Ректификация (геометрия) - Rectification (geometry)

Выпрямленный куб - это кубооктаэдр - ребра уменьшены до вершин, а вершины расширены до новых граней.

Birectified куб октаэдр - грани сводятся к точкам и новые лица сосредоточены на оригинальных вершинах.

Выпрямляются кубические соты - ребра , сводятся к вершинам, а вершины расширены в новые клетки.

В евклидовой геометрии , ректификации , также известная как критическое усечение или полные-усечения это процесс усечения многогранника , пометив средние точки всех ее края , и отрезав ее вершины в этих точках. Результирующий многогранник будет ограничен фасетами вершинной фигуры и выпрямленными фасетами исходного многогранника.

Оператор исправления иногда обозначается буквой $r$ с символом Шлефли . Например, $r {4,3}$ - это выпрямленный куб , также называемый кубооктаэдром и также представленный как . И выпрямленный кубооктаэдр $rr {4,3}$ - это ромбокубооктаэдр , также представленный как . ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle r {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$

Конвое полиэдр обозначение использует для амвона в качестве этого оператора. В теории графов эта операция создает средний граф .

Исправление любого правильного самодвойственного многогранника или мозаики приведет к другому правильному многограннику или мозаике с порядком мозаики 4, например, тетраэдр ${3,3}$ станет октаэдром ${3,4}.$ В качестве особого случая квадратная мозаика ${4,4}$ превратится в другую квадратную мозаику ${4,4}$ при операции исправления.

Пример исправления как окончательного усечения до края

Исправление - это последняя точка процесса усечения. Например, на кубе эта последовательность показывает четыре шага континуума усечений между регулярной и исправленной формой:

Исправления высшей степени

Выпрямление более высокой степени может быть выполнено на регулярных многогранниках более высокой размерности. Наивысшая степень выпрямления создает двойственный многогранник . При исправлении края обрезаются до точек. Биректификация обрезает грани до точек. При триректификации ячейки усекаются до точек и т. Д.

Пример биректификации как окончательного усечения лица

Эта последовательность показывает двунаправленный куб как заключительную последовательность от куба к двойному, где исходные грани усечены до единственной точки:

В полигонах

Двойник многоугольника - это то же самое, что и его выпрямленная форма. Новые вершины помещаются в центр краев исходного многоугольника.

В многогранниках и плоских мозаиках

У каждого платонового тела и двойственного к нему есть один и тот же выпрямленный многогранник. (Это не относится к многогранникам в более высоких измерениях.)

Выпрямленный многогранник оказывается выраженным как пересечение исходного платонового тела с соответствующей масштабной концентрической версией его двойственного. По этой причине его название представляет собой комбинацию имен оригинала и двойника:

Выпрямленный тетраэдр , двойственный которому является тетраэдр, - это тетраэтраэдр , более известный как октаэдр .
Выпрямленный октаэдр , двойственный кубу , есть кубооктаэдр .
Выпрямленный икосаэдр , двойник которого - додекаэдр , есть икосододекаэдр .
Выпрямленная квадратная плитка - это квадратная плитка .
Выпрямленная треугольная мозаика или шестиугольная мозаика - это трехгексагональная мозаика .

Примеры

Семья	Родитель	Исправление	Двойной
[p, q]
[3,3]	Тетраэдр	Октаэдр	Тетраэдр
[4,3]	Куб	Кубооктаэдр	Октаэдр
[5,3]	Додекаэдр	Икосидодекаэдр	Икосаэдр
[6,3]	Шестиугольная черепица	Трехгексагональная черепица	Треугольная черепица
[7,3]	Орден-3 семиугольная черепица	Тригептагональная черепица	Треугольная черепица Order-7
[4,4]	Квадратная черепица	Квадратная черепица	Квадратная черепица
[5,4]	Пятиугольная черепица Order-4	Тетрапентагональная черепица	Квадратная черепица Order-5

В нерегулярных многогранниках

Если многогранник не правильный, средние точки ребер, окружающие вершину, могут не быть компланарными. Однако в этом случае все еще возможна форма исправления: каждый многогранник имеет многогранный граф в качестве 1-скелета , и из этого графа можно сформировать медиальный граф , поместив вершину в среднюю точку каждого ребра исходного графа и соединив две из этих новых вершин ребром, если они принадлежат последовательным ребрам на общей грани. Полученный медиальный граф остается многогранным, поэтому по теореме Стейница его можно представить в виде многогранника.

Конвей полиэдр обозначения эквивалентна ректификации является AMBO , представленное . Применение дважды aa (исправление исправления) - это операция расширения Конвея , e , которая аналогична операции раскоса Джонсона , t _0,2, созданной из правильных многогранников и мозаик.

В 4-многогранниках и трехмерных сотовых мозаиках

Каждый Выпуклый правильный 4-многогранник имеет выпрямленную форму как равномерный 4-многогранник .

В правильном 4-многограннике {p, q, r} есть клетки {p, q}. Его выпрямление будет иметь два типа ячеек: выпрямленный многогранник {p, q}, оставшийся от исходных ячеек, и многогранник {q, r} в виде новых ячеек, образованных каждой усеченной вершиной.

Однако выпрямленный {p, q, r} не то же самое, что выпрямленный {r, q, p}. Дальнейшее усечение, называемое усечением битов , является симметричным между 4-многогранником и двойственным ему. См. Унифицированный 4-многогранник # Геометрические производные .

