Равномерный многогранник - Uniform polytope

Выпуклые равномерные многогранники
2D	3D
Усеченный треугольник или равномерный шестиугольник с диаграммой Кокстера .	Усеченный октаэдр ,
4D	5D
Усеченная 16-ячеечная ,	Усеченный 5-ортоплекс ,

Равномерное многогранник размерности три или выше является вершиной-симметрический многогранник ограничена равномерных гранями . Равномерные многогранники в двух измерениях - это правильные многоугольники (определение отличается в двух измерениях, чтобы исключить транзитивные по вершинам четные многоугольники, у которых чередуются две разные длины ребер).

Это обобщение более старой категории полуправильных многогранников , но также включает регулярные многогранники . Кроме того, разрешены звездообразные правильные грани и вершины ( звездчатые многоугольники ), что значительно расширяет возможные решения. Строгое определение требует, чтобы однородные многогранники были конечными, в то время как более широкое определение позволяет также рассматривать однородные соты (двумерные мозаики и соты более высокой размерности ) евклидова и гиперболического пространства как многогранники.

Операции

Почти каждый равномерный многогранник может быть сгенерирован конструкцией Уайтхоффа и представлен диаграммой Кокстера . Известные исключения включают большой диромбикосододекаэдр в трех измерениях и большую антипризму в четырех измерениях. Терминология для выпуклых однородных многогранников, используемых в однородных многогранниках , однородных 4-многогранниках , однородных 5-многогранниках , однородных 6-многогранниках , однородных мозаиках и выпуклых однородных сотовых статьях, была придумана Норманом Джонсоном .

Эквивалентно, многогранники Витоффа могут быть сгенерированы путем применения основных операций к правильным многогранникам в этом измерении. Этот подход был впервые использован Иоганном Кеплером и лежит в основе обозначения многогранника Конвея .

Операторы ректификации

Правильные n-многогранники имеют n порядков исправления . Нулевое исправление - это исходная форма. ( N - 1) -ое выпрямление является двойственным . Ректификации уменьшают края к вершинам, A birectification уменьшает лицо к вершинам, A trirectification уменьшает клетки вершин, A quadirectification уменьшает 4-грани к вершинам, А quintirectification уменьшается 5-граней к вершинам, и так далее.

Расширенный символ Шлефли может использоваться для представления исправленных форм с одним нижним индексом:

k -ое выпрямление = t _k {p ₁ , p ₂ , ..., p _n-1 } = k r .

Операторы усечения

Операции усечения, которые могут применяться к обычным n -многогранникам в любой комбинации. Результирующая диаграмма Кокстера имеет два окруженных кольцом узла, и операция названа в соответствии с расстоянием между ними. Усечение срезает вершины, канеллирование срезает края, бегунок срезает грани, стерилизация срезает ячейки. Каждая более высокая операция также обрезает и более низкие, поэтому канелляция также обрезает вершины.

