E 8 (математика) -E8 (mathematics)
Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
Группы Ли |
---|
В математике , Е 8 представляет собой любой из нескольких тесно связанных исключительных простых групп Ли , линейные алгебраических групп или алгебр Ли размерностей 248; то же обозначение используется для соответствующей корневой решетки , имеющей ранг 8. Обозначение E 8 происходит из классификации Картана – Киллинга сложных простых алгебр Ли , которые распадаются на четыре бесконечные серии, обозначенные A n , B n , C n , D n и пять исключительных случаев, обозначенных G 2 , F 4 , E 6 , E 7 и E 8 . Алгебра E 8 - самый большой и сложный из этих исключительных случаев.
Основное описание
Группа Ли E 8 имеет размерность 248. Ее ранг , являющийся размерностью ее максимального тора , равен восьми.
Следовательно, векторы корневой системы находятся в восьмимерном евклидовом пространстве : они подробно описаны ниже в этой статье. Группа Вейля E 8 , которая является группой симметрий максимального тора, индуцированных сопряжениями во всей группе, имеет порядок 2 14 3 5 5 2 7 = 696 729 600 .
Компактная группа E 8 уникальна среди простых компактных групп Ли тем, что ее нетривиальное представление наименьшей размерности является присоединенным представлением (размерности 248), действующим на самой алгебре Ли E 8 ; он также является уникальным, обладающим следующими четырьмя свойствами: тривиальный центр, компактный, односвязный и просто зашнурованный (все корни имеют одинаковую длину).
Для любого целого k ≥ 3 существует алгебра Ли E k . Наибольшее значение k, для которого E k конечномерно, равно k = 8, то есть E k бесконечномерно для любого k > 8.
Реальные и сложные формы
Существует уникальная комплексная алгебра Ли типа Е 8 , что соответствует комплексной группы комплексной размерности 248. комплексная группа Ли Е 8 из комплексной размерности 248 можно рассматривать как простой группы Ли вещественной размерности 496. Это просто связано , имеет максимальную компактную подгруппу, компактную форму (см. ниже) E 8 , и группу внешних автоморфизмов порядка 2, порожденную комплексным сопряжением.
Помимо комплексной группы Ли типа E 8 , существуют три действительные формы алгебры Ли, три действительные формы группы с тривиальным центром (две из которых имеют неалгебраические двойные покрытия, что дает еще две действительные формы), все действительной размерности 248, а именно:
- Компактная форма (которая обычно подразумевается, если никакая другая информация не указана), которая является односвязной и имеет тривиальную группу внешних автоморфизмов.
- Расщепленная форма, EVIII (или E 8 (8) ), которая имеет максимальную компактную подгруппу Spin (16) / ( Z / 2 Z ), фундаментальную группу порядка 2 (подразумевая, что она имеет двойное покрытие , которое является односвязным Вещественная группа Ли, но не алгебраическая, см. Ниже ) и имеет тривиальную группу внешних автоморфизмов.
- EIX (или E 8 (−24) ), который имеет максимальную компактную подгруппу E 7 × SU (2) / (- 1, −1), фундаментальную группу порядка 2 (снова подразумевая двойное покрытие, которое не является алгебраическим) и имеет тривиальную группу внешних автоморфизмов.
Полный список реальных форм простых алгебр Ли см. В списке простых групп Ли .
E 8 как алгебраическая группа
С помощью базиса Шевалле алгебры Ли можно определить E 8 как линейную алгебраическую группу над целыми числами и, следовательно, над любым коммутативным кольцом и, в частности, над любым полем: это определяет так называемое расщепление (иногда также известное как «раскрученная») форма Е 8 . Над алгебраически замкнутым полем это единственная форма; однако, помимо других полей, часто существует множество других форм или «скручиваний» E 8 , которые классифицируются в общих рамках когомологий Галуа (над совершенным полем k ) множеством H 1 ( k , Aut (E 8 )) которое, поскольку диаграмма Дынкина E 8 (см. ниже ) не имеет автоморфизмов, совпадает с H 1 ( k , E 8 ).
Над R вещественная связная компонента тождества этих алгебраически скрученных форм E 8 совпадает с тремя реальными группами Ли, упомянутыми выше , но с тонкостью, касающейся фундаментальной группы: все формы E 8 односвязны в алгебраическом смысле. геометрия, означающая, что они не допускают нетривиальных алгебраических покрытий; поэтому некомпактные и односвязные вещественные групповые формы Ли E 8 не являются алгебраическими и не допускают точных конечномерных представлений.
