3 ₂₁ многогранник -3₂₁ polytope

Ортогональные проекции на плоскость Кокстера E ₇
3 ₂₁	2 ₃₁		1 ₃₂
Ректифицированный 3 ₂₁		двунаправленный 3 ₂₁
Ректифицированный 2 ₃₁		Ректифицированный 1 ₃₂

В 7-мерной геометрии , то 3 ₂₁ многогранник является однородным 7-многогранник , построенный в симметрии Е ₇ группы. Это было обнаружено Торольдом Госсетом в его статье 1900 года. Он назвал это семисекундной полурегулярной фигурой .

Его символ Кокстера - 3 ₂₁ , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце одной из последовательностей с 3 узлами.

Выпрямляются 3 ₂₁ построены по точкам в середине краях - ₂₁ . Birectified 3 ₂₁ строится по точкам на треугольник лицевых центров 3 ₂₁ . Trirectified 3 ₂₁ строится по точкам на тетраэдрических центрах - ₂₁ , и является таким же , как выпрямленным 1 ₃₂ .

Эти многогранники являются частью семейства из 127 (2 ⁷ -1) выпуклых однородных многогранников в 7-мерном пространстве , состоящих из граней однородных 6-многогранников и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.

3 ₂₁ многогранник

3 ₂₁ многогранник
Тип	Равномерный 7-многогранник
Семья	k ₂₁ многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3,3 ^2,1 }
Символ Кокстера	3 ₂₁
Диаграмма Кокстера
6 лиц	702 всего: 126 3 ₁₁ 576 {3 ⁵ }
5 лиц	6048: 4032 {3 ⁴ } 2016 {3 ⁴ }
4 лица	12096 {3 ³ }
Клетки	10080 {3,3}
Лица	4032 {3}
Края	756
Вершины	56
Фигура вершины	2 ₂₁ многогранник
Многоугольник Петри	восьмиугольник
Группа Кокстера	E ₇ , [3 ^3,2,1 ], заказ 2903040
Свойства	выпуклый

В 7-мерной геометрии , то 3 ₂₁ является однородным многогранник . Он имеет 56 вершин и 702 фасета: 126 3 ₁₁ и 576 6-симплексов .

Для визуализации этот 7-мерный многогранник часто отображается в специальном наклонном ортогональном направлении проекции, которое соответствует его 56 вершинам внутри 18-угольного правильного многоугольника (называемого многоугольником Петри ). Его 756 ребер нарисованы между 3 кольцами по 18 вершин и 2 вершинами в центре. Определенные более высокие элементы (грани, ячейки и т. Д.) Также могут быть извлечены и нарисованы на этой проекции.

1- скелет из 3 ₂₁ многогранника является Госсеты графа .

Этот многогранник, наряду с 7-симплексом , может разбивать на мозаику 7-мерное пространство, представленное 3 ₃₁ и диаграммой Кокстера-Дынкина:.

Альтернативные имена

Его также называют многогранником Гесса по имени Эдмунда Гесса, который его первым открыл.
Это было перечислено Торольдом Госсетом в его статье 1900 года. Он назвал это семисекундной полурегулярной фигурой .
EL Elte назвал его V ₅₆ (из-за его 56 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года.
HSM Coxeter назвал его 3 ₂₁ из-за его раздваивающейся диаграммы Кокстера-Дынкина , имеющей 3 ветви длиной 3, 2 и 1, и имеющую единственное кольцо на последнем узле 3 ветви.
Hecatonicosihexa-pentacosiheptacontihexa-exon (Acronym Naq) - многогранный полиексон 126-576 (Jonathan Bowers)

Координаты

56 вершин проще всего представить в 8-мерном пространстве, полученном 28 перестановками координат и их противоположностями:

± (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

строительство

Его конструкция основана на группе E7 . Коксетер назвал его 3 ₂₁ по его раздваивающейся диаграмме Кокстера-Дынкина с единственным кольцом на конце последовательности из 3 узлов.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.

Удаление узла на короткой ветви оставляет 6-симплекс ,.

Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет 6-ортоплекс в его альтернативной форме: 3 ₁₁ ,.