t _0,1 или t : Усечение - применяется к полигонам и выше. Усечение удаляет вершины и вставляет новый фасет вместо каждой предыдущей вершины. Грани усекаются, их края удваиваются. (Термин, введенный Кеплером , происходит от латинского truncare - «отрезать».)
- Есть более высокие усечения также: bitruncation т _1,2 или 2t , tritruncation т _2,3 или 3t , quadritruncation т _3,4 или 4t , quintitruncation т _4,5 или 5t и т.д.
t _0,2 или rr : Cantellation - применяется к многогранникам и выше. Это можно рассматривать как исправление его исправления . Кантелляция обрезает и вершины, и ребра и заменяет их новыми фасетами. Клетки заменяются топологически расширенными копиями самих себя. (Термин, придуманный Джонсоном, происходит от глагола cant , например bevel , означающего резать с наклоном лица.)
- Есть более высокие cantellations также: bicantellation т _1,3 или r2r , tricantellation т _2,4 или R3R , quadricantellation т _3,5 или R4R , и т.д.
- t _0,1,2 или tr : Cantitruncation - применяется к многогранникам и выше. Это можно рассматривать как усечение его исправления . Кантусечение обрезает и вершины, и ребра и заменяет их новыми фасетами. Клетки заменяются топологически расширенными копиями самих себя. (Составной термин объединяет канелляцию и усечение)
  - Есть более высокие cantellations также: bicantitruncation т _1,2,3 или t2r , tricantitruncation т _2,3,4 или t3r , quadricantitruncation т _3,4,5 или T4R и т.д.
t _0,3 : Runcination - применяется к Uniform 4-polytope и выше. Runcination усекает вершины, ребра и грани, заменяя их каждой новой гранью. 4-грани заменяются топологически расширенными копиями самих себя. (Термин, придуманный Джонсоном, происходит от латинского runcina «плотник самолет ».)
- Существуют также более высокие направления: biruncination t _1,4 , triruncination t _2,5 и т. Д.
t _0,4 или 2r2r : Стерилизация - применяется к Uniform 5-многогранникам и выше. Это можно рассматривать как биректификацию своей биректификации. Стерилизация обрезает вершины, ребра, грани и ячейки, заменяя их новыми фасетами. 5-грани заменяются топологически расширенными копиями самих себя. (Термин, введенный Джонсоном, происходит от греческого слова stereos «твердое тело».)
- Существуют также более высокие стерилизации: бистерификация t _1,5 или 2r3r , тристерикация t _2,6 или 2r4r и т. Д.
- т _0,2,4 или 2T2R : Stericantellation - применяются к единообразным 5-многогранникам и выше. Это можно рассматривать как сокращение его двунаправленной адресации.
  - Существуют также более высокие стерилизации: бистерическое созвездие t _1,3,5 или 2t3r , tristericantellation t _2,4,6 или 2t4r и т. Д.
t _0,5 : Pentellation - применяется к Uniform 6-многогранникам и выше. Pentellation усекает вершины, ребра, грани, ячейки и 4-грани, заменяя каждую новую грань. Шестигранники заменяются топологически расширенными копиями самих себя. (Pentellation происходит от греческого слова pente 'пять'.)
- Существуют также более высокие пентелезии: двузвездие t _1,6 , тройное созвездие t _2,7 и т. Д.
t _0,6 или 3r3r : Hexication - применяется к Uniform 7-многогранникам и выше. Это можно рассматривать как триректификацию. Hexication усекает вершины, ребра, грани, ячейки, 4-грани и 5-грани, заменяя их новыми гранями. Семерки заменяются топологически расширенными копиями самих себя. (Гексикация происходит от греческого шестнадцатеричного слова «шесть».)
- Существуют также высшие отравления: бигексикация : t _1,7 или 3r4r , тригексикация : t _2,8 или 3r5r и т. Д.
- t _0,3,6 или 3t3r : Hexiruncinated - применяется к Uniform 7-многогранникам и выше. Это можно рассматривать как сокращение его триректификации.
  - Существуют также высшие гексирунцинирования: бигексирунцинированные : t _1,4,7 или 3t4r , тригексирунцинированные : t _2,5,8 или 3t5r и т.д.
t _0,7 : Heptellation - применяется к Uniform 8-многогранникам и выше. Heptellation усекает вершины, ребра, грани, ячейки, 4-грани, 5-грани и 6-грани, заменяя каждую грань новыми гранями. 8-грани заменяются топологически расширенными копиями самих себя. (Heptellation происходит от греческого слова hepta «семь».)
- Существуют также высшие звёзды: бигептелоз t _1,8 , тригептелляция t _2,9 и т. Д.
t _0,8 или 4r4r : Octellation - применяется к Uniform 9-многогранникам и выше.
t _0,9 : Ennecation - применяется к Uniform 10-многогранникам и выше.

Кроме того, могут выполняться комбинации усечений, которые также генерируют новые однородные многогранники. Например, runcitruncation является runcination и усечение применяется вместе.

Если все усечения применяются одновременно, операцию в более общем смысле можно назвать всесторонним усечением .

Чередование

Чередование усеченного кубооктаэдра дает курносый куб .

Одна специальная операция, называемая чередованием , удаляет альтернативные вершины из многогранника только с четными гранями. Альтернативный полностью усеченный многогранник называется курносым .