Над конечными полями из теоремы Лэнга – Стейнберга следует, что H 1 ( k , E 8 ) = 0, что означает, что E 8 не имеет скрученных форм: см. Ниже .
Характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой характера Вейля . Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A121732 в OEIS ):
- 1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 3420465000, 22816966000, 10951000, 228480000, 215168000 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (дважды), 12692520960…
248-мерное представление является присоединенным . Существует два неизоморфных неприводимых представления размерности 8634368000 (оно не уникально; однако следующее целое число с этим свойством - 175898504162692612600853299200000 (последовательность A181746 в OEIS )). Эти фундаментальные представления являются те , с размерами 3875, 6696000, 6899079264, 146325270, 2450240, 30380, 248 и 147250 (соответствующих восьми узлов в диаграмме Дынкина в порядке , выбранном для матрицы Картана ниже, то есть, узлы считываются в цепочка из семи узлов первая, причем последний узел подключается к третьему).
Коэффициенты формул характеров для бесконечномерных неприводимых представлений E 8 зависят от некоторых больших квадратных матриц, состоящих из многочленов, многочленов Люстига – Фогана , аналога многочленов Каждана – Люстига, введенного для редуктивных групп в целом Джорджем Люстигом и Давидом Кажданом ( 1983 г.). Значения в 1 полиномов Люстига – Вогана дают коэффициенты матриц, связывающих стандартные представления (характеры которых легко описываются) с неприводимыми представлениями.
Эти матрицы были вычислены после четырех лет сотрудничества группой из 18 математиков и компьютерных ученых во главе с Джеффри Адамсом , при этом большая часть программирования была сделана Фокко дю Клу . Самый сложный случай (для исключительных групп) - это разделенная вещественная форма E 8 (см. Выше), где самая большая матрица имеет размер 453060 × 453060. Многочлены Люстига – Фогана для всех других исключительных простых групп были известны уже некоторое время; расчет для разделенной формы E 8 намного дольше, чем для любого другого случая. Объявление результата в марте 2007 г. вызвало чрезвычайное внимание средств массовой информации (см. Внешние ссылки), к удивлению математиков, работавших над ним.
Представления групп E 8 над конечными полями даются теорией Делиня – Люстига .
Конструкции
Можно построить (компактную форму) группы E 8 как группу автоморфизмов соответствующей алгебры Ли e 8 . Эта алгебра имеет 120-подалгебру так (16) , порожденную J Ij , а также 128 новых генераторами Q через которые преобразуются как Вейль-майорановский спинор из спина (16). Эти утверждения определяют коммутаторы
а также
а остальные коммутаторы (не антикоммутаторы!) между спинорными генераторами определяются как
Тогда можно проверить выполнение тождества Якоби .
Геометрия
Компактная вещественная форма E 8 - это группа изометрий 128-мерного исключительного компактного риманова симметрического пространства EVIII (по классификации Картана ). Она неформально известна как « октооктонионная проективная плоскость », потому что она может быть построена с использованием алгебры, которая является тензорным произведением октонионов на самих себя, и также известна как проективная плоскость Розенфельда , хотя она не подчиняется обычным аксиомам проективная плоскость. Систематически это можно увидеть, используя конструкцию, известную как магический квадрат , созданную Гансом Фройденталем и Жаком Титсом ( Landsberg & Manivel 2001 ).
Корневая система E 8
Система корней ранга г является частной конечной конфигурацией векторов, называемых корни , которые охватывают собой г - мерное евклидово пространства и удовлетворяют определенные геометрические свойства. В частности, корневая система должна быть инвариантной относительно отражения через гиперплоскость, перпендикулярную любому корню.
Е 8 корневая система является системой корней ранга 8 , содержащей 240 корневых векторов , охватывающих R 8 . Он несводим в том смысле, что не может быть построен из корневых систем меньшего ранга. Все корневые векторы в E 8 имеют одинаковую длину. Для ряда целей их удобно нормализовать до длины √ 2 . Эти 240 векторов являются вершинами полурегулярного многогранника обнаруженного Торолдом Госсет в 1900 году, иногда известные как 4 21 многогранника .
Строительство
В так называемой четной системе координат E 8 задается как набор всех векторов в R 8 с квадратом длины, равным 2, так что координаты либо все целые, либо все полуцелые числа, а сумма координат четная.
