Простая группа Ли - Simple Lie group

В математике простая группа Ли - это связная неабелева группа Ли G, не имеющая нетривиальных связных нормальных подгрупп . Список простых групп Ли можно использовать для чтения списка простых алгебр Ли и римановых симметрических пространств .

Вместе с коммутативной группой Ли действительных чисел и комплексных чисел единичной величины U (1) (единичная окружность) простые группы Ли образуют атомарные «блоки», составляющие все (конечномерные) связанные группы Ли через операцию расширения группы . Многие часто встречающиеся группы Ли либо просты, либо «близки» к простоте: например, так называемая « специальная линейная группа » SL ( n ) матриц n на n с определителем, равным 1, проста для всех n > 1. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Простые группы Ли были сначала классифицированы Вильгельмом Киллингом, а затем усовершенствованы Эли Картаном . Эту классификацию часто называют классификацией Киллинга-Картана.

Определение

К сожалению, общепринятого определения простой группы Ли не существует. В частности, она не всегда определяется как группа Ли, простая как абстрактная группа. Авторы расходятся во мнениях относительно того, должна ли простая группа Ли быть связной, или разрешено ли ей иметь нетривиальный центр, или является ли она простой группой Ли. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Наиболее распространенное определение состоит в том, что группа Ли проста, если она связна, неабелева, и каждая замкнутая связная нормальная подгруппа является либо единицей, либо всей группой. В частности, простые группы могут иметь нетривиальный центр, но это не просто. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

В этой статье перечислены связанные простые группы Ли с тривиальным центром. Как только они известны, те, у кого нетривиальный центр, легко перечислить следующим образом. Любая простая группа Ли с тривиальным центром имеет универсальное покрытие , центр которого является фундаментальной группой простой группы Ли. Соответствующие простые группы Ли с нетривиальным центром можно получить как фактор этого универсального покрытия по подгруппе центра.

Альтернативы

Эквивалентное определение простой группы Ли следует из переписки Ли : Связная группа Ли проста , если ее алгебра Ли является простой . Важным техническим моментом является то, что простая группа Ли может содержать дискретные нормальные подгруппы, поэтому быть простой группой Ли - это не то же самое, что быть простой абстрактной группой .

Простые группы Ли включают в себя множество классических групп Ли , которые обеспечивают теоретико-групповой фундамент для сферической геометрии , проективной геометрии и связанной с геометрии в смысле Феликс Клейн «ы программы Erlangen . В ходе классификации простых групп Ли выяснилось, что существует также несколько исключительных возможностей, не соответствующих какой-либо известной геометрии. Эти исключительные группы составляют множество частных примеров и конфигураций в других разделах математики, а также в современной теоретической физике .

В качестве контрпримера общая линейная группа не является ни простой, ни полупростой . Это потому, что кратные единицы идентичности образуют нетривиальную нормальную подгруппу, таким образом уклоняясь от определения. Эквивалентно соответствующая алгебра Ли имеет вырожденную форму Киллинга , потому что кратные тождества отображаются в нулевой элемент алгебры. Таким образом, соответствующая алгебра Ли также не является ни простой, ни полупростой. Другой контрпример - специальные ортогональные группы в четной размерности. У них есть матрица в центре , и этот элемент связан с единичным элементом, поэтому эти группы уклоняются от определения. Обе эти группы являются редуктивными . ${\ displaystyle -I}$

Связанные идеи

Простые алгебры Ли

Алгебра Ли простой группы Ли простая алгебра Ли. Это взаимно однозначное соответствие между связными простыми группами Ли с тривиальным центром и простыми алгебрами Ли размерности больше 1. (Авторы расходятся во мнениях относительно того, следует ли считать одномерную алгебру Ли простой.)

Над комплексными числами полупростые алгебры Ли классифицируются по их диаграммам Дынкина типа «ABCDEFG». Если L реальная простая алгебры Ли, ее усложнение является простой комплексной алгеброй Ли, если L не является уже комплексификацией алгебры Ли, в этом случае комплексификация L представляет собой произведение двух копий L . Это сводит проблему классификации реальных простых алгебр Ли к задаче нахождения всех действительных форм каждой комплексной простой алгебры Ли (т. Е. Вещественных алгебр Ли, комплексификация которых является данной комплексной алгеброй Ли). Таких форм всегда как минимум 2: раздельная форма и компактная форма, и обычно есть несколько других. Различные действительные формы соответствуют классам автоморфизмов порядка не выше 2 комплексной алгебры Ли.

