Усечение (геометрия) - Truncation (geometry)

Усеченный квадрат - это правильный восьмиугольник: t {4} = {8} знак равно	Усеченный куб t {4,3} или	Усеченные кубические соты t {4,3,4} или

В геометрии , усечение операция в любом измерении, порезы многогранника вершины, создавая новую грань в месте каждой вершины. Термин происходит от названий Кеплера для архимедовых тел .

Равномерное усечение

В общем, любой многогранник (или многогранник) также может быть усечен с определенной степенью свободы относительно того, насколько глубоким является разрез, как показано в операции усечения многогранника Конвея .

Особый вид усечения, обычно подразумеваемый, - это равномерное усечение , оператор усечения, применяемый к правильному многограннику (или правильному многограннику ), который создает результирующий однородный многогранник ( однородный многогранник ) с равными длинами ребер. Нет степеней свободы, и он представляет собой фиксированную геометрическую форму, как и правильные многогранники.

В общем, все однокольцевые однородные многогранники имеют равномерное усечение. Например, икосододекаэдр , представленный в виде символов Шлефли r {5,3} или , и диаграмма Кокстера-Дынкина ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 5 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$ или имеет равномерное усечение, усеченный икосододекаэдр , представленный как tr {5,3} или , ${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 5 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$ . На диаграмме Кокстера-Дынкина эффект усечения состоит в том, чтобы вывести все узлы, смежные с кольцевым узлом.

Равномерное усечение, выполняемое на правильном треугольном замощении {3,6}, приводит к правильному шестиугольному замощению {6,3}.

Усечение полигонов

У усеченного n-стороннего многоугольника будет 2n сторон (ребер). Правильный многоугольник, равномерно усеченный, станет другим правильным многоугольником: t {n} равно {2n}. Полное усечение (или исправление ) r {3} - это еще один правильный многоугольник в его двойственном положении.

Правильный многоугольник также может быть представлен его диаграммой Кокстера-Дынкина ,, и его равномерное усечение , и его полное усечение . Графикпредставляет группу Кокстера I ₂ (n), причем каждый узел представляет собой зеркало, а край представляет угол π / n между зеркалами, а кружок дается вокруг одного или обоих зеркал, чтобы показать, какие из них активны.

Параметрические усечения треугольника
{3}		t {3} = {6}		г {3} = {3}

Звездные многоугольники также можно обрезать. Усеченная пентаграмма {5/2} будет выглядеть как пятиугольник , но на самом деле представляет собой дважды покрытый (вырожденный) десятиугольник ({10/2}) с двумя наборами перекрывающихся вершин и ребер. Усеченная большая гептаграмма {7/3} дает тетрадекаграмму {14/3}.

Равномерное усечение в правильных многогранниках и мозаиках и выше

Усечения куба без возможности исправления

Когда «усечение» применяется к платоновым телам или правильным мозаикам , обычно подразумевается «равномерное усечение», что означает усечение до тех пор, пока исходные грани не станут правильными многоугольниками с вдвое большим количеством сторон, чем исходная форма.

В этой последовательности показан пример усечения куба с использованием четырех шагов непрерывного процесса усечения между полным кубом и исправленным кубом. Последний многогранник - это кубооктаэдр . Среднее изображение - однородный усеченный куб ; он представлен символом Шлефли t { p , q , ...}.

Bitruncation более глубокое усечение, удаляя все оригинальные края, но оставляя внутреннюю часть оригинальных граней. Пример: усеченный октаэдр - это усеченный битом куб: t {3,4} = 2t {4,3}.

Полное усечение битов, называемое биректификацией , превращает исходные грани в точки. Для многогранников это становится двойственным многогранником . Пример: октаэдр - это двунаправленная диаграмма куба : {3,4} = 2r {4,3}.

Другой тип усечения, cantellation , обрезает ребра и вершины, удаляя исходные ребра, заменяя их прямоугольниками, удаляя исходные вершины и заменяя их гранями двойственных исходных правильных многогранников или мозаики.

Многогранники более высокой размерности имеют более высокие усечения. Runcination вырезает грани, ребра и вершины. В пяти измерениях стерилизация разрезает клетки, грани и края.

Обрезка края

Усечение краев куба, создание куба с фаской

Обрезка кромок - это снятие фаски или фаски для многогранников, похожее на канелляцию, но с сохранением исходных вершин и заменой кромок на шестиугольники. В 4-многогранниках усечение ребер заменяет ребра удлиненными ячейками бипирамиды .