Результирующие многогранники всегда могут быть построены, и, как правило, они не являются отражающими, а также, как правило, не имеют однородных решений многогранников.

Набор многогранников, образованных чередованием гиперкубов , известен как полукубы . В трех измерениях получается тетраэдр ; в четырех измерениях получается 16-элементный или димитессеракт .

Фигура вершины

Равномерные многогранники могут быть построены из их вершинных фигур , расположения ребер, граней, ячеек и т. Д. Вокруг каждой вершины. Равномерные многогранники, представленные диаграммой Кокстера , обозначающие активные зеркала кольцами, обладают симметрией отражения и могут быть просто построены рекурсивными отражениями фигуры вершины.

Меньшее количество неотражающих однородных многогранников имеет одну вершину, но не повторяется простыми отражениями. Большинство из них можно представить с помощью таких операций, как чередование других однородных многогранников.

Фигуры вершин для диаграмм Кокстера с одним кольцом могут быть построены из диаграммы путем удаления узла с кольцом и вызова соседних узлов. Такие вершинные фигуры сами по себе вершинно-транзитивны.

Многогранники с кольцами могут быть построены несколько более сложным процессом построения, и их топология не является однородным многогранником. Например, фигура вершины усеченного правильного многогранника (с двумя кольцами) представляет собой пирамиду. Omnitruncated многогранник (все узлы кольчатых) всегда будет иметь неправильный симплекс в качестве своей вершины фигуры.

Circumradius

Равномерные многогранники имеют равные длины ребер, а все вершины находятся на равном расстоянии от центра, называемом радиусом описанной окружности .

Равномерные многогранники, радиус описанной окружности которых равен длине ребра, можно использовать как фигуры вершин для однородных сот . Например, правильный шестиугольник делится на 6 равносторонних треугольников и является фигурой вершины правильной треугольной мозаики . Также кубооктаэдр делится на 8 правильных тетраэдров и 6 квадратных пирамид ( полуоктаэдр ), и это фигура вершины для чередующихся кубических сот .

Равномерные многогранники по размерности

Полезно классифицировать однородные многогранники по размерности. Это эквивалентно количеству узлов на диаграмме Кокстера или количеству гиперплоскостей в конструкции Витхоффа. Поскольку ( n +1) -мерные многогранники являются мозаиками n- мерного сферического пространства, мозаики n- мерного евклидова и гиперболического пространства также считаются ( n +1) -мерными. Следовательно, мозаики двумерного пространства группируются с трехмерными телами.

Одно измерение

Единственный одномерный многогранник - это отрезок прямой. Он соответствует семейству Кокстера A ₁ .

Два измерения

В двух измерениях существует бесконечное семейство выпуклых однородных многогранников, правильных многоугольников , простейшим из которых является равносторонний треугольник . Усеченные правильные многоугольники становятся двухцветными геометрически квазирегулярными многоугольниками с вдвое большим количеством сторон, t {p} = {2p}. Ниже показаны первые несколько правильных многоугольников (и квазирегулярных форм):

Имя	Треугольник ( 2-симплекс )	Квадрат ( 2-ортоплекс ) ( 2-куб )	Пентагон	Шестиугольник	Семиугольник	Восьмиугольник	Девятиугольник	Декагон	Hendecagon
Schläfli	{3}	{4} т {2}	{5}	{6} т {3}	{7}	{8} т {4}	{9}	{10} т {5}	{11}
Диаграмма Кокстера
Изображение
Имя	Додекагон	Трехугольник	Тетрадекагон	Пятиугольник	Шестиугольник	Гептадекагон	Восьмиугольник	Enneadecagon	Икосагон
Schläfli	{12} т {6}	{13}	{14} т {7}	{15}	{16} т {8}	{17}	{18} т {9}	{19}	{20} т {10}
Диаграмма Кокстера
Изображение

Также существует бесконечное множество звездных многоугольников (по одному на каждое рациональное число больше 2), но они невыпуклые. Самый простой пример - пентаграмма , которой соответствует рациональное число 5/2. Правильные звездчатые многоугольники {p / q} могут быть усечены до полуправильных звездных многоугольников t {p / q} = t {2p / q}, но становятся двойными покрытиями, если q четно. Усечение также может быть выполнено с помощью многоугольника обратной ориентации t {p / (pq)} = {2p / (pq)}, например t {5/3} = {10/3}.