Симметричные пространства

Симметричные пространства классифицируются следующим образом.

Во-первых, универсальное покрытие симметричного пространства по-прежнему симметрично, поэтому мы можем свести его к случаю односвязных симметрических пространств. (Например, универсальное покрытие реальной проективной плоскости - сфера.)

Во-вторых, произведение симметрических пространств симметрично, поэтому мы можем просто классифицировать неприводимые односвязные (где неприводимость означает, что они не могут быть записаны как произведение меньших симметрических пространств).

Неприводимые односвязные симметрические пространства - это вещественная прямая и ровно два симметрических пространства, соответствующих каждой некомпактной простой группе Ли G , одно компактное и одно некомпактное. Некомпактная один является покрытием частное от деления G по максимальной компактной подгруппе Н , а компактная одна крышка фактор компактной форме G с помощью одной и той же подгруппы H . Эта двойственность между компактными и некомпактными симметричными пространствами является обобщением хорошо известной двойственности между сферической и гиперболической геометрией.

Эрмитовы симметрические пространства

Симметричное пространство с согласованной комплексной структурой называется эрмитовым. Компактные односвязные неприводимые эрмитовы симметрические пространства распадаются на 4 бесконечных семейства, из которых 2 исключительных остаются, и каждое из них имеет некомпактное двойственное. Кроме того, комплексная плоскость также является эрмитовым симметричным пространством; это дает полный список неприводимых эрмитовых симметрических пространств.

Четыре семейства - это типы A III, B I и D I для p = 2 , D III и C I, а двумя исключительными являются типы E III и E VII комплексных размерностей 16 и 27.

Обозначение

${\ Displaystyle \ mathbb {R, C, H, O}}$ обозначают действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы .

В таких символах, как E ₆⁻²⁶ для исключительных групп, показатель −26 - это сигнатура инвариантной симметричной билинейной формы, отрицательно определенной на максимальной компактной подгруппе. Она равна размерности группы минус двойная размерность максимальной компактной подгруппы.

Фундаментальная группа, указанная в таблице ниже, является фундаментальной группой простой группы с тривиальным центром. Другие простые группы с той же алгеброй Ли соответствуют подгруппам этой фундаментальной группы (по модулю действия группы внешних автоморфизмов).

Полная классификация

Простые группы Ли полностью классифицированы. Классификация обычно состоит из нескольких этапов, а именно:

Классификация простых комплексных алгебр Ли . Классификация простых алгебр Ли над комплексными числами по диаграммам Дынкина .
Классификация простых вещественных алгебр Ли Каждая простая комплексная алгебра Ли имеет несколько действительных форм , классифицируемых дополнительными украшениями ее диаграммы Дынкина, называемой диаграммами Сатаке , в честь Ичиро Сатаке .
Классификация бесцентровых простых групп Ли Для каждой (реальной или комплексной) простой алгебры Ли существует единственная «бесцентровая» простая группа Ли, алгебра Ли которой является тривиальной и имеет тривиальный центр . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$
Классификация простых групп Ли

Можно показать, что фундаментальная группа любой группы Ли является дискретной коммутативной группой . Учитывая (нетривиальную) подгруппу фундаментальной группы некоторой группы Ли , можно использовать теорию накрывающих пространств, чтобы построить новую группу с центром. Теперь любую (действительную или комплексную) группу Ли можно получить, применяя эту конструкцию к бесцентровым группам Ли. Обратите внимание, что реальные группы Ли, полученные таким образом, могут не быть действительными формами какой-либо комплексной группы. Очень важным примером такой реальной группы является метаплектическая группа , которая появляется в теории и физике бесконечномерных представлений. Если взять полную фундаментальную группу, полученная группа Ли является универсальным покрытием бесцентровой группы Ли и является односвязной. В частности, каждая (действительная или комплексная) алгебра Ли также соответствует единственной связной и односвязной группе Ли с этой алгеброй Ли, называемой «односвязной группой Ли», связанной с ${\ Displaystyle К \ подмножество \ pi _ {1} (G)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ tilde {G}} ^ {K}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle К \ подмножество \ pi _ {1} (G)}$ ${\ Displaystyle {\ тильда {G}} ^ {К = \ pi _ {1} (G)}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}.}$

Компактные группы Ли

Каждая простая комплексная алгебра Ли имеет единственную действительную форму, соответствующая бесцентровая группа Ли которой компактна . Оказывается, односвязная группа Ли в этих случаях также компактна. Компактные группы Ли имеют особенно податливую теорию представлений благодаря теореме Питера – Вейля . Как и простые комплексные алгебры Ли, бесцентровые компактные группы Ли классифицируются диаграммами Дынкина (впервые классифицированными Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном ).

Для бесконечной (A, B, C, D) серии диаграмм Дынкина односвязная компактная группа Ли, ассоциированная с каждой диаграммой Дынкина, может быть явно описана как матричная группа с соответствующей бесцентровой компактной группой Ли, описываемой как фактор по подгруппа скалярных матриц.

Обзор классификации

_Г имеет в качестве ассоциированной односвязной компактной группы в специальной унитарную группу , SU ( г + 1) , а также связанную с ним бесцентровой компактной группой проективной унитарной группы ПУ ( г + 1) .

В _Г имеет в качестве своих ассоциированных бесцентровых компактных групп нечетных специальных ортогональных групп , SO (2 г + 1) . Однако эта группа не односвязна: ее универсальное (двойное) покрытие - это группа Spin .

С _г имеет в качестве ассоциированного односвязной группы в группу унитарных матриц симплектическими , Sp ( г ) и в качестве связанной с ним группы бесцентровом группа Ли PSp ( г ) = Sp ( г ) / {Я, -I} проективных унитарных матриц симплектическими . Симплектические группы имеют двойное покрытие метаплектической группой .

D _г имеет в качестве ассоциированной компактной группы даже в специальных ортогональных группы , SO (2 R ) и связанной с ним в качестве бесцентровой компактной группы проективного специальной ортогональной группы ПСО (2 г ) = SO (2 г ) / {Я, -I}. Как и серия B, SO (2 r ) не является односвязным; его универсальная оболочка снова является спиновой группой , но последняя снова имеет центр (см. ее статью).

Диаграмма D ₂ является двумя изолированными узлами, такими же, как A ₁ ∪ A ₁ , и это совпадение соответствует гомоморфизму покрывающих отображений из SU (2) × SU (2) в SO (4), заданному умножением кватернионов ; см. кватернионы и пространственное вращение . Таким образом, SO (4) не простая группа. Кроме того, диаграмма D ₃ такая же, как A ₃ , что соответствует гомоморфизму накрывающих отображений из SU (4) в SO (6).

В дополнение к четырем семействам A _i , B _i , C _i и D _i, приведенным выше, существует пять так называемых исключительных диаграмм Дынкина G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ и E ₈ ; этим исключительным диаграммам Дынкина также соответствуют односвязные и бесцентровые компактные группы. Однако группы, связанные с исключительными семействами, описать труднее, чем группы, связанные с бесконечными семействами, в основном потому, что в их описаниях используются исключительные объекты . Например, группа, ассоциированная с G _2, является группой автоморфизмов октонионов , а группа, ассоциированная с F _4, является группой автоморфизмов некоторой алгебры Альберта .

Также E _{7+1 ⁄ 2} .

Список

Абелев

	Измерение	Группа внешних автоморфизмов	Размерность симметричного пространства	Симметричное пространство	Замечания
${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ (Абелев)	1	${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$	1	${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Заметки

^ † Группане «проста» как абстрактная группа, и согласно большинству (но не всем) определениям это не простая группа Ли. Кроме того, большинство авторов не считают ее алгебру Ли простой алгеброй Ли. Он указан здесь для того, чтобы список «неприводимых односвязных симметрических пространств» был полным. Обратите внимание, чтоэто единственное такое некомпактное симметрическое пространство без компактного двойственного (хотя оно имеет компактный факторS¹).