Явно существует 112 корней с целыми элементами, полученными из
взяв произвольную комбинацию знаков и произвольную перестановку координат, и 128 корней с полуцелыми элементами, полученными из
взяв четное количество знаков минус (или, что то же самое, требуя, чтобы сумма всех восьми координат была четной). Всего 240 корней.
112 корней с целыми элементами образуют корневую систему D 8 . Корневая система E 8 также содержит копию A 8 (которая имеет 72 корня), а также E 6 и E 7 (фактически, последние два обычно определяются как подмножества E 8 ).
В нечетной системе координат E 8 задается путем взятия корней в четной системе координат и изменения знака любой одной координаты. Корни с целочисленными записями такие же, в то время как корни с полуцелыми записями имеют нечетное количество знаков минус, а не четное число.
Диаграмма Дынкина
Диаграмма Дынкина для E 8 задается .
Эта диаграмма дает краткое визуальное описание корневой структуры. Каждый узел этой диаграммы представляет собой простой корень. Линия, соединяющая два простых корня, означает, что они расположены под углом 120 ° друг к другу. Два простых корня, не соединенных линией, ортогональны .
Матрица Картана
Матрица Картана из ранга г корневой системы является г × г матрица , элементы которой являются производными от простых корней. В частности, элементы матрицы Картана задаются
где (,) - евклидов скалярное произведение, а α i - простые корни. Записи не зависят от выбора простых корней (с точностью до упорядочения).
Матрица Картана для E 8 имеет вид
Определитель этой матрицы равен 1.
Простые корни
Набор простых корней для корневой системы Φ - это набор корней, которые образуют базис для евклидова пространства, натянутого на Φ, со специальным свойством, заключающимся в том, что каждый корень имеет компоненты относительно этого базиса, которые либо все неотрицательны, либо все неположительны.
Учитывая матрицу Картана E 8 (см. Выше) и порядок узлов диаграммы Дынкина :
Один выбор простых корней дается строками следующей матрицы:
Группа Вейля
Группа Вейля E 8 имеет порядок 696729600 и может быть описана как O+
8(2): он имеет вид 2. G .2 (то есть базовое расширение циклической группой порядка 2 расширения циклической группы порядка 2 группой G ), где G - единственная простая группа порядка 174182400 (который можно описать как PSΩ 8 + (2)).
Корневая решетка E 8
Целая оболочка корневой системы E 8 образует решетку в R 8, естественно называемую решеткой корней E 8 . Эта решетка весьма примечательна тем, что является единственной (нетривиальной) четной унимодулярной решеткой ранга меньше 16.
Простые подалгебры в E 8
Алгебра Ли E8 содержит в качестве подалгебр все исключительные алгебры Ли, а также многие другие важные алгебры Ли в математике и физике. Высота алгебры Ли на диаграмме приблизительно соответствует рангу алгебры. Линия от алгебры к нижней алгебре указывает, что нижняя алгебра является подалгеброй высшей алгебры.
Группы Шевалле типа E 8
Шевалле (1955) показал, что точки (расщепленной) алгебраической группы E 8 (см. Выше ) над конечным полем с q элементами образуют конечную группу Шевалле , обычно обозначаемую E 8 ( q ), которая проста для любого q , и составляет одно из бесконечных семейств, рассматриваемых при классификации конечных простых групп . Его количество элементов определяется формулой (последовательность A008868 в OEIS ):
Первый член в этой последовательности, порядок Е 8 (2), а именно 337 804 753 143 634 806 261 388 190 614 085 595 079 991 692 242 467 651 576 160 959 909 068 800 000 ≈ 3,38 × 10 74 , уже больше, чем размер группы Монстров . Эта группа E 8 (2) является последней, описанной (но без ее таблицы символов) в ATLAS конечных групп .
Мультипликатор Шура Е 8 ( д ) тривиальна, а ее внешний автоморфизм группы является то , что полевых автоморфизмов (т.е. циклическая порядка е , если д = р е , где р простое).
Люстиг (1979) описал унипотентные представления конечных групп типа E 8 .
Подгруппы
Меньшие исключительные группы E 7 и E 6 находятся внутри E 8 . В компактной группе как E 7 × SU (2) / (- 1, −1), так и E 6 × SU (3) / ( Z / 3 Z ) являются максимальными подгруппами в E 8 .
