2  21 многогранник - 2 21 polytope

Вверх 2 21 t0 E6.svg
2 21
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Вверх 2 21 t1 E6.svg
Ректифицированный 2 21
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Вверх 1 22 t0 E6.svg
( 1 22 )
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Вверх 2 21 т2 E6.svg
Birectified 2 21
( выпрямленный 1 22 )
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 10.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
ортогональные проекции в плоскости Кокстера E 6

В 6-мерной геометрии , то 2 21 многогранник является однородным 6-многогранник , построенный в симметрии Е 6 группы. Он был открыт Торольдом Госсетом , опубликованным в его статье 1900 года. Он назвал это полурегулярной шестигранной фигурой . Его также называют многогранником Шлефли .

Его символ Кокстера - 2 21 , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с единственным кольцом на конце одной из последовательностей с двумя узлами. Он также изучил его связь с 27 прямыми на кубической поверхности , которые, естественно, соответствуют вершинам 2 21 .

Выпрямляются 2 21 построены по точкам в середине краях - 21 . Birectified 2 21 строится по точкам на треугольник лицевых центров - 21 , и является таким же , как выпрямленным 1 22 .

Эти многогранники являются частью семейства из 39 выпуклых однородных многогранников в 6-мерном пространстве , состоящих из граней однородных 5-многогранников и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина : CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png .

2_21 многогранник

2 21 многогранник
Тип Равномерный 6-многогранник
Семья k 21 многогранник
Символ Шлефли {3,3,3 2,1 }
Символ Кокстера 2 21
Диаграмма Кокстера-Дынкина CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png или же Узлы CDel 10r.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5 лиц 99 всего:
27 2 11 72 {3 4 }5-orthoplex.svg
5-симплексный t0.svg
4 лица 648:
432 {3 3 } 216 {3 3 }4-симплексный t0.svg
4-симплексный t0.svg
Клетки 1080 {3,3} 3-симплексный t0.svg
Лица 720 {3} 2-симплексный t0.svg
Края 216
Вершины 27
Фигура вершины 1 21 ( 5-полукруглый )
Многоугольник Петри Додекагон
Группа Коксетера E 6 , [3 2,2,1 ], заказ 51840
Свойства выпуклый

У 2 21 27 вершин и 99 граней: 27 5-ортоплексов и 72 5-симплексов . Его вершина - 5-полукуб .

Для визуализации этот 6-мерный многогранник часто отображается в специальном наклонном ортогональном направлении проекции, которое соответствует его 27 вершинам внутри 12-угольного правильного многоугольника (называемого многоугольником Петри ). Его 216 ребер нарисованы между 2 кольцами по 12 вершин, а 3 вершины проецируются в центр. На этой проекции также можно извлекать и рисовать более высокие элементы (грани, ячейки и т. Д.).

Граф Шлефли является 1-скелетом этого многогранника.

Альтернативные имена

  • EL Elte назвал его V 27 (из-за 27 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года.
  • Icosihepta-heptacontidi-peton - полипетон с гранями 27-72 (акроним jak) (Jonathan Bowers)

Координаты

27 вершин могут быть представлены в пространстве 8 как фигура-ребро многогранника 4 21 :

  • (-2,0,0,0, -2,0,0,0), (0, -2,0,0, -2,0,0,0), (0,0, -2,0, -2,0,0,0), (0,0,0, -2, -2,0,0,0), (0,0,0,0, -2,0,0, -2), (0,0,0,0,0, -2, -2,0)
  • (2,0,0,0, -2,0,0,0), (0,2,0,0, -2,0,0,0), (0,0,2,0, -2, 0,0,0), (0,0,0,2, -2,0,0,0), (0,0,0,0, -2,0,0,2)
  • (-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1), (-1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1), (-1, -1, 1, -1, -1, -1, -1, 1), (-1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, -1), (- 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, 1), (-1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, -1), (-1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1), (1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1) (1, -1, 1 , -1, -1, -1, -1, -1), (1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, -1) (1, 1, -1, -1 , -1, -1, -1, -1), (-1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1) (1, -1, 1, 1, -1, -1 , -1, 1) (1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, 1) (1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1) (1 , 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1)

строительство

Его конструкция основана на группе E 6 .

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина , CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png .

Удаление узла на короткой ветви оставляет 5-симплекс , CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png .

Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет 5-ортоплекс в его альтернативной форме: ( 2 11 ), CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png .

Каждая симплексная грань касается 5-ортоплексной грани, в то время как альтернативные грани ортоплекса касаются либо симплекса, либо другого ортоплекса.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает 5-полукуб (1 21 многогранник), CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png . Ребро-фигура - это фигура вершины вершинной фигуры, выпрямленной 5-ячейки , (0 21 многогранник), CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 10.png .

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено из порядков группы Кокстера .