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

Компактный

	Измерение	Фундаментальная группа	Группа внешних автоморфизмов	Другие названия	Замечания
A _n ( n ≥ 1 ) компактный	п ( п + 2)	Циклический, порядок n + 1	1, если n = 1 , 2, если n > 1 .	проективная специальная унитарная группа PSU ( n + 1)	A ₁ совпадает с B ₁ и C ₁
B _n ( n ≥ 2 ) компактный	п (2 п + 1)	2	1	специальная ортогональная группа SO_{2 n +1} ( R )	B ₁ совпадает с A ₁ и C ₁ . B ₂ то же самое, что и C ₂ .
C _n ( n ≥ 3 ) компактный	п (2 п + 1)	2	1	проективная компактная симплектическая группа PSp ( n ), PSp (2 n ), PUSp ( n ), PUSp (2 n )	Эрмитский. Сложные структуры H ⁿ . Копии комплексного проективного пространства в кватернионном проективном пространстве.
D _n ( n ≥ 4 ) компактный	п (2 п - 1)	Порядок 4 (циклический, если n нечетное).	2, если n > 4 , S _3, если n = 4	проективная специальная ортогональная группа PSO _{2 n} ( R )	D ₃ то же самое, что A ₃ , D ₂ то же самое, что A ₁² , и D ₁ абелева.
E ₆⁻⁷⁸ компактный	78	3	2
E ₇⁻¹³³ компактный	133	2	1
E ₈⁻²⁴⁸ компактный	248	1	1
F ₄⁻⁵² компактный	52	1	1
G ₂⁻¹⁴ компактный	14	1	1		Это группа автоморфизмов алгебры Кэли.

Расколоть

	Измерение	Настоящее звание	Максимальная компактная подгруппа	Фундаментальная группа	Группа внешних автоморфизмов	Другие названия	Размерность симметричного пространства	Компактное симметричное пространство	Некомпактное симметричное пространство	Замечания
Разделение _n I ( n ≥ 1)	п ( п + 2)	п	D _{n / 2} или B _{( n −1) / 2}	Бесконечный циклический, если n = 1 2, если n ≥ 2	1, если n = 1, 2, если n ≥ 2.	проективная специальная линейная группа PSL _{n +1} (R)	п ( п + 3) / 2	Реальные структуры на C ^{n +1} или множество RP ⁿ в CP ⁿ . Эрмитов, если n = 1 , и в этом случае это 2-сфера.	Евклидовы структуры на R ^{n +1} . Эрмитов, если n = 1 , когда это верхняя полуплоскость или единичный комплексный диск.
B _n I ( n ≥ 2) разделить	п (2 п + 1)	п	SO ( n ) SO ( n +1)	Нециклический, порядок 4	1	компонент тождества специальной ортогональной группы SO ( n , n +1)	п ( п + 1)			B ₁ то же самое, что и A ₁ .
C _n I ( n ≥ 3) разделить	п (2 п + 1)	п	A _{n −1}S ¹	Бесконечный циклический	1	проективная симплектическая группа PSp _{2 n} ( R ), PSp (2 n , R ), PSp (2 n ), PSp ( n , R ), PSp ( n )	п ( п + 1)	Эрмитский. Сложные структуры H ⁿ . Копии комплексного проективного пространства в кватернионном проективном пространстве.	Эрмитский. Комплексные структуры на R ^{2 n,} согласованные с симплектической формой. Множество сложных гиперболических пространств в кватернионном гиперболическом пространстве. Верхнее полупространство Зигеля.	C ₂ то же самое, что B ₂ , и C ₁ то же самое, что B ₁ и A ₁ .
D _n I ( n ≥ 4) разделить	п (2 п - 1)	п	SO ( n ) SO ( n )	Заказ 4, если n нечетное, 8, если n четное	2, если n > 4 , S _3, если n = 4	тождественный компонент проективной специальной ортогональной группы PSO ( n , n )	п ²			D ₃ то же самое, что A ₃ , D ₂ то же самое, что A ₁² , и D ₁ абелева.
E ₆⁶ Я разделился	78	6	C ₄	Заказ 2	Заказ 2	EI	42
E ₇⁷ В разделенный	133	7	А ₇	Циклический, порядок 4	Заказ 2		70
E ₈⁸ VIII сплит	248	8	D ₈	2	1	E VIII	128			@ E8
F ₄⁴ Я сплит	52	4	С ₃ × А ₁	Заказ 2	1	FI	28 год	Кватернионные проективные плоскости в проективной плоскости Кэли.	Гиперболические кватернионные проективные плоскости в гиперболической проективной плоскости Кэли.
G ₂² Я раскололся	14	2	А ₁ × А ₁	Заказ 2	1	GI	8	Кватернионные подалгебры алгебры Кэли. Quaternion-Kähler.	Кватернионные подалгебры неделимой алгебры Кэли. Quaternion-Kähler.

