5-симплекс - 5-simplex

5-симплексный Hexateron (hix)
Тип	равномерный 5-многогранник
Символ Шлефли	{3 4 }
Диаграмма Кокстера
4 лица	6	6 {3,3,3}
Клетки	15	15 {3,3}
Лица	20	20 {3}
Края	15
Вершины	6
Фигура вершины	5-элементный
Группа Кокстера	A 5 , [3 4 ], заказ 720
Двойной	самодвойственный
Базовая точка	(0,0,0,0,0,1)
Circumradius	0,645497
Свойства	выпуклый , изогональный правильный , самодуальный

В пятимерной геометрии 5- симплекс - это самодуальный правильный 5-многогранник . Он имеет шесть вершин , 15 ребер , 20 треугольных граней , 15 тетраэдрических ячеек и 6 5-ячеечных граней . Он имеет двугранный угол cos ⁻¹ (1/5), или примерно 78,46 °.

5-симплекс - это решение проблемы: составьте 20 равносторонних треугольников, используя 15 спичек, где каждая сторона каждого треугольника представляет собой ровно одну спичку.

Альтернативные имена

Она также может быть названа hexateron или гекс-5-пьянствовать , как 6- фацетного многогранника в 5 измерений. Название hexateron происходит от гекса- за то, что шесть граней и Терон (с тер- будучи порча тетра- ) за то, что четырехмерные грани.

Джонатан Бауэрс дает гексатерону аббревиатуру hix .

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет собой 5-симплекс. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам и 4-граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 5-симплексе. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Матрица этого самодвойственного симплекса идентична ее повороту на 180 градусов.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 6 & 5 & 10 & 10 & 5 \\ 2 & 15 & 4 & 6 & 4 \\ 3 & 3 & 20 & 3 & 3 \\ 4 & 6 & 4 & 15 & 2 \\ 5 & 10 & 10 & 5 & 6 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}$

Обычные декартовы координаты гексатерона

Hexateron может быть построена из 5-клеток путем добавления 6 - й вершины таким образом, что она находится на одинаковом расстоянии от всех других вершин 5-клетки.

В декартовы координаты для вершин происхождения в центре регулярной hexateron , имеющей длину ребра 2 , являются:

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ left ({\ tfrac {1} {\ sqrt {15}}}, \ {\ tfrac {1} {\ sqrt {10}}}, \ {\ tfrac {1) } {\ sqrt {6}}}, \ {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}}, \ \ pm 1 \ right) \\ [5pt] & \ left ({\ tfrac {1} {\ sqrt {15}}}, \ {\ tfrac {1} {\ sqrt {10}}}, \ {\ tfrac {1} {\ sqrt {6}}}, \ - {\ tfrac {2} {\ sqrt {3}}}, \ 0 \ right) \\ [5pt] & \ left ({\ tfrac {1} {\ sqrt {15}}}, \ {\ tfrac {1} {\ sqrt {10}}} , \ - {\ tfrac {\ sqrt {3}} {\ sqrt {2}}}, \ 0, \ 0 \ right) \\ [5pt] & \ left ({\ tfrac {1} {\ sqrt {15 }}}, \ - {\ tfrac {2 {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {5}}}, \ 0, \ 0, \ 0 \ right) \\ [5pt] & \ left (- { \ tfrac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {3}}}, \ 0, \ 0, \ 0, \ 0 \ right) \ end {выравнивается}}}$

Вершины 5-симплекса проще расположить на гиперплоскости в 6-пространстве как перестановки (0,0,0,0,0,1) или (0,1,1,1,1,1). Эти конструкции можно рассматривать как грани 6-ортоплекса или выпрямленного 6-куба соответственно.

Проецируемые изображения

орфографические проекции

К плоскости Косетер	А 5	А 4
График
Двугранная симметрия	[6]	[5]
К плоскости Косетер	А 3	А 2
График
Двугранная симметрия	[4]	[3]

Стереографическая проекция 4D-3D диаграммы Шлегеля 5D-4D гексатерона.

Формы более низкой симметрии

Форма более низкой симметрии - это пирамида из 5 ячеек () v {3,3,3}, с [3,3,3] порядком симметрии 120, построенная как основание из 5 ячеек в гиперплоскости с 4 пространствами и вершина точка над гиперплоскостью. Пять сторон пирамиды состоят из 5-ти ячеек. Они выглядят как фигуры вершин усеченных правильных 6-многогранников , подобных усеченному 6-кубу .

Другая форма - это {} v {3,3}, с [2,3,3] порядком симметрии 48, соединение ортогонального двуугольника и тетраэдра с ортогональным смещением, причем все пары вершин соединены между собой. Другая форма - {3} v {3} с [3,2,3] порядком симметрии 36 и расширенной симметрией [[3,2,3]], порядком 72. Она представляет собой соединение двух ортогональных треугольников, ортогонально смещенных, со всеми парами вершин, соединенными между собой.

Они рассматриваются в цифрах вершинных из bitruncated и tritruncated регулярных 6-многогранников, подобно bitruncated 6-куба и tritruncated 6-симплекс . Метки кромок здесь представляют типы граней в этом направлении и, таким образом, представляют различную длину кромок.

