Усеченный кубооктаэдр - Truncated cuboctahedron

Усеченный кубооктаэдрический граф
Усеченный кубооктаэдрический граф
	4-х кратная симметрия
Вершины	48
Края	72
Автоморфизмы	48
Хроматическое число	2
Характеристики	Кубическая , гамильтонова , регулярная , нуль-симметричная
	Таблица графиков и параметров

Усеченный кубооктаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Однородный многогранник
Элементы	F = 26, E = 72, V = 48 (χ = 2)
Лица по сторонам	12 {4} +8 {6} +6 {8}
Обозначение Конвея	bC или taC
Символы Шлефли	tr {4,3} или ${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
Символы Шлефли	т _0,1,2 {4,3}
Символ Wythoff	2 3 4 \|
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	O _h , B ₃ , [4,3], (* 432), порядок 48
Группа вращения	O , [4,3] ⁺ , (432), порядок 24
Двугранный угол	4-6: arccos (- √ 6/3) = 144 ° 44′08 ″ 4-8: arccos (-√ 2/3) = 135 ° 6-8: arccos (-√ 3/3) = 125 ° 15′51 ″
использованная литература	U ₁₁ , C ₂₃ , W ₁₅
Характеристики	Полуправильный выпуклый зоноэдр
Цветные лица	4.6.8 ( Вершина )
Додекаэдр Дисдякиса ( двойственный многогранник )	Сеть

В геометрии , то усеченная кубооктаэдр является архимедовым твердым веществом , названным Kepler как усечение части в кубооктаэдре . У него 12 квадратных граней, 8 правильных шестиугольных граней, 6 правильных восьмиугольных граней, 48 вершин и 72 ребра. Поскольку каждая из его граней имеет точечную симметрию (эквивалентно 180 ° вращательной симметрии), усеченный кубооктаэдр является зоноэдром . Усеченный кубооктаэдр может быть выполнен в виде мозаики с восьмиугольной призмой .

Имена

Имя усекается кубооктаэдр , учитывая первоначально Johannes Kepler , вводит в заблуждение: фактическое усечение из кубооктаэдр имеет прямоугольники вместо квадратов ; однако этот неоднородный многогранник топологически эквивалентен архимедову твердому телу, не строго названному усеченным кубооктаэдром.

Альтернативные взаимозаменяемые имена:

Усеченный кубооктаэдр ( Иоганн Кеплер ),
Ромбоусеченный кубооктаэдр ( Магнус Веннингер ),
Большой ромбокубооктаэдр ( Роберт Вильямс ),
Большой ромбокубооктаэдр (Питер Кромвель),
Усеченный куб или усеченный куб ( Норман Джонсон ),
Скошенный куб ( обозначение многогранника Конвея ).

Кубооктаэдр и его усечение

Существует невыпуклый однородный многогранник с аналогичным названием: невыпуклый большой ромбокубооктаэдр .

Декартовы координаты

Все декартовы координаты вершин усеченного кубооктаэдра с длиной ребра 2 и центром в начале координат являются перестановками :

(± 1, ± (1 + √ 2 ), ± (1 + 2 √ 2 )).

Площадь и объем

Площадь A и объем V усеченного кубооктаэдра с длиной ребра a равны:

{\ displaystyle {\ begin {align} A & = 12 \ left (2 + {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}} \ right) a ^ {2} && \ приблизительно 61.755 \, 1724 ~ a ^ {2}, \\ V & = \ left (22 + 14 {\ sqrt {2}} \ right) a ^ {3} && \ приблизительно 41.798 \, 9899 ~ a ^ {3}. \ End {align}}}

Расслоение

Усечен кубооктаэдром является выпуклой оболочкой из ромбокубооктаэдра с кубиками выше его 12 квадратов на 2-кратных осях симметрии. Остальное пространство можно разделить на 6 квадратных куполов под восьмиугольниками и 8 треугольных куполов под шестиугольниками.

Рассеченный усеченный кубооктаэдр может создать тороид Стюарта рода 5, 7 или 11 , удалив центральный ромбокубооктаэдр и либо 6 квадратных куполов, либо 8 треугольных куполов, либо 12 кубов соответственно. Многие другие тороиды с более низкой симметрией также могут быть построены путем удаления центрального ромбокубооктаэдра и подмножества других компонентов рассечения. Например, удаление 4 из треугольных куполов создает тороид рода 3; если эти купола выбраны правильно, то этот тороид имеет тетраэдрическую симметрию.

Тороиды Стюарта
Род 3	Род 5	Род 7	Род 11

Равномерная окраска

Имеется только одна равномерная раскраска граней этого многогранника, по одному цвету для каждого типа граней.

2-однородная окраска с тетраэдрической симметрией существует с попеременно окрашенными шестиугольниками.

Ортогональные проекции

Усеченный кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в плоскостях Кокстера A ₂ и B ₂ с проективной симметрией [6] и [8], а многочисленные [2] симметрии могут быть построены из различных спроецированных плоскостей относительно элементов многогранника.

Ортогональные проекции
В центре	Вершина	Край 4-6	Край 4-8	Край 6-8	Лицо нормальное 4-6
Изображение
Проективная симметрия	[2] ⁺	[2]	[2]	[2]	[2]
В центре	Лицо нормальный квадрат	Лицо нормального восьмиугольника	Лицо Квадрат	Лицо шестиугольника	Лицо восьмиугольник
Изображение
Проективная симметрия	[2]	[2]	[2]	[6]	[4]

Сферическая черепица

Усеченный кубооктаэдр также можно представить как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Ортогональная проекция	квадратно- центрированный	шестигранник с центром	восьмиугольник с центром

Ортогональная проекция	Стереографические проекции

Полная октаэдрическая группа

Как и многие другие твердые тела, усеченный октаэдр имеет полную октаэдрическую симметрию, но его связь с полной октаэдрической группой ближе, чем это: его 48 вершин соответствуют элементам группы, а каждая грань его двойственного элемента является фундаментальной областью группы.

На изображении справа показаны 48 перестановок в группе, примененной к объекту-примеру (а именно, к легкому соединению JF слева). 24 светлых элемента - это вращения, а темные - их отражения.

Ребра тела соответствуют 9 отражениям в группе:

Те между восьмиугольниками и квадратами соответствуют трем отражениям между противоположными восьмиугольниками.
Края шестиугольника соответствуют 6 отражениям между противоположными квадратами.
(Между противоположными шестиугольниками нет отражений.)

Подгруппы соответствуют телам, которые имеют общие вершины усеченного октаэдра.
Например , в 3 подгруппе с 24 элементами соответствует неоднородному вздернутому кубу с хиральным октаэдрической симметрией, неоднородный ромбокубооктаэдр с pyritohedral симметрия (The cantic вздернутого октаэдр ) и неоднородный усеченный октаэдром с полной тетраэдрической симметрией . Единственная подгруппа с 12 элементами - знакопеременная группа A ₄ . Он соответствует неоднородному икосаэдру с киральной тетраэдрической симметрией .

Подгруппы и соответствующие твердые тела
Усеченный кубооктаэдр tr {4,3}	Курносый куб sr {4,3}	Ромбокубооктаэдр с ₂ {3,4}	Усеченный октаэдр h _1,2 {4,3}	Икосаэдр
[4,3] Полный восьмигранник	[4,3] ⁺ Хиральный октаэдр	[4,3 ⁺ ] Пиритоэдр	[1 ⁺ , 4,3] = [3,3] Полный тетраэдр	[1 ⁺ , 4,3 ⁺ ] = [3,3] ⁺ Хиральный тетраэдр

все 48 вершин	24 вершины			12 вершин

Связанные многогранники


Тетраэдр-бабочка и куб содержат две трапециевидные грани вместо каждого квадрата.

Усеченный кубооктаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 ⁺ , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 ^1,1 }	т {3,4} т {3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr {4,3} s ₂ {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч ₂ {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 ^1,1 }

		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или	знак равно или	знак равно

Двойники к однородным многогранникам
V4 ³	V3.8 ²	В (3,4) ²	V4.6 ²	V3 ⁴	V3.4 ³	V4.6.8	V3 ⁴ .4	V3 ³	V3.6 ²	V3 ⁵

Этот многогранник можно рассматривать как член последовательности однородных образов с конфигурацией вершин (4.6.2 p ) и диаграммой Кокстера-Дынкина . При p <6 членами последовательности являются все усеченные многогранники ( зоноэдры ), показанные ниже в виде сферических мозаик. При p <6 они представляют собой мозаики гиперболической плоскости, начиная с усеченного тригептагонального мозаичного покрытия .

* n 32 мутации симметрии полностью усеченных мозаик : 4.6.2n v т е
Сим. * n 32 [ n , 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
Сим. * n 32 [ n , 3]	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3]	* ∞32 [∞, 3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Цифры
Конфиг.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duals
Конфиг.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

* n 42 мутация симметрии полностью усеченных мозаик : 4.8.2n v т е
Симметрия * n 42 [n, 4]	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
Симметрия * n 42 [n, 4]	* 242 [2,4]	* 342 [3,4]	* 442 [4,4]	* 542 [5,4]	* 642 [6,4]	* 742 [7,4]	* 842 [8,4] ...	* ∞42 [∞, 4]
Омниусеченная фигура	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Усеченные двойники	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Это первый из ряда усеченных гиперкубов:

Проекции полигонов Петри

Усеченный кубооктаэдр	Усеченный тессеракт	Усеченный 5-куб	Усеченный 6-куб	Cantitruncated 7-куб	Cantitruncated 8-cube