Элемент Кокстера - Coxeter element
В математике , то число Кокстер ч является порядком из элемента Кокстера неприводимой группы Кокстера . Он назван в честь HSM Coxeter .
Определения
Обратите внимание, что в этой статье предполагается конечная группа Кокстера. Для бесконечных групп Кокстера существует несколько классов сопряженных элементов Кокстера, и они имеют бесконечный порядок.
Есть много разных способов определить число Кокстера h неприводимой корневой системы.
Косетер элемент представляет собой произведение всех простых отражений. Продукт зависит от порядка, в котором они взяты, но разные порядки дают сопряженные элементы, которые имеют одинаковый порядок .
- Число Кокстера - это порядок любого элемента Кокстера; .
- Число Кокстера равно 2 m / n , где n - ранг, а m - количество отражений. В кристаллографическом случае m - половина числа корней ; и 2m + п есть размерность соответствующей полупростой алгебры Ли .
- Если наивысший корень равен Σ m i α i для простых корней α i , то число Кокстера равно 1 + Σ m i .
- Число Кокстера - это высшая степень фундаментального инварианта группы Кокстера, действующего на многочлены.
Число Кокстера для каждого типа Дынкина приведено в следующей таблице:
Группа Кокстера |
Диаграмма Кокстера |
Дынкин диаграмма |
Отражения m = nh / 2 |
Число Кокстера h |
Двойное число Кокстера | Степени фундаментальных инвариантов | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
А п | [3,3 ..., 3] | ... | ... | п ( п +1) / 2 | п + 1 | п + 1 | 2, 3, 4, ..., п + 1 |
B n | [4,3 ..., 3] | ... | ... | п 2 | 2 п | 2 п - 1 | 2, 4, 6, ..., 2 п |
C n | ... | п + 1 | |||||
D n | [3,3, .. 3 1,1 ] | ... | ... | п ( п -1) | 2 п - 2 | 2 п - 2 | n ; 2, 4, 6, ..., 2 п - 2 |
E 6 | [3 2,2,1 ] | 36 | 12 | 12 | 2, 5, 6, 8, 9, 12 | ||
E 7 | [3 3,2,1 ] | 63 | 18 | 18 | 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 | ||
E 8 | [3 4,2,1 ] | 120 | 30 | 30 | 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 | ||
П 4 | [3,4,3] |
|
24 | 12 | 9 | 2, 6, 8, 12 | |
G 2 | [6] |
|
6 | 6 | 4 | 2, 6 | |
H 3 | [5,3] | - | 15 | 10 | 2, 6, 10 | ||
H 4 | [5,3,3] | - | 60 | 30 | 2, 12, 20, 30 | ||
I 2 ( p ) | [п] | - | п | п | 2, стр |
Инварианты группы Кокстера, действующие на многочлены, образуют алгебру многочленов, образующие которой являются фундаментальными инвариантами; их степени приведены в таблице выше. Обратите внимание, что если m - степень фундаментального инварианта, то h + 2 - m тоже .
Собственные значения элемента Кокстера - это числа e 2π i ( m - 1) / h, поскольку m пробегает степени фундаментальных инвариантов. Поскольку это начинается с m = 2, они включают примитивный корень h- й степени из единицы , ζ h = e 2π i / h , который важен для плоскости Кокстера, описанной ниже.
Групповой заказ
Между порядком g группы Кокстера и числом Кокстера h существует связь :
- [p]: 2h / g p = 1
- [p, q]: 8 / g p, q = 2 / p + 2 / q -1
- [p, q, r]: 64h / g p, q, r = 12 - p - 2q - r + 4 / p + 4 / r
- [p, q, r, s]: 16 / g p, q, r, s = 8 / g p, q, r + 8 / g q, r, s + 2 / (ps) - 1 / p - 1 / q - 1 / r - 1 / с +1
- ...
Например, [3,3,5] имеет h = 30, поэтому 64 * 30 / g = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, поэтому g = 1920 * 15/2. = 960 * 15 = 14400.
Элементы Кокстера
Отчетливые элементы Кокстера соответствуют ориентациям диаграммы Кокстера (то есть колчанам Дынкина ): простые отражения, соответствующие исходным вершинам, записываются первыми, нижние вершины - позже, а опускаются последними. (Выбор порядка среди несмежных вершин не имеет значения, поскольку они соответствуют коммутирующим отражениям.) Особым выбором является чередующаяся ориентация, при которой простые отражения разбиваются на два набора несмежных вершин, а все ребра ориентированы. от первого до второго набора. Альтернативная ориентация дает специальный элемент Кокстера w, удовлетворяющий , где w 0 - самый длинный элемент , при условии, что число Кокстера h четное.
Для получения , в симметричных группы на п элементы, Кокстеровские элементы являются определенными п -циклы: произведение простых отражений является элементом Кокстера . Для четного n элемент Кокстера с переменной ориентацией:
Среди n -циклов есть различные элементы Кокстера.
Группа диэдр DIH р порождается два отражениями , которые образуют угол , и , таким образом эти два элемента являются Кокстеровскими их произведением в любом порядке, который представляет собой поворот на .
Самолет Кокстера
Для данного элемента Кокстера w существует единственная плоскость P, на которой w действует поворотом на 2π / h. Это называется плоскостью Кокстера и представляет собой плоскость, на которой P имеет собственные значения e 2π i / h и e − 2π i / h = e 2π i ( h −1) / h . Эта плоскость была впервые систематически изучена в ( Coxeter, 1948 ), а затем использована в ( Steinberg, 1959 ) для обеспечения единообразных доказательств свойств элементов Кокстера.
