Элемент Кокстера - Coxeter element

В математике , то число Кокстер ч является порядком из элемента Кокстера неприводимой группы Кокстера . Он назван в честь HSM Coxeter .

Определения

Обратите внимание, что в этой статье предполагается конечная группа Кокстера. Для бесконечных групп Кокстера существует несколько классов сопряженных элементов Кокстера, и они имеют бесконечный порядок.

Есть много разных способов определить число Кокстера h неприводимой корневой системы.

Косетер элемент представляет собой произведение всех простых отражений. Продукт зависит от порядка, в котором они взяты, но разные порядки дают сопряженные элементы, которые имеют одинаковый порядок .

  • Число Кокстера - это порядок любого элемента Кокстера; .
  • Число Кокстера равно 2 m / n , где n - ранг, а m - количество отражений. В кристаллографическом случае m - половина числа корней ; и 2m + п есть размерность соответствующей полупростой алгебры Ли .
  • Если наивысший корень равен Σ m i α i для простых корней α i , то число Кокстера равно 1 + Σ m i .
  • Число Кокстера - это высшая степень фундаментального инварианта группы Кокстера, действующего на многочлены.

Число Кокстера для каждого типа Дынкина приведено в следующей таблице:

Группа Кокстера
Диаграмма Кокстера
Дынкин
диаграмма
Отражения
m = nh / 2
Число Кокстера
h
Двойное число Кокстера Степени фундаментальных инвариантов
А п [3,3 ..., 3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Dyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png п ( п +1) / 2 п + 1 п + 1 2, 3, 4, ..., п + 1
B n [4,3 ..., 3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Dyn-node.pngDyn-4a.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png п 2 2 п 2 п - 1 2, 4, 6, ..., 2 п
C n Dyn-node.pngDyn-4b.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png п + 1
D n [3,3, .. 3 1,1 ] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Dyn-branch1.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png п ( п -1) 2 п - 2 2 п - 2 n ; 2, 4, 6, ..., 2 п - 2
E 6 [3 2,2,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png Dyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-branch.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png 36 12 12 2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7 [3 3,2,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png Dyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-branch.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png 63 18 18 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E 8 [3 4,2,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png Dyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-branch.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png 120 30 30 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
П 4 [3,4,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Dyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-4a.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png
Dyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-4b.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png
24 12 9 2, 6, 8, 12
G 2 [6] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png Dyn-node.pngDyn-6a.pngDyn-node.png
Dyn-node.pngDyn-6b.pngDyn-node.png
6 6 4 2, 6
H 3 [5,3] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png - 15 10 2, 6, 10
H 4 [5,3,3] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png - 60 30 2, 12, 20, 30
I 2 ( p ) [п] CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png - п п 2, стр

Инварианты группы Кокстера, действующие на многочлены, образуют алгебру многочленов, образующие которой являются фундаментальными инвариантами; их степени приведены в таблице выше. Обратите внимание, что если m - степень фундаментального инварианта, то h  + 2 -  m тоже .

Собственные значения элемента Кокстера - это числа e i ( m  - 1) / h, поскольку m пробегает степени фундаментальных инвариантов. Поскольку это начинается с m  = 2, они включают примитивный корень h- й степени из единицы , ζ h  =  e i / h , который важен для плоскости Кокстера, описанной ниже.

Групповой заказ

Между порядком g группы Кокстера и числом Кокстера h существует связь :

  • [p]: 2h / g p = 1
  • [p, q]: 8 / g p, q = 2 / p + 2 / q -1
  • [p, q, r]: 64h / g p, q, r = 12 - p - 2q - r + 4 / p + 4 / r
  • [p, q, r, s]: 16 / g p, q, r, s = 8 / g p, q, r + 8 / g q, r, s + 2 / (ps) - 1 / p - 1 / q - 1 / r - 1 / с +1
  • ...

Например, [3,3,5] имеет h = 30, поэтому 64 * 30 / g = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, поэтому g = 1920 * 15/2. = 960 * 15 = 14400.

Элементы Кокстера

Отчетливые элементы Кокстера соответствуют ориентациям диаграммы Кокстера (то есть колчанам Дынкина ): простые отражения, соответствующие исходным вершинам, записываются первыми, нижние вершины - позже, а опускаются последними. (Выбор порядка среди несмежных вершин не имеет значения, поскольку они соответствуют коммутирующим отражениям.) Особым выбором является чередующаяся ориентация, при которой простые отражения разбиваются на два набора несмежных вершин, а все ребра ориентированы. от первого до второго набора. Альтернативная ориентация дает специальный элемент Кокстера w, удовлетворяющий , где w 0 - самый длинный элемент , при условии, что число Кокстера h четное.

Для получения , в симметричных группы на п элементы, Кокстеровские элементы являются определенными п -циклы: произведение простых отражений является элементом Кокстера . Для четного n элемент Кокстера с переменной ориентацией:

Среди n -циклов есть различные элементы Кокстера.

Группа диэдр DIH р порождается два отражениями , которые образуют угол , и , таким образом эти два элемента являются Кокстеровскими их произведением в любом порядке, который представляет собой поворот на .

