1 ₂₂ многогранник -1₂₂ polytope

ортогональные проекции в плоскости Кокстера E ₆
1 ₂₂	Ректифицированный 1 ₂₂	Двунаправленный 1 ₂₂
2 ₂₁	Ректифицированный 2 ₂₁	Двунаправленный 1 ₂₂

В 6-мерной геометрии , то - ₂₂ многогранник является однородным многогранник , построенное из Й ₆ группы. Впервые он был опубликован в списке полуправильных многогранников EL Elte за 1912 год, названном V ₇₂ (из-за 72 вершин).

Его символ Кокстера - 1 ₂₂ , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательности с 1 узлом. Есть два исправления 1 ₂₂ , построенные путем позиционирования точек на элементах 1 ₂₂ . Выпрямляются 1 ₂₂ построены по точкам в середине краях - ₂₂ . Birectified 1 ₂₂ строится по точкам на треугольник лицевых центров 1 ₂₂ .

Эти многогранники принадлежат семейству из 39 выпуклых однородных многогранников в шести измерениях , состоящих из граней однородных многогранников и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.

1_22 многогранник

1 ₂₂ многогранник
Тип	Равномерный 6-многогранник
Семья	1 многогранник _k2
Символ Шлефли	{3,3 ^2,2 }
Символ Кокстера	1 ₂₂
Диаграмма Кокстера-Дынкина	или
5 лиц	54: 27 1 ₂₁ 27 1 ₂₁
4-гранный	702: 270 1 ₁₁ 432 1 ₂₀
Клетки	2160: 1080 1 ₁₀ 1080 {3,3}
Лица	2160 {3}
Края	720
Вершины	72
Фигура вершины	Биректифицированный 5-симплекс : 0 ₂₂
Многоугольник Петри	Додекагон
Группа Кокстера	E ₆ , [[3,3 ^2,2 ]], заказ 103680
Характеристики	выпуклый , изотопный

Многогранник 1_22 содержит 72 вершины и 54 5-полукубических грани. Он имеет двунаправленную 5-симплексную вершинную фигуру . Его 72 вершины представляют собой корневые векторы простой группы Ли E ₆ .

Альтернативные имена

Пентаконтатетра-петон (Акроним Мо) - полипетон с 54 гранями (Джонатан Бауэрс).

Картинки

Ортографические проекции плоскости Кокстера
E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]
(1,2)	(1,3)	(1,9,12)
B6 [12/2]	A5 [6]	A4 [[5]] = [10]	A3 / D3 [4]
(1,2)	(2,3,6)	(1,2)	(1,6,8,12)

Строительство

Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 6 гиперплоскостных зеркал в 6-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.

Удаление узла на любой из двух ветвей длины оставляет 5-полукуб , 1 ₃₁ ,.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает двунаправленный 5-симплекс , 0 ₂₂ ,.

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера .

E ₆	к-лицо	f _k	f ₀	f ₁	ж ₂	ж ₃		ж ₄			ж ₅		k -фигура	Примечания
А ₅	()	f ₀	72	20	90	60	60	15	15	30	6	6	г {3,3,3}	E ₆ / A ₅ = 72 * 6! / 6! = 72
А ₂ А ₂ А ₁	{}	f ₁	2	720	9	9	9	3	3	9	3	3	{3} × {3}	E ₆ / A ₂ A ₂ A ₁ = 72 * 6! / 3! / 3! / 2 = 720
А ₂ А ₁ А ₁	{3}	ж ₂	3	3	2160	2	2	1	1	4	2	2	с {2,4}	E ₆ / A ₂ A ₁ A ₁ = 72 * 6! / 3! / 2/2 = 2160
А ₃ А ₁	{3,3}	ж ₃	4	6	4	1080	*	1	0	2	2	1	{} ∨ ()	E ₆ / A ₃ A ₁ = 72 * 6! / 4! / 2 = 1080
А ₃ А ₁	{3,3}	ж ₃	4	6	4	*	1080	0	1	2	1	2	{} ∨ ()	E ₆ / A ₃ A ₁ = 72 * 6! / 4! / 2 = 1080
А ₄ А ₁	{3,3,3}	ж ₄	5	10	10	5	0	216	*	*	2	0	{}	E ₆ / A ₄ A ₁ = 72 * 6! / 5! / 2 = 216
А ₄ А ₁	{3,3,3}		5	10	10	0	5	*	216	*	0	2		E ₆ / A ₄ A ₁ = 72 * 6! / 5! / 2 = 216
D ₄	ч {4,3,3}		8	24	32	8	8	*	*	270	1	1		E ₆ / D ₄ = 72 * 6! / 8/4! = 270
D ₅	ч {4,3,3,3}	ж ₅	16	80	160	80	40	16	0	10	27	*	()	E ₆ / D ₅ = 72 * 6! / 16/5! = 27
D ₅	ч {4,3,3,3}	ж ₅	16	80	160	40	80	0	16	10	*	27	()	E ₆ / D ₅ = 72 * 6! / 16/5! = 27