Имя	Пентаграмма	Гептаграммы		Октаграмма	Эннеаграммы		Декаграмма	... н-аграммы
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3} т {4/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3} т {5/3}	{ p / q }
Диаграмма Кокстера
Изображение

Правильные многоугольники, представленные символом Шлефли {p} для p-угольника. Правильные многоугольники самодвойственны, поэтому выпрямление дает тот же многоугольник. Операция равномерного усечения удваивает стороны до {2p}. Операция snub, чередуя усечение, восстанавливает исходный многоугольник {p}. Таким образом, все однородные многоугольники также правильные. Следующие операции могут быть выполнены с правильными многоугольниками для получения однородных многоугольников, которые также являются правильными многоугольниками:

Операция	Расширенные символы Шлефли		Обычный результат	Диаграмма Кокстера	Должность		Симметрия
Операция	Расширенные символы Шлефли		Обычный результат	Диаграмма Кокстера	(1)	(0)	Симметрия
Родитель	{п}	т ₀ {p}	{п}		{}	-	[p] (заказ 2p)
Ректифицированный (двойной)	г {р}	т ₁ {p}	{п}		-	{}	[p] (заказ 2p)
Усеченный	т {р}	t _0,1 {p}	{2p}		{}	{}	[[p]] = [2p] (порядок 4p)
Половина	ч {2p}		{п}		-	-	[1 ⁺ , 2p] = [p] (порядок 2p)
Курносый	s {p}		{п}		-	-	[[p]] ⁺ = [p] (порядок 2p)

Три измерения

В трех измерениях ситуация становится более интересной. Есть пять выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела :

Имя	Шлефли {p, q}	Лица {p}	Края	Вершины {q}	Симметрия	Двойной
Тетраэдр ( 3-симплекс ) (Пирамида)	{3,3}	4 {3}	6	4 {3}	Т _д	(себя)
Куб ( 3-куб ) (Шестигранник)	{4,3}	6 {4}	12	8 {3}	О _ч	Октаэдр
Октаэдр ( 3-ортоплекс )	{3,4}	8 {3}	12	6 {4}	О _ч	Куб
Додекаэдр	{5,3}	12 {5}	30	20 {3} 2	Я _ч	Икосаэдр
Икосаэдр	{3,5}	20 {3}	30	12 {5}	Я _ч	Додекаэдр

В дополнение к этому, есть также 13 полуправильных многогранников или архимедовых тел , которые могут быть получены с помощью конструкций Wythoff или путем выполнения таких операций, как усечение над платоновыми телами, как показано в следующей таблице:

	Родитель	Усеченный	Исправленный	Обрезанный (tr. Dual)	Двунаправленный (двойной)	Собранный	Omnitruncated ( Cantitruncated )	Курносый
Тетраэдр 3-3-2	{3,3}	(3.6.6)	(3.3.3.3)	(3.6.6)	{3,3}	(3.4.3.4)	(4.6.6)	(3.3.3.3.3)
Октаэдрический 4-3-2	{4,3}	(3.8.8)	(3.4.3.4)	(4.6.6)	{3,4}	(3.4.4.4)	(4.6.8)	(3.3.3.3.4)
Икосаэдр 5-3-2	{5,3}	(3.10.10)	(3.5.3.5)	(5.6.6)	{3,5}	(3.4.5.4)	(4.6.10)	(3.3.3.3.5)

Существует также бесконечный набор призм , по одной на каждый правильный многоугольник, и соответствующий набор антипризм .

#	Имя	Картина	Черепица	Фигура вершины	Диаграмма и символы Шлефли
P _2p	Призма				tr {2, p}
А _п	Антипризма				sr {2, p}

Однородные звездные многогранники включают еще 4 правильных звездных многогранника, многогранники Кеплера-Пуансо и 53 полуправильных звездных многогранника. Также есть два бесконечных множества: звездные призмы (по одной для каждого звездного многоугольника) и звездные антипризмы (по одной для каждого рационального числа больше 3/2).

