Ромбокубооктаэдр - Rhombicuboctahedron
Ромбокубооктаэдр | |
---|---|
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель) |
|
Тип |
Архимедово твердое тело Однородный многогранник |
Элементы | F = 26, E = 48, V = 24 (χ = 2) |
Лица по сторонам | 8 {3} + (6 + 12) {4} |
Обозначение Конвея | eC или aaC aaaT |
Символы Шлефли | rr {4,3} или |
т 0,2 {4,3} | |
Символ Wythoff | 3 4 | 2 |
Диаграмма Кокстера | |
Группа симметрии | O h , B 3 , [4,3], (* 432), порядок 48 |
Группа вращения | O , [4,3] + , (432), порядок 24 |
Двугранный угол | 3-4: 144 ° 44′08 ″ (144,74 °) 4-4: 135 ° |
использованная литература | U 10 , C 22 , W 13 |
Характеристики | Полурегулярно выпуклый |
Цветные лица |
3.4.4.4 ( фигура вершины ) |
Дельтоидальный икоситетраэдр ( двойственный многогранник ) |
Сеть |
В геометрии , в ромбокубооктаэдре , или небольшой ромбокубооктаэдре , является архимедовым твердым веществом с восьмью треугольными и восемнадцатью квадратными гранями. Есть 24 одинаковых вершины, в каждой из которых сходятся один треугольник и три квадрата. (Обратите внимание, что шесть квадратов имеют общие вершины только с треугольниками, в то время как другие двенадцать имеют одно ребро.) Многогранник имеет октаэдрическую симметрию , как куб и октаэдр . Его двойник называется дельтовидным икоситетраэдром или трапециевидным икоситетраэдром, хотя его грани на самом деле не являются настоящими трапециями .
Имена
Иоганн Кеплер в « Harmonices Mundi» (1618) назвал этот многогранник ромбокубооктаэдром , сокращенно от усеченного кубооктаэдрического ромба , причем кубооктаэдрический ромб был его именем для ромбического додекаэдра . Существуют различные усечения ромбического додекаэдра в топологический ромбокубооктаэдр: в первую очередь его выпрямление (слева), то, которое создает однородное твердое тело (в центре), и выпрямление двойного кубооктаэдра (справа), которое является ядром двойного соединения. .
Его также можно назвать расширенным или наклонным кубом или октаэдром из-за операций усечения на любом однородном многограннике .
С момента включения в Wings 3D в качестве «восьмерки» это неофициальное прозвище становится все более популярным.
Геометрические отношения
Имеются искажения ромбокубооктаэдра, которые, хотя некоторые из граней не являются правильными многоугольниками, по-прежнему однородны по вершинам. Некоторые из них можно сделать, если взять куб или октаэдр и отрезать края, а затем обрезать углы, так что полученный многогранник имеет шесть квадратных и двенадцать прямоугольных граней. Они обладают октаэдрической симметрией и образуют непрерывный ряд между кубом и октаэдром, аналогично искажениям ромбикосододекаэдра или тетраэдрическим искажениям кубооктаэдра . Однако ромбокубооктаэдр также имеет второй набор искажений с шестью прямоугольными и шестнадцатью трапециевидными гранями, которые не обладают октаэдрической симметрией, а скорее симметрией T h , поэтому они инвариантны относительно тех же вращений, что и тетраэдр, но с разными отражениями.
Линии, по которым можно повернуть кубик Рубика , проецируются на сферу, похожую, топологически идентичную ребрам ромбокубооктаэдра. Фактически были созданы варианты с использованием механизма кубика Рубика, которые очень напоминают ромбокубооктаэдр.
Ромбокубооктаэдр используется в трех однородных мозаиках, заполняющих пространство : прямоугольные кубические соты , усеченные кубические соты и чередующиеся чередующиеся кубические соты .
Расслоение
Ромбокубооктаэдр можно разделить на два квадратных купола и центральную восьмиугольную призму . Вращение одного купола на 45 градусов создает псевдо-ромбы-cubocta-гранник . Оба этих многогранника имеют одинаковую фигуру вершины: 3.4.4.4.
Есть три пары параллельных плоскостей, каждая из которых пересекает ромбокубооктаэдр в правильном восьмиугольнике. Ромбокубооктаэдр можно разделить вдоль любого из них, чтобы получить восьмиугольную призму с правильными гранями и два дополнительных многогранника, называемых квадратными куполами , которые считаются твердыми телами Джонсона ; таким образом, это удлиненная квадратная ортобикупола . Эти части можно собрать заново, чтобы получить новое твердое тело, называемое удлиненным квадратным гиробикуполом или псевдоромбокубооктаэдром , с симметрией квадратной антипризмы. В этом случае все вершины локально такие же, как у ромбокубооктаэдра, с одним треугольником и тремя квадратами, пересекающимися в каждом, но не все они идентичны по отношению ко всему многограннику, поскольку некоторые из них ближе к оси симметрии, чем другие.
Ромбокубооктаэдр |
|
Псевдоромбокубооктаэдр |
Ортогональные проекции
Ромбокубооктаэдр имеет шесть специальных ортогональных проекций , по центру, на вершине, на двух типов ребер и трех типов граней: треугольников и двух квадратов. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера B 2 и A 2 .
В центре | Вершина | Край 3-4 |
Край 4-4 |
Лицо Квадрат-1 |
Face Square-2 |
Лицо Треугольник |
---|---|---|---|---|---|---|
Твердый | ||||||
Каркас | ||||||
Проективная симметрия |
[2] | [2] | [2] | [2] | [4] | [6] |
Двойной |
Сферическая черепица
Ромбокубооктаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
(6) с квадратным центром |
(6) с квадратным центром |
(8) треугольник с центром |
|
Ортогональная проекция | Стереографические проекции |
---|
Пиритоэдрическая симметрия
Полусимметричная форма ромбокубооктаэдра, , существует с пиритоэдрической симметрией , [4,3 + ], (3 * 2) как диаграмма Кокстера , Символ Шлефли s 2 {3,4}, и может быть назван кантическим курносым октаэдром . Эту форму можно визуализировать, поочередно раскрашивая края 6 квадратов . Эти квадраты можно затем превратить в прямоугольники , в то время как 8 треугольников останутся равносторонними. 12 диагональных квадратных граней станут равнобедренными трапециями . В пределе прямоугольники могут быть сведены к краям, а трапеции - в треугольники, и образуется икосаэдр за счет конструкции плоскостопного октаэдра ,, с {3,4}. ( Соединение двух икосаэдров строится из обоих чередующихся позиций.)
Вариации пиритоэдрической симметрии | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Единая геометрия |
Неоднородная геометрия |
Неоднородная геометрия |
В пределе курносый октаэдр икосаэдра ,, с одной из двух позиций. |
Соединение двух икосаэдров из обоих чередующихся позиций. |
Алгебраические свойства
Декартовы координаты
Декартовы координаты для вершин ромбокубооктаэдр с центром в начале координат, причем длина ребра 2 единицы, являются все даже перестановок из
- (± 1, ± 1, ± (1 + √ 2 )).
Если исходный ромбокубооктаэдр имеет единичную длину ребра, его двойной стромбический икоситетраэдр имеет длину ребра
Площадь и объем
Площадь A и объем V ромбокубооктаэдра с длиной ребра a равны:
Плотность плотной упаковки
Оптимальная доля упаковки ромбокубооктаэдров определяется выражением
- .
Было замечено, что это оптимальное значение получено в решетке Браве де Граафом ( 2011 ). Поскольку ромбокубооктаэдр содержится в ромбическом додекаэдре , вписанная сфера которого идентична его собственной вписанной сфере, значение оптимальной доли упаковки является следствием гипотезы Кеплера : этого можно достичь, поместив ромбокубооктаэдр в каждую ячейку ромбического додекаэдра. соты , и его нельзя превзойти, так как в противном случае оптимальную плотность упаковки сфер можно было бы превзойти, поместив сферу в каждый ромбокубооктаэдр гипотетической упаковки, которая ее превосходит.
В искусстве
Портрет Луки Пачоли 1495 года , традиционно приписываемый Якопо де Барбари , включает стеклянный ромбокубооктаэдр, наполовину заполненный водой, который, возможно, был написан Леонардо да Винчи . Первая печатная версия ромбокубооктаэдр был Леонардо и появился в Пачоли «s Divina Proportione (1509).
Сферическую панораму 180 ° × 360 ° можно спроецировать на любой многогранник; но ромбокубооктаэдр дает достаточно хорошее приближение к сфере, при этом его легко построить. Этот тип проекции, называемый « Филосфера» , возможен с помощью некоторого программного обеспечения для сборки панорам. Он состоит из двух изображений, которые печатаются отдельно и вырезаются ножницами, оставляя некоторые клапаны для сборки с помощью клея.
Объекты
В играх Freescape Driller и Dark Side была игровая карта в форме ромбокубооктаэдра.
В «Галактике Торопиться-Снег» и «Галактика Морского Слайда» в видеоигре Super Mario Galaxy есть планеты, похожие на форму ромбокубооктаэдра.
Звуковой Еж 3 ' ы льды зона оснащена колонны увенчанных rhombicuboctahedra.
Во время повального увлечения кубиком Рубика в 1980-х годах по крайней мере две проданные извилистые головоломки имели форму ромбокубооктаэдра (механизм был похож на кубик Рубика ).
Связанные многогранники
Ромбокубооктаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.
Однородные октаэдрические многогранники | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) |
[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) |
[3 + , 4] (3 * 2) |
|||||||
{4,3} | т {4,3} |
г {4,3} г {3 1,1 } |
т {3,4} т {3 1,1 } |
{3,4} {3 1,1 } |
rr {4,3} s 2 {3,4} |
tr {4,3} | sr {4,3} |
ч {4,3} {3,3} |
ч 2 {4,3} т {3,3} |
с {3,4} с {3 1,1 } |
знак равно |
знак равно |
знак равно |
знак равно или |
знак равно или |
знак равно |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Двойники к однородным многогранникам | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | В (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Мутации симметрии
Этот многогранник топологический связан как часть последовательности cantellated многогранников с вершиной фигурой (3.4. П .4), и продолжается , как разбиения на гиперболической плоскости . Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (* n 32) отражательной симметрией .