Чередование или частичное усечение

Равномерное чередование усеченного кубооктаэдра дает неоднородный курносый куб .

При чередовании или частичном усечении удаляются только некоторые исходные вершины.

При частичном усечении или чередовании половина вершин и соединительные ребра полностью удаляются. Операция применима только к многогранникам с четными гранями. Количество граней уменьшается вдвое, а квадратные грани превращаются в ребра. Например, тетраэдр - это чередующийся куб h {4,3}.

Уменьшение - это более общий термин, используемый в отношении тел Джонсона для удаления одной или нескольких вершин, ребер или граней многогранника без нарушения других вершин. Например, трехуменьшенный икосаэдр начинается с правильного икосаэдра с удаленными 3 вершинами.

Другие частичные усечения основаны на симметрии; например, тетраэдрически уменьшенный додекаэдр .

Обобщенные усечения

Типы усечений, отображаемые на ребре, изолированном от большого многоугольника или многогранника с красными и синими вершинами. После полного усечения край меняет направление.

Процесс линейного усечения можно обобщить, допустив параметрические усечения, которые являются отрицательными или которые выходят за середину ребер, вызывая самопересекающиеся звездные многогранники и могут параметрически относиться к некоторым правильным звездчатым многоугольникам и однородным звездным многогранникам .

Неглубокое усечение - длина краев уменьшается, грани усекаются, чтобы иметь вдвое больше сторон, при этом формируются новые грани с центром в старых вершинах.
Равномерное усечение является частным случаем этого с равными длинами кромок. Усеченный куб , т {4,3}, с квадратными лицами становятся восьмиугольниками, с новыми треугольными гранями являются вершинами.
Antitruncation Обратное неглубокое усечение , усеченное наружу от исходных краев, а не внутрь. В результате получается многогранник, который выглядит как оригинал, но имеет части двойного, свисающие с его углов, вместо двойного разреза на его собственные углы.
Полное усечение или исправление - предел неглубокого усечения, когда края сокращаются до точек. Кубооктаэдр , г {4,3}, является примером.
Hypertruncation Форма усечения, которая проходит после исправления, инвертирует исходные края и вызывает появление самопересечений.
Quasitruncation Форма усечения, которая идет даже дальше, чем гипертрубка, когда перевернутая кромка становится длиннее, чем исходная кромка. Его можно сгенерировать из исходного многогранника, рассматривая все грани как ретроградные, то есть огибая вершину назад. Например, квазиусечение квадрата дает правильную октаграмму (t {4,3} = {8/3}), а квазиусечение куба дает однородный звездчатый усеченный шестигранник t {4 / 3,3}.

Усечения на квадрате
Типы усечения на квадрате, {4}, с отображением красных исходных краев и новых усеченных краев голубым цветом. Равномерно усеченный квадрат - это правильный восьмиугольник, t {4} = {8}. Полный усеченный квадрат становится новым квадратом с диагональной ориентацией. Вершины располагаются в порядке против часовой стрелки, 1-4, с усеченными парами вершин как a и b .

Усечения куба
⇨ т_а С	Куб {4,3} C	⇨ tC	Усечение t {4,3} tC	⇨ tC	Полное усечение r {4,3} aC	⇩ т_ч C
Защита от усечения t _a C						Гипертрофия t _h C
⇧ т_а С	Полное квазиусечение a _q C	⇦	Квазиусечение t {4 / 3,3} t _q C	⇦ t_q C	Полное гипертрофирование a _h C	⇦ т_ч C

Смотрите также

Ссылки

Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (стр. 145–154 Глава 8: Усечение)
Единообразные многогранники
Нормана Джонсона
, рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Усечение» . MathWorld .
Ольшевский, Георгий. «Усечение» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
Имена многогранников, усечение

Операторы многогранников
[

v

т

е

]
Семя	Усечение	Исправление	Bitruncation	Двойной	Расширение	Омнитуркация	Чередования


т ₀ {p, q} {p, q}	t ₀₁ {p, q} t {p, q}	т ₁ {p, q} r {p, q}	t ₁₂ {p, q} 2t {p, q}	t ₂ {p, q} 2r {p, q}	t ₀₂ {p, q} rr {p, q}	t ₀₁₂ {p, q} tr {p, q}	ht ₀ {p, q} h {q, p}	ht ₁₂ {p, q} s {q, p}	ht ₀₁₂ {p, q} sr {p, q}

Languages

In other projects