1  ₄₂ многогранник -1 ₄₂ polytope

4 21	1 42	2 41
Ректифицированный 4 21	Ректифицированный 1 42	Ректифицированный 2 41
Двунаправленный 4 21	Триректифицированный 4 21
Ортогональные проекции на плоскость Кокстера E 6

В 8-мерной геометрии , то 1 ₄₂ является однородным 8-многогранник , построенный в симметрии Е ₈ группы.

Его символ Кокстера - 1 ₄₂ , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательностей с 1 узлом.

Выпрямляется 1 ₄₂ построена по точкам в середине краев 1 ₄₂ и является таким же , как birectified 2 ₄₁ , и quadrirectified 4 ₂₁ .

Эти многогранники являются частью семейства из 255 (2 ⁸  - 1) выпуклых однородных многогранников в 8-мерном пространстве, состоящих из граней однородных многогранников и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.

1 ₄₂ многогранник

1 42
Тип	Равномерный 8-многогранник
Семья	1 многогранник k2
Символ Шлефли	{3,3 4,2 }
Символ Кокстера	1 42
Диаграммы Кокстера
7 лиц	2400: 240 1 32 2160 1 41
6 лиц	106080: 6720 1 22 30240 1 31 69120 {3 5 }
5 лиц	725760: 60480 1 12 181440 1 21 483840 {3 4 }
4-гранный	2298240: 241920 1 02 604800 1 11 1451520 {3 3 }
Клетки	3628800: 1209600 1 01 2419200 {3 2 }
Лица	2419200 {3}
Края	483840
Вершины	17280
Фигура вершины	т 2 {3 6 }
Многоугольник Петри	30-угольник
Группа Кокстера	E 8 , [3 4,2,1 ]
Характеристики	выпуклый

- ₄₂ состоит из 2400 граней: 240 1 ₃₂ многогранников, 2160 7-demicubes ( 1 ₄₁ ). Его вершинная фигура представляет собой двунаправленный 7-симплекс .

Этот многогранник, наряду с demiocteract , может Tessellate 8-мерное пространство, представленное символом 1 ₅₂ , и Кокстера-Дынкина диаграмма:.

Альтернативные имена

• EL Elte (1912) исключил этот многогранник из своего списка полуправильных многогранников, поскольку он имеет более двух типов 6-граней, но по его схеме именования он будет называться V _{17280 из-} за его 17280 вершин.
• Коксетер назвал его 1 _{42 из-} за раздвоенной диаграммы Кокстера-Дынкина с единственным кольцом на конце одноузловой ветви.
• Diacositetracont-dischiliahectohexaconta-zetton (аббревиатура bif ) - 240-2160 граненый полизеттон (Джонатан Бауэрс)

Координаты

17280 вершин можно определить как перестановки знаков и местоположений:

Все комбинации знаков (32): (280 × 32 = 8960 вершин)

(4, 2, 2, 2, 2, 0, 0, 0)

Половина комбинаций знаков (128): ((1 + 8 + 56) × 128 = 8320 вершин)

(2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)

(5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

(3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1)

Длина ребра в этом наборе координат равна 2 √ 2 , а радиус многогранника равен 4 √ 2 .

Строительство

Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 8 гиперплоскостных зеркал в 8-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина :.

При удалении узла на конце 2-длины ветви остается 7-полукуб , 1 ₄₁ ,.

Удаление узла на конце 4-х длинного ответвления оставляет 1 ₃₂ ,.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает двунаправленный 7-симплекс , 0 ₄₂ ,.

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера .

E 8		k -face	f k	f 0	f 1	ж 2	ж 3		ж 4			ж 5			ж 6			ж 7		k -фигура	Примечания
А 7		()	f 0	17280	56	420	280	560	70	280	420	56	168	168	28 год	56	28 год	8	8	2r {3 6 }	E 8 / A 7 = 192 * 10! / 8! = 17280
А 4 А 2 А 1		{}	f 1	2	483840	15	15	30	5	30	30	10	30	15	10	15	3	5	3	{3} x {3,3,3}	E 8 / A 4 A 2 A 1 = 192 * 10! / 5! / 2/2 = 483840
А 3 А 2 А 1		{3}	ж 2	3	3	2419200	2	4	1	8	6	4	12	4	6	8	1	4	2	{3.3} v {}	E 8 / A 3 A 2 A 1 = 192 * 10! / 4! / 3! / 2 = 2419200
А 3 А 3		1 10	ж 3	4	6	4	1209600	*	1	4	0	4	6	0	6	4	0	4	1	{3,3} v ()	E 8 / A 3 A 3 = 192 * 10! / 4! / 4! = 1209600
А 3 А 2 А 1				4	6	4	*	2419200	0	2	3	1	6	3	3	6	1	3	2	{3} v {}	E 8 / A 3 A 2 A 1 = 192 * 10! / 4! / 3! / 2 = 2419200
А 4 А 3		1 20	ж 4	5	10	10	5	0	241920	*	*	4	0	0	6	0	0	4	0	{3,3}	E 8 / A 4 A 3 = 192 * 10! / 4! / 4! = 241920
D 4 A 2		1 11		8	24	32	8	8	*	604800	*	1	3	0	3	3	0	3	1	{3} v ()	E 8 / D 4 A 2 = 192 * 10! / 8/4! / 3! = 604800
А 4 А 1 А 1		1 20		5	10	10	0	5	*	*	1451520	0	2	2	1	4	1	2	2	{} v {}	E 8 / A 4 A 1 A 1 = 192 * 10! / 5! / 2/2 = 1451520
D 5 A 2		1 21	ж 5	16	80	160	80	40	16	10	0	60480	*	*	3	0	0	3	0	{3}	E 8 / D 5 A 2 = 192 * 10! / 16/5! / 3! = 40480
D 5 A 1				16	80	160	40	80	0	10	16	*	181440	*	1	2	0	2	1	{} v ()	E 8 / D 5 A 1 = 192 * 10! / 16/5! / 2 = 181440
А 5 А 1		1 30		6	15	20	0	15	0	0	6	*	*	483840	0	2	1	1	2		E 8 / A 5 A 1 = 192 * 10! / 6! / 2 = 483840
E 6 A 1		1 22	ж 6	72	720	2160	1080	1080	216	270	216	27	27	0	6720	*	*	2	0	{}	E 8 / E 6 A 1 = 192 * 10! / 72/6! / 2 = 6720
D 6		1 31		32	240	640	160	480	0	60	192	0	12	32	*	30240	*	1	1		E 8 / D 6 = 192 * 10! / 32/6! = 30240
А 6 А 1		1 40		7	21 год	35 год	0	35 год	0	0	21 год	0	0	7	*	*	69120	0	2		E 8 / A 6 A 1 = 192 * 10! / 7! / 2 = 69120
E 7		1 32	ж 7	576	10080	40320	20160	30240	4032	7560	12096	756	1512	2016 г.	56	126	0	240	*	()	E 8 / E 7 = 192 * 10! / 72/8! = 240
Д 7		1 41		64	672	2240	560	2240	0	280	1344	0	84	448	0	14	64	*	2160		E 8 / D 7 = 192 * 10! / 64/7! = 2160

Прогнозы

Показано в трехмерной проекции с использованием базисных векторов [u, v, w], задающих симметрию H3: 17280 проецируется 1 ₄₂ многогранник вершины сортируется и подсчитана по их 3D норме генерации более прозрачные корпусов для каждого набора подсчитаны норм. Обратите внимание, что последние две внешние оболочки представляют собой комбинацию двух перекрывающихся додекаэдров (40) и неоднородного ромбикосододекаэдра (60).

Ортографические проекции показаны для субсимметрий E ₈ : E ₇ , E ₆ , B ₈ , B ₇ , B ₆ , B ₅ , B ₄ , B ₃ , B ₂ , A ₇ и A ₅ плоскостей Кокстера , как а также еще две плоскости симметрии порядка 20 и 24. Вершины показаны кружками, окрашенными в соответствии с порядком их перекрытия в каждой проективной плоскости.

E8 [30]	E7 [18]	E6 [12]
(1)	(1,3,6)	(8,16,24,32,48,64,96)
[20]	[24]	[6]
		(1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,14,16,18,19,20)

D3 / B2 / A3 [4]	D4 / B3 / A2 [6]	D5 / B4 [8]
(32,160,192,240,480,512,832,960)	(72 216 432 720 864 1080)	(8,16,24,32,48,64,96)
D6 / B5 / A4 [10]	D7 / B6 [12]	D8 / B7 / A6 [14]
B8 [16/2]	A5 [6]	A7 [8]