Связанный сложный многогранник

Ортографическая проекция на плоскость Кокстера Aut (E6) с 18-угольной симметрией для сложного многогранника, ₃ {3} ₃ {4} ₂ . У него 72 вершины, 216 3-ребер и 54 3 {3} 3 грани.

Регулярный комплекс многогранник ₃ {3} ₃ {4} ₂ ,, in имеет вещественное представление как многогранник 1 ₂₂ в 4-мерном пространстве. Он имеет 72 вершины, 216 3-ребер и 54 3 {3} 3 грани. Его комплексная группа отражений является ₃ [3] ₃ [4] ₂ , заказ 1296. Он имеет половину симметрии квазирегулярное конструкцию , как ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ , Как ректификации из гессенского многогранника ,.

Связанные многогранники и соты

Наряду с полуправильным многогранником 2 ₂₁ он также является одним из семейства из 39 выпуклых однородных многогранников в 6-мерном пространстве, состоящих из граней однородного многогранника и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.

1 _k2 фигур в размерах n
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
п	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	Е ₃ = А ₂ А ₁	E ₄ = A ₄	E ₅ = D ₅	E ₆	E ₇	E ₈	E ₉ = = E ₈⁺ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E ₁₀ = = E ₈⁺⁺ ${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$
Диаграмма Кокстера
Симметрия (порядок)	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[3 ^1,2,1 ]	[[3 ^2,2,1 ]]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
Заказ	12	120	1,920	103 680	2 903 040	696 729 600	∞
График							-	-
Имя	1 _−1,2	1 ₀₂	1 ₁₂	1 ₂₂	1 ₃₂	1 ₄₂	1 ₅₂	1 ₆₂

Геометрическое складывание

1 ₂₂ связана с 24-клетки с помощью геометрической складывания Е6 → F4 из диаграмм Кокстера-Дынкина , E6 , соответствующей 1 ₂₂ в 6 размеров, F4 на 24-ячейки в 4 -х измерениях. Это видно в проекциях на плоскость Кокстера . 24 вершины 24-ячейки проецируются в те же два кольца, что и на рисунке 1 ₂₂ .

Самолеты Кокстера E6 / F4
1 ₂₂	24-элементный
Самолеты Кокстера D4 / B4
1 ₂₂	24-элементный

Мозаики

Этот многогранник является фигурой вершины для однородной мозаики 6-мерного пространства, 2 ₂₂ ,.

Выпрямленный многогранник 1_22

Ректифицированный 1 ₂₂
Тип	Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли	2r {3,3,3 ^2,1 } r {3,3 ^2,2 }
Символ Кокстера	0 ₂₂₁
Диаграмма Кокстера-Дынкина	или
5 лиц	126
4-гранный	1566
Клетки	6480
Лица	6480
Края	6480
Вершины	720
Фигура вершины	3-3 дуопризменная призма
Многоугольник Петри	Додекагон
Группа Кокстера	E ₆ , [[3,3 ^2,2 ]], заказ 103680
Характеристики	выпуклый

Выпрямляется 1 ₂₂ многогранник (также называемый 0 ₂₂₁ ) может Tessellate 6-мерное пространство в качестве ячейки Вороного в E6 * сотовой решетки (двойной Е6 решетки).