8-куб - 8-cube

8-кубический Octeract
Ортогональная проекция внутри многоугольника Петри
Тип	Правильный 8-многогранник
Семья	гиперкуб
Символ Шлефли	{4,3 6 }
Диаграммы Кокстера-Дынкина
7 лиц	16 {4,3 5 }
6 лиц	112 {4,3 4 }
5 лиц	448 {4,3 3 }
4 лица	1120 {4,3 2 }
Клетки	1792 {4,3}
Лица	1792 {4}
Края	1024
Вершины	256
Фигура вершины	7-симплекс
Многоугольник Петри	шестиугольник
Группа Кокстера	C 8 , [3 6 , 4]
Двойной	8-ортоплекс
Свойства	выпуклый

В геометрии , 8-куб является восьми- мерного гиперкуба . Он имеет 256 вершин , 1024 ребер , 1792 квадратных грани , 1792 кубические клетки , 1120 тессеракт 4-грани , 448 5-куб 5-грани , 112 6-куб 6-грани , и 16 7-куб 7-грани .

Он представлен символом Шлефли {4,3 ⁶ }, состоящим из 3 7-кубов вокруг каждой 6-грани. Это называется octeract , контаминация из тессеракта ( 4-куб ) и Октябрь восемь (размеров) в греческом . Его также можно назвать правильным hexdeca-8-tope или hexadecazetton , поскольку он представляет собой 8-мерный многогранник, построенный из 16 правильных граней .

Это часть бесконечного семейства многогранников, называемых гиперкубами . Двойные из 8-кубы можно назвать 8-orthoplex , и является частью бесконечного семейства поперечных многогранников .

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин 8-куба с центром в начале координат и длиной ребра 2 равны

(± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1)

в то время как внутренность того же самого состоит из всех точек (x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ , x ₆ , x ₇ ) с -1 <x _i <1.

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет собой 8-куб. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам, 4-граням, 5-граням, 6-граням и 7-граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 8-кубе. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\ Displaystyle {\ начинаются {bmatrix} {\ начать {матрицу} 256 & 8 & 28 & 56 & 70 & 56 & 28 & 8 \\ 2 & 1024 & 7 & 21 & 35 & 35 & 21 & 7 \\ 4 & 4 & 1792 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 \\ 8 & 12 & 6 & 1792 & 5 & 10 & 10 & 5 \\ 16 & 32 & 24 & 8 & 1120 & 4 & 6 & 4 \\ 32 & 80 & 80 & 40 & 10 & 448 & 3 & 3 \\ 64 & 192 & 240 & 160 & 60 & 12 & 112 & 2 \\ 128 & 448 & 672 & 560 & 280 & 84 & 14 & 16 \ конец {матрица}} \ конец {bmatrix}}}$

Числа диагональных f-векторов выводятся с помощью конструкции Wythoff , деля полный порядок группы в порядке подгруппы, удаляя по одному зеркалу за раз.

В 8		к-лицо	f k	f 0	f 1	ж 2	ж 3	ж 4	ж 5	ж 6	ж 7	k -фигура	ноты
А 7		()	f 0	256	8	28	56	70	56	28	8	{3,3,3,3,3,3}	В 8 / А 7 = 2 ^ 8 * 8! / 8! = 256
А 6 А 1		{}	f 1	2	1024	7	21 год	35 год	35 год	21 год	7	{3,3,3,3,3}	B 8 / A 6 A 1 = 2 ^ 8 * 8! / 7! / 2 = 1024
А 5 В 2		{4}	ж 2	4	4	1792	6	15	20	15	6	{3,3,3,3}	В 8 / А 5 В 2 = 2 ^ 8 * 8! / 6! / 4/2 = 1792
А 4 В 3		{4,3}	ж 3	8	12	6	1792	5	10	10	5	{3,3,3}	B 8 / A 4 B 3 = 2 ^ 8 * 8! / 5! / 8/3! = 1792
А 3 В 4		{4,3,3}	ж 4	16	32	24	8	1120	4	6	4	{3,3}	B 8 / A 3 B 4 = 2 ^ 8 * 8! / 4! / 2 ^ 4/4! = 1120
А 2 В 5		{4,3,3,3}	ж 5	32	80	80	40	10	448	3	3	{3}	B 8 / A 2 B 5 = 2 ^ 8 * 8! / 3! / 2 ^ 5/5! = 448
А 1 В 6		{4,3,3,3,3}	ж 6	64	192	240	160	60	12	112	2	{}	B 8 / A 1 B 6 = 2 ^ 8 * 8! / 2/2 ^ 6/6! = 112
В 7		{4,3,3,3,3,3}	ж 7	128	448	672	560	280	84	14	16	()	В 8 / В 7 = 2 ^ 8 * 8! / 2 ^ 7/7! = 16

Прогнозы

Этот 8-кубический граф является ортогональной проекцией . Эта ориентация показывает столбцы вершин, расположенных на расстоянии вершина-ребро-вершина от одной вершины слева до одной вершины справа, и ребра, соединяющие соседние столбцы вершин. Количество вершин в каждом столбце представляет собой строки в треугольнике Паскаля : 1: 8: 28: 56: 70: 56: 28: 8: 1.

орфографические проекции

В 8			В 7
[16]			[14]
В 6			В 5
[12]			[10]
В 4		В 3		В 2
[8]		[6]		[4]
А 7		А 5		А 3
[8]		[6]		[4]

Производные многогранники

Применение операции чередования , удаление чередующихся вершин октеракта, создает еще один однородный многогранник , называемый 8-полукубом (часть бесконечного семейства, называемого полугиперкубами ), который имеет 16 демигептерактических и 128 8-симплексных фасетов.

Ссылки

• HSM Coxeter :
  • Coxeter, Regular Polytopes , (3-е издание, 1973 г.), Dover edition, ISBN  0-486-61480-8 , p. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
• Клитцинг, Ричард. «8D однородные многогранники (polyzetta) o3o3o3o3o3o3o4x - octo» .

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперкуб» . MathWorld .
• Ольшевский, Георгий. «Мерный многогранник» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
• Многомерный глоссарий: гиперкуб Гарретт Джонс