Равномерный 5-многогранник - Uniform 5-polytope
В геометрии , A равномерный 5-многогранник является пятимерной равномерной многогранник . По определению, равномерный 5-многогранник является вершинно-транзитивным и построен из граней равномерного 4-многогранника .
Полный набор выпуклых однородных 5-многогранников не определен, но многие из них могут быть построены как конструкции Уайтхоффа из небольшого набора групп симметрии . Эти операции построения представлены перестановками колец диаграмм Кокстера .
История открытия
-
Правильные многогранники : (выпуклые грани)
- 1852 : Людвиг Шлефли доказал в своей рукописи Theorie der vielfachen Kontinuität, что существует ровно 3 правильных многогранника в 5 или более измерениях .
-
Выпуклые полуправильные многогранники : (Различные определения до равномерной категории Кокстера )
- 1900 : Торольд Госсет перечислил список непризматических полуправильных выпуклых многогранников с правильными фасетами ( выпуклые правильные 4-многогранники ) в своей публикации « О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений» .
-
Выпуклые равномерные многогранники :
- 1940-1988 : поиск был систематически расширен HSM Coxeter в его публикации Regular and Semi-Regular Polytopes I, II, and III .
- 1966 : Норман У. Джонсон защитил докторскую диссертацию. Диссертация Кокстера, Теория однородных многогранников и сот , Университет Торонто
Правильные 5-многогранники
Правильные 5-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p, q, r, s} с гранями s {p, q, r} 4-многогранников вокруг каждой грани . Таких правильных многогранников ровно три, все выпуклые:
- {3,3,3,3} - 5-симплекс
- {4,3,3,3} - 5 куб.
- {3,3,3,4} - 5-ортоплекс
Не существует невыпуклых правильных многогранников в 5,6,7,8,9,10,11 и 12 измерениях.
Выпуклые равномерные 5-многогранники
Нерешенная задача по математике : Что такое полный набор однородных 5-многогранников?
(больше нерешенных задач по математике)
|
Существует 104 известных выпуклых однородных 5-многогранников, а также множество бесконечных семейств дуопризм и дуопризм многоугольника и многогранника. Все, кроме большой антипризмы , основаны на конструкциях Уайтхоффа , а симметрия отражения генерируется группами Кокстера .
Симметрия однородных 5-многогранников в четырех измерениях
5-симплекс является регулярной формой в А - 5 семьи. 5-куба и 5-orthoplex являются регулярные формы в B 5 семьи. Разветвляющийся граф семейства D 5 содержит 5-ортоплекс , а также 5-полукуб, который является чередующимся 5-кубом .
Каждый отражающий однородный 5-многогранник может быть построен в одной или нескольких группах отражающих точек в 5 измерениях с помощью конструкции Витхоффа , представленной кольцами вокруг перестановок узлов на диаграмме Кокстера . Зеркальные гиперплоскости могут быть сгруппированы по цветным узлам, разделенным четными ветвями. Группы симметрии вида [a, b, b, a] обладают расширенной симметрией [[a, b, b, a]], как и [3,3,3,3], удваивая порядок симметрии. Равномерные многогранники в этой группе с симметричными кольцами содержат эту расширенную симметрию.
Если в данном однородном многограннике все зеркала данного цвета не закручены (неактивны), он будет иметь конструкцию с более низкой симметрией, удалив все неактивные зеркала. Если все узлы данного цвета обведены (активны), операция чередования может сгенерировать новый 5-многогранник с киральной симметрией, показанный как «пустые» обведенные узлы », но геометрия обычно не регулируется для создания однородных решений.
- Фундаментальные семьи
Символ группы |
порядок | Граф Кокстера |
Обозначение скобок |
Подгруппа коммутатора |
Число Кокстера (h) |
Отражения м = 5/2 ч |
||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
А 5 | 720 | [3,3,3,3] | [3,3,3,3] + | 6 | 15 | |||
D 5 | 1920 г. | [3,3,3 1,1 ] | [3,3,3 1,1 ] + | 8 | 20 | |||
В 5 | 3840 | [4,3,3,3] | 10 | 5 | 20 |
- Однородные призмы
Существует 5 конечных категориальных однородных призматических семейств многогранников, основанных на непризматических однородных 4-многогранниках . Существует одно бесконечное семейство 5-многогранников, основанное на призмах равномерных дуопризм {p} × {q} × {}.
Группа Коксетера |
порядок |
Диаграмма Кокстера |
Обозначение Кокстера |
Подгруппа коммутатора |
Размышления | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
А 4 А 1 | 120 | [3,3,3,2] = [3,3,3] × [] | [3,3,3] + | 10 | 1 | ||||||
D 4 A 1 | 384 | [3 1,1,1 , 2] = [3 1,1,1 ] × [] | [3 1,1,1 ] + | 12 | 1 | ||||||
В 4 А 1 | 768 | [4,3,3,2] = [4,3,3] × [] | 4 | 12 | 1 | ||||||
F 4 A 1 | 2304 | [3,4,3,2] = [3,4,3] × [] | [3 + , 4,3 + ] | 12 | 12 | 1 | |||||
H 4 A 1 | 28800 | [5,3,3,2] = [3,4,3] × [] | [5,3,3] + | 60 | 1 | ||||||
Дуопризматический (используйте 2p и 2q для равнин) | |||||||||||
I 2 ( p ) I 2 ( q ) A 1 | 8 шт. | [p, 2, q, 2] = [p] × [q] × [] | [p + , 2, q + ] | п | q | 1 | |||||
I 2 (2 p ) I 2 ( q ) A 1 | 16 шт. | [2p, 2, q, 2] = [2p] × [q] × [] | п | п | q | 1 | |||||
I 2 (2 п. ) I 2 (2 кв. ) A 1 | 32 чел. | [2p, 2,2q, 2] = [2p] × [2q] × [] | п | п | q | q | 1 |
- Однородные дуопризмы
Есть 3 категорного однородное duoprismatic семейства многогранников на основе декартовых произведений в равномерных многогранниках и правильных многоугольников : { д , г } × { р }.
