,4} |
t 0,1,2 {3,3,4} tr {3,3,4} |
т 0,1,3 {3,3,4} | т 0,1,2,3 {3,3,4} | ||
Диаграмма Шлегеля |
|||||||||||
В 4 |
Это второй в серии усеченных усеченных гиперкубов:
Усеченный кубооктаэдр | Усеченный тессеракт | Усеченный 5-куб | Усеченный 6-куб | Cantitruncated 7-куб | Усеченный 8-куб |
Ссылки
- Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
-
HSM Coxeter :
- Coxeter, Regular Polytopes , (3-е издание, 1973 г.), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 , p. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973, p. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
-
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995,
ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Hemicubes: 1 n1 )
-
Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
- 2. Выпуклая однородная полихора на основе тессеракта (8-элементный) и гексадекахорон (16-элементный) - Модель 14, 18 , Георгий Ольшевский.
- Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники (полихоры)» . o3x3o4x - зернистость, o3x3x4x - зернистость
- Бумажная модель усеченного тессеракта, созданная с помощью сетей, созданных программой Stella4D