248-мерное присоединенное представление E 8 можно рассматривать в терминах его ограниченного представления первой из этих подгрупп. Он преобразуется при E 7 × SU (2) как сумма представлений тензорного произведения , которую можно обозначить как пару измерений как (3,1) + (1,133) + (2,56) (поскольку в эти обозначения могут строго рассматриваться как указывающие на бесконечно малые (алгебра Ли) представления). Поскольку присоединенное представление может быть описано корнями вместе с образующими в подалгебре Картана , мы можем увидеть это разложение, посмотрев на них. В этом описании
- (3,1) состоит из корней (0,0,0,0,0,0,1, −1), (0,0,0,0,0,0, −1,1) и генератора Картана соответствующий последнему измерению;
- (1,133) состоит из всех корней с (1,1), (−1, −1), (0,0), (- 1 ⁄ 2 , - 1 ⁄ 2 ) или ( 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) в последние два измерения вместе с генераторами Картана, соответствующими первым семи измерениям;
- (2,56) состоит из всех корней с перестановками (1,0), (−1,0) или ( 1 ⁄ 2 , - 1 ⁄ 2 ) в последних двух измерениях.
При аналогичном ограничении 248-мерное присоединенное представление E 8 преобразуется при E 6 × SU (3) как: (8,1) + (1,78) + (3,27) + ( 3 , 27 ). Мы можем снова увидеть разложение, посмотрев на корни вместе с образующими в подалгебре Картана. В этом описании
- (8,1) состоит из корней с перестановками (1, −1,0) в последних трех измерениях вместе с генератором Картана, соответствующим двум последним измерениям;
- (1,78) состоит из всех корней с (0,0,0), (- 1 ⁄ 2 , - 1 ⁄ 2 , - 1 ⁄ 2 ) или ( 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) в последние три измерения вместе с генераторами Картана, соответствующими первым шести измерениям;
- (3,27) состоит из всех корней с перестановками (1,0,0), (1,1,0) или (- 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) в последних трех измерениях.
- ( 3 , 27 ) состоит из всех корней с перестановками (−1,0,0), (−1, −1,0) или ( 1 ⁄ 2 , - 1 ⁄ 2 , - 1 ⁄ 2 ) в последних трех Габаритные размеры.
Конечные квазипростые группы, которые могут быть вложены в (компактную форму) E 8, были найдены Гриссом и Рыбой (1999) .
Группа Демпвольфа является подгруппой (компактной формы) E 8 . Он содержится в спорадической группе Томпсона , которая действует на базовом векторном пространстве группы Ли E 8, но не сохраняет скобку Ли. Группа Томпсона фиксирует решетку и сохраняет скобку Ли этой решетки по модулю 3, давая вложение группы Томпсона в E 8 ( F 3 ).
Приложения
Группа Ли E 8 имеет приложения в теоретической физике и особенно в теории струн и супергравитации . E 8 × E 8 - это калибровочная группа одного из двух типов гетеротической струны и одна из двух калибровочных групп без аномалий, которые могут быть связаны с супергравитацией N = 1 в десяти измерениях. E 8 - это группа U-двойственности супергравитации на восьмимерном торе (в ее расщепленной форме).
Одним из способов включения стандартной модели физики элементарных частиц в гетеротическую теорию струн является нарушение симметрии E 8 до ее максимальной подалгебры SU (3) × E 6 .
В 1982 году Майкл Фридман использовал Е 8 решетку построить пример топологического 4-многообразия , на Е 8 коллектора , который не имеет гладкую структуру .
Неполная книга Энтони Гарретта Лиси « Исключительно простая теория всего » пытается описать все известные фундаментальные взаимодействия в физике как часть алгебры Ли E 8 .
R. Coldea, DA Tennant и EM Wheeler et al. ( 2010 ) сообщила , эксперимент , где спины электронов из кобальта - ниобий кристалл показал, при определенных условиях, два из восьми пиков , связанных с Й 8 , которые были предсказаны Замолодчиками (1989) .
История
Вильгельм Киллинг ( 1888a , 1888b , 1889 , 1890 ) открыл комплексную алгебру Ли E 8 во время своей классификации простых компактных алгебр Ли, хотя он не доказал ее существование, что впервые было показано Эли Картаном . Картан определил, что сложная простая алгебра Ли типа E 8 допускает три вещественные формы. Каждая из них порождает простую группу Ли размерности 248, ровно одна из которых (как и любая сложная простая алгебра Ли) компактна . Шевалле (1955) ввел алгебраические группы и алгебры Ли типа E 8 над другими полями : например, в случае конечных полей они приводят к бесконечному семейству конечных простых групп лиева типа.