E 6 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png к-лицо f k f 0 f 1 ж 2 ж 3 ж 4 ж 5 k -фигура ноты
D 5 CDel nodea x.pngCDel 2.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png () f 0 27 16 80 160 80 40 16 10 ч {4,3,3,3} E 6 / D 5 = 51840/1920 = 27
А 4 А 1 CDel nodea 1.pngCDel 2.pngCDel nodea x.pngCDel 2.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png {} f 1 2 216 10 30 20 10 5 5 г {3,3,3} E 6 / A 4 A 1 = 51840/120/2 = 216
А 2 А 2 А 1 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 2.pngУзлы CDel x0.pngCDel 2.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png {3} ж 2 3 3 720 6 6 3 2 3 {3} x {} E 6 / A 2 A 2 A 1 = 51840/6/6/2 = 720
А 3 А 1 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngУзлы CDel 0x.pngCDel 2.pngCDel nodea x.pngCDel 2.pngCDel nodea.png {3,3} ж 3 4 6 4 1080 2 1 1 2 {} v () E 6 / A 3 A 1 = 51840/24/2 = 1080
А 4 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngУзлы CDel 0x.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodea x.png {3,3,3} ж 4 5 10 10 5 432 * 1 1 {} E 6 / A 4 = 51840/120 = 432
А 4 А 1 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 2.pngCDel nodea x.pngCDel 2.pngCDel nodea.png 5 10 10 5 * 216 0 2 E 6 / A 4 A 1 = 51840/120/2 = 216
А 5 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngУзлы CDel 0x.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png {3,3,3,3} ж 5 6 15 20 15 6 0 72 * () E 6 / A 5 = 51840/720 = 72
D 5 CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodea x.png {3,3,3,4} 10 40 80 80 16 16 * 27 E 6 / D 5 = 51840/1920 = 27

Картинки

Вершины в этой проекции раскрашены по своему количеству в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый. В скобках указано количество вершин по цвету.

Ортографические проекции плоскости Кокстера
E6
[12]
D5
[8]
D4 / A2
[6]
B6
[12/2]
Вверх 2 21 t0 E6.svg
(1,3)
Вверх 2 21 t0 D5.svg
(1,3)
Вверх 2 21 t0 D4.svg
(3,9)
Вверх 2 21 т0 B6.svg
(1,3)
A5
[6]
A4
[5]
A3 / D3
[4]
Вверх 2 21 t0 A5.svg
(1,3)
Вверх 2 21 t0 A4.svg
(1,2)
Вверх 2 21 t0 D3.svg
(1,4,7)

Геометрическое складывание

2 21 связан с 24-клеток с помощью геометрической складывания из Е6 / F4 диаграмм Кокстера-Дынкина . Это можно увидеть в проекциях плоскости Кокстера . 24 вершины 24-ячейки проецируются в те же два кольца, что и в 2 21 .

E 6
Dyn-node.pngDyn-3.pngDyn-loop1.pngDyn-nodes.pngDyn-3s.pngDyn-nodes.png
П 4
Dyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-4b.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png
E6 graph.svg
2 21
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngУзлы CDel 10l.png
24-элементный t3 F4.svg
24-элементный
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Этот многогранник может Tessellate евклидово 6-пространства, образуя 2 22 сот с этой диаграммой Кокстера-Дынкин: CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png .

Связанные сложные многогранники

Регулярный комплекс многоугольника 3 {3} 3 {3} 3 , CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png , in имеет вещественное представление в виде многогранника 2 21 , Узлы CDel 10r.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png , в 4-мерном пространстве. Он назван гессенским многогранником в честь Эдмунда Гесса . У него 27 вершин, 72 3-ребра и 27 3 {3} 3 грани. Его комплексная группа отражений является 3 [3] 3 [3] 3 , порядок 648.

Связанные многогранники

Число 2 21 является четвертым в размерном ряду полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный равномерный многогранник строится вершиной фигуры предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все фасеты правильных многогранников , содержащие все симплексы и ортоплексы .

Многогранник 2 21 является четвертым в размерной серии 2 k2 .

Многогранник 2 21 является вторым в размерной серии 2 2k .

