Геометрия - Geometry


Из Википедии, свободной энциклопедии

Иллюстрации теоремы Дезарг , важный результат в евклидовых и проективной геометрии

Геометрия (от древнегреческих : γεωμετρία ; гео «земли», -metron «измерения») является филиалом математики , занимающимися вопросами формы, размера, относительного положения фигур и свойствами пространства. Математик , который работает в области геометрии называется геометр .

Геометрия возникла независимо в ряде ранних культур как практический способ для работы с длинами , областей и объемов . Геометрия начала видеть элементы формальной математической науки формирующейся на Западе еще в 6 веке до н.э.. К третьему веку до нашей эры, геометрия была введена в аксиоматическую форму по Евклиду , лечение которых, Евклид элементов , установить стандарт в течение многих столетий , чтобы следовать. Геометрия возникла независимо в Индии, с текстами обеспечения правил для геометрических построений , возникающих еще в 3 веке до н.э.. Исламские ученые сохранили греческие идеи и расширить на них во время Средневековья . К началу 17 - го века, геометрия была поставлена на прочной основе аналитической математики , такие как Рене Декарт и Пьер де Ферма . С тех пор, и в наше время, геометрия расширилась в неевклидовой геометрии и многообразия , описывая пространства , которые лежат за пределами нормального диапазона человеческого опыта.

В то время как геометрия значительно изменилась на протяжении многих лет, существуют некоторые общие концепции, которые более или менее фундаментальная геометрии. Они включают в себя понятие точек, линии, плоскости, поверхности, углов и кривых, а также более сложные понятия многообразия и топологии или метрики.

Геометрия имеет приложения для многих областей, в том числе искусства, архитектуры, физики, а также в других областях математики.

обзор

Современная геометрия имеет много подполей:

история

Европейские и арабские практикуя геометрии в 15 - м века.

Самые ранние записанные начала геометрии можно отнести к древней Месопотамии и Египта во 2 - м тысячелетии до нашей эры. Ранняя геометрия была коллекцией эмпирический найденными принципов , касающихся длинами, углы, площади и объемы, которые были разработаны для удовлетворения некоторых практических потребностей в геодезии , строительстве , астрономии и различных ремеслах. Самые ранние известные тексты по геометрии являются Египетским Ринд Папирус (2000-1800 до н.э.) и Московский Папирус (с. 1890 до н.э.), вавилонские глиняные таблички , таких как Плимптон 322 (1900 г. до н.э.). Например, Москва Папирус дает формулу для вычисления объема усеченной пирамиды или усеченным . Позже глины таблетка (350-50 до н.э.) показывает , что вавилонские астрономы реализованы трапециевидные процедуры для вычисления положения и Юпитера движения в течение времени пространства скоростей. Эти геометрические процедуры предвосхитили Oxford Калькулятор , включая теорему средней скорости , на 14 веков. К югу от Египта древних нубийцы создали систему геометрии , включая ранние версии солнечных часов.

В 7 веке до н.э., то греческий математик Фалес из Милета использовал геометрию для решения таких проблем, как вычисление высоты пирамид и расстояния кораблей от берега. Ему приписывают первое использование дедуктивного рассуждения применительно к геометрии, путем вывода четырех следствий из теоремы Фалеса . Пифагор установил Пифагор школу , которая зачислена с первым доказательством теоремы Пифагора , хотя утверждение теоремы имеет длинную историю. Евдокс (408-с. 355 до н.э.) разработал метод исчерпывания , который позволил рассчитать площади и объемов криволинейных фигур, а также теорию соотношений , которые избегали проблемы несоизмеримых величин , что позволило последующим геометрам сделать значительные успехи , Примерно в 300 г. до н.э., геометрия революционизирована Евклидом, чьи элементы , широко считаются самым успешным и влиятельным учебником всех времен, представил математическую строгость через аксиоматический метод и является самым ранним примером формата до сих пор используется в математике сегодня, что определения, аксиома, теорема и доказательство. Хотя большая часть содержимого элементов уже были известны, Евклид расположив их в единую когерентную логическую структуру. Элементы не было известно всем образованным людям на Западе до середины 20 - го века , и его содержание все еще преподается в классах геометрии сегодня. Архимеда (ок. 287-212 до н.э.) из Сиракуз использовал метод исчерпывания для расчета площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда , и дал удивительно точные аппроксимации Pi . Он также изучал спираль , носящую его имя и полученные формулы для объемов от поверхностей вращения .