* n 32 изменение симметрии расширенных мозаик: 3.4. п. 4 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * n 32 [n, 3] |
Сферический | Евклид. | Компактная гиперболия. | Paracomp. | ||||
* 232 [2,3] |
* 332 [3,3] |
* 432 [4,3] |
* 532 [5,3] |
* 632 [6,3] |
* 732 [7,3] |
* 832 [8,3] ... |
* ∞32 [∞, 3] |
|
Фигура | ||||||||
Конфиг. | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 |
* n 42 мутация симметрии расширенных плиток : n .4.4.4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия [n, 4], (* n 42) |
Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | |||||||
* 342 [3,4] |
* 442 [4,4] |
* 542 [5,4] |
* 642 [6,4] |
* 742 [7,4] |
* 842 [8,4] |
* ∞42 [∞, 4] |
|||||
Расширенные цифры |
|||||||||||
Конфиг. | 3.4.4.4 | 4.4.4.4 | 5.4.4.4 | 6.4.4.4 | 7.4.4.4 | 8.4.4.4 | ∞.4.4.4 | ||||
Конфигурация ромбических фигур . |
V3.4.4.4 |
V4.4.4.4 |
V5.4.4.4 |
V6.4.4.4 |
V7.4.4.4 |
V8.4.4.4 |
V∞.4.4.4 |
Расположение вершин
У него общее расположение вершин с тремя невыпуклыми однородными многогранниками : звездчатым усеченным шестигранником , маленьким ромбогексаэдром (имеющим треугольные грани и шесть квадратных граней вместе) и маленьким кубокубооктаэдром (имеющим двенадцать общих квадратных граней).
Ромбокубооктаэдр |
Малый кубокубооктаэдр |
Малый ромбогексаэдр |
Звездчатый усеченный шестигранник |
Ромбокубооктаэдрический граф | |
---|---|
Вершины | 24 |
Края | 48 |
Автоморфизмы | 48 |
Характеристики | Граф четвертого порядка , гамильтониан , регулярный |
Таблица графиков и параметров |
Ромбокубооктаэдрический граф
В математической области теории графов , A rhombicuboctahedral график является графиком вершин и ребер из ромбокубооктаэдра, один из Архимеда твердых веществ . Он имеет 24 вершины и 48 ребер и является архимедовым графом квартики .
Смотрите также
- Соединение пяти ромбокубооктаэдров
- Куб
- Кубооктаэдр
- Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр
- Усеченный ромбокубооктаэдр
- Гиробикупола удлиненная квадратная
- Моравская звезда
- Октаэдр
- Ромбикосододекаэдр
- Змея Рубика - головоломка, которая может образовывать ромбокубооктаэдрический «шар»
- Национальная библиотека Беларуси - ее главный архитектурный элемент имеет форму ромбокубооктаэдра.
- Усеченный кубооктаэдр (большой ромбокубооктаэдр )
использованная литература
дальнейшее чтение
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3–9)
- Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.
- Кокстер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (13 мая 1954 г.). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 246 (916): 401–450. Bibcode : 1954RSPTA.246..401C . DOI : 10.1098 / RSTA.1954.0003 . S2CID 202575183 .
- de Graaf, J .; van Roij, R .; Дейкстра, M. (2011), "Плотные регулярных укладок нерегулярной невыпуклых частиц", Physical Review Letters , 107 (15): 155501, Arxiv : 1107,0603 , Bibcode : 2011PhRvL.107o5501D , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.107.155501 , PMID 22107298 , S2CID 14041658
- Betke, U .; Хенк, М. (2000), "Самая плотная сетчатая упаковка трех многогранников", Computational Geometry , 16 (3): 157–186, arXiv : math / 9909172 , doi : 10.1016 / S0925-7721 (00) 00007-9
- Torquato, S .; Цзяо, Ю. (2009), «Плотные упаковки платоновых и архимедовых тел», Nature , 460 (7257): 876–879, arXiv : 0908.4107 , Bibcode : 2009Natur.460..876T , doi : 10.1038 / nature08239 , PMID 19675649 , S2CID 52819935
- Хейлз, Томас К. (2005), «Доказательство гипотезы Кеплера», Annals of Mathematics , 162 (3): 1065–1185, arXiv : math / 9811078v2 , doi : 10.4007 / annals.2005.162.1065
внешние ссылки
- Эрик В. Вайсштейн , Ромбокубооктаэдр ( твердое тело Архимеда ) в MathWorld .
- Клитцинг, Ричард. "Трехмерные выпуклые равномерные многогранники x3o4x - sirco" .
- Равномерные многогранники
- Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
- Редактируемая сетка для печати ромбокубооктаэдра с интерактивным трехмерным изображением
- Ромбокубооктаэдрическая звезда Шандора Кабая, Демонстрационный проект Вольфрама .
- Ромбокубооктаэдр: бумажные полоски для плетения