Группа Коксетера |
порядок |
Диаграмма Кокстера |
Обозначение Кокстера |
Подгруппа коммутатора |
Размышления | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Призматические группы (используйте 2p для четных) | |||||||||||
A 3 I 2 ( p ) | 48 п. | [3,3,2, p ] = [3,3] × [ p ] | [(3,3) + , 2, p + ] | 6 | п | ||||||
A 3 I 2 ( 2p ) | 96 с. | [3,3,2,2 p ] = [3,3] × [2 p ] | 6 | п | п | ||||||
В 3 И 2 ( р ) | 96 с. | [4,3,2, p ] = [4,3] × [ p ] | 3 | 6 | п | ||||||
B 3 I 2 ( 2р ) | 192 с. | [4,3,2,2 p ] = [4,3] × [2 p ] | 3 | 6 | п | п | |||||
H 3 I 2 ( p ) | 240 с. | [5,3,2, p ] = [5,3] × [ p ] | [(5,3) + , 2, p + ] | 15 | п | ||||||
H 3 I 2 ( 2p ) | 480 с. | [5,3,2,2 p ] = [5,3] × [2 p ] | 15 | п | п |
Перечисление выпуклых равномерных 5-многогранников
-
Семейство симплексных : A 5 [3 4 ]
- 19 однородных 5-многогранников
-
Семейство Hypercube / Orthoplex : BC 5 [4,3 3 ]
- 31 равномерный 5-многогранник
-
Семейство Demihypercube D 5 / E 5 : [3 2,1,1 ]
- 23 однородных 5-многогранников (8 уникальных)
- Призмы и дуопризмы:
- 56 однородных 5-многогранников (45 уникальных) построений на основе призматических семейств: [3,3,3] × [], [4,3,3] × [], [5,3,3] × [], [3 1,1,1 ] × [].
- Один не-Витоффиан - Большая антипризма - единственный известный невыпуклый однородный 5-многогранник, не являющийся Витоффовым, построенный из двух больших антипризм, соединенных многогранными призмами.
В результате получается: 19 + 31 + 8 + 45 + 1 = 104.
Дополнительно есть:
- Бесконечно много равномерных 5-многогранников, построенных на основе призматических семейств дуопризм: [p] × [q] × [].
- Бесконечно много равномерных 5-многогранников, построенных на основе дуопризматических семейств: [3,3] × [p], [4,3] × [p], [5,3] × [p].
Аналого 5 семья
Существует 19 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера с одним или несколькими кольцами. (16 + 4-1 ящика)
Они названы Норманом Джонсоном из операций по построению Wythoff на регулярном 5-симплексе (гексатероне).
5 семейство имеет симметрию порядка 720 (6 факториала ). 7 из 19 рисунков с симметрично окольцованными диаграммами Кокстера имеют удвоенную симметрию порядка 1440.
Координаты однородных 5-многогранников с 5-симплексной симметрией могут быть сгенерированы как перестановки простых целых чисел в 6-пространстве, все в гиперплоскостях с вектором нормали (1,1,1,1,1,1).
# | Базовая точка |
Система имен Джонсона имя Бауэрса и (аббревиатура) диаграмма Кокстера |
Количество элементов k-face |
Фигура вершины |
Подсчет фасетов по местоположению: [3,3,3,3] | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
[3,3,3] (6) |
[3,3,2] (15) |
[3,2,3] (20) |
[2,3,3] (15) |
[3,3,3] (6) |
||||
1 | (0,0,0,0,0,1) или (0,1,1,1,1,1) |
5-симплексный гексатерон (hix) |
6 | 15 | 20 | 15 | 6 |
{3,3,3} |
(5) {3,3,3} |
- | - | - | - |
2 | (0,0,0,0,1,1) или (0,0,1,1,1,1) |
Ректифицированный 5-симплексный выпрямленный гексатерон (rix) |
12 | 45 | 80 | 60 | 15 |
т {3,3} × {} |
(4) г {3,3,3} |
- | - | - | (2) {3,3,3} |
3 | (0,0,0,0,1,2) или (0,1,2,2,2,2) |
Усеченный 5-симплексный усеченный гексатерон (tix) |
12 | 45 | 80 | 75 | 30 |
Tetrah.pyr |
(4) т {3,3,3} |
- | - | - | (1) {3,3,3} |
4 | (0,0,0,1,1,2) или (0,1,1,2,2,2) |
Скошенный 5-симплексный малый ромбовидный гексатерон (саркс) |
27 | 135 | 290 | 240 | 60 |
призматический клин |
(3) rr {3,3,3} |
- | - | (1) × {} × {3,3} |
(1) г {3,3,3} |
5 | (0,0,0,1,2,2) или (0,0,1,2,2,2) |
Bitruncated 5-симплексный bitruncated hexateron (bittix) |
12 | 60 | 140 | 150 | 60 | (3) 2т {3,3,3} |
- | - | - | (2) т {3,3,3} |
|
6 | (0,0,0,1,2,3) или (0,1,2,3,3,3) |
Укороченный 5-симплексный большой ромбовидный гексатерон (garx) |
27 | 135 | 290 | 300 | 120 |
tr {3,3,3} |
