Кросс-многогранник - Cross-polytope
2-х мерный квадрат |
3-х мерный октаэдр |
4 размера, 16 ячеек |
5 размеров 5-ортоплекс |
В геометрии , в поперечном многогранника , гипероктаэдра , orthoplex или cocube является регулярным , выпуклый многогранник , который существует в п - размеры . Двумерный кросс-многогранник - это квадрат, трехмерный кросс-многогранник - это правильный октаэдр , а четырехмерный кросс-многогранник - это 16-ячеечный . Его фасеты - это симплексы предыдущего измерения, а фигура вершины кросс-многогранника - это еще один кросс-многогранник из предыдущего измерения.
Вершины кросс-многогранника могут быть выбраны в качестве единичных векторов, указывающих вдоль каждой координатной оси, т.е. все перестановки (± 1, 0, 0,…, 0) . Кросс-многогранник - это выпуклая оболочка его вершин. П - мерное кроссполитоп также может быть определен как замкнутый единичный шар (или, по мнению некоторых авторов, ее граничных) в ℓ 1 -норме на R н :
В одном измерении кросс-политоп - это просто отрезок [-1, +1], в двух измерениях - квадрат (или ромб) с вершинами {(± 1, 0), (0, ± 1)}. В трех измерениях это октаэдр - один из пяти выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела . Это может быть обобщено на более высокие измерения с n -ортоплексом, построенным как бипирамида с ( n -1) -ортоплексным основанием.
Кроссполитоп является двойной многогранник из гиперкуба . 1- скелет из п - мерного кросс-многогранника является Туран граф Т (2 н , п ).
4 измерения
Четырехмерный кросс-политоп также известен под названием гексадекахорон или 16-элементный . Это один из шести выпуклых правильных 4-многогранников . Эти 4-многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века.
Высшие измерения
Семейство кросс-многогранников - одно из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Кокстером как β n , два других - это семейство гиперкубов , обозначенных как γ n , и симплексов , обозначенных как α n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , он обозначил как δ n .
П - мерный кроссполитоп имеет 2 п вершин, и 2 п граней (( п - 1) -мерных компоненты) , все из которых являются ( п - 1) - симплексы . Эти цифры вершинных все ( п - 1) -cross-многогранники. Символ Шлефли кросс-многогранника равен {3,3, ..., 3,4}.
Двугранный угол из п - мерного поперечного многогранника . Это дает: δ 2 = arccos (0/2) = 90 °, δ 3 = arccos (−1/3) = 109,47 °, δ 4 = arccos (−2/4) = 120 °, δ 5 = arccos (- 3/5) = 126,87 °, ... δ ∞ = arccos (−1) = 180 °.
Гиперобъем n- мерного кросс-многогранника равен
Для каждой пары не противоположных вершин есть ребро, соединяющее их. В более общем смысле, каждый набор из k + 1 ортогональных вершин соответствует отдельному k -мерному компоненту, который их содержит. Количество k -мерных компонентов (вершин, ребер, граней, ..., фасет) в n- мерном кросс-многограннике, таким образом, определяется выражением (см. Биномиальный коэффициент ):
Существует множество возможных орфографических проекций, которые могут отображать кросс-многогранники в виде двумерных графов. Проекции многоугольников Петри отображают точки в правильные 2 n -угольные или правильные многоугольники более низкого порядка. Вторая проекция берет 2 ( n -1) -угольный многоугольник Петри нижнего измерения, рассматриваемый как бипирамида , спроецированный вниз по оси, с двумя вершинами, отображенными в центре.