Смотрите также
Примечания
использованная литература
- Адамс, Дж. Франк (1996), Лекции по исключительным группам Ли , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00526-3, MR 1428422
- Баэз, Джон К. (2002), «Октонионы» , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 39 (2): 145–205, arXiv : math / 0105155 , doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00934 -X , Руководство по ремонту 1886087
- Шевалье, Клод (1955), "Sur certains Groupes Simples" , Тохоку математический журнал , вторая серия, 7 : 14-66, DOI : 10,2748 / TMJ / 1178245104 , ISSN 0040-8735 , MR 0073602
- Coldea, R .; Tennant, DA; Уиллер, EM; Wawrzynska, E .; Prabhakaran, D .; Говоря, М .; Habicht, K .; Smeibidl, P .; Кифер, К. (2010), «Квантовая критичность в цепи Изинга: экспериментальные доказательства появления симметрии E 8 », Science , 327 (5962): 177–180, arXiv : 1103.3694 , Bibcode : 2010Sci ... 327..177C , DOI : 10.1126 / science.1180085
- Гарибальди, Скип (2016), «E 8 , самая исключительная группа», Бюллетень Американского математического общества , 53 : 643–671, arXiv : 1605.01721 , doi : 10.1090 / bull / 1540
- Грисс, Роберт Л .; Рыба, AJE (1999), "Конечные простые группы, которые проективно вкладываются в исключительную группу Ли, классифицированы!" , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 36 (1): 75-93, DOI : 10,1090 / S0273-0979-99-00771-5 , MR 1653177
- Убийство Вильгельма (1888a), "Die Zusammensetzung дер stetigen endlichen Transformationsgruppen" , Mathematische Annalen , 31 (2): 252-290, DOI : 10.1007 / BF01211904
- Убийство Вильгельма (1888b), "Die Zusammensetzung дер stetigen endlichen Transformationsgruppen" , Mathematische Annalen , 33 (1): 1-48, DOI : 10.1007 / BF01444109
- Киллинг, Вильгельм (1889), «Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen» , Mathematische Annalen , 34 (1): 57–122, doi : 10.1007 / BF01446792 , заархивировано из оригинала 21.02.2015 , получено 2013-09- 12
- Уничтожение, Вильгельма (1890), "Die Zusammensetzung дер stetigen endlichen Transformationsgruppen" , Mathematische Annalen , 36 (2): 161-189, DOI : 10.1007 / BF01207837
- Ландсберг, Джозеф М .; Manivel, Laurent (2001), «Проективная геометрия магического квадрата Фрейденталя», Journal of Algebra , 239 (2): 477–512, arXiv : math / 9908039 , doi : 10.1006 / jabr.2000.8697 , MR 1832903
- Люстиг, Джордж (1979), "Унипотентные представления конечной группы Шевалла типа E8", Ежеквартальный журнал математика , вторая серия, 30 (3): 315-338, DOI : 10,1093 / qmath / 30.3.301 , ISSN 0033 -5606 , Руководство по ремонту 0545068
- Люстиг, Джордж ; Воган, Дэвид (1983), "Особенности замыканий K-орбит на многообразиях флагов", Inventiones Mathematicae , Springer-Verlag , 71 (2): 365–379, Bibcode : 1983InMat..71..365L , doi : 10.1007 / BF01389103
- Замолодчиков, А.Б. (1989), "Интегралы движения и S-матрица (масштабированной) T = T c модели Изинга с магнитным полем", International Journal of Modern Physics A , 4 (16): 4235–4248, Bibcode : 1989IJMPA ... 4.4235Z , DOI : 10,1142 / S0217751X8900176X , MR 1017357
внешние ссылки
Вычисление полинома Люстига – Фогана
- Атлас групп Ли
- Полиномы Каждана – Люстига – Вогана для E 8.
- Описание проекта по вычислению полиномов Каждана – Люстига для E 8
- Американский институт математики (март 2007 г.), карта математиков E 8
- The n -Category Café , запись в блоге Техасского университета Джона Баэза на E 8 .
Прочие ссылки
- Графическое изображение корневой системы E 8 .
- Список размерностей неприводимых представлений сложной формы E 8 - это последовательность A121732 в OEIS .