Женщина обучения геометрии . Иллюстрация в начале средневекового перевода Евклид элементы , (с. 1310)

Индийские математики также много важного вклада в геометрии. Шатапатх-брахман (третий век до н.э.) содержит правила для ритуальных геометрических построений, которые похожи на Sulba сутры . Согласно ( Hayashi 2005 , стр. 363), в Sulba сутр содержат «самый ранний из дошедших до нас словесное выражение теоремы Пифагора в мире, хотя это уже было известно, Старых вавилонян. Они содержат списки троек Пифагора , которые особенно случаи диофантовых уравнений . В рукописи Бахшала , существует несколько геометрических задачи ( в том числе проблем , об объемах нерегулярных твердых тел). рукопись Бахшала также «использует десятичную систему места значения с точкой на ноль.» Арьябхат «s Aryabhatiya ( . 499) включает в себя вычисление площадей и объемов Brahmagupta писал свои астрономические работы Брахмы Sphuṭa сиддханту в 628. Глава 12, содержащей 66 санскритские стихи, был разделен на две части: «основные операции» ( в том числе и кубические корни, дроби, соотношение и пропорции, и бартерный) и «практическая математика» (включая смесь, математическую серию, плоские фигуры, укладки кирпичей, распиловки древесины, и штабелирование зерна). В последнем разделе, ч е высказал свою знаменитую теорему о диагоналях вписанного четырехугольника . Глава 12 также включает формулу для области циклического четырехугольника (обобщение формулы Герона ), а также полное описание рациональных треугольников ( т.е. треугольников с рациональными сторонами и рациональными областями).

В средних веках , математики в средневековом исламе способствовали развитию геометрии, особенно алгебраической геометрии . Аль-Махани (б. 853) возникла идея уменьшения геометрических проблем , таких как дублирование куба к проблемам в алгебре. Сабит ибн Курра (известный как Thebit в латыни ) (836-901) касается арифметических операций применительно к соотношения геометрических величин, а также вклад в развитие аналитической геометрии . Омар Хайям (1048-1131) нашел геометрические решения кубических уравнений . Теоремы Ибн аль-Хайтам (Альхазен), Омар Хайям и Насир ад-Дина ат-Туси на четырехугольников , в том числе четырехугольника Lambert и Саккери четырехугольника , были ранние результаты в гиперболической геометрии , а вместе с их альтернативными постулатами, такими как аксиомой Playfair в эти работы оказали значительное влияние на развитие неевклидовой геометрии среди более поздних европейских геометров, в том числе Вителлина (с. 1230-с. 1314), Герсонидами (1288-1344), Альфонсо , Валлис и Саккрайте .

В начале 17 - го века было два важных события в геометрии. Первым было создание аналитической геометрии, или геометрии с координатами и уравнений , по Рене Декарт (1596-1650) и Пьер де Ферма (1601-1665). Это было необходимым предшественником развития исчисления и точной количественной науки физики . Второе геометрическое развитием этого периода было систематическое исследованием проективной геометрии с помощью Дезарга (1591-1661). Проективная геометрия является геометрией без измерения или параллельных линий, просто изучение того , как точки связаны друг с другом.

Два события в геометрии в 19 - м веке изменила способ , которым это было изучено ранее. Это было открытие неевклидовых геометрий Николая Иванович Лобачевский, Бойяй и Гауссом и формулировки симметрии в качестве центрального рассмотрения в Erlangen программе от Феликса Клейна (который обобщенная евклидовой и неевклидовых геометрии). Два основных геометров того времени были Бернхард Риман (1826-1866), работая в основном с помощью инструментов из математического анализа , и вводя риманова поверхность , и Анри Пуанкаре , основатель алгебраической топологии и геометрической теории динамических систем . Как следствие этих существенных изменений в концепции геометрии, понятие «пространство» стало чем - то богато и разнообразно, а естественным фоном для теорий , как различные , как комплексный анализ и классической механика .

Важные понятия в геометрии

Ниже приведены некоторые из наиболее важных понятий в геометрии.