п | β н к 11 |
Имя (я) График |
График 2 n -угольник |
Schläfli |
Кокстер-Дынкин диаграмма |
Вершины | Края | Лица | Клетки | 4-гранный | 5 лиц | 6 лиц | 7 лиц | 8 лиц | 9 лиц | 10 лиц |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | β 0 |
Точка 0-ортоплекс |
. | () |
|
1 | ||||||||||
1 | β 1 |
Отрезок 1-ортоплекс |
{} |
|
2 | 1 | ||||||||||
2 | β 2 −1 11 |
квадратный 2-ортоплекс Bicross |
{4} 2 {} = {} + {} |
|
4 | 4 | 1 | |||||||||
3 | β 3 0 11 |
октаэдр 3-ортоплекс Трикросс |
{3,4} {3 1,1 } 3 {} |
|
6 | 12 | 8 | 1 | ||||||||
4 | β 4 1 11 |
16-секционный 4-х ортоплексный тетракросс |
{3,3,4} {3,3 1,1 } 4 {} |
|
8 | 24 | 32 | 16 | 1 | |||||||
5 | β 5 2 11 |
5-ортоплекс Пентакросс |
{3 3 , 4} {3,3,3 1,1 } 5 {} |
|
10 | 40 | 80 | 80 | 32 | 1 | ||||||
6 | β 6 3 11 |
6-ортоплекс Hexacross |
{3 4 , 4} {3 3 , 3 1,1 } 6 {} |
|
12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | 1 | |||||
7 | β 7 4 11 |
7-ортоплекс Гептакросс |
{3 5 , 4} {3 4 , 3 1,1 } 7 {} |
|
14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | 1 | ||||
8 | β 8 5 11 |
8-ортоплекс Octacross |
{3 6 , 4} {3 5 , 3 1,1 } 8 {} |
|
16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | 1 | |||
9 | β 9 6 11 |
9-ортоплекс Эннеакросс |
{3 7 , 4} {3 6 , 3 1,1 } 9 {} |
|
18 | 144 | 672 | 2016 г. | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | 1 | ||
10 | β 10 7 11 |
10-ортоплекс Decacross |
{3 8 , 4} {3 7 , 3 1,1 } 10 {} |
|
20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | 1 | |
... | ||||||||||||||||
п | β н к 11 |
п -orthoplex п -cross |
{3 n - 2 , 4} {3 n - 3 , 3 1,1 } n {} |
... ... ... |
2 п 0-граней , ... к -граней ..., 2 п ( п -1) -граней |
Все вершины выровненного по осям поперечного многогранника находятся на равном расстоянии друг от друга на манхэттенском расстоянии ( норма L 1 ). Гипотеза Куснера утверждает, что этот набор из 2 d точек является наибольшим из возможных эквидистантных наборов для этого расстояния.
Обобщенный ортоплекс
Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве, называемом обобщенными ортоплексами (или кросс-многогранниками), βп
п= 2 {3} 2 {3} ... 2 {4} p , или... Реальные решения существуют с p = 2, т. Е. Β2
п= β n = 2 {3} 2 {3} ... 2 {4} 2 = {3,3, .., 4}. При p > 2 они существуют в . Р -generalized п -orthoplex имеет р - п вершин. Обобщенные ортоплексы имеют правильные симплексы (действительные) в качестве фасетов . Обобщенные ортоплексы образуют полные многодольные графы , βп
2сделаем K p , p для полного двудольного графа , βстр.
3сделайте K p , p , p для полных трехчастных графов. βп
псоздает K p n . Ортогональная проекция может быть определена , что отображает все вершины равномерно разнесенных по кругу, со всеми парами вершин , соединенных, за исключением кратных п . Правильный многоугольник периметр в этих ортогональных проекций называется Petrie многоугольник .
р = 2 | р = 3 | р = 4 | р = 5 | р = 6 | р = 7 | р = 8 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 {4} 2 = {4} = К 2,2 |
2 {4} 3 = К 3,3 |
2 {4} 4 = К 4,4 |
2 {4} 5 = К 5,5 |
2 {4} 6 = К 6,6 |
2 {4} 7 = К 7,7 |
2 {4} 8 = К 8,8 |
||
2 {3} 2 {4} 2 = {3,4} = К 2,2,2 |
2 {3} 2 {4} 3 = К 3,3,3 |
2 {3} 2 {4} 4 = К 4,4,4 |
2 {3} 2 {4} 5 = К 5,5,5 |
2 {3} 2 {4} 6 = К 6,6,6 |
2 {3} 2 {4} 7 = К 7,7,7 |
2 {3} 2 {4} 8 = К 8,8,8 |
||
2 {3} 2 {3} 2 {3,3,4} = К 2,2,2,2 |
2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 К 3,3,3,3 |
2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 К 4,4,4,4 |
2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 К 5,5,5,5 |
2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 К 6,6,6,6 |
2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 К 7,7,7,7 |
2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 К 8,8,8,8 |
||
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,4} = К 2,2,2,2,2 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 К 3,3,3,3,3 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 К 4,4,4,4,4 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 К 5,5,5,5,5 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 К 6,6,6,6,6 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 К 7,7,7,7,7 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 К 8,8,8,8,8 |
||
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,3,4} = К 2,2,2,2,2,2 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 К 3,3,3,3,3,3 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 К 4,4,4,4,4,4 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 К 5,5,5,5,5,5 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 К 6,6,6,6,6,6 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 К 7,7,7,7,7,7 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 К 8,8,8,8,8,8 |
Родственные семейства многогранников
Кросс-многогранники можно комбинировать со своими двойными кубами, чтобы образовать составные многогранники:
- В двух измерениях мы получаем восьмеричную звезду { 8 ⁄ 2 },
- В трех измерениях мы получаем соединение куба и октаэдра ,
- В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16 ячеек .
Смотрите также
- Список правильных многогранников
- Группа гипероктаэдра, группа симметрии кросс-политопа
Цитаты
использованная литература
-
Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
- С. 121-122, §7.21. см. иллюстрацию Рис. 7.2 B
- п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)