Фигуры вершин для усеченных 6-симплексов

() v {3,3,3}		{} v {3,3}		{3} v {3}
усеченный 6-симплексный	усеченный 6-куб	бит-усеченный 6-симплексный	усеченный битом 6-куб	усеченный 6-симплекс

Соединение

На этой проекции плоскости Кокстера A6 можно увидеть соединение двух 5-симплексов в двойных конфигурациях с красными и синими 5-симплексными вершинами и ребрами. Это соединение имеет симметрию [[3,3,3,3]] порядка 1440. Пересечение этих двух 5-симплексов является однородным двунаправленным 5-симплексом . знак равно ∩ .

Связанные однородные 5-многогранники

Он является первым из размерных рядов однородных многогранников и сот, выраженных Кокстером как 1 _3k рядов. Вырожденный 4-мерный случай существует как разбиение на 3 сферы, тетраэдрический диэдр .

1 _3k размерные фигуры

Космос	Конечный				Евклидово	Гиперболический
п	4	5	6	7	8	9
Группа Кокстера	А 3 А 1	А 5	D 6	E 7	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$= E 7 +	${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$= E 7 ++
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[3 1,3,1 ]	[3 2,3,1 ]	[[3 3,3,1 ]]	[3 4,3,1 ]
порядок	48	720	23 040	2 903 040	∞
График					-	-
имя	1 3, -1	1 30	1 31	1 32	1 33	1 34

Он является первым в ряду размерностей однородных многогранников и сот, выраженных Кокстером как ряд 3 _k1 . Вырожденный 4-мерный случай существует как разбиение на 3 сферы, тетраэдрический осоэдр .

3 фигурки _k1

Космос	Конечный				Евклидово	Гиперболический
п	4	5	6	7	8	9
Группа Кокстера	А 3 А 1	А 5	D 6	E 7	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$= E 7 +	${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$= E 7 ++
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 2,3,1 ]	[3 3,3,1 ]	[3 4,3,1 ]
порядок	48	720	46 080	2 903 040	∞
График					-	-
имя	3 1, -1	3 10	3 11	3 21	3 31	3 41

5-симплекс, как многогранник 2 _20, является первым в размерном ряду 2 _2k .

2 _2k фигур n размеров

Космос	Конечный			Евклидово	Гиперболический
п	4	5	6	7	8
Группа Кокстера	А 2 А 2	А 5	E 6	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$= E 6 +	E 6 ++
Диаграмма Кокстера
График				∞	∞
имя	2 2, -1	2 20	2 21	2 22	2 23

Регулярный 5-симплекс является одним из 19 однородных многопланов, основанных на [3,3,3,3] группе Кокстера , все они показаны здесь в ортогональных проекциях A ₅ плоскости Кокстера . (Вершины окрашены в соответствии с порядком перекрытия проекций: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый, количество вершин постепенно увеличивается)

Многогранники A5
т 0	т 1	т 2	т 0,1	т 0,2	т 1,2	т 0,3
т 1,3	т 0,4	т 0,1,2	т 0,1,3	т 0,2,3	т 1,2,3	т 0,1,4
т 0,2,4	т 0,1,2,3	т 0,1,2,4	т 0,1,3,4	т 0,1,2,3,4

Ноты

Рекомендации

• Госсет, Т. (1900). «О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений». Вестник математики . Макмиллан. С. 43–.
• Кокстер, HSM :
  • - (1973). «Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)». Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. С.  296 . ISBN 0-486-61480-8.
  • Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони С .; Вайс, Азия Ивич, ред. (1995). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter . Вайли. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Документ 22) - (1940). «Правильные и полурегулярные многогранники I» . Математика. Zeit . 46 : 380–407. DOI : 10.1007 / BF01181449 . S2CID  186237114 .
    • (Документ 23) - (1985). «Правильные и полурегулярные многогранники II» . Математика. Zeit . 188 (4): 559–591. DOI : 10.1007 / BF01161657 . S2CID  120429557 .
    • (Документ 24) - (1988). «Правильные и полурегулярные многогранники III» . Математика. Zeit . 200 : 3–45. DOI : 10.1007 / BF01161745 . S2CID  186237142 .
• Конвей, Джон Х .; Берджел, Хайди; Гудман-Штрасс, Хаим (2008). «26. Hemicubes: 1 _n1 ». Симметрии вещей . п. 409. ISBN 978-1-56881-220-5.
• Джонсон, Норман (1991). «Единые многогранники» (Рукопись). Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  • Джонсон, NW (1966). Теория однородных многогранников и сот (PhD). Университет Торонто.

внешние ссылки

• Ольшевский, Георгий. «Симплекс» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
• Многогранники разных измерений , Джонатан Бауэрс
• Многомерный глоссарий

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
Семья	А п	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукруглый
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	1 22 • 2 21
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	1 32 • 2 31 • 3 21
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукруглый	1 42 • 2 41 • 4 21
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Равномерное n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - demicube	1 к2 • 2 к1 • к 21	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений