Площадь - Square


Из Википедии, свободной энциклопедии

Площадь
Правильный многоугольник 4 annotated.svg
Регулярное четырехугольник
Тип Правильный многоугольник
Ребра и вершины 4
Шлефл символ {4}
Косетер диаграмма Узел 1.png CDelCDel 4.pngCDel node.png
Узел 1.png CDelCDel 2.pngУзел 1.png CDel
группа симметрии Диэдральные (D 4 ), порядок 2 × 4
Внутренний угол ( в градусах ) 90 °
двойной многоугольник само
свойства Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , isotoxal

В геометрии , квадрат является регулярным четырехугольник , что означает , что он имеет четыре равные стороны и четыре равные углы (90- градусные углы, или (100- gradian углы или прямые углы ). Она также может быть определена как прямоугольник , в котором два смежные стороны имеют одинаковую длину. квадрат с вершинами ABCD будет обозначаться ABCD .

характеризации

Выпуклый четырехугольник является квадратом тогда и только тогда , когда это любой один из следующих действий :

  • прямоугольник с двумя смежными равными сторонами
  • ромб с прямым углом при вершине
  • ромб со всеми углами равен
  • параллелограмм с одним прямым углом вершины и двух смежных равных сторон
  • четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами
  • четырехугольник, где диагонали равны и являются перпендикулярными биссектрисами друг с другом, т.е. ромба с равными диагоналями
  • выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами , Ь , с , d , площадь которой

свойства

Квадрат представляет собой частный случай ромба (равные стороны, противоположные равные углы), а змей (две пары смежных равных сторон), а трапецию (одна пару противоположных сторон параллельно), а параллелограмм (все противоположные стороны параллельны), A четырехугольник или четырехугольник (четыре-угольник) и прямоугольник (противоположные стороны равны, правые углы) и , следовательно , обладает всеми свойствами всех этих форм, а именно:

Периметр и площадь

Площадь квадрата равна произведению длины его сторон.

Периметр квадрата , чьи четырех сторон имеют длину в

и область является

В классические времена, вторая сила была описана в терминах области квадрата, как и в приведенной выше формуле. Это привело к использованию термина квадрата означает повышение во второй степени.

Область также может быть вычислена с использованием диагональной D в соответствии с

С точки зрения описанной окружности R , площадь квадрата является

так как площадь круга есть квадрат заполняет примерно 0,6366 его окружности .

С точки зрения inradius г , площадь квадрата равна

Потому что это правильный многоугольник , квадрат является четырехугольник наименьшего периметра ограждающих данную область. Двойственно, квадрат является четырехугольник , содержащий самую большую площадь в пределах данного периметра. Действительно, если и P являются площадь и периметр обнесен четырехугольника, то следующее изопериметрическая неравенство имеет место:

равенство тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом.

Другие факты

  • Диагонали квадрата являются (около 1,414) раз длины стороны квадрата. Это значение, известное как квадратный корень из 2 или постоянная, было первого номера Пифагора доказал свое иррациональное .
  • Квадрат также может быть определен как параллелограмм с равными диагоналями , которые делят пополам углы.
  • Если рисунок как прямоугольник (под прямым углом) и ромб (равная длиной кромки), то она представляет собой квадрат.
  • Если круг очерчивается вокруг квадрата, площадь круга (около 1,5708) раз площадь квадрата.
  • Если окружность вписана в квадрат, площадь круга (около 0,7854) раз площадь квадрата.
  • Квадрат имеет большую площадь, чем любой другой четырехугольник с тем же периметром.
  • Квадратная плитка является одним из трех регулярных разбиений плоскости (остальные являются равносторонний треугольник и правильный шестиугольник ).
  • Площадь находится в двух семейств многогранников в двух измерениях: гиперкуба и кросс-многогранника . Символ Шлефл для квадрата {4}.
  • Квадрат является высокой симметрией объекта. Есть четыре линии reflectional симметрии и имеет вращательную симметрию порядка 4 (на 90 °, 180 ° и 270 °). Ее группа симметрии является группа диэдра  D 4 .
  • Если вписанной окружности квадратной ABCD имеет точки касания Е на AB , F на г. до н.э. , G на компакт - диске , и H на DA , то для любой точки P на вписанной окружности,
  • Если это расстояние от произвольной точки на плоскости к я ей вершине квадрата и является описанной окружностью квадрата, то

Координаты и уравнения

нанесены на декартовой системе координат .