Сложный

	Реальное измерение	Настоящее звание	Максимальная компактная подгруппа	Фундаментальная группа	Группа внешних автоморфизмов	Другие названия	Размерность симметричного пространства	Компактное симметричное пространство	Некомпактное симметричное пространство
Комплекс _n ( n ≥ 1)	2 п ( п + 2)	п	А _п	Циклический, порядок n + 1	2, если n = 1 , 4 (нециклический), если n ≥ 2 .	проективная комплексная специальная линейная группа PSL _{n +1} ( C )	п ( п + 2)	Компактная группа A _n	Эрмитовы формы на C ^{n +1} с фиксированным объемом.
B _n ( n ≥ 2) комплексный	2 п (2 п + 1)	п	B _n	2	Порядок 2 (комплексное сопряжение)	комплексная специальная ортогональная группа SO _{2 n +1} ( C )	п (2 п + 1)	Компактная группа B _n
C _n ( n ≥ 3) комплексный	2 п (2 п + 1)	п	C _n	2	Порядок 2 (комплексное сопряжение)	проективная комплексная симплектическая группа PSp _{2 n} ( C )	п (2 п + 1)	Компактная группа C _n
D _n ( n ≥ 4) комплексный	2 п (2 п - 1)	п	D _n	Порядок 4 (циклический, если n нечетное)	Нециклический порядок 4 при n > 4 или произведение группы порядка 2 и симметрической группы S ₃ при n = 4 .	проективная комплексная специальная ортогональная группа PSO _{2 n} ( C )	п (2 п - 1)	Компактная группа D _n
E ₆ комплекс	156	6	E ₆	3	Порядок 4 (нециклический)		78	Компактная группа E ₆
E ₇ комплекс	266	7	E ₇	2	Порядок 2 (комплексное сопряжение)		133	Компактная группа E ₇
E ₈ комплекс	496	8	E ₈	1	Порядок 2 (комплексное сопряжение)		248	Компактная группа E ₈
F ₄ комплекс	104	4	П ₄	1	2		52	Компактная группа F ₄
G ₂ комплекс	28 год	2	G ₂	1	Порядок 2 (комплексное сопряжение)		14	Компактная группа G ₂