- | - |
× {} × {3,3} |
т {3,3,3} |
|
7 | (0,0,1,1,1,2) или (0,1,1,1,2,2) |
Гексатерон гексатерон гексатерон гексатеронный 5-симплексный |
47 | 255 | 420 | 270 | 60 | (2) t 0,3 {3,3,3} |
- | (3) {3} × {3} |
(3) × {} × r {3,3} |
(1) г {3,3,3} |
|
8 | (0,0,1,1,2,3) или (0,1,2,2,3,3) |
Усеченный 5-симплексный призматический гексатерон (pattix) |
47 | 315 | 720 | 630 | 180 |
т 0,1,3 {3,3,3} |
- |
× {6} × {3} |
× {} × г {3,3} |
рр {3,3,3} |
|
9 | (0,0,1,2,2,3) или (0,1,1,2,3,3) |
Гексатерон с гранулированной звездочкой 5-симплексной призмой (пиркс) |
47 | 255 | 570 | 540 | 180 |
т 0,1,3 {3,3,3} |
- |
{3} × {3} |
× {} × t {3,3} |
2т {3,3,3} |
|
10 | (0,0,1,2,3,4) или (0,1,2,3,4,4) |
Рукоусеченный 5-симплексный большой призматический гексатерон (гиппикс) |
47 | 315 | 810 | 900 | 360 |
Irr. 5-элементный |
т 0,1,2,3 {3,3,3} |
- |
× {3} × {6} |
× {} × t {3,3} |
рр {3,3,3} |
11 | (0,1,1,1,2,3) или (0,1,2,2,2,3) |
Стеритоусеченный 5-симплексный клеточный гексатерон (cappix) |
62 | 330 | 570 | 420 | 120 |
т {3,3,3} |
× {} × t {3,3} |
× {3} × {6} |
× {} × {3,3} |
т 0,3 {3,3,3} |
|
12 | (0,1,1,2,3,4) или (0,1,2,3,3,4) |
Стерикантитусеченный 5-симплексный гексатерон (cograx) |
62 | 480 | 1140 | 1080 | 360 |
tr {3,3,3} |
× {} × tr {3,3} |
× {3} × {6} |
× {} × rr {3,3} |
т 0,1,3 {3,3,3} |
# | Базовая точка |
Система имен Джонсона имя Бауэрса и (аббревиатура) диаграмма Кокстера |
Количество элементов k-face |
Фигура вершины |
Подсчет фасетов по местоположению: [3,3,3,3] | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
[3,3,3] (6) |
[3,3,2] (15) |
[3,2,3] (20) |
[2,3,3] (15) |
[3,3,3] (6) |
||||
13 | (0,0,0,1,1,1) |
Биректифицированный 5-симплексный додекатерон (точка) |
12 | 60 | 120 | 90 | 20 |
{3} × {3} |
(3) г {3,3,3} |
- | - | - | (3) г {3,3,3} |
14 | (0,0,1,1,2,2) |
Бикантеллированный 5-симплексный малый биомбированный додекатерон (сибрид) |
32 | 180 | 420 | 360 | 90 | (2) р-р {3,3,3} |
- | (8) {3} × {3} |
- | (2) р-р {3,3,3} |
|
15 | (0,0,1,2,3,3) |
Двукратно-усеченный 5-симплексный большой биомбированный додекатерон (гибрид) |
32 | 180 | 420 | 450 | 180 |
tr {3,3,3} |
- |
{3} × {3} |
- |
tr {3,3,3} |
|
16 | (0,1,1,1,1,2) |
Стерилизованный 5-симплексный додекатерон с малыми ячейками (scad) |
62 | 180 | 210 | 120 | 30 |
Irr. 16 ячеек |
(1) {3,3,3} |
(4) × {} × {3,3} |
(6) {3} × {3} |
(4) × {} × {3,3} |
(1) {3,3,3} |
17 | (0,1,1,2,2,3) |
Стерикантеллированный 5-симплексный малая клетка, гомбинированный додекатерон |
62 | 420 | 900 | 720 | 180 |
рр {3,3,3} |
× {} × rr {3,3} |
{3} × {3} |
× {} × rr {3,3} |
рр {3,3,3} |
|
18 | (0,1,2,2,3,4) |
Стерино-усеченная 5-симплексная клетка, призматический усеченный додекатерон (каптид) |
62 | 450 | 1110 | 1080 | 360 |
т 0,1,3 {3,3,3} |
× {} × t {3,3} |
{6} × {6} |
× {} × t {3,3} |
т 0,1,3 {3,3,3} |
|
19 | (0,1,2,3,4,5) |
Омнитусеченный 5-симплексный большой клетчатый додекатерон (gocad) |
62 | 540 | 1560 | 1800 | 720 |
Irr. {3,3,3} |
(1) t 0,1,2,3 {3,3,3} |
(1) × {} × tr {3,3} |
(1) {6} × {6} |
(1) × {} × tr {3,3} |
(1) t 0,1,2,3 {3,3,3} |
B 5 семьи
B 5 семейство имеет симметрию порядка 3840 (5! × 2 5 ).
Это семейство имеет 2 5 −1 = 31 однородных многогранников Витоффа, порожденных маркировкой одного или нескольких узлов диаграммы Кокстера .
Для простоты он разделен на две подгруппы, в каждой по 12 форм, и 7 «средних» форм, которые в равной степени принадлежат обеим.
Семейство 5-кубов из 5-многогранников задается выпуклыми оболочками базовых точек, перечисленных в следующей таблице, со всеми перестановками координат и знаков. Каждая базовая точка порождает отдельный однородный 5-многогранник. Все координаты соответствуют однородным 5-многогранникам с длиной ребра 2.