Примеры

Семья	Родитель	Исправление	Биректификация (двойное выпрямление)	Триректификация (двойная)
[ p , q , r ]	{ p , q , r }	г { р , д , г }	2r { p , q , r }	3r { p , q , r }
[3,3,3]	5-элементный	выпрямленный 5-элементный	выпрямленный 5-элементный	5-элементный
[4,3,3]	тессеракт	исправленный тессеракт	Выпрямленный 16-элементный ( 24-элементный )	16 ячеек
[3,4,3]	24-элементный	выпрямленный 24-элементный	выпрямленный 24-элементный	24-элементный
[5,3,3]	120 ячеек	выпрямленный 120-элементный	выпрямленный 600-элементный	600 ячеек
[4,3,4]	Кубические соты	Ректифицированные соты кубической формы	Ректифицированные соты кубической формы	Кубические соты
[5,3,4]	Орден-4 додекаэдр	Выпрямленный додекаэдр порядка 4	Ректифицированный заказ-5 куб.	Порядка-5 куб.

Степени выпрямления

Первое исправление обрезает края до точек. Если многогранник является регулярным , эта форма представлена расширенной символ шлефли обозначения т ₁ {р, д, ...} или г {р, д, ...}.

Вторая ректификация или birectification , усекает обращена вниз к точкам. Если он обычный, то он имеет обозначение t ₂ {p, q, ...} или 2 r {p, q, ...}. Для многогранников двунаправленная ориентация создает двойственный многогранник .

Исправления более высокой степени могут быть построены для многогранников более высокой размерности. В общем, n-исправление обрезает n-грани до точек.

Если n-многогранник (n-1) -исправлен, его фасеты сводятся к точкам, а многогранник становится его двойственным .

Обозначения и грани

Для каждой степени исправления существуют разные эквивалентные обозначения. В этих таблицах показаны имена по размерам и два типа фасетов для каждого.

Правильные многоугольники

Фасеты - это ребра, представленные как {2}.

имя {p}	Диаграмма Кокстера	t-обозначение символ Шлефли	Вертикальный символ Шлефли
имя {p}	Диаграмма Кокстера	t-обозначение символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		т ₀ {p}	{п}	{2}
Исправленный		т ₁ {p}	{п}		{2}

Правильные многогранники и мозаики

Грани - это правильные многоугольники.

имя {p, q}	Диаграмма Кокстера	t-обозначение символ Шлефли	Вертикальный символ Шлефли
имя {p, q}	Диаграмма Кокстера	t-обозначение символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель	знак равно	т ₀ {p, q}	{p, q}	{п}
Исправленный	знак равно	t ₁ {p, q}	г {р, q} = ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	{п}	{q}
Биректифицированный	знак равно	t ₂ {p, q}	{q, p}		{q}

Регулярные однородные 4-многогранники и соты

Грани - правильные или выпрямленные многогранники.

имя {p, q, r}	Диаграмма Кокстера	t-обозначение символ Шлефли	Расширенный символ Шлефли
имя {p, q, r}	Диаграмма Кокстера	t-обозначение символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		t ₀ {p, q, r}	{p, q, r}	{p, q}
Исправленный		t ₁ {p, q, r}	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ \ \\ q, r \ end {Bmatrix}}}$ = г {р, д, г}	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$ = г {р, q}	{q, r}
Двунаправленный (Двойное выпрямление)		t ₂ {p, q, r}	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \\ r \ \ \ end {Bmatrix}}}$ = г {г, д, р}	{q, r}	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q \\ r \ end {Bmatrix}}}$ = г {д, г}
Триректифицированный (двойной)		t ₃ {p, q, r}	{г, д, р}		{г, д}

Правильные 5-многогранники и 4-пространственные соты

Грани - это правильные или выпрямленные 4-многогранники.

имя {p, q, r, s}	Диаграмма Кокстера	t-обозначение символ Шлефли	Расширенный символ Шлефли
имя {p, q, r, s}	Диаграмма Кокстера	t-обозначение символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		t ₀ {p, q, r, s}	{p, q, r, s}	{p, q, r}
Исправленный		t ₁ {p, q, r, s}	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ \ \ \ \ \\ q, r, s \ end {Bmatrix}}}$ = r {p, q, r, s}	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ \ \\ q, r \ end {Bmatrix}}}$ = г {р, д, г}	{q, r, s}
Биректифицированный (двойственный биректифицированный)		t ₂ {p, q, r, s}	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \\ r, s \ end {Bmatrix}}}$ = 2r {p, q, r, s}	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \\ r \ \ \ end {Bmatrix}}}$ = г {г, д, р}	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q \ \ \\ r, s \ end {Bmatrix}}}$ = г {д, г, s}
Триректифицированный (выпрямленный двойной)		t ₃ {p, q, r, s}	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} r, q, p \\ s \ \ \ \ \ \ end {Bmatrix}}}$ = r {s, r, q, p}	{г, д, р}	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} r, q \\ s \ \ \ end {Bmatrix}}}$ = r {s, r, q}
Квадриректифицированный (двойной)		t ₄ {p, q, r, s}	{s, r, q, p}		{s, r, q}

Смотрите также

использованная литература

Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (стр. 145-154 Глава 8: Усечение)
Единообразные многогранники
Нормана Джонсона
, рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26)

внешние ссылки

Ольшевский, Георгий. «Ректификация» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.

Операторы многогранников

v

т

е
Семя	Усечение	Исправление	Bitruncation	Двойной	Расширение	Омнитусечение	Чередования


т ₀ {p, q} {p, q}	t ₀₁ {p, q} t {p, q}	т ₁ {p, q} r {p, q}	t ₁₂ {p, q} 2t {p, q}	t ₂ {p, q} 2r {p, q}	t ₀₂ {p, q} rr {p, q}	t ₀₁₂ {p, q} tr {p, q}	ht ₀ {p, q} h {q, p}	ht ₁₂ {p, q} s {q, p}	ht ₀₁₂ {p, q} sr {p, q}

Languages

In other projects