Чередование (геометрия) - Alternation (geometry)

Чередование куба создает тетраэдр .

Чередование усеченного кубооктаэдра создает неоднородный курносый куб .

В геометрии чередование или частичное усечение - это операция над многоугольником , многогранником , мозаикой или многогранником более высокой размерности, которая удаляет альтернативные вершины.

Коксетер помечает чередование префиксом h , означающим полушарие или половину . Поскольку при чередовании все грани многоугольника уменьшаются вдвое, его можно применить только к многогранникам со всеми четными гранями. Перемежающаяся квадратная грань становится двуугольником , а будучи вырожденной, обычно сводится к единственному ребру.

В более общем смысле можно чередовать любой однородный по вершинам многогранник или мозаику с конфигурацией вершин, состоящей из всех элементов с четными номерами . Например, чередование вершинной фигуры с 2a.2b.2c будет a.3.b.3.c.3, где тройка - количество элементов в этой вершинной фигуре. Частный случай - квадратные грани, порядок которых делится пополам на вырожденные двуугольники . Так, например, куб 4.4.4 чередуется с 2.3.2.3.2.3, который сокращается до 3.3.3, являясь тетраэдром , и все 6 ребер тетраэдров также можно рассматривать как вырожденные грани исходного куба.

Курносый

Вздернутый (в терминологии Кокстера ) можно рассматривать как чередование в виде усеченного регулярного или усеченного квазирегулярного многогранника. В общем случае многогранник можно пренебречь, если его усечение имеет только четные грани. Все усеченные выпрямленные многогранники можно пренебречь, а не только правильные многогранники.

Вздернутый квадрат антипризма является примером общего курносого, и может быть представлена сс {2,4}, с квадратной антипризмой , с {2,4}.

Альтернативные многогранники

Эта операция чередования применима также к многогранникам и сотам более высокой размерности, но в целом большинство результатов этой операции не будут однородными. Пустоты, созданные удаленными вершинами, в общем случае не создают однородных фасетов, и обычно не хватает степеней свободы, чтобы позволить соответствующее изменение масштаба новых ребер. Однако существуют исключения, такие как происхождение курносой 24-ячеек из усеченных 24-ячеек .

Примеры:

• Соты
  1. Чередующиеся кубические соты - это четырехгранно-октаэдрические соты .
  2. Чередующиеся шестиугольные призматические соты - это спиральные чередующиеся кубические соты .
• 4-многогранник
  1. Чередующиеся усеченные 24 ячейки являются курносыми 24 ячейками .
• 4-соты:
  1. Чередующиеся усеченные 24-ячеечные соты - это курносые 24-ячеечные соты .
• Гиперкуба всегда можно чередовать в единую demihypercube .
  1. Куб → Тетраэдр (правильный)
     • →
  2. Тессеракт ( 8 ячеек ) → 16 ячеек (обычный)
     • →
  3. Penteract → demipenteract (полурегулярный)
  4. Hexeract → demihexeract (форма)
  5. ...

Измененные многогранники

Кокстер также использовал оператор a , который содержит обе половины, поэтому сохраняет исходную симметрию. Для четных правильных многогранников {2p, q} представляет собой составной многогранник с двумя противоположными копиями h {2p, q}. Для нечетных, больше трех правильных многогранников a {p, q} становится звездным многогранником .

Норман Джонсон расширил использование измененного оператора a {p, q}, b {p, q} для смешанного и c {p, q} для преобразованного , как, , и соответственно.

Составной многогранник, известный как звездчатый октаэдр, может быть представлен {4,3} (измененный куб ), и, .

Звездный многогранник, известный как малый дитригональный икосододекаэдр, может быть представлен {5,3} (измененный додекаэдр ), и, . Здесь все пятиугольники чередуются в пентаграммы, а треугольники вставлены, чтобы занять свободные края.

Звездный многогранник, известный как большой дитригональный икосододекаэдр, может быть представлен {5 / 2,3} (измененный большой звездчатый додекаэдр ), и, . Здесь все пентаграммы были преобразованы обратно в пятиугольники, а треугольники были вставлены, чтобы занять свободные края.

Альтернативные усечения

Подобная операция может обрезать альтернативные вершины, а не просто удалять их. Ниже представлен набор многогранников, которые могут быть созданы из каталонских тел . У них есть два типа вершин, которые можно поочередно обрезать. Усечение вершин «более высокого порядка» и обоих типов вершин дает следующие формы:

название	Оригинал	Альтернативное усечение	Усечение	Усеченное имя
Куб Дуальный выпрямленного тетраэдра				Альтернативный усеченный куб
Ромбический додекаэдр Двойной кубооктаэдр				Усеченный ромбический додекаэдр
Ромбический триаконтаэдр Двойной икосододекаэдр				Усеченный ромбический триаконтаэдр
Тетраэдр Triakis Двойной усеченного тетраэдра				Усеченный триакис тетраэдр
Октаэдр Триаки Дуал усеченного куба				Усеченный трехугольный октаэдр
Триакис икосаэдр Двойной усеченный додекаэдр				Усеченный триакис икосаэдр

Смотрите также

• Многогранные обозначения Конвея
• Строительство Wythoff

Ссылки

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973 г.), Dover edition, ISBN  0-486-61480-8
• Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Оскорбление» . MathWorld .
• Ричард Клитцинг, Снабс, чередующиеся фасетки и диаграммы Стотта-Кокстера-Дынкина , Симметрия: культура и наука, Vol. 21, № 4, 329-344, (2010) [1]

внешние ссылки

• Ольшевский, Георгий. «Чередование» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
• Имена многогранников, курносый

Операторы многогранников

[

• v
• т
• е

]

Семя	Усечение	Исправление	Bitruncation	Двойной	Расширение	Омнитуркация	Чередования
т 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p, q} t {p, q}	т 1 {p, q} r {p, q}	t 12 {p, q} 2t {p, q}	t 2 {p, q} 2r {p, q}	t 02 {p, q} rr {p, q}	t 012 {p, q} tr {p, q}	ht 0 {p, q} h {q, p}	ht 12 {p, q} s {q, p}	ht 012 {p, q} sr {p, q}