# | Базовая точка | Название Диаграмма Кокстера |
Количество элементов |
Фигура вершины |
Подсчет фасетов по местоположению: [4,3,3,3] | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
[4,3,3] (10) |
[4,3,2] (40) |
[4,2,3] (80) |
[2,3,3] (80) |
[3,3,3] (32) |
||||
20 | (0,0,0,0,1) √2 |
5-ортоплекс (tac) |
32 | 80 | 80 | 40 | 10 |
{3,3,4} |
{3,3,3} |
- | - | - | - |
21 год | (0,0,0,1,1) √2 |
Ректифицированный 5-ортоплекс (крыса) |
42 | 240 | 400 | 240 | 40 |
{} × {3,4} |
{3,3,4} |
- | - | - |
г {3,3,3} |
22 | (0,0,0,1,2) √2 |
Усеченный 5-ортоплекс (tot) |
42 | 240 | 400 | 280 | 80 |
(Octah.pyr) |
т {3,3,3} |
{3,3,3} |
- | - | - |
23 | (0,0,1,1,1) √2 |
Биректифицированный 5-куб (нит) (Биректифицированный 5-ортоплекс) |
42 | 280 | 640 | 480 | 80 |
{4} × {3} |
г {3,3,4} |
- | - | - |
г {3,3,3} |
24 | (0,0,1,1,2) √2 |
Кантеллированный 5-ортоплекс (сарт) |
82 | 640 | 1520 | 1200 | 240 |
Призма-клин |
г {3,3,4} | {} × {3,4} | - | - |
рр {3,3,3} |
25 | (0,0,1,2,2) √2 |
Усеченный 5-ортоплекс (bittit) |
42 | 280 | 720 | 720 | 240 | т {3,3,4} | - | - | - |
2т {3,3,3} |
|
26 | (0,0,1,2,3) √2 |
Cantitruncated 5-ортоплекс (gart) |
82 | 640 | 1520 | 1440 | 480 | рр {3,3,4} | {} × r {3,4} |
{6} × {4} |
- |
т 0,1,3 {3,3,3} |
|
27 | (0,1,1,1,1) √2 |
Ректификованный 5-куб (рин) |
42 | 200 | 400 | 320 | 80 |
{3,3} × {} |
г {4,3,3} |
- | - | - |
{3,3,3} |
28 | (0,1,1,1,2) √2 |
Ранцинированный 5-ортоплекс (спат) |
162 | 1200 | 2160 | 1440 | 320 | г {4,3,3} | - |
{3} × {4} |
т 0,3 {3,3,3} |
||
29 | (0,1,1,2,2) √2 |
Бикантеллированный 5-куб (сибрант) (Бикантеллированный 5-ортоплекс) |
122 | 840 | 2160 | 1920 г. | 480 |
рр {4,3,3} |
- |
{4} × {3} |
- |
рр {3,3,3} |
|
30 | (0,1,1,2,3) √2 |
Runcitruncated 5-ортоплекс (pattit) |
162 | 1440 | 3680 | 3360 | 960 | рр {3,3,4} | {} × r {3,4} |
{6} × {4} |
- |
т 0,1,3 {3,3,3} |
|
31 год | (0,1,2,2,2) √2 |
Bitruncated 5-cube (загар) |
42 | 280 | 720 | 800 | 320 |
2т {4,3,3} |
- | - | - |
т {3,3,3} |
|
32 | (0,1,2,2,3) √2 |
Runcicantellated 5-ортоплекс (пирт) |
162 | 1200 | 2960 | 2880 | 960 | {} × t {3,4} | 2т {3,3,4} |
{3} × {4} |
- |
т 0,1,3 {3,3,3} |
|
33 | (0,1,2,3,3) √2 |
Бикантитроусеченный 5-куб (гибрант) (Бикантитусеченный 5-ортоплекс) |
122 | 840 | 2160 | 2400 | 960 |
рр {4,3,3} |
- |
{4} × {3} |
- |
рр {3,3,3} |
|
34 | (0,1,2,3,4) √2 |
Ранцикантитусеченный 5-ортоплекс (гиппит) |
162 | 1440 | 4160 | 4800 | 1920 г. | tr {3,3,4} | {} × t {3,4} |
{6} × {4} |
- |
т 0,1,2,3 {3,3,3} |
|
35 год | (1,1,1,1,1) |
5-куб (пент) |
10 | 40 | 80 | 80 | 32 |
{3,3,3} |
{4,3,3} |
- | - | - | - |
36 | (1,1,1,1,1) + (0,0,0,0,1) √2 |
Стерилизованный 5-кубик (скудный) (Стерилизованный 5-ортоплекс) |
242 | 800 | 1040 | 640 | 160 |
Tetr.antiprm |
{4,3,3} |
{4,3} × {} |
{4} × {3} |
{} × {3,3} |
{3,3,3} |
37 | (1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,1) √2 |
Бегущий 5-куб (пролет) |
202 | 1240 | 2160 | 1440 | 320 |
т 0,3 {4,3,3} |
- |
{4} × {3} |
{} × r {3,3} |
{3,3,3} |
|
38 | (1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,2) √2 |
Стеритоусеченный 5-ортоплекс (каппин) |
242 | 1520 | 2880 | 2240 | 640 | т 0,3 {3,3,4} | {} × {4,3} | - | - |
т {3,3,3} |
|
39 | (1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,1) √2 |
Сквозной 5-куб (сирн) |
122 | 680 | 1520 | 1280 | 320 |
Призма-клин |
рр {4,3,3} |
- | - |
{} × {3,3} |
г {3,3,3} |
40 | (1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,2) √2 |
Стерикантеллированный 5-куб (карнит) (Stericantellated 5-orthoplex) |
242 | 2080 г. | 4720 | 3840 | 960 |
рр {4,3,3} |
rr {4,3} × {} |
{4} × {3} |
{} × rr {3,3} |
рр {3,3,3} |
|
41 год | (1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,2) √2 |
Runcicantellated 5-куб (прин) |
202 | 1240 | 2960 | 2880 | 960 |
т 0,1,3 { 4,3,3 } |
- |
{4} × {3} |
{} × t {3,3} |
2т {3,3,3} |
|
42 | (1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,3) √2 |
Стерикантитусеченный 5-ортоплекс (когарт) |
242 | 2320 | 5920 | 5760 | 1920 г. |
{} × rr {3,4} |
т 0,1,3 {3,3,4} |
{6} × {4} |
{} × t {3,3} |
tr {3,3,3} |
|
43 год | (1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,1) √2 |
Усеченный 5-куб (загар) |
42 | 200 | 400 | 400 | 160 |
Tetrah.pyr |
т {4,3,3} |
- | - | - |
{3,3,3} |
44 | (1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,2) √2 |
Стеритоусеченный 5-кубик (capt) |
242 | 1600 | 2960 | 2240 | 640 |
т {4,3,3} |
т {4,3} × {} |
{8} × {3} |
{} × {3,3} |
т 0,3 {3,3,3} |
|
45 | (1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,2) √2 |
Беги усеченный 5-куб (паттин) |
202 | 1560 | 3760 | 3360 | 960 |
т 0,1,3 { 4,3,3 } |
{} × t {4,3} |
{6} × {8} |
{} × t {3,3} | t 0,1,3 {3,3,3}]] | |
46 | (1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,3) √2 |
Стерино-усеченный 5-куб (каптинт) (Стериро-усеченный 5-ортоплекс) |
242 | 2160 | 5760 | 5760 | 1920 г. |
т 0,1,3 { 4,3,3 } |
т {4,3} × {} |
{8} × {6} |
{} × t {3,3} |
т 0,1,3 {3,3,3} |
|
47 | (1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,2) √2 |
Cantitruncated 5-куб (гирн) |
122 | 680 | 1520 | 1600 | 640 |
tr {4,3,3} |
- | - |
{} × {3,3} |
т {3,3,3} |
|
48 | (1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,3) √2 |
Стериканитусеченный 5-кубик (когрин) |
242 | 2400 | 6000 | 5760 | 1920 г. |
tr {4,3,3} |
tr {4,3} × {} |
{8} × {3} |
{} × т 0,2 {3,3} |
т 0,1,3 {3,3,3} |
|
49 | (1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,3) √2 |
Рунический усеченный 5-кубик (гиппин) |
202 | 1560 | 4240 | 4800 | 1920 г. |
т 0,1,2,3 { 4,3,3 } |
- |
{8} × {3} |
{} × t {3,3} |
tr {3,3,3} |
|
50 | (1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,4) √2 |
Омнитусеченный 5-куб (gacnet) (полностью усеченный 5-ортоплекс) |
242 | 2640 | 8160 | 9600 | 3840 |
Irr. {3,3,3} |
tr {4,3} × {} |
tr {4,3} × {} |
{8} × {6} |
{} × tr {3,3} |
т 0,1,2,3 {3,3,3} |
D 5 семьи
D 5 семейство имеет симметрию порядка 1920 (5! Х 2 4 ).