Конструкции

Равномерные многогранники и мозаики Wythoffian могут быть определены с помощью их символа Wythoff , который определяет фундаментальную область объекта. Расширение обозначения Шлефли , также используемое Коксетером , применимо ко всем измерениям; он состоит из буквы «t», за которой следует ряд индексов, соответствующих окольцованным узлам диаграммы Кокстера , и за которым следует символ Шлефли правильного семенного многогранника. Например, усеченный октаэдр представлен обозначением: t _0,1 {3,4}.

Операция	Символ Шлефли			Диаграмма Кокстера	Символ Wythoff	Должность:
Операция	Символ Шлефли			Диаграмма Кокстера	Символ Wythoff
Родитель	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	{p, q}	т ₀ {p, q}		q \| 2 шт.	{п}	{}	-	-	-	{}
Двунаправленный (или двойной )	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}$	{q, p}	t ₂ {p, q}		p \| 2 кв.	-	{}	{q}	{}	-	-
Усеченный	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	т {р, д}	т _0,1 {p, q}		2 q \| п	{2p}	{}	{q}	-	{}	{}
Bitruncated (или усеченный двойной)	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}$	т {д, р}	т _1,2 {р, q}		2 п \| q	{п}	{}	{2q}	{}	{}	-
Исправленный	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	г {р, д}	t ₁ {p, q}		2 \| pq	{п}	-	{q}	-	{}	-
Сквозной (или расширенный )	${\ displaystyle r {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	рр {р, q}	т _0,2 {р, q}		pq \| 2	{п}	{} × {}	{q}	{}	-	{}
Cantitruncated (или Omnitruncated )	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	tr {p, q}	т _0,1,2 {p, q}		2 pq \|	{2p}	{} × {}	{2q}	{}	{}	{}

Операция	Символ Шлефли			Диаграмма Кокстера	Символ Wythoff	Должность:
Операция	Символ Шлефли			Диаграмма Кокстера	Символ Wythoff
Курносый исправленный	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	sr {p, q}			\| 2 шт.	{п}	{3} {3}	{q}	-	-	-
Курносый	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	s {p, 2q}	ht _0,1 {p, q}			с {2p}	{3}	{q}	-	{3}

Создание треугольников

Четыре измерения

В четырех измерениях есть 6 выпуклых правильных 4-многогранников , 17 призм на платоновых и архимедовых телах (исключая куб-призму, которая уже считалась тессерактом ) и два бесконечных множества: призмы на выпуклых антипризмах, и дуопризмы . Существует также 41 выпуклый полуправильный 4-многогранник, в том числе большая антипризма, не относящаяся к Витоффу, и курносая 24-клеточная . Оба этих специальных 4-многогранника составлены из подгрупп вершин 600-клетки .

Не все четырехмерные однородные звездные многогранники перечислены. К ним относятся 10 правильных звездных (Шлефли-Гесса) 4-многогранников и 57 призм на однородных звездных многогранниках, а также три бесконечных семейства: призмы на звездных антипризмах, дуопризмы, образованные умножением двух звездных многоугольников, и дуопризмы, образованные умножением обычного многоугольника на звездообразный. Неизвестное количество 4-многогранников, не попадающих в вышеперечисленные категории; На данный момент обнаружено более тысячи.

Пример тетраэдра в кубической сотовой ячейке.
Есть 3 прямых двугранных угла (2 пересекающихся перпендикулярных зеркала):
края с 1 по 2, от 0 до 2 и с 1 по 3.

Сводная диаграмма операций усечения

Каждый правильный многогранник можно рассматривать как изображения фундаментальной области в небольшом количестве зеркал. В 4-мерном многограннике (или 3-мерном кубическом соте) фундаментальная область ограничена четырьмя зеркалами. Зеркало в 4-м пространстве представляет собой трехмерную гиперплоскость , но для наших целей удобнее рассматривать только его двумерное пересечение с трехмерной поверхностью гиперсферы ; таким образом, зеркала образуют неправильный тетраэдр .