Аксиомы

Иллюстрация Евклида постулата

Евклид принял абстрактный подход к геометрии в его элементов , один из самых влиятельных книг когда - либо написанных. Евклида введены определенные аксиомы или постулаты , выражающие первичные или самоочевидные свойства точек, линий и плоскостей. Он продолжил строго выводить другие свойства с помощью математических рассуждений. Характерной особенностью подхода Евклида к геометрии была ее строгость, и он пришел быть известен как аксиоматической или синтетической геометрии. В начале 19 - го века, открытие неевклидовых геометрий по Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), Бойяи (1802-1860), Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) и других привело к возрождению интереса эта дисциплина, и в 20 - м века, Давид Гильберт (1862-1943) использовала аксиоматическое рассуждение в попытке обеспечить современный фундамент геометрии.

Точки

Очки считаются основными объектами в евклидовой геометрии. Они были определены в различных формах, в том числе определение Евклида как «то, что не имеет никакого отношения» и за счет использования алгебры или вложенных множеств. Во многих областях геометрии, например, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, все объекты считаются построены из точек. Тем не менее, было некоторое исследование геометрии без привязки к точкам.

линии

Евклида описал линию как «длина breadthless» , который «лежит в равной степени по отношению к точкам на себя». В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие линии тесно связано с тем , как геометрия описывается. Например, в аналитической геометрии , линия в плоскости часто определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют заданной линейное уравнение , но в более абстрактной обстановке, например, геометрия падения , линия может быть независимым объектом, отличным от множество точек, лежащих на нем. В дифференциальной геометрии, A геодезическим является обобщением понятия линии криволинейных пространств .

Planes

Плоскость представляет собой плоскую, двумерную поверхность , которая простирается бесконечно далеко. Самолеты используются в каждой области геометрии. Так , например, самолеты могут быть изучены в качестве топологической поверхности без ссылки на расстояния или углы; он может быть изучен в качестве аффинного пространства , где могут быть изучены коллинеарность и отношения , но не расстояние; он может быть изучен в качестве комплексной плоскости с использованием методов комплексного анализа ; и так далее.

углы

Евклида определяет плоскость угол , как наклон друг к другу, в плоскости, из двух линий , которые соответствуют друг другу, а не лежат прямо по отношению друг к другу. В современных условиях, угол фигура образована двумя лучами , называется стороны угла, разделяющих общий конечную точку, называется вершиной угла.

Острый (а), тупой (б) и прямые (с) углами. Острые и тупые углы также известны как косые углы.

В евклидовой геометрии углы используются для изучения многоугольников и треугольников , а также формирования объекта исследования в их собственном праве. Изучение углов треугольника или углов в единичном круге образует основу тригонометрии .

В дифференциальной геометрии и исчислении , углы между плоскими кривыми или пространственными кривыми или поверхностями могут быть вычислены с использованием производной .

Кривые

Кривой представляет собой 1-мерный объект , который может быть линейным (как линия) , или нет; Кривые в 2-мерном пространстве, называются плоскими кривыми и те , в 3-мерном пространстве называются пространственные кривые .

В топологии, кривой определяются в зависимости от интервала действительных чисел в другое пространство. В дифференциальной геометрии, используется такое же определение, но функция , определяющая требуется , чтобы быть дифференцируемые Алгебраическая геометрия изучает алгебраические кривые , которые определяются как алгебраические многообразия в размерности один.

Поверхности

Сфера является поверхностью , которая может быть определена параметрически (по х = г грех & thetas соз ф , у = г зт & thetas зт ф , г = г соз & thetas ) или неявно (по х 2 + у 2 + г 2 - г 2 = 0 ) .

Поверхность представляет собой двумерный объект, такие как сфера или параболоид. В дифференциальной геометрии и топологии , поверхности описываются двумерный «заплатами» (или окрестности ), которые собраны с помощью диффеоморфизмов или гомеоморфизмов , соответственно. В алгебраической геометрии, поверхности описываются полиномиальными уравнениями .

Коллекторы

Коллектор представляет собой обобщение понятия кривой и поверхности. В топологии , многообразие является топологическим пространством , где каждая точка имеет окрестность , которая гомеоморфно пространству Евклида. В дифференциальной геометрии , A дифференцируемое многообразие является пространством , где каждый район является диффеоморфен в евклидовом пространстве.