Связанные многогранники и соты

1 k2 фигур в размерах n
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
п	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Кокстера	Е 3 = А 2 А 1	E 4 = A 4	E 5 = D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 = = E 8 +${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E 10 = = E 8 ++${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$
Диаграмма Кокстера
Симметрия (порядок)	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[[3 2,2,1 ]]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
порядок	12	120	1,920	103 680	2 903 040	696 729 600	∞
График							-	-
Имя	1 −1,2	1 02	1 12	1 22	1 32	1 42	1 52	1 62

Выпрямленный многогранник 1 ₄₂

Ректифицированный 1 42
Тип	Равномерный 8-многогранник
Символ Шлефли	т 1 {3,3 4,2 }
Символ Кокстера	0 421
Диаграммы Кокстера
7 лиц	19680
6 лиц	382560
5 лиц	2661120
4-гранный	9072000
Клетки	16934400
Лица	16934400
Края	7257600
Вершины	483840
Фигура вершины	{3,3,3} × {3} × {}
Группа Кокстера	E 8 , [3 4,2,1 ]
Характеристики	выпуклый

Выпрямляется 1 ₄₂ называется от того , чтобы быть выпрямление от 1 ₄₂ многогранника с вершинами , расположенными в середине ребер 1 ₄₂ . Его также можно назвать многогранником 0 ₄₂₁ с кольцом в центре трех ветвей длиной 4, 2 и 1.

Альтернативные имена

• 0 ₄₂₁ многогранник
• Биреактифицированный многогранник 2 ₄₁
• Квадриректифицированный многогранник 4 ₂₁
• Ректифицированный diacositetracont-dischiliahectohexaconta-zetton как ректифицированный многогранный полизеттон 240-2160 (аббревиатура Buffy ) (Джонатан Бауэрс)

Строительство

Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 8 гиперплоскостных зеркал в 8-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина :.

Удаление узла на конце 1-длины ветви оставляет биректифицированный 7-симплекс ,

При удалении узла на конце 2-длины ветви остается двояковыпуклый 7-куб ,.

Удаление узла на конце 3-х длинного ответвления оставляет выпрямленное 1 ₃₂ ,.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает 5-клеток - треугольник duoprism призмы,.

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера .

E 8		k -face	f k	f 0	f 1	ж 2			ж 3					ж 4						ж 5						ж 6					ж 7			k -фигура
А 4 А 2 А 1		()	f 0	483840	30	30	15	60	10	15	60	30	60	5	20	30	60	30	30	10	20	30	30	15	6	10	10	15	6	3	5	2	3	{3,3,3} x {3,3} x {}
А 3 А 1 А 1		{}	f 1	2	7257600	2	1	4	1	2	8	4	6	1	4	8	12	6	4	4	6	12	8	4	1	6	4	8	2	1	4	1	2
А 3 А 2		{3}	ж 2	3	3	4838400	*	*	1	1	4	0	0	1	4	4	6	0	0	4	6	6	4	0	0	6	4	4	1	0	4	1	1
А 3 А 2 А 1				3	3	*	2419200	*	0	2	0	4	0	1	0	8	0	6	0	4	0	12	0	4	0	6	0	8	0	1	4	0	2
А 2 А 2 А 1				3	3	*	*	9676800	0	0	2	1	3	0	1	2	6	3	3	1	3	6	6	3	1	3	3	6	2	1	3	1	2
А 3 А 3		0 200	ж 3	4	6	4	0	0	1209600	*	*	*	*	1	4	0	0	0	0	4	6	0	0	0	0	6	4	0	0	0	4	1	0
		0 110		6	12	4	4	0	*	1209600	*	*	*	1	0	4	0	0	0	4	0	6	0	0	0	6	0	4	0	0	4	0	1
А 3 А 2				6	12	4	0	4	*	*	4838400	*	*	0	1	1	3	0	0	1	3	3	3	0	0	3	3	3	1	0	3	1	1
А 3 А 2 А 1				6	12	0	4	4	*	*	*	2419200	*	0	0	2	0	3	0	1	0	6	0	3	0	3	0	6	0	1	3	0	2
А 3 А 1 А 1		0 200		4	6	0	0	4	*	*	*	*	7257600	0	0	0	2	1	2	0	1	2	4	2	1	1	2	4	2	1	2	1	2
А 4 А 3		0 210	ж 4	10	30	20	10	0	5	5	0	0	0	241920	*	*	*	*	*	4	0	0	0	0	0	6	0	0	0	0	4	0	0
А 4 А 2				10	30	20	0	10	5	0	5	0	0	*	967680	*	*	*	*	1	3	0	0	0	0	3	3	0	0	0	3	1	0
D 4 A 2		0 111		24	96	32	32	32	0	8	8	8	0	*	*	604800	*	*	*	1	0	3	0	0	0	3	0	3	0	0	3	0	1
А 4 А 1		0 210		10	30	10	0	20	0	0	5	0	5	*	*	*	2903040	*	*	0	1	1	2	0	0	1	2	2	1	0	2	1	1
А 4 А 1 А 1				10	30	0	10	20	0	0	0	5	5	*	*	*	*	1451520	*	0	0	2	0	2	0	1	0	4	0	1	2	0	2
А 4 А 1		0 300		5	10	0	0	10	0	0	0	0	5	*	*	*	*	*	2903040	0	0	0	2	1	1	0	1	2	2	1	1	1	2
D 5 A 2		0 211	ж 5	80	480	320	160	160	80	80	80	40	0	16	16	10	0	0	0	60480	*	*	*	*	*	3	0	0	0	0	3	0	0	{3}
А 5 А 1		0 220		20	90	60	0	60	15	0	30	0	15	0	6	0	6	0	0	*	483840	*	*	*	*	1	2	0	0	0	2	1	0	{} v ()
D 5 A 1		0 211		80	480	160	160	320	0	40	80	80	80	0	0	10	16	16	0	*	*	181440	*	*	*	1	0	2	0	0	2	0	1
А 5		0 310		15	60	20	0	60	0	0	15	0	30	0	0	0	6	0	6	*	*	*	967680	*	*	0	1	1	1	0	1	1	1	() v () v ()
А 5 А 1				15	60	0	20	60	0	0	0	15	30	0	0	0	0	6	6	*	*	*	*	483840	*	0	0	2	0	1	1	0	2	{} v ()
		0 400		6	15	0	0	20	0	0	0	0	15	0	0	0	0	0	6	*	*	*	*	*	483840	0	0	0	2	1	0	1	2
E 6 A 1		0 221	ж 6	720	6480	4320	2160	4320	1080	1080	2160	1080	1080	216	432	270	432	216	0	27	72	27	0	0	0	6720	*	*	*	*	2	0	0	{}
А 6		0 320		35 год	210	140	0	210	35 год	0	105	0	105	0	21 год	0	42	0	21 год	0	7	0	7	0	0	*	138240	*	*	*	1	1	0
D 6		0 311		240	1920 г.	640	640	1920 г.	0	160	480	480	960	0	0	60	192	192	192	0	0	12	32	32	0	*	*	30240	*	*	1	0	1
А 6		0 410		21 год	105	35 год	0	140	0	0	35 год	0	105	0	0	0	21 год	0	42	0	0	0	7	0	7	*	*	*	138240	*	0	1	1
А 6 А 1				21 год	105	0	35 год	140	0	0	0	35 год	105	0	0	0	0	21 год	42	0	0	0	0	7	7	*	*	*	*	69120	0	0	2
E 7		0 321	ж 7	10080	120960	80640	40320	120960	20160	20160	60480	30240	60480	4032	12096	7560	24192	12096	12096	756	4032	1512	4032	2016 г.	0	56	576	126	0	0	240	*	*	()
А 7		0 420		56	420	280	0	560	70	0	280	0	420	0	56	0	168	0	168	0	28 год	0	56	0	28 год	0	8	0	8	0	*	17280	*
Д 7		0 411		672	6720	2240	2240	8960	0	560	2240	2240	6720	0	0	280	1344	1344	2688	0	0	84	448	448	448	0	0	14	64	64	*	*	2160

Прогнозы

Ортографические проекции показаны для субсимметрий плоскостей Кокстера B ₆ , B ₅ , B ₄ , B ₃ , B ₂ , A ₇ и A ₅ . Вершины показаны кружками, окрашенными в соответствии с порядком их перекрытия в каждой проективной плоскости.

(Плоскости для E ₈ : E ₇ , E ₆ , B ₈ , B ₇ , [24] не показаны, так как они слишком большие для отображения.)

D3 / B2 / A3 [4]	D4 / B3 / A2 [6]	D5 / B4 [8]
D6 / B5 / A4 [10]	D7 / B6 [12]	[6]
A5 [6]	A7 [8]	[20]

Смотрите также

• Список многогранников E8

Примечания

использованная литература

• HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Клитцинг, Ричард. «8D Равномерная полизетта» . o3o3o3x * c3o3o3o3o - bif, o3o3o3x * c3o3o3o3o - баффи