Это семейство состоит из 23 однородных многогранников Витоффа из 3x8-1 перестановок диаграммы Кокстера D 5 с одним или несколькими кольцами. 15 (2x8-1) повторяются из семейства B 5, а 8 являются уникальными для этого семейства.
# |
Диаграмма Кокстера Символы символа Шлефли Имена Джонсона и Бауэрса |
Количество элементов |
Фигура вершины |
Фасеты по местоположению: [3 1,2,1 ] | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
[3,3,3] (16) |
[3 1,1,1 ] (10) |
[3,3] × [] (40) |
[] × [3] × [] (80) |
[3,3,3] (16) |
|||
51 |
знак равно h {4,3,3,3}, 5-полукубовый полуфабрикат (hin) |
26 | 120 | 160 | 80 | 16 |
т 1 {3,3,3} |
{3,3,3} | т 0 (1 11 ) | - | - | - |
52 |
знак равно h 2 {4,3,3,3}, кантик 5-куб. Усеченный гемипентеракт (тонкий) |
42 | 280 | 640 | 560 | 160 | ||||||
53 |
знак равно h 3 {4,3,3,3}, runcic 5-cube Маленький ромбовидный гемипентракт (сирхин) |
42 | 360 | 880 | 720 | 160 | ||||||
54 |
знак равно h 4 {4,3,3,3}, стерический 5-кубический малый призматический полуобъектив (сифин) |
82 | 480 | 720 | 400 | 80 | ||||||
55 |
знак равно h 2,3 {4,3,3,3}, рунический 5-кубический большой ромбовидный гемипентеракт (гирхин) |
42 | 360 | 1040 | 1200 | 480 | ||||||
56 |
знак равно h 2,4 {4,3,3,3}, стерически 5-кубический призматоусеченный полупентеракт (питин) |
82 | 720 | 1840 г. | 1680 | 480 | ||||||
57 |
знак равно h 3,4 {4,3,3,3}, стерильный 5-кубический призматический гемипентеракт (пирхин) |
82 | 560 | 1280 | 1120 | 320 | ||||||
58 |
знак равно h 2,3,4 {4,3,3,3}, стерилизующий 5-кубический большой призматический гемипентеракт (гипин) |
82 | 720 | 2080 г. | 2400 | 960 |
Однородные призматические формы
Существует 5 конечных категориальных однородных призматических семейств многогранников, основанных на непризматических однородных 4-многогранниках :
А 4 × А 1
Это призматическое семейство имеет 9 форм :
1 х А 4 семейство имеет симметрию порядка 240 (2 * 5!).
# |
Диаграмма Кокстера и символы Шлефли Имя |
Количество элементов | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Грани | Клетки | Лица | Края | Вершины | ||
59 |
= {3,3,3} × {} 5-элементная призма |
7 | 20 | 30 | 25 | 10 |
60 |
= r {3,3,3} × {} Выпрямленная 5-элементная призма |
12 | 50 | 90 | 70 | 20 |
61 |
= t {3,3,3} × {} Усеченная 5-элементная призма |
12 | 50 | 100 | 100 | 40 |
62 |
= rr {3,3,3} × {} Сквозная 5-элементная призма |
22 | 120 | 250 | 210 | 60 |
63 |
= t 0,3 {3,3,3} × {} Плоская 5-элементная призма |
32 | 130 | 200 | 140 | 40 |
64 |
= 2t {3,3,3} × {} Усеченная 5-элементная призма |
12 | 60 | 140 | 150 | 60 |
65 |
= tr {3,3,3} × {} Усеченная 5-элементная призма |
22 | 120 | 280 | 300 | 120 |
66 |
= t 0,1,3 {3,3,3} × {} Усеченная 5-элементная призма |
32 | 180 | 390 | 360 | 120 |
67 |
= t 0,1,2,3 {3,3,3} × {} Усеченная 5-элементная призма |
32 | 210 | 540 | 600 | 240 |
В 4 × А 1
Это призматическое семейство насчитывает 16 форм . (Три из них принадлежат семье [3,4,3] × [])
1 × B 4 семейство имеет симметрию порядка 768 (2 5 4!).
# |
Диаграмма Кокстера и символы Шлефли Имя |
Количество элементов | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Грани | Клетки | Лица | Края | Вершины | ||
[16] |
= {4,3,3} × {} Тессерактическая призма (То же, что и 5-куб ) |
10 | 40 | 80 | 80 | 32 |
68 |
= r {4,3,3} × {} Выпрямленная тессерактическая призма |
26 | 136 | 272 | 224 | 64 |
69 |
= t {4,3,3} × {} Усеченная тессерактическая призма |
26 | 136 | 304 | 320 | 128 |
70 |
= rr {4,3,3} × {} Скошенная тессерактическая призма |
58 | 360 | 784 | 672 | 192 |
71 |
= t 0,3 {4,3,3} × {} Многогранная тессерактическая призма |
82 | 368 | 608 | 448 | 128 |
72 |
= 2t {4,3,3} × {} Усеченная тессерактическая призма |
26 | 168 | 432 | 480 | 192 |
73 |
= tr {4,3,3} × {} Углово-усеченная тессератическая призма |
58 | 360 | 880 | 960 | 384 |
74 |
= t 0,1,3 { 4,3,3 } × {} Усеченная тессерактическая призма |
82 | 528 | 1216 | 1152 | 384 |
75 |
= t 0,1,2,3 { 4,3,3 } × {} Усеченная тессерактическая призма |
82 | 624 | 1696 | 1920 г. | 768 |
76 |
= {3,3,4} × {} 16-элементная призма |
18 | 64 | 88 | 56 | 16 |
77 |
= r {3,3,4} × {} Выпрямленная 16-элементная призма (такая же, как 24-элементная призма ) |
26 | 144 | 288 | 216 | 48 |
78 |
= t {3,3,4} × {} Усеченная призма с 16 ячейками |
26 | 144 | 312 | 288 | 96 |
79 |
= rr {3,3,4} × {} Скошенная 16-элементная призма ( такая же, как выпрямленная 24-элементная призма ) |
50 | 336 | 768 | 672 | 192 |
80 |
= tr {3,3,4} × {} Усеченная 16-элементная призма (То же, что и усеченная 24-элементная призма ) |
50 | 336 | 864 | 960 | 384 |
81 год |
= t 0,1,3 {3,3,4} × {} Усеченная призма с 16 ячейками |
82 | 528 | 1216 | 1152 | 384 |
82 |
= sr {3,3,4} × {} плоскодонная 24-элементная призма |
146 | 768 | 1392 | 960 | 192 |
F 4 × A 1
Это призматическое семейство состоит из 10 форм .
1 х Р 4 семейство имеет симметрию порядка 2304 (2 * 1152). Три многогранника 85, 86 и 89 (зеленый фон) имеют двойную симметрию [[3,4,3], 2], порядок 4608. Последний, плоскодонная призма из 24 ячеек (синий фон) имеет [3 + , 4, 3,2] симметрии порядка 1152.
# |
Диаграмма Кокстера и символы Шлефли Имя |
Количество элементов | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Грани | Клетки | Лица | Края | Вершины | ||
[77] |
= {3,4,3} × {} 24-элементная призма |
26 | 144 | 288 | 216 | 48 |
[79] |
= r {3,4,3} × {} ректифицированная 24-элементная призма |
50 | 336 | 768 | 672 | 192 |
[80] |
= t {3,4,3} × {} усеченная призма с 24 ячейками |
50 | 336 | 864 | 960 | 384 |
83 |
= rr {3,4,3} × {} наклонная 24-элементная призма |
146 | 1008 | 2304 | 2016 г. | 576 |
84 |
= t 0,3 {3,4,3} × {} призма с 24 ячейками |
242 | 1152 | 1920 г. | 1296 | 288 |
85 |
= 2t {3,4,3} × {} 24-элементная призма с усеченным битом |
50 | 432 | 1248 | 1440 | 576 |
86 |
= tr {3,4,3} × {} усеченная 24-элементная призма |
146 | 1008 | 2592 | 2880 | 1152 |
87 |
= t 0,1,3 {3,4,3} × {} усеченная 24-элементная призма |
242 | 1584 | 3648 | 3456 | 1152 |
88 |
= t 0,1,2,3 {3,4,3} × {} полностью усеченная призма с 24 ячейками |
242 | 1872 г. | 5088 | 5760 | 2304 |
[82] |
= s {3,4,3} × {} плоскодонная 24-элементная призма |
146 | 768 | 1392 | 960 | 192 |
В 4 × А 1
Это призматическое семейство состоит из 15 форм :
1 х 4 семейство имеет симметрию порядка 28800 (2 * 14400).
# |
Диаграмма Кокстера и символы Шлефли Имя |
Количество элементов | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Грани | Клетки | Лица | Края | Вершины | ||
89 |
= {5,3,3} × {} 120-элементная призма |
122 | 960 | 2640 | 3000 | 1200 |
90 |
= r {5,3,3} × {} Выпрямленная 120-элементная призма |
722 | 4560 | 9840 | 8400 | 2400 |
91 |
= t {5,3,3} × {} Усеченная призма из 120 ячеек |
722 | 4560 | 11040 | 12000 | 4800 |
92 |
= rr {5,3,3} × {} Скошенная призма из 120 ячеек |
1922 г. | 12960 | 29040 | 25200 | 7200 |
93 |
= t 0,3 {5,3,3} × {} Спиральная призма из 120 клеток |
2642 | 12720 | 22080 | 16800 | 4800 |
94 |
= 2t {5,3,3} × {} Усеченная 120-элементная призма |
722 | 5760 | 15840 | 18000 | 7200 |
95 |
= tr {5,3,3} × {} Усеченная призма из 120 ячеек |
1922 г. | 12960 | 32640 | 36000 | 14400 |
96 |
= t 0,1,3 {5,3,3} × {} Усеченная призма из 120 ячеек |
2642 | 18720 | 44880 | 43200 | 14400 |
97 |
= t 0,1,2,3 {5,3,3} × {} Усеченная 120-элементная призма |
2642 | 22320 | 62880 | 72000 | 28800 |
98 |
= {3,3,5} × {} призма на 600 ячеек |
602 | 2400 | 3120 | 1560 | 240 |
99 |
= r {3,3,5} × {} Выпрямленная призма на 600 ячеек |
722 | 5040 | 10800 | 7920 | 1440 |
100 |
= t {3,3,5} × {} Усеченная призма с 600 ячейками |
722 | 5040 | 11520 | 10080 | 2880 |
101 |
= rr {3,3,5} × {} Скошенная призма на 600 ячеек |
1442 | 11520 | 28080 | 25200 | 7200 |
102 |
= tr {3,3,5} × {} Усеченная призма с 600 ячейками |
1442 | 11520 | 31680 | 36000 | 14400 |
103 |
= t 0,1,3 {3,3,5} × {} Усеченная призма с 600 ячейками |
2642 | 18720 | 44880 | 43200 | 14400 |
Большая призма антипризмы
Большая призма антипризмы является единственным известным выпуклым невитоффовским однородным 5-многогранником. Он имеет 200 вершин, 1100 ребер, 1940 граней (40 пятиугольников, 500 квадратов, 1400 треугольников), 1360 ячеек (600 тетраэдров , 40 пятиугольных антипризм , 700 треугольных призм , 20 пятиугольных призм ) и 322 гиперячейки (2 большие антипризмы , 20 пятиугольных призм ). призмы антипризмы и 300 тетраэдрических призм ).
# | название | Количество элементов | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Грани | Клетки | Лица | Края | Вершины | ||
104 |
большая антипризменная призма Gappip |
322 | 1360 | 1940 г. | 1100 | 200 |
Замечания о конструкции Витхоффа для равномерных 5-многогранников
Построение отражающих 5-мерных однородных многогранников осуществляется с помощью процесса построения Wythoff и представлено посредством диаграммы Кокстера , где каждый узел представляет собой зеркало. Узлы обведены кружком, чтобы обозначить, какие зеркала активны. Сгенерированный полный набор однородных многогранников основан на уникальных перестановках кольцевых узлов. Равномерные 5-многогранники названы в соответствии с правильными многогранниками в каждом семействе. У некоторых семейств есть два обычных конструктора, поэтому их можно назвать двумя способами.
Вот основные операторы, доступные для построения и наименования однородных 5-многогранников.
Последняя операция, пренебрежение и, в более общем смысле, чередование - это операция, которая может создавать неотражающие формы. Они нарисованы с «полыми кольцами» в узлах.
Призматические формы и бифуркационные графы могут использовать ту же нотацию индексации усечения, но для ясности требуют явной системы нумерации узлов.
Операция | Расширенный символ Шлефли |
Диаграмма Кокстера | Описание | |
---|---|---|---|---|
Родитель | t 0 {p, q, r, s} | {p, q, r, s} | Любой правильный 5-многогранник | |
Исправленный | t 1 {p, q, r, s} | г {п, д, г, с} | Края полностью обрезаются на отдельные точки. 5-многогранник теперь имеет комбинированные грани родительского и двойственного. | |
Двунаправленный | t 2 {p, q, r, s} | 2r {p, q, r, s} | Биректификация превращает лица в точки, клетки - в их двойники . | |
Триректифицированный | t 3 {p, q, r, s} | 3r {p, q, r, s} | Триректификация сводит клетки к точкам. (Двойное выпрямление) | |
Quadrirectified | t 4 {p, q, r, s} | 4r {p, q, r, s} | Квадриректификация сводит 4 лица к точкам. (Двойной) | |
Усеченный | t 0,1 {p, q, r, s} | т {р, д, г, с} | Каждая исходная вершина обрезается, и пробел заполняется новой гранью. У усечения есть степень свободы, которая имеет одно решение, которое создает однородный усеченный 5-многогранник. 5-многогранник имеет свои исходные грани, удвоенные по сторонам, и содержит грани двойственного. |
|
Собранный | t 0,2 {p, q, r, s} | rr {p, q, r, s} | В дополнение к усечению вершин, каждое исходное ребро скашивается, и на его месте появляются новые прямоугольные грани. |
|
Runcinated | t 0,3 {p, q, r, s} | Runcination уменьшает ячейки и создает новые ячейки в вершинах и краях. | ||
Стерилизованный | t 0,4 {p, q, r, s} | 2r2r {p, q, r, s} | Стерилизация уменьшает грани и создает новые грани (гиперячейки) на вершинах и ребрах в зазорах. (То же, что и операция расширения для 5-многогранников.) | |
Усеченный | т 0,1,2,3,4 {p, q, r, s} | Применяются все четыре оператора: усечение, кантелляция, ранцинирование и стерилизация. | ||
Половина | h {2p, 3, q, r} | Чередование , как | ||
Кантик | h 2 {2p, 3, q, r} | Такой же как | ||
Runcic | h 3 {2p, 3, q, r} | Такой же как | ||
Runcicantic | h 2,3 {2p, 3, q, r} | Такой же как | ||
Стерический | h 4 {2p, 3, q, r} | Такой же как | ||
Рунцистерический | h 3,4 {2p, 3, q, r} | Такой же как | ||
Стерический | h 2,4 {2p, 3, q, r} | Такой же как | ||
Стерильный | h 2,3,4 {2p, 3, q, r} | Такой же как | ||
Курносый | s {p, 2q, r, s} | Альтернативное усечение | ||
Курносый исправленный | sr {p, q, 2r, s} | Переменное усеченное выпрямление | ||
ht 0,1,2,3 {p, q, r, s} | Чередование runcicantitruncation | |||
Полный пренебрежение | ht 0,1,2,3,4 {p, q, r, s} | Альтернативное омнитусечение |
Обычные и однородные соты
Есть пять фундаментальных аффинных групп Кокстера и 13 призматических групп, которые порождают регулярные и однородные мозаики в евклидовом 4-пространстве.
# | Группа Кокстера | Диаграмма Кокстера | Формы | ||
---|---|---|---|---|---|
1 | [3 [5] ] | [(3,3,3,3,3)] | 7 | ||
2 | [4,3,3,4] | 19 | |||
3 | [4,3,3 1,1 ] | [4,3,3,4,1 + ] | знак равно | 23 (8 новых) | |
4 | [3 1,1,1,1 ] | [1 + , 4,3,3,4,1 + ] | знак равно | 9 (0 новых) | |
5 | [3,4,3,3] | 31 (21 новых) |
Есть три правильных соты евклидова 4-мерного пространства:
- тессерактические соты с символами {4,3,3,4}, знак равно . В этом семействе 19 однородных сот.
-
24-элементный сотовый , с символами {3,4,3,3},. В этом семействе 31 отражающие однородные соты и одна чередующаяся форма.
- Усеченные 24- ячеечные соты с символами t {3,4,3,3},
- Сотовый элемент из 24 ячеек с символами s {3,4,3,3}, и состоит из четырех плоскодонных 24-ячеек , одной 16- ячеечной и пяти 5-ячеек в каждой вершине.
- 16- ячеечные соты с символами {3,3,4,3},
Другие семейства, образующие однородные соты:
- Всего насчитывается 23 однозначно окольцованных формы, 8 новых в семействе с 16 ячейками . С символами h {4,3 2 , 4} он геометрически идентичен 16-ячеечной соте , знак равно
- Есть 7 уникально окольцованных форм из , семья, все новое, в том числе:
- В группе 9 однозначно окольцованных форм : [3 1,1,1,1 ]семья, две новые, в том числе четверть тессерактическая сотовая , знак равно , и усеченные тессерактические соты , знак равно .
Невитофианские однородные мозаики в четырехмерном пространстве также существуют за счет удлинения (вставка слоев) и вращения (вращение слоев) этих отражающих форм.
# | Группа Кокстера | Диаграмма Кокстера | |
---|---|---|---|
1 | × | [4,3,4,2, ∞] | |
2 | × | [4,3 1,1 , 2, ∞] | |
3 | × | [3 [4] , 2, ∞] | |
4 | × х | [4,4,2, ∞, 2, ∞] | |
5 | × х | [6,3,2, ∞, 2, ∞] | |
6 | × х | [3 [3] , 2, ∞, 2, ∞] | |
7 | × х х | [∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞] | |
8 | Икс | [3 [3] , 2,3 [3] ] | |
9 | × | [3 [3] , 2,4,4] | |
10 | × | [3 [3] , 2,6,3] | |
11 | × | [4,4,2,4,4] | |
12 | × | [4,4,2,6,3] | |
13 | × | [6,3,2,6,3] |
Компактные регулярные мозаики гиперболического 4-мерного пространства
В пространстве H 4 имеется пять видов выпуклых регулярных сот и четыре типа сот в форме звезды :
Имя соты |
Символ Шлефли {p, q, r, s} |
Диаграмма Кокстера | Тип фасета {p, q, r} |
Тип ячейки {p, q} |
Тип лица {p} |
Фигура (а) лица |
Края фигура {r, s} |
Фигура вершины {q, r, s} |
Двойной |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Заказ-5 5-элементный | {3,3,3,5} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,3} | |
Заказ-3 120-ячеечный | {5,3,3,3} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {3,3,3,5} | |
Тессерактика порядка 5 | {4,3,3,5} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,4} | |
Заказ-4 120-ячеечный | {5,3,3,4} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,5} | |
Заказ-5 120-ячеечный | {5,3,3,5} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | Самодвойственный |
В пространстве H 4 есть четыре обычных звезды-соты :
Имя соты |
Символ Шлефли {p, q, r, s} |
Диаграмма Кокстера | Тип фасета {p, q, r} |
Тип ячейки {p, q} |
Тип лица {p} |
Фигура (а) лица |
Края фигура {r, s} |
Фигура вершины {q, r, s} |
Двойной |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ордена-3 маленькие звездчатые 120-ячеечные | {5 / 2,5,3,3} | {5 / 2,5,3} | {5 / 2,5} | {5} | {5} | {3,3} | {5,3,3} | {3,3,5,5 / 2} | |
Заказ-5/2 600 ячеек | {3,3,5,5 / 2} | {3,3,5} | {3,3} | {3} | {5/2} | {5,5 / 2} | {3,5,5 / 2} | {5 / 2,5,3,3} | |
Орден-5 икосаэдрический 120-элементный | {3,5,5 / 2,5} | {3,5,5 / 2} | {3,5} | {3} | {5} | {5 / 2,5} | {5,5 / 2,5} | {5,5 / 2,5,3} | |
Орден-3 большой 120-элементный | {5,5 / 2,5,3} | {5,5 / 2,5} | {5,5 / 2} | {5} | {3} | {5,3} | {5 / 2,5,3} | {3,5,5 / 2,5} |
Регулярные и однородные гиперболические соты
Существует 5 компактных гиперболических групп Кокстера ранга 5, каждая из которых порождает однородные соты в гиперболическом 4-пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера. Есть также 9 паракомпактных гиперболических групп Кокстера ранга 5 , каждая из которых порождает однородные соты в 4-пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера. Паракомпактные группы образуют соты с бесконечными гранями или фигурами вершин .
= [(3,3,3,3,4)]: |
= [5,3,3 1,1 ]: |
= [3,3,3,5]: = [4,3,3,5]: |
= [3,3 [4] ]: = [4,3 [4] ]: |
= [4, / 3 \, 3,4]: |
= [3,4,3,4]: |
Ноты
Ссылки
- Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Macmillan, 1900 (3 регулярных и один полуправильный 4-многогранник)
- А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных из регулярных многогранников и заполнений пространства , Верханделинген из академии Koninklijke van Wetenschappen, единица ширины Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910 г.
-
HSM Coxeter :
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973 (стр. 297 Фундаментальные области для неприводимых групп, порожденных отражениями, сферическими и евклидовыми)
- HSM Coxeter , The Beauty of Geometry: Twelve Essays (Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы IV, стр. 213)
-
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995,
ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] (стр. 287 5D Евклидовы группы, стр. 298 Четырехмерные соты)
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Джеймс Э. Хамфрис, Группы отражений и группы Кокстера , Кембриджские исследования по высшей математике, 29 (1990) (стр. 141, 6.9 Список гиперболических групп Кокстера, рис. 2) [2]
внешние ссылки
- Клитцинг, Ричард. «5D однородные многогранники (политеры)» .
Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
|
||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Космос | Семья | / / | ||||
E 2 | Равномерная черепица | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Шестиугольный |
E 3 | Равномерно выпуклые соты | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Равномерные 4-соты | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | 24-ячеечные соты |
E 5 | Равномерные 5-соты | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Равномерные 6-соты | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Равномерные 7-соты | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Равномерные 8-соты | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Равномерные 9-соты | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E n -1 | Uniform ( n -1) - соты | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 к2 • 2 к1 • к 21 |