2 2k фигур n размеров
Космос Конечный Евклидово Гиперболический
п 4 5 6 7 8

Группа Коксетера
А 2 А 2 А 5 E 6 = E 6 + E 6 ++

Диаграмма Кокстера
Узлы CDel 10r.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png Узлы CDel 10r.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png Узлы CDel 10r.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Узлы CDel 10r.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Узлы CDel 10r.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
График 5-симплексный t0.svg Вверх 2 21 t0 E6.svg
имя 2 2, -1 2 20 2 21 2 22 2 23

Выпрямленный многогранник 2_21

Выпрямленный многогранник 2 21
Тип Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли т 1 {3,3,3 2,1 }
Символ Кокстера т 1 (2 21 )
Диаграмма Кокстера-Дынкина CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png или же CDel nodes.pngCDel 3ab.pngУзлы CDel 10lru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5 лиц 126 всего:

72 т 1 {3 4 } 27 т 1 {3 3 , 4} 27 т 1 {3,3 2,1 }5-симплексный t1.svg
5-куб t3.svg
5-demicube t0 D5.svg

4 лица 1350
Клетки 4320
Лица 5040
Края 2160
Вершины 216
Фигура вершины выпрямленная 5-элементная призма
Группа Коксетера E 6 , [3 2,2,1 ], заказ 51840
Свойства выпуклый

Выпрямляется 2 21 216 вершин, и 126 граней: 72 исправлены 5-симплексов , и 27 исправлены 5-orthoplexes и 27 5-demicubes . Его вершина представляет собой выпрямленную 5-элементную призму.

Альтернативные имена

  • Ректифицированный икосигепта-гептаконтиди-петон в виде ректифицированного полипетона с 27-72 гранями (акроним роджак) (Джонатан Бауэрс)

строительство

Его построение основано на группе E 6, и информацию можно извлечь из окольцованной диаграммы Кокстера-Дынкина, представляющей этот многогранник: CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png .

Удаление кольца на короткой ветви оставляет выпрямленный 5-симплекс , CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png .

Удаление кольца на конце другой 2-длины ветви оставляет выпрямленный 5-ортоплекс в его альтернированной форме: t 1 (2 11 ) , CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png .

При удалении кольца на конце той же 2-длины ветви остается 5-полукуб : (1 21 ) , CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png .

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого кольца и звона соседнего кольца. Это делает выпрямленную 5-элементную призму, t 1 {3,3,3} x {}, CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel nodea 1.png .

Картинки

Вершины в этой проекции раскрашены по своему количеству в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.

Ортографические проекции плоскости Кокстера
E6
[12]
D5
[8]
D4 / A2
[6]
B6
[12/2]
Вверх 2 21 t1 E6.svg Вверх 2 21 t1 D5.svg Вверх 2 21 t1 D4.svg Вверх 2 21 т1 B6.svg
A5
[6]
A4
[5]
A3 / D3
[4]
Вверх 2 21 t1 A5.svg Вверх 2 21 t1 A4.svg Вверх 2 21 t1 D3.svg

Усеченный многогранник 2_21

Усеченный многогранник 2 21
Тип Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли т {3,3,3 2,1 }
Символ Кокстера т (2 21 )
Диаграмма Кокстера-Дынкина CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png или же Узлы CDel 10r.pngCDel 3ab.pngУзлы CDel 10lru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5 лиц 72 + 27 + 27
4 лица 432 + 216 + 432 + 270
Клетки 1080 + 2160 + 1080
Лица 720 + 4320
Края 216 + 2160
Вершины 432
Фигура вершины () vr {3,3,3}
Группа Коксетера E 6 , [3 2,2,1 ], заказ 51840
Свойства выпуклый

Усечен 2 21 имеет 432 вершин, 5040 ребер, 4320 лица, 1350 клеток, и 126 4-граней. Его вершина представляет собой выпрямленную 5-элементную пирамиду.

Картинки

Вершины в этой проекции окрашены в соответствии с их множеством в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый.

Ортографические проекции плоскости Кокстера
E6
[12]
D5
[8]
D4 / A2
[6]
B6
[12/2]
Вверх 2 21 t01 E6.svg Вверх 2 21 t01 D5.svg Вверх 2 21 t01 D4.svg Вверх 2 21 t01 B6.svg
A5
[6]
A4
[5]
A3 / D3
[4]
Вверх 2 21 t01 A5.svg Вверх 2 21 t01 A4.svg Вверх 2 21 t01 D3.svg

Смотрите также

Ноты

Рекомендации

  • Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
  • Elte, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
    • (Paper 17) Coxeter , The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248] См. Рисунок 1: (стр. 232) (Узловой граф многогранника)
  • Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты)» . x3o3o3o3o * c3o - jak, o3x3o3o3o * c3o - роджак
Семья А п B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-угольник Шестиугольник Пентагон
Равномерный многогранник Тетраэдр Октаэдр Куб Демикуб Додекаэдр Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник 5-элементный 16 ячеек Тессеракт Demitesseract 24-элементный 120 ячеек 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс 5-куб 5-полукуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс 6-куб 6-полукуб 1 22 2 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс 7-куб 7-полукуб 1 32 2 31 3 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс 8-куб. 8-полукруглый 1 42 2 41 4 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс 9-куб 9-полукуб
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс 10-куб 10-полукуб
Равномерное n - многогранник n - симплекс n - ортоплекс n - куб n - demicube 1 к2 2 к1 к 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников Правильный многогранник Список правильных многогранников и соединений