Группа Кокстера - Coxeter group
В математике , группа Коксетера , названная в честь Коксетера , является абстрактной группой , которая допускает формальное описание в терминах отражений (или калейдоскоп зеркал ). В самом деле, конечные группы Кокстера - это в точности конечные евклидовы группы отражений ; что группы симметрии из правильных многогранников являются примером. Однако не все группы Кокстера конечны, и не все могут быть описаны в терминах симметрий и евклидовых отражений. Группы Кокстера были введены в 1934 г. как абстракции групп отражений ( Coxeter 1934 ), а конечные группы Кокстера были классифицированы в 1935 г. ( Coxeter 1935 ).
Группы Кокстера находят применение во многих областях математики. Примеры конечных групп Кокстера включают группу симметрии регулярных многогранников , и группу Вейля из простых алгебр Ли . Примеры бесконечных групп Кокстера включают группы треугольников , соответствующие регулярные мозаики в евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского и группу Вейля бесконечномерных алгебр Каца-Муди .
Стандартные ссылки включают ( Humphreys 1992 ) и ( Davis 2007 ).
Определение
Формально группу Кокстера можно определить как группу с представлением
где и для . Условие означает, что не должно быть наложено никакого отношения формы .
Пара, где - группа Кокстера с образующими , называется системой Кокстера . Следует отметить , что в целом это не определяется однозначно . Например, группы Кокстера типа и изоморфны, но системы Кокстера не эквивалентны (см. Ниже объяснение этого обозначения).
Из приведенного выше определения можно сразу сделать ряд выводов.
- Отношение означает, что для всех ; как таковые генераторы являются инволюциями .
- Если , то генераторы и коммутируют. Это следует из наблюдения, что
- ,
- вместе с
- подразумевает, что
- .
- В качестве альтернативы, поскольку генераторы являются инволюциями, то , значит , равно коммутатору .
- Во избежание дублирования отношений необходимо это предположить . Это следует из наблюдения, что
- ,
- вместе с
- подразумевает, что
- .
- Альтернативно, и являются сопряженными элементами , как .
Матрица Кокстера и матрица Шлефли
Матрица Кокстера является , симметричная матрица с элементами . В самом деле, каждая симметричная матрица с диагональными элементами, состоящими исключительно из 1, и недиагональными элементами в наборе, является матрицей Кокстера.
Матрицу Кокстера можно удобно закодировать диаграммой Кокстера в соответствии со следующими правилами.
- Вершины графа помечены индексами генератора.
- Вершины и смежны тогда и только тогда, когда .
- Ребро маркируется значением, если значение больше или больше.
В частности, два образующих коммутируют тогда и только тогда, когда они не соединены ребром. Более того, если граф Кокстера имеет два или более связных компонента , связанная группа является прямым продуктом групп, связанных с отдельными компонентами. Таким образом, несвязное объединение графов Кокстера дает прямое произведение групп Кокстера.
Матрица Кокстера связана с матрицей Шлефли с элементами , но элементы изменяются, будучи пропорциональными скалярному произведению парных генераторов. Матрица Шлефли полезна, потому что ее собственные значения определяют, имеет ли группа Кокстера конечный тип (все положительные), аффинный тип (все неотрицательные, по крайней мере, один ноль) или неопределенный тип (в противном случае). Неопределенный тип иногда дополнительно подразделяется, например, на гиперболические и другие группы Кокстера. Однако существует несколько неэквивалентных определений гиперболических групп Кокстера.
Группа Кокстера | А 1 × А 1 | А 2 | В 2 | H 2 | G 2 | А 3 | В 3 | D 4 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Диаграмма Кокстера | ||||||||||
Матрица Кокстера | ||||||||||
Матрица Шлефли |
Пример
Граф, в котором вершины с 1 по n размещены в ряд, каждая вершина соединена непомеченным ребром со своими ближайшими соседями, порождает симметрическую группу S n +1 ; что генераторы соответствуют транспозициям (1 2), (2 3), ..., ( п п +1). Две непоследовательные транспозиции всегда коммутируют, а ( k k +1) ( k +1 k +2) дает 3-цикл ( k k +2 k +1). Конечно, это показывает только то, что S n + 1 является фактор-группой группы Кокстера, описываемой графом, но нетрудно проверить, что равенство выполняется.
Связь с группами отражений
Группы Кокстера глубоко связаны с группами отражений . Проще говоря, группы Кокстера - это абстрактные группы (заданные через представление), а группы отражений - это конкретные группы (заданные как подгруппы линейных групп или различных обобщений). Группы Кокстера выросли из изучения групп отражений - они представляют собой абстракцию: группа отражений - это подгруппа линейной группы, порожденной отражениями (которые имеют порядок 2), а группа Кокстера - это абстрактная группа, порожденная инволюциями (элементами порядок 2, абстрагируясь от отражений), и чьи отношения имеют определенную форму ( соответствующую гиперплоскостям, встречающимся под углом , с порядком k, абстрагирующимся от вращения на ).
Абстрактная группа группы отражений - это группа Кокстера, в то время как, наоборот, группа отражений может рассматриваться как линейное представление группы Кокстера. Для конечных групп отражений это дает точное соответствие: каждая конечная группа Кокстера допускает точное представление в виде конечной группы отражений некоторого евклидова пространства. Однако для бесконечных групп Кокстера группа Кокстера может не допускать представления в качестве группы отражений.
Исторически ( Coxeter 1934 ) доказал, что каждая группа отражений является группой Кокстера (т. Е. Имеет представление, в котором все отношения имеют форму или ), и действительно, эта статья ввела понятие группы Кокстера, в то время как ( Coxeter 1935 ) доказал, что каждая конечная группа Кокстера имела представление как группу отражений и классифицировала конечные группы Кокстера.
Конечные группы Кокстера
Классификация
Конечные группы Кокстера были классифицированы в ( Coxeter 1935 ) в терминах диаграмм Кокстера – Дынкина ; все они представлены группами отражений конечномерных евклидовых пространств.
Конечные группы Кокстера состоят из трех однопараметрических семейств однопараметрического семейства возрастающего ранга один размерности два и шести исключительных групп: и . Произведение конечного числа групп Кокстера в этом списке снова является группой Кокстера, и все конечные группы Кокстера возникают таким образом.
Группы Вейля
Многие, но не все из них, являются группами Вейля, и каждая группа Вейля может быть реализована как группа Кокстера. Группы Вейля представляют собой семейства и исключения и обозначаются в обозначении группы Вейля как Не-Вейлевские группы являются исключениями и и семейство, за исключением случаев, когда это совпадает с одной из групп Вейля (а именно и ).
Это можно доказать, сравнив ограничения на (неориентированные) диаграммы Дынкина с ограничениями на диаграммы Кокстера конечных групп: формально граф Кокстера может быть получен из диаграммы Дынкина , отбрасывая направление ребер и заменяя каждое двойное ребро на ребро с меткой 4 и каждое тройное ребро с ребром с меткой 6. Также обратите внимание, что каждая конечно порожденная группа Кокстера является автоматической группой . Диаграммы Дынкина имеют дополнительное ограничение, заключающееся в том, что единственными разрешенными метками краев являются 2, 3, 4 и 6, что дает указанное выше. Геометрически это соответствует кристаллографической теореме об ограничении и тому факту, что исключенные многогранники не заполняют пространство и не мозаику плоскости - потому что додекаэдр (дуально, икосаэдр) не заполняет пространство; для 120-ячеек (дважды 600-ячеек) не заполняет пространство; для в р - угольника не плитка плоскости , за исключением или (треугольными, квадратными и шестиугольными разбиений, соответственно).
Отметим далее, что (направленные) диаграммы Дынкина B n и C n порождают одну и ту же группу Вейля (следовательно, группу Кокстера), потому что они различаются как ориентированные графы, но согласуются как неориентированные графы - направление имеет значение для корневых систем, но не для системы Вейля. группа; это соответствует тому, что гиперкуб и кросс-многогранник являются разными правильными многогранниками, но имеют одну и ту же группу симметрии.
Характеристики
Некоторые свойства конечных неприводимых групп Кокстера приведены в следующей таблице. Порядок приводимых групп может быть вычислен произведением порядков их неприводимых подгрупп.
Ранг n |
Символ группы |
Альтернативный символ |
Обозначение скобок |
Граф Кокстера |
Отражения m = 1 ⁄ 2 н · ч |
Число Кокстера h |
Заказ | Структура группы | Связанные многогранники |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | А 1 | А 1 | [] | 1 | 2 | 2 | {} | ||
2 | А 2 | А 2 | [3] | 3 | 3 | 6 | {3} | ||
3 | А 3 | А 3 | [3,3] | 6 | 4 | 24 | {3,3} | ||
4 | А 4 | А 4 | [3,3,3] | 10 | 5 | 120 | {3,3,3} | ||
5 | А 5 | А 5 | [3,3,3,3] | 15 | 6 | 720 | {3,3,3,3} | ||
п | А п | А п | [3 n −1 ] | ... | п ( п + 1) / 2 | п + 1 | ( п + 1)! | n -симплекс | |
2 | В 2 | C 2 | [4] | 4 | 4 | 8 | {4} | ||
3 | В 3 | C 3 | [4,3] | 9 | 6 | 48 | {4,3} / {3,4} | ||
4 | В 4 | C 4 | [4,3,3] | 16 | 8 | 384 | {4,3,3} / {3,3,4} | ||
5 | В 5 | С 5 | [4,3,3,3] | 25 | 10 | 3840 | {4,3,3,3} / {3,3,3,4} | ||
п | B n | C n | [4,3 п −2 ] | ... | п 2 | 2 п | 2 н н ! | n -куб / n -ортоплекс | |
4 | D 4 | В 4 | [3 1,1,1 ] | 12 | 6 | 192 | ч {4,3,3} / {3,3 1,1 } | ||
5 | D 5 | В 5 | [3 2,1,1 ] | 20 | 8 | 1920 г. | ч {4,3,3,3} / {3,3,3 1,1 } | ||
п | D n | B n | [3 n −3,1,1 ] | ... | п ( п - 1) | 2 ( п - 1) | 2 п - 1 п ! | n -демикуб / n -ортоплекс | |
6 | E 6 | E 6 | [3 2,2,1 ] | 36 | 12 | 51840 (72x6!) |
|
||
7 | E 7 | E 7 | [3 3,2,1 ] | 63 | 18 | 2903040 (72х8!) | 3 21 , 2 31 , 1 32 | ||
8 | E 8 | E 8 | [3 4,2,1 ] | 120 | 30 | 696729600 (192x10!) | 4 21 , 2 41 , 1 42 | ||
4 | П 4 | П 4 | [3,4,3] | 24 | 12 | 1152 | {3,4,3} | ||
2 | G 2 | - ( D6 2) |
[6] | 6 | 6 | 12 | {6} | ||
2 | H 2 | G 2 | [5] | 5 | 5 | 10 | {5} | ||
3 | H 3 | G 3 | [3,5] | 15 | 10 | 120 | {3,5} / {5,3} | ||
4 | H 4 | G 4 | [3,3,5] | 60 | 30 | 14400 | {5,3,3} / {3,3,5} | ||
2 | Я 2 ( п ) |
Dп 2 |
[ n ] | п | п | 2 п |
когда n = p k + 1, p простое, когда n = p k - 1, p простое |
{ p } |
Группы симметрий правильных многогранников
Все группы симметрии из регулярных многогранников являются конечными группами Кокстера. Обратите внимание, что двойственные многогранники имеют одну и ту же группу симметрии.
Есть три серии правильных многогранников во всех измерениях. Группа симметрии регулярного п - симплекс является симметрической группой S п + 1 , также известный как группа Коксетера типа А н . Группа симметрии п - куб , а его сопряженный, то п - кроссполитоп , это Б п , и известна как гипероктаэдральная группа .
Исключительные регулярные многогранники в размерностях два, три и четыре соответствуют другим группам Кокстера. В двух измерениях группы диэдра , которые являются группами симметрии правильных многоугольников , образуют ряд I 2 ( p ). В трех измерениях группа симметрии правильного додекаэдра и двойственного ему, правильного икосаэдра , - это H 3 , известная как полная группа икосаэдра . В четырех измерениях есть три специальных правильных многогранника: 24-элементный , 120-элементный и 600-элементный . Первый имеет группу симметрии F 4 , а два других двойственны и имеют группу симметрии H 4 .
Группы Кокстера типа D n , E 6 , E 7 и E 8 являются группами симметрий некоторых полуправильных многогранников .
Таблица семейств неприводимых многогранников | ||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Семья n |
n- симплекс | n- гиперкуб | n- ортоплекс | n- demicube | 1 к2 | 2 к1 | к 21 | пятиугольный многогранник | ||||||||
Группа | А п | B n |
|
|
H n | |||||||||||
2 |
|
|
p-угольник (пример: p = 7 ) |
Шестиугольник |
Пентагон |
|||||||||||
3 |
Тетраэдр |
Куб |
Октаэдр |
Тетраэдр |
Додекаэдр |
Икосаэдр |
||||||||||
4 |
5-элементный |
|
16 ячеек |
|
24-элементный |
120 ячеек |
600 ячеек |
|||||||||
5 |
5-симплекс |
5-куб |
5-ортоплекс |
5-полукуб |
||||||||||||
6 |
6-симплекс |
6-куб |
6-ортоплекс |
6-полукуб |
1 22 |
2 21 |
||||||||||
7 |
7-симплекс |
7-куб |
7-ортоплекс |
7-полукруглый |
1 32 |
2 31 |
3 21 |
|||||||||
8 |
8-симплекс |
8-куб |
8-ортоплекс |
8-полукруглый |
1 42 |
2 41 |
4 21 |
|||||||||
9 |
9-симплекс |
9-куб |
9-ортоплекс |
9-полукруглый |
||||||||||||
10 |
10-симплекс |
10-куб |
10-ортоплекс |
10-полукуб |
Аффинные группы Кокстера
В аффинных группах Кокстеровских образуют вторую важную серию кокстеровских групп. Они не конечны сами по себе, но каждая содержит нормальную абелеву подгруппу такую, что соответствующая фактор-группа конечна. В каждом случае фактор-группа сама является группой Кокстера, а граф Кокстера аффинной группы Кокстера получается из графа Кокстера фактор-группы путем добавления еще одной вершины и одного или двух дополнительных ребер. Например, для n ≥ 2 граф, состоящий из n + 1 вершин в окружности, получается из A n таким образом, и соответствующая группа Кокстера является аффинной группой Вейля для A n ( аффинная симметрическая группа ). При n = 2 это можно представить как подгруппу группы симметрии стандартного замощения плоскости равносторонними треугольниками.
В общем, для данной корневой системы можно построить связанную диаграмму Штифеля , состоящую из гиперплоскостей, ортогональных корням, вместе с некоторыми сдвигами этих гиперплоскостей. Тогда аффинная группа Кокстера (или аффинная группа Вейля) - это группа, порожденная (аффинными) отражениями обо всех гиперплоскостях на диаграмме. Диаграмма Штифеля делит плоскость на бесконечно много связных компонентов, называемых альковами , и аффинная группа Кокстера действует свободно и транзитивно на альковах, так же как обычная группа Вейля действует свободно и транзитивно на камеры Вейля. На рисунке справа показана диаграмма Штифеля для корневой системы.
Предположим, что это неприводимая корневая система ранга и пусть будет набор простых корней. Пусть также обозначает наивысший корень. Тогда аффинная группа Кокстера порождается обычными (линейными) отражениями относительно гиперплоскостей, перпендикулярных к , вместе с аффинным отражением относительно сдвига гиперплоскости, перпендикулярной к . Граф Кокстера для аффинной группы Вейля представляет собой диаграмму Кокстера – Дынкина для вместе с одним дополнительным узлом, связанным с . В этом случае одну нишу на диаграмме Штифеля можно получить, взяв основную камеру Вейля и разрезав ее путем сдвига гиперплоскости, перпендикулярной к .
Список аффинных групп Кокстера следующий:
Символ группы |
Символ Витта |
Обозначение скобок | Граф Кокстера |
Связанные однородные мозаики |
---|---|---|---|---|
[3 [ n ] ] |
... или ... |
Простые соты | ||
[4,3 n - 3 , 3 1,1 ] | ... | Полугиперкубические соты | ||
[4,3 n −2 , 4] | ... | Гиперкубические соты | ||
[3 1,1 , 3 n −4 , 3 1,1 ] | ... | Полугиперкубические соты | ||
[3 2,2,2 ] | или | 2 22 | ||
[3 3,3,1 ] | или | 3 31 , 1 33 | ||
[3 5,2,1 ] | 5 21 , 2 51 , 1 52 | |||
[3,4,3,3] |
16-элементный сотовый 24-элементный сотовый |
|||
[6,3] |
Шестиугольная черепица и Треугольная черепица |
|||
[∞] | Апейрогон |
Индекс символа группы на единицу меньше количества узлов в каждом случае, поскольку каждая из этих групп была получена путем добавления узла к графу конечной группы.
Гиперболические группы Кокстера
Существует бесконечно много гиперболических групп Кокстера, описывающих группы отражений в гиперболическом пространстве , в частности, включая гиперболические треугольные группы.
Частичные заказы
Выбор генераторов отражения дает функцию длины ℓ на группе Кокстера, а именно минимальное количество использований генераторов, необходимых для выражения элемента группы; это в точности длина метрики слова в графе Кэли . Выражение для v с использованием генераторов ℓ ( v ) является сокращенным словом . Например, перестановка (13) в S 3 имеет два сокращенных слова: (12) (23) (12) и (23) (12) (23). Функция определяет карту, обобщающую карту знаков для симметричной группы.
Используя сокращенные слова, можно определить три частичных порядка на группе Кокстера, (правый) слабый порядок , абсолютный порядок и порядок Брюа (названный в честь Франсуа Брюа ). Элемент v превосходит элемент u в порядке Брюа, если некоторое (или, что эквивалентно, любое) сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для u в качестве подстроки, где некоторые буквы (в любой позиции) отбрасываются. В слабом порядке v ≥ u, если некоторое сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для u в качестве начального отрезка. Действительно, длина слова превращает это в градуированный набор . На диаграммах Хассы , соответствующие эти заказы , являются объектами исследования, а также связаны с графом Кэли определяются генераторами. Абсолютный порядок определяется аналогично слабому порядку, но с порождающим набором / алфавитом, состоящим из всех сопряженных генераторов Кокстера.
Например, перестановка (1 2 3) в S 3 имеет только одно сокращенное слово (12) (23), поэтому покрывает (12) и (23) в порядке Брюа, но покрывает только (12) в слабом порядке.
Гомология
Поскольку группа Кокстера порождается конечным числом элементов порядка 2, ее абелианизация является элементарной абелевой 2-группой , т. Е. Изоморфна прямой сумме нескольких копий циклической группы . Это может быть пересчитано с точки зрения первой группы гомологии с .
Мультипликатор Шуру , равно вторая группа гомологии , был вычислен в ( Ихаре & Yokonuma 1965 ) для конечных групп отражений и в ( Yokonuma 1965 ) для аффинных групп отражений, с более унифицированной учетной записью , приведенной в ( Хоулетте 1988 ). Во всех случаях множитель Шура также является элементарной абелевой 2-группой. Для каждого бесконечного семейства конечных или аффинных групп Вейля ранг стабилизируется при стремлении к бесконечности.
Смотрите также
- Группа Артина – Титса
- Теорема Шевалле – Шепарда – Тодда.
- Комплексная группа отражений
- Элемент Кокстера
- Алгебра Ивахори – Гекке , квантовая деформация групповой алгебры
- Полином Каждана – Люстига
- Самый длинный элемент группы Кокстера
- Сверхрешаемая договоренность
Примечания
использованная литература
дальнейшее чтение
- Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера , Тексты для выпускников по математике , 231 , Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl 1110,05001
- Бурбаки, Николас (2002), Группы Ли и алгебры Ли: главы 4–6 , Элементы математики, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl 0983,17001
- Косетер, ИМП (1934), "Дискретные группы , порожденные отражениями", Анналы математики , 35 (3): 588-621, CiteSeerX 10.1.1.128.471 , DOI : 10,2307 / 1968753 , JSTOR 1968753
- Coxeter, HSM (1935), "Полное перечисление конечных групп формы ", J. London Math. Soc. , 1, 10 (1): 21-25, DOI : 10.1112 / jlms / s1-10.37.21
- Дэвис, Майкл В. (2007), Геометрия и топология групп Кокстера (PDF) , ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142,20020
- Grove, Ларри С.; Бенсон, Кларк Т. (1985), Конечные группы отражений , выпускные тексты по математике, 99 , Springer, ISBN 978-0-387-96082-1
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Хамфрис, Джеймс Э. (1992) [1990], Группы отражения и группы Кокстера , Кембриджские исследования в области высшей математики, 29 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl 0725,20028
- Кейн, Ричард (2001), группы отражений и теория инвариантов , книги CMS по математике, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl 0986,20038
- Хиллер, Ховард (1982), Геометрия групп Кокстера , Research Notes in Mathematics, 54 , Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl 0483,57002
- Ихара, S .; Йоконума, Такео (1965), "О вторых группах когомологий (множителях Шура) конечных групп отражений" (PDF) , J. Fac. Sci. Univ. Токио, секция. 1 , 11 : 155–171, Zbl 0136.28802 , архивировано из оригинала (PDF) 23 октября 2013 г.
- Хоулетт, Роберт Б. (1988), "О множителях Шура групп Кокстера", J. London Math. Soc. , 2, 38 (2): 263-276, DOI : 10,1112 / jlms / s2-38.2.263 , Zbl +0627,20019
- Винберг, Эрнест Б. (1984), "Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности", Тр. Моск. Мат. Общ. , 47
- Йоконума, Такео (1965), "О вторых группах когомологий (множителях Шура) бесконечных дискретных групп отражений", J. Fac. Sci. Univ. Токио, секция. 1 , 11 : 173-186, ЛВП : 2261/6049 , Zbl +0136,28803