Координаты для вершин квадрата с вертикальными и горизонтальными сторонами, с центром в начале координат и с длиной стороны 2 , являются (± 1, ± 1), в то время как внутренняя часть этой площади состоит из всех точек ( х я , у я ) с -1 < х я <1 и -1 < у я <1 . Уравнение

определяет границу этого квадрата. Это уравнение означает « х 2 или у 2 , в зависимости от того больше, равно 1.» Описанной окружность этого квадрата (радиус окружности , проведенной через вершину квадратной) , составляет половину диагонали квадрата, и равна . Тогда окружность имеет уравнение

В качестве альтернативы уравнение

также могут быть использованы для описания границы квадрата с центром координат ( в , б ) и в горизонтальном или вертикальном радиусе г .

строительство

Следующие анимации показано , как построить квадрат с помощью циркуля и линейки . Это возможно как 4 = 2 2 , в степени два .

Площадь на данной окружности
Площадь на заданную длину боковой,
правый угол, используя теорему Фалеса
Площадь в заданной диагонали

симметричность

Двугранные симметрии разделены в зависимости от того проходят ли они через вершину ( d для диагонали) или ребро ( р для перпендикуляров) Циклические симметрии в средней колонке помечены как г для их центральных заказов гирационных. Полная симметрия квадрата r12 и никакой симметрии не помечена a1 .

Квадрат имеет DIH 4 симметрии, порядок 8. Есть 2 подгруппы: двугранная DIH 2 , DIH 1 и 3 циклические подгруппы: Z 4 , Z 2 и Z 1 .

Квадрат является частным случаем многих низших четырехугольников симметрии:

  • прямоугольник с двумя соседними равными сторонами
  • четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами
  • параллелограмм с одним прямым углом и двумя соседними равными сторонами
  • ромб с прямым углом
  • ромб со всеми углами равен
  • ромб с равными диагоналями

Эти 6 симметрии выражают 8 различных симметрии на площади. Джон Конвей маркирует их письмом и групповой заказ.

Каждая подгруппа симметрия дает одну или несколько степеней свободы для нерегулярных четырехугольников . r8 полная симметрия квадрата, и a1 нет симметрии. d4 , является симметрией прямоугольника и p4 , является симметрией ромба . Эти две формы двойственны друг от друга и имеют половину порядка симметрии квадрата. d2 , является симметрией в равнобедренной трапеции , а р2 является симметрией воздушного змея . g2 определяет геометрию параллелограмма .

Только g4 подгруппы не имеет степеней свободы , но может рассматриваться как квадрат с ориентированными ребрами .

Квадраты, вписанные в треугольники

Каждый острый треугольник имеет три вписанных квадратов (квадраты в его интерьер таким образом, что все четыре вершины квадрата лежат на стороне треугольника, поэтому две из них лежат на одной стороне , и , следовательно , одна сторона квадрата совпадает с частью боковой треугольника). В прямоугольном треугольнике две из квадратов совпадают и имеют вершину под прямым углом треугольника, поэтому правый треугольник имеет только два различных вписанного квадрата. Тупой треугольник имеет только один вписан квадрат, со стороной , совпадающей с частью длинной стороны треугольника.

Доля площади треугольника, который заполняется квадрат не более 1/2.

Возводя круг

Возводя круг является проблемой, предложенная древними геометрами , построение квадрата с одной и той же областью, заданной окружностью , используя лишь конечное число шагов с циркулем и линейкой .

В 1882 году, задача была доказана, что невозможно, как следствие теоремы Линдемана-Вейерштрасса , который доказывает , что пи ( π ) является трансцендентным числом , а не алгебраическое иррациональное числа ; то есть, это не корень любого многочлена с рациональными коэффициентами.

Неевклидова геометрия

В неевклидовой геометрии, квадраты в более общем многоугольники с 4 равными сторонами и равными углами.

В сферической геометрии , квадрат представляет собой многоугольник, ребра которого являются большой окружности дуги на равном расстоянии, которые встречаются под равными углами. В отличие от квадрата плоской геометрии, углы такого квадрата больше , чем под прямым углом. Большие сферические квадраты имеют большие углы.

В гиперболической геометрии , квадраты с прямыми углами , не существует. Скорее, квадраты в гиперболической геометрии имеют углы меньше чем под прямым углом. Большие гиперболические квадраты имеют меньшие углы.

Примеры:

Тетрагональная dihedron.png
Два квадрата могут плитки шар с 2 квадратами вокруг каждой вершины и 180-градусных внутренних углов . Каждый квадрат охватывает все полушарие и их вершины лежат вдоль большой окружности . Это называется сферической квадрат двугранным углом . Символом Шлефли является {4,2}.
Площадь на sphere.svg
Шесть квадратов могут плитку сферы с 3 -х квадратами вокруг каждой вершины и 120 градусов внутренних углов . Это называется сферическим куб. Символом Шлефли является {4,3}.
Площадь на plane.svg
Квадраты могут плитки евклидова плоскость с 4 вокруг каждой вершины, причем каждый квадрат , имеющий внутренний угол 90 °. Символом Шлефли является {4,4} .
Площадь на гиперболической plane.png
Квадраты могут плитки на гиперболической плоскости с 5 вокруг каждой вершины, с каждого квадрата , имеющего 72-градусный внутренние углы. Символом Шлефли является  {4,5} . На самом деле, для любого N ≥ 5 , существует гиперболическая плиточный с п квадратами о каждой вершине.

Скрещенные площадь

Скрещенные-квадрат

Пересекла площадью является огранкой из квадрата, самопересекающийся многоугольника , созданного путем удаления двух противоположных краев квадрата и снова подключить его два диагоналей. Он имеет половину симметрии квадрата, DIH 2 , порядка 4. Оно имеет такую же компоновку вершин как квадрат, и является вершиной-симметрической . Оказывается , как два 45-45-90 треугольника с общей вершиной, но геометрическое пересечение не считаются вершиной.

Скрещенный квадрат иногда сравнивают с галстуком или бабочкой . пересекла прямоугольник связана, как огранка прямоугольника, как частные случаи скрещенных четырехугольников .

Интерьер скрещенных квадрата может иметь плотность многоугольника ± 1 в каждом треугольнике, в зависимости от ориентации обмотки как по часовой стрелке или против часовой стрелки .

Квадратные и пересекли площадь имеют следующие общие свойства:

  • Противоположные стороны равны по длине.
  • Две диагонали равны по длине.
  • Он имеет две линии симметрии reflectional и вращательной симметрии 2-го порядка (на 180 °).

Он существует в вершине фигуры в виде единой звезды многогранников , в тетрагемигексаэдр .

диаграммы

К 4 полному графу часто изображаются в виде квадрата со всеми возможными 6 ребер , соединенных, следовательно , появляется в виде квадрата с обеими диагоналями нарисованных. Этот график также представляет собой ортогональную проекцию из 4 -х вершин и 6 ребер регулярного 3- симплекса ( тетраэдр ).

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные многогранники в размерах 2-10
семья п В п I 2 (р) / Г п Е 6 / Е 7 / Е 8 / F 4 / G 2 Н п
Правильный многоугольник Треугольник Площадь п-угольник шестиугольник пятиугольник
Равномерное многогранник Тетраэдр ОктаэдрКуб Demicube ДодекаэдрИкосаэдр
Равномерное 4-многогранник 5-клеток 16-элементнаяТессеракт Demitesseract 24-элементный 120-элементный600-элементный
Равномерное 5-многогранник 5-симплекс 5-orthoplex5-куб 5-demicube
Равномерное 6-многогранник 6-симплекс 6-orthoplex6-куб 6-demicube - 22- 21
Равномерное 7-многогранник 7-симплекс 7-orthoplex7-куб 7-demicube - 32- 31- 21
Равномерное 8-многогранник 8-симплекс 8-orthoplex8-куб 8-demicube 1 422 414 21
Равномерное 9-многогранник 9-симплекс 9-orthoplex9-куб 9-demicube
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-orthoplex10-куба 10-demicube
Равномерный п - многогранник п - симплекс п - orthoplexп - куб п - demicube 1 к22 k1к 21 п - пятиугольной многогранник
Темы: многогранник семьяРегулярный многогранникСписок регулярных многогранников и соединений