Каждая симплексная грань касается 6-ортоплексной грани, в то время как альтернативные грани ортоплекса касаются либо симплекса, либо другого ортоплекса.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это составляет 2 ₂₁ многогранник,.

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера .

E ₇	k -face	f _k	f ₀	f ₁	ж ₂	ж ₃	ж ₄	ж ₅		ж ₆		k -фигуры	ноты
E ₆	()	f ₀	56	27	216	720	1080	432	216	72	27	2 ₂₁	E ₇ / E ₆ = 72x8! / 72x6! = 56
D ₅ A ₁	{}	f ₁	2	756	16	80	160	80	40	16	10	5-полукруглый	E ₇ / D ₅ A ₁ = 72x8! / 16/5! / 2 = 756
А ₄ А ₂	{3}	ж ₂	3	3	4032	10	30	20	10	5	5	выпрямленный 5-элементный	E ₇ / A ₄ A ₂ = 72x8! / 5! / 2 = 4032
А ₃ А ₂ А ₁	{3,3}	ж ₃	4	6	4	10080	6	6	3	2	3	треугольная призма	E ₇ / A ₃ A ₂ A ₁ = 72x8! / 4! / 3! / 2 = 10080
А ₄ А ₁	{3,3,3}	ж ₄	5	10	10	5	12096	2	1	1	2	равнобедренный треугольник	E ₇ / A ₄ A ₁ = 72x8! / 5! / 2 = 12096
А ₅ А ₁	{3,3,3,3}	ж ₅	6	15	20	15	6	4032	*	1	1	{}	E ₇ / A ₅ A ₁ = 72x8! / 6! / 2 = 4032
А ₅	{3,3,3,3}	ж ₅	6	15	20	15	6	*	2016 г.	0	2	{}	E ₇ / A ₅ = 72x8! / 6! = 2016
А ₆	{3,3,3,3,3}	ж ₆	7	21 год	35 год	35 год	21 год	10	0	576	*	()	E ₇ / A ₆ = 72x8! / 7! = 576
D ₆	{3,3,3,3,4}	ж ₆	12	60	160	240	192	32	32	*	126	()	E ₇ / D ₆ = 72x8! / 32/6! = 126

Изображений

Проекции плоскости Кокстера
E7	E6 / F4	B7 / A6
[18]	[12]	[7x2]
A5	D7 / B6	D6 / B5
[6]	[12/2]	[10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
[8]	[6]	[4]

Связанные многогранники

3 ₂₁ - пятое в размерном ряду полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный равномерный многогранник строится вершиной фигуры предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все фасеты правильных многогранников , содержащие все симплексы и ортоплексы .

k ₂₁ фигурка в n мерном
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
E _n	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	Е ₃ = А ₂ А ₁	E ₄ = A ₄	E ₅ = D ₅	E ₆	E ₇	E ₈	E ₉ = = E ₈⁺ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E ₁₀ = = E ₈⁺⁺ ${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[3 ^1,2,1 ]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
порядок	12	120	1,920	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
График							-	-
название	−1 ₂₁	0 ₂₁	1 ₂₁	2 ₂₁	3 ₂₁	4 ₂₁	5 ₂₁	6 ₂₁

Он находится в размерном ряду однородных многогранников и сот, выраженных Кокстером как ряд 3 _k1 . (Вырожденный 4-мерный случай существует как разбиение на 3 сферы, тетраэдрический осоэдр .)

3 фигурки _k1
Космос	Конечный				Евклидово	Гиперболический
п	4	5	6	7	8	9
Группа Коксетера	А ₃ А ₁	А ₅	D ₆	E ₇	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$ = E ₇⁺	${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$ = E ₇⁺⁺
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 ^−1,3,1 ]	[3 ^0,3,1 ]	[[3 ^1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1 ]	[3 ^3,3,1 ]	[3 ^4,3,1 ]
порядок	48	720	46 080	2 903 040	∞
График					-	-
название	3 _{1, -1}	3 ₁₀	3 ₁₁	3 ₂₁	3 ₃₁	3 ₄₁