Другие

	Измерение	Настоящее звание	Максимальная компактная подгруппа	Фундаментальная группа	Группа внешних автоморфизмов	Другие названия	Размерность симметричного пространства	Компактное симметричное пространство	Некомпактное симметричное пространство	Замечания
A _{2 n −1} II ( n ≥ 2)	(2 п - 1) (2 п + 1)	п - 1	C _n	Заказ 2		SL _n ( H ), SU ^∗ (2 n )	( п - 1) (2 п + 1)	Кватернионные структуры на C ^{2 n,} совместимые с эрмитовой структурой	Копии кватернионного гиперболического пространства (размерности n - 1 ) в комплексном гиперболическом пространстве (размерности 2 n - 1 ).
A _n III ( n ≥ 1) p + q = n + 1 (1 ≤ p ≤ q )	п ( п + 2)	п	A _{p −1}A _{q −1}S ¹			SU ( p , q ), A III	2 шт.	Эрмитский . Грассманиан p подпространств в C ^{p + q} . Если p или q равно 2; Quaternion-Kähler	Эрмитский. Грассманиан максимальных положительно определенных подпространств в C ^{p , q} . Если p или q равно 2, quaternion-Kähler	Если p = q = 1, разделить If \| p - q \| ≤ 1, квазирасщепленный
B _n I ( n > 1) p + q = 2 n +1	п (2 п + 1)	мин ( р , д )	SO ( p ) SO ( q )			SO ( p , q )	pq	Грассманиан R ^p s в R ^{p + q} . Если p или q равно 1, проективное пространство Если p или q равно 2; Эрмитовский Если p или q равно 4, кватернион-кэлер	Грассманиан положительно определенного R ^p s в R ^{p , q} . Если p или q равно 1, гиперболическое пространство Если p или q равно 2, эрмитово Если p или q равно 4, кватернион-кэлер	Если \| p - q \| ≤ 1, разделенный.
C _n II ( n > 2) n = p + q (1 ≤ p ≤ q )	п (2 п + 1)	мин ( р , д )	C _p C _q	Заказ 2	1, если p ≠ q , 2, если p = q .	Sp _{2 р , 2 д} (R) ,	4 шт.	Грассманиан H ^p s в H ^{p + q} . Если p или q равно 1, кватернионное проективное пространство в этом случае является кватернионно-кэлеровым.	H ^p s в H ^{p , q} . Если p или q равно 1, кватернионно-гиперболическое пространство, и в этом случае это кватернионно-кэлерское пространство .
D _n I ( n ≥ 4) p + q = 2 n	п (2 п - 1)	мин ( р , д )	SO ( p ) SO ( q )		Если p и q ≥ 3, порядок 8.	SO ( p , q )	pq	Грассманиан R ^p s в R ^{p + q} . Если p или q равно 1, проективное пространство Если p или q равно 2; Эрмитовский Если p или q равно 4, кватернион-кэлер	Грассманиан положительно определенного R ^p s в R ^{p , q} . Если p или q равно 1, гиперболическое пространство Если p или q равно 2, эрмитово Если p или q равно 4, кватернион-кэлер	Если p = q , разделить If \| p - q \| ≤ 2, квазирасщепленный
D _n III ( n ≥ 4)	п (2 п - 1)	⌊ n / 2⌋	A _{n −1}R ¹	Бесконечный циклический	Заказ 2	SO ^* (2n)	п ( п - 1)	Эрмитский. Комплексные структуры на R ^{2 n,} совместимые с евклидовой структурой.	Эрмитский. Кватернионные квадратичные формы на R ^{2 n} .
E ₆² II (квази-расщепленный)	78	4	А ₅А ₁	Циклический, порядок 6	Заказ 2	E II	40	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.	Квази-раскол, но не раскол.
E ₆⁻¹⁴ III	78	2	Д ₅С ¹	Бесконечный циклический	Банальный	E III	32	Эрмитский. Эллиптическая проективная плоскость Розенфельда над комплексифицированными числами Кэли.	Эрмитский. Гиперболическая проективная плоскость Розенфельда над комплексифицированными числами Кэли.
E ₆⁻²⁶ IV	78	2	П ₄	Банальный	Заказ 2	E IV	26 год	Множество проективных плоскостей Кэли в проективной плоскости над комплексифицированными числами Кэли.	Множество гиперболических плоскостей Кэли в гиперболической плоскости над комплексифицированными числами Кэли.
E ₇⁻⁵ VI	133	4	D ₆A ₁	Нециклический, порядок 4	Банальный	E VI	64	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.
E ₇⁻²⁵ VII	133	3	E ₆S ¹	Бесконечный циклический	Заказ 2	E VII	54	Эрмитский.	Эрмитский.
Е ₈⁻²⁴ IX	248	4	E ₇ × A ₁	Заказ 2	1	E IX	112	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.
Ж ₄⁻²⁰ II	52	1	B ₄ (спин ₉ ( R ))	Заказ 2	1	F II	16	Проективная плоскость Кэли. Quaternion-Kähler.	Гиперболическая проективная плоскость Кэли. Quaternion-Kähler.

Простые группы Ли малой размерности

В следующей таблице перечислены некоторые группы Ли с простыми алгебрами Ли малой размерности. Все группы на данной прямой имеют одну и ту же алгебру Ли. В случае размерности 1 группы абелевы и непростые.

Тусклый	Группы		Симметричное пространство	Компактный двойной	Классифицировать	Тусклый
1	${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ , S ¹ = U (1) = SO ₂ ( ) = Spin (2) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Абелев	Реальная линия		0	1
3	S ³ = Sp (1) = SU (2) = Spin (3), SO ₃ ( ) = PSU (2) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Компактный
3	SL ₂ ( ) = Sp ₂ ( ), SO _2,1 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Сплит, эрмитов, гиперболический	Гиперболическая плоскость ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2}}$	Сфера S ²	1	2
6	SL ₂ ( ) = Sp ₂ ( ), SO _3,1 ( ), SO ₃ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$	Сложный	Гиперболическое пространство ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {3}}$	Сфера S ³	1	3
8	SL ₃ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Расколоть	Евклидовы структуры на ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$	Реальные конструкции на ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$	2	5
8	SU (3)	Компактный
8	СУ (1,2)	Эрмитовый, квазиразбитый, кватернионный	Комплексная гиперболическая плоскость	Комплексная проективная плоскость	1	4
10	Sp (2) = Spin (5), SO ₅ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Компактный
10	SO _4,1 ( ), Sp _2,2 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Гиперболический, кватернионный	Гиперболическое пространство ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {4}}$	Сфера S ⁴	1	4
10	SO _3,2 ( ), Sp ₄ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Сплит, эрмитский	Верхнее полупространство Зигеля	Сложные конструкции на ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2}}$	2	6
14	G ₂	Компактный
14	G ₂	Сплит, кватернионный	Неделимые кватернионные подалгебры неделимых октонионов	Кватернионные подалгебры октонионов	2	8
15	SU (4) = Spin (6), SO ₆ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Компактный
15	SL ₄ ( ), SO _3,3 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Расколоть	${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ³ в ^3,3 ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Грассманиан G (3,3)	3	9
15	SU (3,1)	Эрмитский	Комплексное гиперболическое пространство	Комплексное проективное пространство	1	6
15	СУ (2,2), СО _4,2 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Эрмитовый, квазиразбитый, кватернионный	${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ² в ^2,4 ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Грассманиан G (2,4)	2	8
15	SL ₂ ( ), SO _5,1 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Гиперболический	Гиперболическое пространство ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {5}}$	Сфера S ⁵	1	5
16	SL ₃ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$	Сложный		SU (3)	2	8
20	SO ₅ ( ), Sp ₄ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$	Сложный		Отжим ₅ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	2	10
21 год	SO ₇ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Компактный
21 год	SO _6,1 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Гиперболический	Гиперболическое пространство ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {6}}$	Сфера S ⁶
21 год	SO _5,2 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Эрмитский
21 год	SO _4,3 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Сплит, кватернионный
21 год	Sp (3)	Компактный
21 год	Sp ₆ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Сплит, эрмит
21 год	Sp _4,2 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Кватернионный
24	SU (5)	Компактный
24	SL ₅ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Расколоть
24	SU _4,1	Эрмитский
24	SU _3,2	Эрмитовый, кватернионный
28 год	SO ₈ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Компактный
28 год	SO _7,1 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Гиперболический	Гиперболическое пространство ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {7}}$	Сфера S ⁷
28 год	SO _6,2 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Эрмитский
28 год	SO _5,3 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Квази-расщепление
28 год	SO _4,4 ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Сплит, кватернионный
28 год	SO ^∗₈ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	Эрмитский
28 год	G ₂ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$	Сложный
30	SL ₄ ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$	Сложный

Просто зашнурованные группы

Просто пронизано группой является группой Ли , чья Дынкина содержат только простые связи, и , следовательно , все ненулевые корни соответствующей алгебры Ли имеют одинаковую длину. Группы серий A, D и E просто зашнурованы, но никакие группы типов B, C, F или G просто зашнурованы.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Бессе, многообразия Эйнштейна ISBN 0-387-15279-2
Хельгасон, Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства . ISBN 0-8218-2848-7
Фукс и Швайгерт, Симметрии, алгебры Ли и представления: выпускной курс для физиков. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-54119-0

Languages

In other projects