Плоскость Кокстера часто используется для рисования диаграмм многомерных многогранников и корневых систем - вершины и ребра многогранника или корни (и некоторые ребра, соединяющие их) ортогонально проецируются на плоскость Кокстера, давая многоугольник Петри с h - складка вращательной симметрии. Для корневых систем ни один корень не отображается в ноль, соответствующий элементу Кокстера, не фиксирующему какой-либо корень или, скорее, ось (не имеющую собственного значения 1 или -1), поэтому проекции орбит под w образуют h- кратные круговые конфигурации, и существует пустая в центре, как на диаграмме E 8 справа вверху. Для многогранников вершина может отображаться в ноль, как показано ниже. Проекции на плоскость Кокстера показаны ниже для Платоновых тел .
В трех измерениях симметрия правильного многогранника {p, q} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри, определенным как композиция из трех отражений, имеет симметрию вращения S h , [2 + , h + ], порядка h . Добавив зеркало, симметрия может быть увеличена вдвое до антипризматической симметрии, D hd , [2 + , h], порядка 2 h . В ортогональной 2D проекции это становится двугранной симметрией , Dih h , [h], порядка 2 h .
Группа Кокстера | А 3 Т Д |
B 3 O h |
H 3 I h |
||
---|---|---|---|---|---|
Правильный многогранник |
{3,3} |
{4,3} |
{3,4} |
{5,3} |
{3,5} |
Симметрия | S 4 , [2 + , 4 + ], (2 ×) D 2d , [2 + , 4], (2 * 2) |
S 6 , [2 + , 6 + ], (3 ×) D 3d , [2 + , 6], (2 * 3) |
S 10 , [2 + , 10 + ], (5 ×) D 5d , [2 + , 10], (2 * 5) |
||
Симметрия плоскости Кокстера |
Dih 4 , [4], (* 4 •) | Dih 6 , [6], (* 6 •) | Dih 10 , [10], (* 10 •) | ||
Многоугольники Петри Платоновых тел, демонстрирующие 4-кратную, 6-кратную и 10-кратную симметрию. |
В четырех измерениях симметрия правильного полихорона {p, q, r} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри представляет собой двойное вращение , определенное как составное из 4 отражений с симметрией + 1 / h [C h × C h ] ( Джон Х. Конвей ), (C 2h / C 1 ; C 2h / C 1 ) (# 1 ', Патрик дю Валь (1964)), заказ h .
Группа Кокстера | А 4 | В 4 | П 4 | H 4 | ||
---|---|---|---|---|---|---|
Регулярный полихорон |
{3,3,3} |
{3,3,4} |
{4,3,3} |
{3,4,3} |
{5,3,3} |
{3,3,5} |
Симметрия | + 1 / 5 [С 5 × С 5 ] | + 1 / 8 [С 8 × С 8 ] | + 1 / 12 [С 12 × С 12 ] | + 1 / 30 [С 30 × С 30 ] | ||
Симметрия плоскости Кокстера |
Dih 5 , [5], (* 5 •) | Dih 8 , [8], (* 8 •) | Dih 12 , [12], (* 12 •) | Дих 30 , [30], (* 30 •) | ||
Многоугольники Петри правильных четырехмерных тел с 5-кратной, 8-кратной, 12-кратной и 30-кратной симметрией. |
В пяти измерениях симметрия правильного 5-многогранника {p, q, r, s} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри представлена смесью 5 отражений.
Группа Кокстера | А 5 | В 5 | D 5 | |
---|---|---|---|---|
Регулярный политерон |
{3,3,3,3} |
{3,3,3,4} |
{4,3,3,3} |
ч {4,3,3,3} |
Симметрия плоскости Кокстера |
Dih 6 , [6], (* 6 •) | Dih 10 , [10], (* 10 •) | Dih 8 , [8], (* 8 •) |
В измерениях с 6 по 8 есть 3 исключительные группы Кокстера; один равномерный многогранник из каждого измерения представляет корни исключительных групп Ли E n . Элементы Кокстера - 12, 18 и 30 соответственно.
Группа Кокстера | E6 | E7 | E8 |
---|---|---|---|
График |
1 22 |
2 31 |
4 21 |
Симметрия плоскости Кокстера |
Dih 12 , [12], (* 12 •) | Dih 18 , [18], (* 18 •) | Дих 30 , [30], (* 30 •) |
Смотрите также
Примечания
использованная литература
- Кокстер, HSM (1948), Регулярные многогранники , Метуэн и Ко.
- Steinberg, R. (июнь 1959), "Конечные группы отражений", Труды Американского математического общества , 91 (3): 493-504, DOI : 10,1090 / S0002-9947-1959-0106428-2 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993261
- Хиллер, Ховард Геометрия групп Кокстера. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Бостон, Массачусетс-Лондон, 1982. iv + 213 стр. ISBN 0-273-08517-4
- Хамфрис, Джеймс Э. (1992), Группы отражений и группы Кокстера , Cambridge University Press , стр. 74–76 (Раздел 3.16, Элементы Кокстера ), ISBN 978-0-521-43613-7
- Стембридж, Джон (9 апреля 2007 г.), Coxeter Planes , заархивировано из оригинала 10 февраля 2018 г. , извлечено 21 апреля 2010 г.
- Стекольщик, Р. (2008), Заметки о преобразованиях Кокстера и соответствии Маккея , Монографии Спрингера по математике, arXiv : math / 0510216 , doi : 10.1007 / 978-3-540-77399-3 , ISBN 978-3-540-77398-6
- Ридинг, Натан (2010), «Непересекающиеся перегородки, кластеры и плоскость Кокстера» , Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B63b : 32
- Бернштейн, штат Индиана; Гельфанд, И.М.; Пономарев В.А. Функторы Кокстера и теорема Габриэля // Успехи матем. 1973. Т. 28 , вып. 2 (170), 19–33. Перевод на сайте Бернштейна .