Самолет Кокстера

Проекция корневой системы E 8 на плоскость Кокстера с 30-кратной симметрией.

Для данного элемента Кокстера w существует единственная плоскость P, на которой w действует поворотом на 2π / h. Это называется плоскостью Кокстера и представляет собой плоскость, на которой P имеет собственные значения e i / h и e − i / h  =  e i ( h −1) / h . Эта плоскость была впервые систематически изучена в ( Coxeter, 1948 ), а затем использована в ( Steinberg, 1959 ) для обеспечения единообразных доказательств свойств элементов Кокстера.

Плоскость Кокстера часто используется для рисования диаграмм многомерных многогранников и корневых систем - вершины и ребра многогранника или корни (и некоторые ребра, соединяющие их) ортогонально проецируются на плоскость Кокстера, давая многоугольник Петри с h - складка вращательной симметрии. Для корневых систем ни один корень не отображается в ноль, соответствующий элементу Кокстера, не фиксирующему какой-либо корень или, скорее, ось (не имеющую собственного значения 1 или -1), поэтому проекции орбит под w образуют h- кратные круговые конфигурации, и существует пустая в центре, как на диаграмме E 8 справа вверху. Для многогранников вершина может отображаться в ноль, как показано ниже. Проекции на плоскость Кокстера показаны ниже для Платоновых тел .

В трех измерениях симметрия правильного многогранника {p, q} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри, определенным как композиция из трех отражений, имеет симметрию вращения S h , [2 + , h + ], порядка h . Добавив зеркало, симметрия может быть увеличена вдвое до антипризматической симметрии, D hd , [2 + , h], порядка 2 h . В ортогональной 2D проекции это становится двугранной симметрией , Dih h , [h], порядка 2 h .

Группа Кокстера А 3
Т Д
B 3
O h
H 3
I h
Правильный
многогранник
3-симплексный t0.svg
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3-кубик t0.svg
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3-кубик t2.svg
{3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Додекаэдр H3 projection.svg
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Икосаэдр H3 projection.svg
{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Симметрия S 4 , [2 + , 4 + ], (2 ×)
D 2d , [2 + , 4], (2 * 2)
S 6 , [2 + , 6 + ], (3 ×)
D 3d , [2 + , 6], (2 * 3)
S 10 , [2 + , 10 + ], (5 ×)
D 5d , [2 + , 10], (2 * 5)

Симметрия плоскости Кокстера
Dih 4 , [4], (* 4 •) Dih 6 , [6], (* 6 •) Dih 10 , [10], (* 10 •)
Многоугольники Петри Платоновых тел, демонстрирующие 4-кратную, 6-кратную и 10-кратную симметрию.

В четырех измерениях симметрия правильного полихорона {p, q, r} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри представляет собой двойное вращение , определенное как составное из 4 отражений с симметрией + 1 / h [C h × C h ] ( Джон Х. Конвей ), (C 2h / C 1 ; C 2h / C 1 ) (# 1 ', Патрик дю Валь (1964)), заказ h .

Группа Кокстера А 4 В 4 П 4 H 4
Регулярный
полихорон
4-симплексный t0.svg
{3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4-orthoplex.svg
{3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4-кубический файл graph.svg
{4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
24-элементный t0 F4.svg
{3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
120-ячеечный граф H4.svg
{5,3,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Граф на 600 ячеек H4.svg
{3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Симметрия + 1 / 55 × С 5 ] + 1 / 88 × С 8 ] + 1 / 1212 × С 12 ] + 1 / 3030 × С 30 ]

Симметрия плоскости Кокстера
Dih 5 , [5], (* 5 •) Dih 8 , [8], (* 8 •) Dih 12 , [12], (* 12 •) Дих 30 , [30], (* 30 •)
Многоугольники Петри правильных четырехмерных тел с 5-кратной, 8-кратной, 12-кратной и 30-кратной симметрией.

В пяти измерениях симметрия правильного 5-многогранника {p, q, r, s} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри представлена ​​смесью 5 отражений.

Группа Кокстера А 5 В 5 D 5
Регулярный
политерон
5-симплексный t0.svg
{3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-orthoplex.svg
{3,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5-куб graph.svg
{4,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-demicube t0 D5.svg
ч {4,3,3,3}
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Симметрия плоскости Кокстера
Dih 6 , [6], (* 6 •) Dih 10 , [10], (* 10 •) Dih 8 , [8], (* 8 •)

В измерениях с 6 по 8 есть 3 исключительные группы Кокстера; один равномерный многогранник из каждого измерения представляет корни исключительных групп Ли E n . Элементы Кокстера - 12, 18 и 30 соответственно.

Е п групп
Группа Кокстера E6 E7 E8
График Вверх 1 22 t0 E6.svg
1 22
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Gosset 2 31 polytope.svg
2 31
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
E8Petrie.svg
4 21
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

Симметрия плоскости Кокстера
Dih 12 , [12], (* 12 •) Dih 18 , [18], (* 18 •) Дих 30 , [30], (* 30 •)

Смотрите также

Примечания

использованная литература