Коллекторы широко используются в физике, в том числе и в общей теории относительности и теории струн

Топологии и метрики

Визуальная проверка теоремы Пифагора для (3, 4, 5) треугольника , как в Zhoubi Suanjing 500-200 до н. Теорема Пифагора является следствием евклидовой метрики .

Топология является математической структурой на множестве, рассказывает , как элементы множества связаны пространственно друг с другом. Наиболее известные примеры топологий приходят из метрик , которые являются способами измерения расстояний между точками. Например, евклидова метрика измеряет расстояние между точками в евклидовой плоскости , в то время как гиперболические метрических меры расстояния в гиперболической плоскости . Другие важные примеры метрик включают метрику Лоренца в специальной теории относительности и полу- римановых метрик из общей теории относительности .

Построение с помощью циркуля и линейки

Классические геометры обратили особое внимание на построение геометрических объектов , которые были описаны в каком - то другом способе. Классически, единственные инструменты , разрешенные в геометрических конструкциях являются компасом и линейкой . Кроме того , каждая конструкция должна была быть завершена в конечное число шагов. Тем не менее, некоторые проблемы оказались трудно или невозможно решить с помощью этих средств в одиночку, и изобретательные конструкции , использующие параболы и другие кривые, а также механические устройства, были найдены.

измерение

Там , где традиционная геометрия позволила размеры 1 (а линия ), 2 (а плоскость ) и 3 (наш окружающий мир мыслится как трехмерного пространства ), математики использовали более высокие измерения в течение почти двух столетий. Концепция измерения прошла через стадию быть любым натуральным числом п , чтобы быть , возможно бесконечным с введением гильбертово пространством , чтобы быть любым положительным действительным числом в фрактальной геометрии . Теория размерности является технической областью, первоначально в пределах общей топологии , которая обсуждает определения ; вместе с большинством математических идей, размер теперь определяется , а не интуиции. Подключенные топологические многообразия имеют четко определенный размер; это теорема ( инвариантность области ) , а не что - то априори .

Проблема измерения все еще имеет значение геометрии , как многие классические вопросы до сих пор нет полных ответов. Например, многие открытые проблемы в топологии зависят от размерности объекта для результата. В физике, размеры 3 пространства и 4 пространства-времени являются частными случаями в геометрической топологии , а также размеры 10 и 11 являются ключевыми идеями в теории струн . В настоящее время существования теоретических размеров чисто определяются по техническим причинам; вполне вероятно , что дальнейшие исследования могут привести к геометрической причине значения 10 или 11 измерений в теории, кредитование доверия или , возможно , опровергающую теорию струн.

симметричность

Тема симметрии в геометрии почти так же стара , как наука о самой геометрии. Симметричные формы , такие как круг , правильные многоугольники и платонические твердые провели глубокое значение для многих древних философов и были детально исследованы до времени Евклида. Симметричные узоры встречаются в природе и были художественно оказанные во множестве форм, в том числе графики Эшера . Тем не менее, он не был до второй половины 19 - го века , которая была признана объединяющая роль симметрии в основах геометрии. Феликс Клейн «ы Эрлангенская программа провозглашено , что, в очень точном смысле, симметрии, выражается через понятие трансформации группы , определяет то , что геометрия является . Симметрия в классической евклидовой геометрии представлена конгруэнцией и жесткими движениями, тогда как в проективной геометрии аналогичная роль играют коллинеации , геометрические преобразования , которые имеют прямые в прямые линии. Однако это было в новых геометрий Больяи и Лобачевского, Римана, Клиффорд и Клейна, и Софус Ли , что идея Клейна «определить геометрию через его группа симметрии » оказалась наиболее влиятельной. И дискретные и непрерывные симметрии играют заметную роль в геометрии, бывшая в топологии и геометрической теории групп , последней в теории Ли и римановой геометрии .

Другой тип симметрии является принцип двойственности в проективной геометрии (см Двойственность (проективная геометрия) ) среди других полей. Этот мета-явление можно грубо описать следующим образом : в любой теореме , обмена точки с плоскостью , вступать с концами , лежит в с содержит , и вы получите одинаково истинную теорему. Аналогичная и тесно связанная с формой двойственности существует между векторным пространством и ее двойственным пространством.

Неевклидова геометрия

Дифференциальная геометрия использует инструменты из исчисления для изучения проблем , связанных с кривизной.