Каждый из шестнадцати правильных 4-многогранников порождается одной из четырех групп симметрии следующим образом:

группа [3,3,3]: 5-клеточная {3,3,3}, самодвойственная;
группа [3,3,4]: 16-элементный {3,3,4} и его двойной тессеракт {4,3,3};
группа [3,4,3]: 24-клеточная {3,4,3}, самодвойственная;
группа [3,3,5]: 600-элементный {3,3,5}, его двойной 120-элементный {5,3,3} и их десять правильных звездчатых элементов.
группа [3 ^1,1,1 ]: содержит только повторяющиеся члены семейства [3,3,4].

(Группы названы в нотации Кокстера .)

Восемь выпуклых однородных сот в евклидовом 3-пространстве аналогичным образом генерируются из кубических сот {4,3,4} путем применения тех же операций, которые использовались для генерации однородных 4-многогранников Витоффа.

Для данного симплекса симметрии порождающая точка может быть размещена на любой из четырех вершин, 6 ребер, 4 граней или внутреннего объема. На каждом из этих 15 элементов есть точка, изображения которой, отраженные в четырех зеркалах, являются вершинами однородного 4-многогранника.

Расширенные символы Шлефли состоят из символа t, за которым следует от одного до четырех нижних индексов 0,1,2,3. Если есть один нижний индекс, образующая точка находится в углу основной области, то есть в точке, где встречаются три зеркала. Эти углы обозначены как

0 : вершина родительского 4-многогранника (центр двойственной клетки)
1 : центр родительского края (центр лица двойника)
2 : центр лица родителя (центр дуального края)
3 : центр родительской клетки (вершина дуального)

(Для двух самодвойственных 4-многогранников «двойственный» означает подобный 4-многогранник в двойственном положении.) Два или более нижних индекса означают, что порождающая точка находится между указанными углами.

Конструктивное резюме

Ниже приведены 15 конструктивных форм по семействам. Самодуальные семейства перечислены в одном столбце, а другие - в виде двух столбцов с общими записями на симметричных диаграммах Кокстера . В последней 10-й строке перечислены курносые конструкции из 24 ячеек. Сюда входят все непризматические однородные 4-многогранники, за исключением большой антипризмы , не связанной с Wythoffian , у которой нет семейства Кокстера.

А ₄	ВС ₄		D ₄	П ₄	H ₄
[3,3,3]	[4,3,3]		[3,3 ^1,1 ]	[3,4,3]	[5,3,3]
5-элементный {3,3,3}	16 ячеек {3,3,4}	тессеракт {4,3,3}	demitesseract {3,3 ^1,1 }	24-элементный {3,4,3}	600 ячеек {3,3,5}	120 ячеек {5,3,3}
выпрямленный 5-элементный г {3,3,3}	выпрямленный 16-элементный г {3,3,4}	исправленный тессеракт г {4,3,3}	исправленный demitesseract г {3,3 ^1,1 }	выпрямленный 24-элементный г {3,4,3}	выпрямленный 600-элементный г {3,3,5}	выпрямленный 120-элементный г {5,3,3}
усеченный 5-элементный т {3,3,3}	усеченный 16-элементный т {3,3,4}	усеченный тессеракт т {4,3,3}	усеченный димитессеракт т {3,3 ^1,1 }	усеченный 24-элементный т {3,4,3}	усеченный 600-ячеечный т {3,3,5}	усеченный 120-элементный т {5,3,3}
скошенный 5-элементный рр {3,3,3}	скошенный 16-элементный рр {3,3,4}	скошенный тессеракт рр {4,3,3}	сквошенный димитессеракт 2r {3,3 ^1,1 }	наклонный 24-элементный рр {3,4,3}	скошенный 600-ячеечный р-р {3,3,5}	скошенный 120-элементный рр {5,3,3}
5-клеточный т _0,3 {3,3,3}	беглый 16-ти клеточный т _0,3 {3,3,4}	беглый тессеракт т _0,3 {4,3,3}		беглый 24-элементный т _0,3 {3,4,3}	ранцинированный 600-клеточный бегунцинированный 120-клеточный т _0,3 {3,3,5}
усеченный по битам 5-элементный т _1,2 {3,3,3}	усеченный битами 16 ячеек 2т {3,3,4}	усеченный битами тессеракт 2т {4,3,3}	усеченный demitesseract 2т {3,3 ^1,1 }	усеченный по битам 24-элементный 2т {3,4,3}	усеченные по битам 600 ячеек усеченные по битам 120 ячеек 2т {3,3,5}
усеченный 5-элементный tr {3,3,3}	усеченный 16-элементный tr {3,3,4}	усеченный тессеракт tr {4,3,3}	всесторонне усеченный димитессеракт tr {3,3 ^1,1 }	усеченный 24-элементный tr {3,4,3}	усеченный 600-ячеечный tr {3,3,5}	усеченный 120-элементный tr {5,3,3}
усеченный 5-элементный т _0,1,3 {3,3,3}	усеченный 16-элементный т _0,1,3 {3,3,4}	усеченный тессеракт т _0,1,3 { _4,3,3 }	рунический димитессеракт рр {3,3 ^1,1 }	усеченный 24-элементный т _0,1,3 {3,4,3}	усеченный 600-ячеечный т _0,1,3 {3,3,5}	усеченный 120-элементный т _0,1,3 {5,3,3}
омниусеченный 5-элементный т _0,1,2,3 {3,3,3}	усеченная 16-ячеечная т _0,1,2,3 {3,3,4}	полностью усеченный тессеракт т _0,1,2,3 {3,3,4}		омниусеченный 24-элементный т _0,1,2,3 {3,4,3}	омнитусеченные 120 ячеек омнитусеченные 600 ячеек т _0,1,2,3 {5,3,3}
	чередующийся косяк усеченный 16-элементный sr {3,3,4}		пренебрежительный демитессеракт sr {3,3 ^1,1 }	Переменный усеченный 24-элементный с {3,4,3}

Усеченные формы

В следующей таблице определены все 15 форм. Каждая форма соединительной линии может иметь от одного до четырех типов ячеек, расположенных в позициях 0,1,2,3, как определено выше. Ячейки помечены многогранным усечением.

П -gonal призма представлена в виде: {N} × {}.
Зеленый фон отображается в формах, которые эквивалентны родительской или двойственной.
Красный фон показывает усечения родительского элемента, а синий - усечения двойника.

Операция	Символ Шлефли		Диаграмма Кокстера	Ячейки по должности:
Операция	Символ Шлефли		Диаграмма Кокстера	(3)	(2)	(1)	(0)
Родитель	{p, q, r}	t ₀ {p, q, r}		{p, q}	-	-	-
Исправленный	г {р, д, г}	t ₁ {p, q, r}		г {р, д}	-	-	{q, r}
Двунаправленный (или выпрямленный двойной)	2r {p, q, r} = r {r, q, p}	t ₂ {p, q, r}		{q, p}	-	-	г {д, г}
Trirectifed (или двойной )	3r {p, q, r} = {r, q, p}	t ₃ {p, q, r}		-	-	-	{г, д}
Усеченный	т {р, д, г}	t _0,1 {p, q, r}		т {р, д}	-	-	{q, r}
Bitruncated	2t {p, q, r}	2t {p, q, r}		т {д, р}	-	-	т {д, г}
Tritruncated (или усеченный двойной)	3t {p, q, r} = t {r, q, p}	t _2,3 {p, q, r}		{q, p}	-	-	т {г, д}
Собранный	rr {p, q, r}	т _0,2 {p, q, r}		рр {р, q}	-	{} × {r}	г {д, г}
Бикантеллированный (или двояковыпуклый)	r2r {p, q, r} = rr {r, q, p}	т _1,3 {p, q, r}		г {р, д}	{p} × {}	-	rr {q, r}
Рунцинированный (или расширенный )	е {р, д, г}	t _0,3 {p, q, r}		{p, q}	{p} × {}	{} × {r}	{г, д}
Усеченный	tr {p, q, r}	tr {p, q, r}		tr {p, q}	-	{} × {r}	т {д, г}
Двукратноусеченный (или неуклонно усеченный двойной)	t2r {p, q, r} = tr {r, q, p}	т _1,2,3 {p, q, r}		т {д, р}	{p} × {}	-	tr {q, r}
Runcitruncated	е _т {р, д, г}	т _0,1,3 {p, q, r}		т {р, д}	{2p} × {}	{} × {r}	rr {q, r}
Runcicantellated (или runcitruncated dual)	е _3t {p, q, r} = e _t {r, q, p}	т _0,2,3 {p, q, r}		tr {p, q}	{p} × {}	{} × {2r}	т {г, д}
Runcicantitruncated (или полностью усеченный )	о {п, д, г}	т _0,1,2,3 {p, q, r}		tr {p, q}	{2p} × {}	{} × {2r}	tr {q, r}

Половинки

Полуконструкции существуют с отверстиями, а не с кольцевыми узлами. Ветви соседних отверстий и неактивных узлов должны быть четного порядка. Полуконструкция имеет вершины тождественно окольцованной конструкции.

Операция	Символ Шлефли		Диаграмма Кокстера	Ячейки по должности:
Операция	Символ Шлефли		Диаграмма Кокстера	(3)	(2)	(1)	(0)
Половина чередовались	h {p, 2q, r}	ht ₀ {p, 2q, r}		h {p, 2q}	-	-	-
Чередующийся выпрямленный	ч {2p, 2q, r}	ht ₁ {2p, 2q, r}		ч. {2p, 2q}	-	-	ч {2q, r}
Курносый Альтернативное усечение	s {p, 2q, r}	ht _0,1 {p, 2q, r}		s {p, 2q}	-	-	ч {2q, r}
Bisnub Альтернативное обрезание битов	2s {2p, q, 2r}	ht _1,2 {2p, q, 2r}		s {q, 2p}	-	-	s {q, 2r}
Прямоугольный ректификованный переменный усеченный ректификованный	sr {p, q, 2r}	ht _0,1,2 {p, q, 2r}		sr {p, q}	-	с {2,2r}	s {q, 2r}
Omnisnub Альтернативное омниусечение	os {p, q, r}	ht _0,1,2,3 {p, q, r}		sr {p, q}	{p} × {}	{} × {r}	sr {q, r}

Пять и выше измерений

В пяти и более высоких измерениях есть 3 правильных многогранника: гиперкуб , симплекс и кросс-многогранник . Они являются обобщениями трехмерного куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. В этих измерениях нет правильных звездных многогранников. Наиболее однородные многомерные многогранники получаются путем модификации правильных многогранников или путем использования декартова произведения многогранников более низких размерностей.

В шесть, семь и восемь размеров, в исключительных простых групп Ли , Е ₆ , Е ₇ и E ₈ вступают в игру. Помещая кольца на ненулевое количество узлов диаграмм Кокстера , можно получить 63 новых 6-многогранников, 127 новых 7-многогранников и 255 новых 8-многогранников. Ярким примером является многогранник 4 ₂₁ .

Равномерные соты

С темой конечных равномерных многогранников связаны равномерные соты в евклидовом и гиперболическом пространствах. Евклидовы однородные соты генерируются аффинными группами Кокстера, а гиперболические соты генерируются гиперболическими группами Кокстера . Две аффинные группы Кокстера можно перемножить.

Есть два класса гиперболических групп Кокстера: компактные и паракомпактные. Равномерные соты, порожденные компактными группами, имеют конечные грани и фигуры вершин и существуют в 2–4 измерениях. Паракомпактные группы имеют аффинные или гиперболические подграфы и бесконечные фасеты или фигуры вершин и существуют в 2-10 измерениях.

Смотрите также

Символ Шлефли

Внешние ссылки

Ольшевский, Георгий. «Единый многогранник» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
равномерные, выпуклые многогранники в четырех измерениях:, Марко Мёллер (на немецком языке)

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
Семья	А _п	B _n	I ₂ (p) / D _n	E ₆ / E ₇ / E ₈ / F ₄ / G ₂	H _n
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадратный	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб.	6-полукуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукруглый	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукруглый	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Равномерное n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - demicube	1 _к2 • 2 _к1 • к ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Регулярный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

Languages

In other projects