В течение почти двух тысяч лет с тех пор Евклида, в то время как ряд геометрических вопросов , задаваемых и ответил неизбежно расширяется, основное понимание пространства остается практически то же самое. Иммануил Кант утверждал , что существует только одна, абсолютная , геометрия, которая , как известно , чтобы быть правдой априори внутренним факультета виду: евклидова геометрия синтетического априори . Эта доминирующая точка зрения была опрокинута революционным открытием неевклидовой геометрии в работах Больяи, Лобачевский и Гаусс (который никогда не опубликовал свою теорию). Они показали , что обычное евклидово пространство является только одна возможность для развития геометрии. Затем выражено широкое видение предмета геометрии Римана в своей инаугурационной лекции 1867 г. Über умереть Hypothesen, Welche дер Geometrie цу Grunde liegen ( О гипотезах , на которых основана геометрия ), опубликованных только после его смерти. Новая идея Римана пространства оказалась решающей в Einstein «s общей теории относительности и римановой геометрии , что считает очень общие пространства , в котором определены понятие длины, является основой современной геометрии.

Современные геометрии

евклидова геометрия

Уроки геометрии в 20-м веке

Евклидова геометрия стала тесно связана с вычислительной геометрией , компьютерной графикой , выпуклой геометрией , геометрией падения , конечной геометрией , дискретной геометрией и некоторыми областями комбинаторики . Особое внимание было уделено дальнейшей работы по евклидовой геометрии и евклидовым групп по кристаллографии и работе Коксетера , и их можно увидеть в теории групп Кокстера и многогранников. Геометрическая теория групп является расширение области теории более общих дискретных групп , опираясь на геометрических моделей и алгебраических методов.

Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия была все большим значение для математической физики из - за Эйнштейн «с общей теорией относительности постулата , что Вселенная является изогнутой . Современная дифференциальная геометрия является внутренней , а это означает , что пространства она считает , являются гладкие многообразия которых геометрическая структура управляется римановой метрикой , которая определяет , как расстояния измеряются вблизи каждой точки, а не априорных частей некоторого окружающего плоского евклидова пространства.

Топология и геометрия

Утолщение трилистника

Поле топологии , которые видели массовое развитие в 20 - м веке, в техническом смысле тип геометрии преобразования , в которой преобразования являются гомеоморфзимов . Это часто выражается в виде изречение 'топологии является геометрия резины листов. Современная геометрическая топология и дифференциальная топология , и специфический подполь , такие как теории Морзе , будут учитываться большинство математиков как часть геометрии. Алгебраическая топология и общая топология пошли свои собственные пути.

Алгебраическая геометрия

Поле алгебраической геометрии является современным воплощением декартовой геометрии из координат . С конца 1950 - х до середины 1970-х годов он претерпел значительные основополагающую развитие, во многом благодаря работе Жан-Пьер Серр и Гротендик . Это привело к введению схем и большего акцента на топологических методов, в том числе различных теорий когомологий . Одна из семи проблем тысячелетия премии , в гипотезе Ходжа , является вопрос в алгебраической геометрии.

Изучение маломерных алгебраических многообразий, алгебраических кривых , алгебраических поверхностей и алгебраических многообразий размерности 3 ( «алгебраических многообразий»), был далеко продвинулись. Гребнер базис теории и вещественной алгебраической геометрии среди более прикладных подполей современной алгебраической геометрии. Арифметика геометрия является активным поле комбинируя алгебраической геометрии и теории чисел . Другие направления исследований включают пространства модулей и сложную геометрию . Алгебро-геометрические методы обычно применяются в струнной и бранной теории.

Приложения

Геометрия нашла применение во многих областях, некоторые из которых описаны ниже.

Изобразительное искусство

Математика и искусство связаны различные способы. Например, теория перспективы показала , что есть больше геометрии , чем просто метрические свойства фигур: перспективы происхождение проективной геометрии .

Архитектура

Математика и архитектуры связаны, так как , как и с другими видами искусства, архитекторы используют математику по нескольким причинам. Помимо математики , необходимой при проектировании зданий, архитекторы используют геометрию: определить пространственную форму здания; от пифагорейцев до н.э. шестого года, создавать формы считаются гармоничным, и , таким образом , чтобы выложить здания и их окружение в соответствии с математическими, эстетическими и иногда религиозными принципами; для украшения зданий с математическими объектами , такие как мозаики; и для достижения экологических целей, например, для минимизации скорости ветра вокруг фундаментов высотных зданий.

физика

В 4 21 многогранник , ортогонально проектируется в Е 8 групп Ли Кокстера плоскости . Группы Ли имеют несколько применений в физике.

Область астрономии , особенно это относится к отображению позиции звезд и планет на небесной сфере и описывающее связь между движениями небесных тел, послужили важным источником геометрических задач на протяжении всей истории.

Современная геометрия имеет множество связей с физикой , как иллюстрируются связи между псевдоримановом геометрией и ОТО . Один из самых молодых физических теорий, теорий струн , также очень геометрический вкус.

Другие области математики

Геометрия также оказывает большое влияние на другой области математики. Так , например, введение координат по Рене Декарта и параллельных разработок алгебры ознаменовало новый этап для геометрии, так как геометрические фигуры , такие как плоских кривых в настоящее время может быть представлена аналитически в виде функций и уравнений. Это играет ключевую роль в возникновении исчисления бесконечно малых в 17 - м веке. Предмет геометрии был обогащен изучением внутренней структуры геометрических объектов , которые произошли с Эйлера и Гауссом , и привели к созданию топологии и дифференциальной геометрии .

Пифагорейцы обнаружили , что стороны треугольника могут иметь несоизмеримые длины.

Важная область применения является теорией чисел . В Древней Греции в Пифагорейцы рассматривали роль чисел в геометрии. Тем не менее, открытие несоизмеримых длин, которые противоречили их философские взгляды, заставили их отказаться от абстрактных чисел в пользу конкретных геометрических величин, таких как длина и площадь фигур. С 19 - го века, геометрия была использована для решения задач в теории чисел, например , через геометрию чисел или, совсем недавно, теория схемы , которая используется в доказательстве Уайлс о теореме Ферма .

В то время как визуальная природа геометрии делает его изначально более доступной , чем в других математических областях , такие как алгебра или теория чисел , геометрический язык также используется в контекстах , далеких от традиционного, евклидового происхождения (например, фрактальной геометрии и алгебраической геометрии ).

Аналитическая геометрия применяет методы алгебры к геометрическим вопросам, как правило , связывая геометрические кривые для алгебраических уравнений . Эти идеи играют ключевую роль в развитии исчисления в 17 - м века и привели к открытию многих новых свойств плоских кривых. Современная алгебраическая геометрия рассматривает подобные вопросы на значительно более высоком уровне абстракции.

Леонард Эйлер , при изучении таких проблем , как в Семи Мостах Кенигсберга , считается наиболее фундаментальными свойствами геометрических фигур , основанных исключительно на форме, независимо от их метрических свойств. Эйлер назвал эту новую ветвь геометрии Геометрии Situs (геометрия места), но в настоящее время известен как топология . Топология выросла из геометрии, но превратилась в большую самостоятельную дисциплину. Он не делает различий между объектами , которые могут быть непрерывно деформированы друг в друга. Объекты могут , тем не менее сохраняют некоторую геометрию, как и в случае гиперболических узлов .

Смотрите также

Списки

похожие темы

Другие области

Заметки

источники

  • Бойер, CB (1991) [1989]. История математики (Второе издание, переработанное по Ута C. Мерцбах ред.). Нью - Йорк: Wiley. ISBN  978-0-471-54397-8 .
  • Cooke, Роджер (2005), История математики: Нью - Йорк: Wiley-Interscience, 632 страниц, ISBN  978-0-471-44459-6
  • Hayashi, Такао (2003), "Индийская математика", в Grattan-Guinness, Айвор, Companion Энциклопедия истории и философии математических наук , 1 , Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins University Press , 976 страниц, стр 118-. 130, ISBN  978-0-8018-7396-6
  • Hayashi, Такао (2005), "Индийская математика", в потопе, Гэвин, The Blackwell Companion индуизма , Оксфорд: Basil Blackwell , 616 страниц, стр 360-375,. ISBN  978-1-4051-3251-0
  • Николай Иванович Лобачевский, Pangeometry , переводчик и редактор: А. Пападопулос, наследие европейской математики серии, Vol. 4, Европейское математическое общество, 2010.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка