24-элементный - 24-cell

24-элементный
Диаграмма Шлегеля (вершины и ребра)
Тип	Выпуклый правильный 4-многогранник
Символ Шлефли	{3,4,3} r {3,3,4} = {3 1,1,1 } =${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} 3 \\ 3,4 \ end {array}} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} 3 \\ 3 \\ 3 \ end {array}} \ right \}}$
Диаграмма Кокстера	или или
Клетки	24 {3,4}
Лица	96 {3}
Края	96
Вершины	24
Фигура вершины	Куб
Многоугольник Петри	двенадцатигранник
Группа Коксетера	F 4 , [3,4,3], порядок 1152 B 4 , [4,3,3], порядок 384 D 4 , [3 1,1,1 ], порядок 192
Двойной	Самодвойственный
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , равногранный
Единый индекс	22

Сеть

В геометрии , то 24-клетка является выпуклым обычным 4-многогранником (четырехмерным аналог платоника твердого вещества) с Шлефли символом {3,4,3}. Его также называют С ₂₄ , или icositetrachoron , octaplex (сокращенно «октаэдрической комплекс»), icosatetrahedroid , octacube , гипер-алмаза или polyoctahedron , строится из октаэдрических клеток .

Граница 24-ячеек состоит из 24-х октаэдрических ячеек, по шесть пересекающихся в каждой вершине и по три на каждом краю. Вместе они имеют 96 треугольных граней, 96 ребер и 24 вершины. Фигура вершина представляет собой куб . 24-элементный самодвойственный . Он и тессеракт - единственные выпуклые правильные 4-многогранники, у которых длина ребра равна радиусу.

24-элементный не имеет штатного аналога в 3-х измерениях. Это единственный из шести выпуклых правильных 4-многогранников, который не является четырехмерным аналогом одного из пяти правильных Платоновых тел . Однако его можно рассматривать как аналог пары неправильных тел: кубооктаэдра и двойственного ему ромбического додекаэдра .

Переведенные копии 24-ячеек могут размещать мозаику в четырехмерном пространстве лицом к лицу, образуя 24-ячеечные соты . Как многогранник, который может мозаично перемещаться, 24-ячейка является примером параллелоэдра , самого простого, который не является также зонотопом .

Геометрия

24-ячейка включает в себя геометрию каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях, за исключением 5-ячеечного, имеющего 5 в символе Шлефли, а также многоугольников {7} и выше. Особенно полезно исследовать 24-ячейку, потому что можно увидеть геометрические отношения между всеми этими правильными многогранниками в одной 24-ячейке или ее сотах .

24-ячейка является четвертой в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности). Его можно деконструировать на 3 перекрывающихся экземпляра своего предшественника, тессеракта (8 ячеек), так как 8 ячеек можно деконструировать на 2 перекрывающихся экземпляра своего предшественника с 16 ячейками . Обратная процедура для создания каждого из них из экземпляра его предшественника сохраняет радиус предшественника, но обычно создает преемника с меньшей длиной ребра.

Правильные выпуклые 4-многогранники
Группа симметрии	А 4	В 4		П 4	H 4
Имя	5-элементный гипер- тетраэдр	16 ячеек гипер- октаэдр	8-элементный гипер- куб	24-элементный	600 ячеек гипер- икосаэдр	120 ячеек гипер- додекаэдр
Символ Шлефли	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Диаграмма Кокстера
График
Вершины	5	8	16	24	120	600
Края	10	24	32	96	720	1200
Лица	10 треугольников	32 треугольника	24 квадрата	96 треугольников	1200 треугольников	720 пятиугольников
Клетки	5 тетраэдров	16 тетраэдров	8 кубиков	24 октаэдра	600 тетраэдров	120 додекаэдров
Большой радиус	1	1	1	1	1	1
Длина кромки	√ 5/√ 2 ≈ 1,581	√ 2 ≈ 1,414	1	1	1/ϕ ≈ 0,618	1/√ 2 ϕ 2 ≈ 0,270
Короткий радиус	1/4	1/2	1/2	√ 2/2 ≈ 0,707	1 - (√ 2/2 √ 3 φ) 2 ≈ 0,936	1 - (1/2 √ 3 φ) 2 ≈ 0,968
Площадь	10 •√ 8/3 ≈ 9,428	32 •√ 3/4 ≈ 13,856	24	96 •√ 3/4 ≈ 41,569	1200 •√ 3/8φ 2 ≈ 99,238	720 •25 + 10 √ 5/8φ 4 ≈ 621,9
Объем	5 •5 √ 5/24 ≈ 2,329	16 •1/3 ≈ 5,333	8	24 •√ 2/3 ≈ 11,314	600 •1/3 √ 8 φ 3 ≈ 16,693	120 •2 + φ/2 √ 8 φ 3 ≈ 18,118
4-Контент	√ 5/24• (√ 5/2) 4 ≈ 0,146	2/3 ≈ 0,667	1	2	Короткий ∙ Vol/4 ≈ 3,907	Короткий ∙ Vol/4 ≈ 4,385

Координаты

Квадраты

24-ячейка - это выпуклая оболочка ее вершин, которую можно описать как 24-х координатные перестановки :

${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0,0) \ in \ mathbb {R} ^ {4}}$.

Эти координаты могут быть построены как , Выпрямления на 16-ячейку с 8 перестановками вершин из (± 2,0,0,0). Вершина 16-ячейки - октаэдр ; таким образом, разрезание вершин 16-ячеек посередине его падающих ребер дает 8 октаэдрических ячеек. Этот процесс также выпрямляет тетраэдрические ячейки 16-ячеек, которые становятся 16 октаэдрами, давая 24-ячеечным 24 октаэдрические ячейки.

В этой системе отсчета 24-ячейка имеет ребра длиной √ 2 и вписана в 3-сферу радиуса √ 2 . Примечательно, что длина ребра равна радиусу описанной окружности, как у шестиугольника или кубооктаэдра . Такие многогранники радиально равносторонние .

24 вершины образуют 18 больших квадратов (3 набора по 6 ортогональных центральных квадратов), 3 из которых пересекаются в каждой вершине. Рассматривая только один квадрат в каждой вершине, 24 ячейки можно рассматривать как вершины 3 пар полностью ортогональных больших квадратов, которые не пересекаются ни в каких вершинах.

Шестиугольники

24-ячейка самодуальна , имея такое же количество вершин (24), что и ячеек, и такое же количество ребер (96), как граней.

Если взять двойную ячейку из 24-х ячеек с длиной ребра √ 2, совершая возвратно-поступательные движения вокруг вписанной сферы, то будет найдена еще одна 24-ячейка с длиной ребра и радиусом 1 описанной окружности, а ее координаты обнаруживают большую структуру. В этой системе отсчета 24-ячейка лежит вершиной вверх, и ее вершины могут быть заданы следующим образом:

8 вершин, полученных перестановкой целочисленных координат:

(± 1, 0, 0, 0)

и 16 вершин с полуцелыми координатами вида:

(±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)

все 24 из них лежат на расстоянии 1 от начала координат.

Рассматриваемые как кватернионы , это единичные кватернионы Гурвица .

24-ячейка имеет единичный радиус и единичную длину кромки в этой системе координат. Мы называем систему координатами единичного радиуса, чтобы отличать ее от других, например, координаты радиуса √ 2, использованные выше .

24 вершины и 96 ребер образуют 16 неортогональных больших шестиугольников, четыре из которых пересекаются в каждой вершине. Рассматривая только один шестиугольник в каждой вершине, 24 ячейки можно увидеть как 24 вершины 4 непересекающихся шестиугольных больших окружностей, параллельных друг другу Клиффорда .

12 осей и 16 шестиугольников 24-элементной ячейки составляют конфигурацию Рея , которая на языке конфигураций записывается как 12 ₄ 16 _3, чтобы указать, что каждая ось принадлежит 4 шестиугольникам, и каждый шестиугольник содержит 3 оси.

Треугольники

24 вершины образуют 32 равносторонних больших треугольника, вписанных в 16 больших шестиугольников.

Гиперкубические аккорды

Геометрия вершин радиально равносторонней 24-ячейки, показывающая 3 многоугольника большого круга и 4 длины хорды между вершинами.

24 вершины 24-ячейки расположены на четырех разных длинах хорды друг от друга: √ 1 , √ 2 , √ 3 и √ 4 .

Каждая вершина соединена с 8 другими ребром длиной 1, охватывающим 60 ° = π/3дуги. Следующие ближайшие - 6 вершин, расположенных под углом 90 ° =π/2по внутреннему хорде длиной √ 2 . Еще 8 вершин лежат на 120 ° =2 π/3по внутреннему хорде длиной √ 3 . Противоположная вершина находится на расстоянии 180 ° = π по диаметру длиной 2. Наконец, поскольку 24-ячейка является радиально равносторонней, ее центр можно рассматривать как 25-ю каноническую вершину вершины, которая находится на расстоянии 1 ребра от всех остальных.

Чтобы визуализировать, как внутренние многогранники 24-ячеечного элемента подходят друг к другу (как описано ниже ), имейте в виду, что четыре длины хорды ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) являются длинными диаметрами гиперкубов размерности 1. через 4: длинный диаметр квадрата √ 2 ; длинный диаметр куба √ 3 ; а длинный диаметр тессеракта √ 4 . Более того, длинный диаметр октаэдра равен √ 2, как у квадрата; а длинный диаметр самой 24-ячейки равен √ 4, как у тессеракта. В 24-ячейке хорды √ 2 - это ребра центральных квадратов, а хорды √ 4 - диагонали центральных квадратов.

Геодезические

Стереографическая проекция 16 центральных шестиугольников 24-ячейки на их большие окружности. Каждый большой круг разделен на 6 дуг-ребер на пересечениях, где пересекаются 4 больших круга.

Хорды ​​вершин 24-ячейки расположены в геодезических многоугольниках большого круга . Геодезическое расстояние между двумя вершинами 24-клеток вдоль пути √ 1 ребер всегда равен 1, 2 или 3, и это только 3 противоположных вершин.

В √ 1 ребра происходят в 16 шестиугольных больших кругов (в плоскостях , наклоненных под углом 60 градусов друг к другу), 4 из которых пересекают в каждой вершине. 96 различных ребер √ 1 делят поверхность на 96 треугольных граней и 24 октаэдрических ячейки: 24 ячейки. 16 шестиугольных больших кругов можно разделить на 4 набора из 4 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда , так что только один шестиугольный большой круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 4 шестиугольника в каждом наборе достигают всех 24 вершин.

В √ 2 аккордов происходят в 18 квадратных больших кругах (3 комплекта 6 ортогональных плоскостей), 3 из которых пересекают в каждой вершине. 72 различных хорды √ 2 не проходят в тех же плоскостях, что и большие шестиугольные круги; они не следуют за гранями 24-элементной ячейки, они проходят через ее восьмиугольные центры ячейки. 18 квадратных больших кругов можно разделить на 3 набора из 6 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда, так что только один квадратный большой круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 6 квадратов в каждом наборе достигают всех 24 вершин.

В √ 3 аккорды происходят в 32 треугольных больших кругов в 16 самолетов, 4 из которых пересекают в каждой вершине. 96 различных √ 3 хорд проходят от вершины к каждой другой вершине в тех же плоскостях, что и большие шестиугольные круги.

В √ 4 аккорды встречаются в виде 12 вершин-к-вершине диаметров (3 набора ортогональных осей 4), 24 радиусов вокруг 25 - й центральной вершины.

Сумма квадратов длин всех этих различных хорд 24-ячейки равна 576 = 24 ² . Все это центральные многоугольники, проходящие через вершины, но в 4-пространстве есть геодезические на 3-сфере, которые вообще не лежат в центральных плоскостях. Существуют кратчайшие геодезические пути между двумя вершинами из 24 ячеек, которые являются скорее спиральными, чем просто круговыми; они соответствуют диагональным изоклиническим поворотам, а не простым поворотам.

В √ 1 ребра происходят в 48 параллельных пар, √ 3 друг от друга. В √ 2 аккордов происходят в 36 параллельных парах, √ 2 друг от друга. В √ 3 аккорды происходят в 48 параллельных пар, √ 1 друг от друга.

Центральные плоскости 24-ячеек можно разделить на 4 центральные гиперплоскости (3-пространства), каждая из которых образует кубооктаэдр . Большие квадраты разнесены на 90 градусов; большие шестиугольники разнесены на 60 градусов; большой квадрат и большой шестиугольник разделены на 60 градусов. Каждый набор подобных центральных многоугольников (квадратов или шестиугольников) можно разделить на 4 набора непересекающихся параллельных многоугольников Клиффорда (из 6 квадратов или 4 шестиугольников). Каждый набор параллельных больших кругов Клиффорда представляет собой пучок параллельных волокон, который посещает все 24 вершины только один раз.

Каждый большой круг пересекается с другими большими кругами, которые не параллельны Клиффорду на одном √ 4 диаметра 24-ячейки. Большие окружности, которые полностью ортогональны или иначе параллельны Клиффорду, вообще не пересекаются: они проходят через непересекающиеся множества вершин.

Конструкции

Треугольники и квадраты уникальным образом объединяются в 24-ячейке, чтобы создать в качестве внутренних элементов все правильные выпуклые многогранники с треугольными и квадратными гранями в первых четырех измерениях (с оговорками для 5-ячеечного и 600-ячеечного ) . Следовательно, существует множество способов сконструировать или разобрать 24 клетки.

Взаимные конструкции из 8 и 16 клеток

8 целочисленных вершин (± 1, 0, 0, 0) являются вершинами правильной 16-ячейки , а 16 полуцелых вершин (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2) являются вершинами двойственного к нему тессеракта (8-клеточного). Тессеракт дает конструкцию Госсета из 24 ячеек, эквивалентную разрезанию тессеракта на 8 кубических пирамид , а затем прикреплению их к граням второго тессеракта. Аналогичная конструкция в трехмерном пространстве дает ромбический додекаэдр, который, однако, не является правильным. 16-ячеечная конструкция дает конструкцию, обратную 24-элементной конструкции Чезаро, эквивалентную исправлению 16-ти ячеечной (срезание ее углов по средним краям, как описано выше ). Аналогичная конструкция в трехмерном пространстве дает кубооктаэдр (двойственный ромбическому додекаэдру), который, однако, не является правильным. Тессеракт и 16-элементный многогранник - единственные правильные 4-многогранники в 24-элементном.

Далее мы можем разделить 16 полуцелых вершин на две группы: те, координаты которых содержат четное количество знаков минус (-), и те, которые имеют нечетное число. Каждая из этих групп из 8 вершин также определяет обычную 16-клетку. Это показывает, что вершины 24-ячейки могут быть сгруппированы в три непересекающихся набора из восьми, каждый из которых определяет обычную 16-ячейку, а дополнение определяет двойной тессеракт. Это также показывает, что симметрии 16-ячейки образуют подгруппу индекса 3 группы симметрии 24-ячейки.

Уменьшение

Мы можем огранить 24-ячейку, разрезая внутренние ячейки, ограниченные хордами вершин, чтобы удалить вершины, обнажив грани внутренних 4-многогранников, вписанных в 24-ячейку. Можно разрезать 24 клетки через любой плоский шестиугольник с 6 вершинами, любой плоский прямоугольник с 4 вершинами или любой треугольник с 3 вершинами. Центральные плоскости большого круга ( вверху ) - это лишь некоторые из этих плоскостей. Здесь мы покажем некоторые из других: плоскости граней внутренних многогранников.

8-элементный

Начиная с полной 24-ячейкой, удалить 8 ортогональных вершины (4 противоположных пары на 4 перпендикулярных осях), а также 8 ребер , которые излучают от каждого, от резки до 8 кубических клеток , ограниченных √ 1 ребра , чтобы удалить 8 кубических пирамиды , чьи вершины являются удаляемые вершины. Это удаляет 4 ребра из каждого шестиугольного большого круга (сохраняя только одну противоположную пару ребер), поэтому не остается непрерывных шестиугольных больших кругов. Теперь 3 перпендикулярных ребра встречаются и образуют угол куба в каждой из 16 оставшихся вершин, а 32 оставшихся ребра делят поверхность на 24 квадратных грани и 8 кубических ячеек: тессеракт . Есть три способа сделать это (выбрать набор из 8 ортогональных вершин из 24), так что в 24-ячейку вписано три таких тессеракта. Они перекрываются друг с другом, но большинство их наборов элементов не пересекаются: они имеют общее количество вершин, но не имеют длины ребра, площади грани или объема ячейки. Они разделяют 4-х контентов, их общее ядро.

16 ячеек

Начиная с полных 24 ячеек, удалите 16 вершин тессеракта (сохранив 8 вершин, которые вы удалили выше), разрезав 16 тетраэдрических ячеек, ограниченных √ 2 хордами, чтобы удалить 16 тетраэдрических пирамид , вершины которых являются вершинами, которые нужно удалить. Это удаляет 12 больших квадратов (сохраняя только один ортогональный набор) и все ребра √ 1 , открывая √ 2 хорды в качестве новых ребер. Теперь оставшиеся 6 больших квадратов пересекаются перпендикулярно, по 3 в каждой из 8 оставшихся вершин, и их 24 ребра делят поверхность на 32 треугольные грани и 16 тетраэдрических ячеек: 16-ячейка . Есть три способа сделать это (удалить 1 из 3 наборов вершин тессеракта), так что в 24-ячейку вписано три таких 16-ячеек. Они перекрываются друг с другом, но все их наборы элементов не пересекаются: у них нет общего количества вершин, длины ребер или площади грани, но они имеют общий объем ячеек. Они также разделяют 4-контент, их общее ядро.

Тетраэдральные конструкции

24-ячейка может быть построена в радиальном направлении из 96 равносторонних треугольников с длиной ребра √ 1, которые пересекаются в центре многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро. Они образуют 96 √ 1 тетраэдров (каждый из которых содержит одну 24-ячеечную грань), и все они имеют общую 25-ю центральную вершину. Они образуют 24 октаэдрических пирамиды (полу-16 ячеек) с вершинами в центре.

24-ячейка может быть построена из 96 равносторонних треугольников с длиной ребра √ 2 , где три вершины каждого треугольника расположены на 90 ° =π/2подальше друг от друга. Они образуют 48 √ 2 тетраэдров (ячеек трех 16-ячеек ) с центром на 24 средних радиусах 24-ячеечной.

Отношения между внутренними многогранниками

24 ячейки, три тессеракта и три 16-ячеек глубоко переплетены вокруг своего общего центра и пересекаются в общем ядре. Тессеракты вписаны в 24-ячейку таким образом, что их вершины и края являются внешними элементами 24-ячейки, но их квадратные грани и кубические ячейки лежат внутри 24-ячейки (они не являются элементами 24-ячейки). 16 ячеек вписаны в 24 ячейки, так что только их вершины являются внешними элементами 24 ячейки: их ребра, треугольные грани и тетраэдрические ячейки лежат внутри 24 ячейки. Внутренние 16-клеточные ребра имеют длину √ 2 .

Рисунок Кеплера тетраэдров, вписанных в куб.

16 ячеек также вписаны в тессеракты: их √ 2 ребра являются диагоналями граней тессеракта, а их 8 вершин занимают все остальные вершины тессеракта. Каждый тессеракт имеет вписанные в него две 16-ячейки (занимающие противоположные вершины и диагонали граней), поэтому каждая 16-ячейка вписана в две из трех 8-ячеек. Это напоминает способ, которым в трехмерном пространстве можно вписать два тетраэдра в куб, открытый Кеплером. Фактически, это точная размерная аналогия ( полугиперкубы ), и 48 тетраэдрических ячеек вписаны в 24 кубических ячейки именно таким образом.

24 ячейки заключают три тессеракта в оболочку из октаэдрических граней, оставляя в некоторых местах 4-мерное пространство между своей оболочкой и оболочкой кубов каждого тессеракта. Каждый тессеракт включает в себя две из трех 16-ячеек, оставляя в некоторых местах 4-мерное пространство между его оболочкой и каждой 16-элементной оболочкой тетраэдров. Таким образом, между конвертами из 24, 8 и 16 ячеек есть измеримые четырехмерные промежутки. Формы, заполняющие эти промежутки, представляют собой 4-пирамиды , упомянутые выше.

Пограничные клетки

Несмотря на 4-мерные промежутки между оболочками из 24, 8 и 16 ячеек, их трехмерные объемы перекрываются. Различные конверты в одних местах разделены, а в других соприкасаются (где между ними нет четырех пирамид). Там, где они соприкасаются, они сливаются и разделяют клеточный объем: в этих местах они представляют собой одну и ту же 3-мембрану, а не два отдельных, а смежных трехмерных слоя. Поскольку всего существует 7 конвертов, есть места, где несколько конвертов объединяются и объединяются в объем, а также места, где конверты пересекаются (пересекаются изнутри наружу друг друга).

Некоторые внутренние элементы находятся в пределах 3-х пространств (внешней) граничной оболочки 24-ячеек: каждая октаэдрическая ячейка делится пополам на три перпендикулярных квадрата (по одному от каждого из тессерактов), и диагонали этих квадратов (пересекаются друг к другу перпендикулярно центру октаэдра) - это ребра с 16 ячейками (по одному от каждой 16 ячеек). Каждый квадрат делит октаэдр пополам на две квадратные пирамиды, а также связывает две смежные кубические ячейки тессеракта вместе как их общую грань.

Как мы видели выше, 16-ячеечные √ 2 тетраэдрические ячейки вписаны в кубические ячейки тессеракта √ 1 и имеют один и тот же объем. 24-ячеечные √ 1 октаэдрические ячейки перекрывают свой объем √ 1 кубическими ячейками: квадратной гранью они делятся пополам на две квадратные пирамиды, вершины которых также лежат в вершине куба. Октаэдры имеют общий объем не только с кубами, но и с вписанными в них тетраэдрами; таким образом, 24 ячейки, тессеракты и 16 ячеек разделяют некоторый граничный объем.

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет собой 24 ячейки. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всех 24 ячейках. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 24 & 8 & 12 & 6 \\ 2 & 96 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 96 & 2 \\ 6 & 12 & 8 & 24 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}$

Поскольку 24-элементный самодвойственный, его матрица идентична его повороту на 180 градусов.

Симметрии, корневые системы и мозаики

Соединение 24 вершин 24-ячейки (красные узлы) и его немасштабированные двойственные (желтые узлы) представляют 48 корневых векторов группы F ₄ , как показано в этой проекции плоскости Кокстера F _4.

В 24 корневых векторах D ₄ корневой системы от простой группы Ли SO (8) образуют вершины 24-ячейки. Вершины можно увидеть в 3 гиперплоскостях , с 6 вершинами ячейки октаэдра на каждой из внешних гиперплоскостей и 12 вершинами кубооктаэдра на центральной гиперплоскости. Эти вершины вместе с 8 вершинами 16-ячейки представляют 32 корневых вектора простых групп Ли B ₄ и C ₄ .

48 вершин (или, строго говоря, их радиус-векторы) объединения 24-клетки и двойственной к ней, образуют корневую систему типа F ₄ . 24 вершины исходной 24-ячейки образуют корневую систему типа D ₄ ; его размер имеет соотношение √ 2 : 1. То же верно и для 24 вершин двойника. Полная группа симметрии 24-ячейки - это группа Вейля F ₄ , которая порождается отражениями через гиперплоскости, ортогональные корням F ₄ . Это разрешимая группа порядка 1152. Группа вращательной симметрии 24-ячейки имеет порядок 576.

Кватернионная интерпретация

24 элемента кватерниона бинарной тетраэдрической группы соответствуют вершинам 24-ячейки. В проекции 4-кратной симметрии: * 1 порядок-1: 1 * 1 порядок-2: -1 * 6 порядок-4: ± i, ± j, ± k * 8 порядок-6: (+ 1 ± i ± j ± k) / 2 * 8 порядок-3: (-1 ± i ± j ± k) / 2.

При интерпретации как кватернионы решетка корней F ₄ (которая является целым промежутком вершин 24-ячейки) замкнута при умножении и, следовательно, является кольцом . Это кольцо целочисленных кватернионов Гурвица . Вершины 24-ячейки образуют группу единиц (т.е. группу обратимых элементов) в кольце кватернионов Гурвица (эта группа также известна как бинарная тетраэдрическая группа ). Вершины 24-ячейки - это в точности 24 кватерниона Гурвица с квадратом нормы 1, а вершины двойственной 24-ячейки - это вершины с квадратом нормы 2. Корневая решетка D ₄ является двойственной к F ₄ и задается формулой подкольцо кватернионов Гурвица с квадратом четной нормы.

Рассматриваемые как 24-элементные кватернионы Гурвица , координаты единичного радиуса 24-ячейки представляют (в парах-антиподах) 12 вращений правильного тетраэдра.

Вершины других выпуклых правильных 4-многогранников также образуют мультипликативные группы кватернионов, но некоторые из них порождают решетку корней.

Клетки Вороного

В клетках Вороных этот D ₄ корня решетки являются регулярной 24-клеткой. Соответствующее тесселяция Вороного дает тесселяцию 4-мерного евклидова пространства регулярными 24-ячеечными сотами . 24-клетки центрированы в точках решетки D ₄ (кватернионы Гурвица с квадратом четной нормы), а вершины находятся в точках решетки F ₄ с квадратом нечетной нормы. Каждая 24-ячеечная мозаика имеет 24 соседа. С каждым из них он имеет общий октаэдр. У него также есть 24 других соседа, с которыми он разделяет только одну вершину. Восемь 24-ячеек встречаются в любой заданной вершине этой мозаики. Символ Шлефли для этой мозаики - {3,4,3,3}. Это одна из трех обычных мозаик R ⁴ .

Блок шары , вписанные в 24-клетках этого тесселяция приводит к плотнейшей известной решетчатой упаковке из гиперсфер в 4 -х измерениях. Также было показано, что конфигурация вершин 24-ячеечной клетки дает максимально возможное число поцелуев в 4-х измерениях .

Радиально равносторонние соты

Двойная мозаика сотовой структуры с 24 ячейками {3,4,3,3} представляет собой сотовую структуру с 16 ячейками {3,3,4,3} . Третья регулярная мозаика четырехмерного пространства - это тессератические соты {4,3,3,4} , вершины которых могут быть описаны 4-целыми декартовыми координатами. Конгруэнтные отношения между этими тремя мозаиками могут быть полезны при визуализации 24-элементной ячейки, в частности, радиальной равносторонней симметрии, которую он разделяет с тессерактом.

Сота с 24 ячейками единичной длины ребра может быть наложена на соты тессерактов с единичной длиной ребра так, что каждая вершина тессеракта (каждая 4-целая координата) также является вершиной 24-ячеечной ячейки (и ребра тессеракта также равны 24. края ячейки), и каждый центр 24-ячейки также является центром тессеракта. 24-ячейки вдвое больше тессерактов по 4-мерному содержанию (гиперобъему), так что в целом на каждые 24-ячеечные ячейки приходится два тессеракта, только половина из которых вписана в 24-ячейку. Если эти мозаики окрашены в черный цвет, а соседние с ними мозаики (с которыми они имеют общую кубическую грань) окрашены в красный цвет, получается четырехмерная шахматная доска. Из 24 радиусов от центра к вершине каждой 24 ячейки 16 также являются радиусами черного тессеракта, вписанного в 24 ячейки. Остальные 8 радиусов проходят за пределы черного тессеракта (через центры его кубических граней) к центрам 8 смежных красных тессерактов. Таким образом, соты из 24 ячеек и соты тессерактики совпадают особым образом: 8 из 24 вершин каждой 24-ячейки не встречаются в вершине тессеракта (вместо этого они находятся в центре тессеракта). Каждый черный тессеракт вырезается из 24-ячеек путем его усечения в этих 8 вершинах, отсекая 8 кубических пирамид (как в обратном построении Госсета, но вместо удаления пирамиды просто окрашиваются в красный цвет и оставляются на месте). Восемь 24-ячеек встречаются в центре каждого красного тессеракта: каждая встречает свою противоположность в этой общей вершине, а шесть других - в общей октаэдрической ячейке.

Красные мозаики - это заполненные ячейки (они содержат центральную вершину и радиусы); черные тессеракты - это пустые ячейки. Набор вершин этого объединения двух сот включает вершины всех 24 ячеек и тессерактов, а также центры красных тессерактов. Добавление центров из 24 ячеек (которые также являются центрами черных тессерактов) к этим сотам дает соты из 16 ячеек, набор вершин которых включает все вершины и центры всех 24 ячеек и тессерактов. Ранее пустые центры смежных 24 ячеек становятся противоположными вершинами 16-ячеек с единичной длиной ребра. 24 полу-16-ячеек (октаэдрические пирамиды) встречаются в каждом ранее пустом центре, чтобы заполнить каждую 24-ячейку, а их октаэдрические основания - это 6-вершинные октаэдрические грани 24-ячеечной (совместно с соседней 24-ячейкой).

Обратите внимание на полное отсутствие пятиугольников в этом союзе трех сот. Как и 24-ячеечное, 4-мерное евклидово пространство полностью заполнено комплексом всех многогранников, которые могут быть построены из правильных треугольников и квадратов (кроме 5-ячеечного), но этот комплекс не требует (или не допускает) любой из пятиугольных многогранников.

Вращения

В регулярных выпуклых 4-многогранники являются выражением их основной симметрии , которая известна как SO (4) , в группе вращений вокруг фиксированной точки в 4-мерном евклидовом пространстве.

3 декартовых основания 24-ячеечной клетки

Существует три различной ориентации tesseractic сот , которые могут быть сделаны , чтобы совпасть с 24 ячейками сотовой структурой , в зависимости от того, какой из трех непересекающихся наборов 24-клеточных из 8 ортогональных вершин (что набор из 4 перпендикулярных осей, или , что эквивалентен, что письмена base 16-cell ) был выбран для его выравнивания, точно так же, как три тессеракта могут быть вписаны в 24-ячейку, повернутые друг относительно друга. Расстояние от одной из этих ориентаций до другой представляет собой изоклиническое вращение на 60 градусов ( двойное вращение на 60 градусов в каждой паре ортогональных инвариантных плоскостей вокруг одной фиксированной точки). Это вращение наиболее отчетливо видно в гексагональных центральных плоскостях, где шестиугольник вращается, чтобы изменить, какой из трех его диаметров совмещен с осью системы координат.

Плоскости вращения

Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве можно рассматривать как композицию двух 2-мерных вращений в полностью ортогональных плоскостях. Таким образом, общее вращение в 4-м пространстве - это двойное вращение . Есть два важных частных случая, называемых простым вращением и изоклиническим вращением .

Простые вращения

Трехмерная проекция 24-элементной ячейки, выполняющей простое вращение.

В трехмерном пространстве вращающийся многогранник имеет единственную неизменную центральную плоскость вращения . Плоскость называется инвариантной, потому что каждая точка на плоскости движется по кругу, но остается внутри плоскости. Только одна из центральных плоскостей многогранника может быть неизменной во время определенного вращения; выбор инвариантной центральной плоскости и углового расстояния, на которое она поворачивается, полностью определяет вращение. Точки за пределами инвариантной плоскости также движутся по кругу (если они не находятся на фиксированной оси вращения, перпендикулярной инвариантной плоскости), но круги не лежат в центральной плоскости.

Когда 4-многогранник вращается только с одной неизменной центральной плоскостью, происходит такое же простое вращение, что и в 3-х измерениях. Единственное отличие состоит в том, что вместо фиксированной оси вращения есть целая фиксированная центральная плоскость, в которой точки не перемещаются. Фиксированная плоскость - это одна центральная плоскость, полностью ортогональная инвариантной плоскости вращения. В 24-ячейке есть простое вращение, которое переводит любую вершину непосредственно в любую другую вершину, также перемещает большинство других вершин, но оставляет не менее 2 и не более 6 других вершин фиксированными (вершины, которые пересекает фиксированная центральная плоскость. ). Вершина движется по большому кругу в неизменной плоскости вращения между смежными вершинами большого шестиугольника, большого квадрата или большого двуугольника , а полностью ортогональная фиксированная плоскость представляет собой двуугольник, квадрат или шестиугольник соответственно.

Двойные вращения

Трехмерная проекция 24-ячейки, выполняющей двойное вращение

Точки в полностью ортогональной центральной плоскости не ограничены фиксированными. Также возможно, что они вращаются по кругу, как вторая инвариантная плоскость, со скоростью, не зависящей от вращения первой инвариантной плоскости: двойное вращение в двух плоскостях вращения одновременно. При двойном вращении нет фиксированной плоскости или оси: перемещается каждая точка, кроме центральной. Угловое расстояние поворота может быть различным в двух полностью ортогональных центральных плоскостях, но обе они всегда инвариантны: их точки, движущиеся по кругу, остаются внутри плоскости, поскольку вся плоскость наклоняется в сторону при полностью ортогональном вращении. Вращение в 4-м пространстве всегда имеет (по крайней мере) две полностью ортогональные инвариантные плоскости вращения, хотя при простом повороте угол поворота в одной из них равен 0.

Двойные вращения бывают двух хиральных форм: левого и правого вращения. При двойном вращении каждая вершина движется по спирали сразу по двум полностью ортогональным большим окружностям. Либо путь имеет правую резьбу (как у большинства винтов и болтов), двигаясь по кругам в «тех же» направлениях, либо он имеет левую резьбу (как болт с обратной резьбой), перемещаясь по кругам в том же направлении. условно говорят, что это «противоположные» направления (в соответствии с правилом правой руки, согласно которому мы условно говорим, какой путь «вверх» на каждой из 4 осей координат).

Изоклинические вращения

Когда углы поворота в двух инвариантных плоскостях в точности совпадают, возникает замечательная симметрия : все плоскости большого круга Клиффорда, параллельные инвариантным плоскостям, сами становятся инвариантными плоскостями вращения на тот же угол, и 4-многогранник вращается изоклинически. сразу по многим направлениям. Каждая вершина перемещается на одинаковое расстояние во всех четырех измерениях одновременно. В 24-ячейке любое изоклиническое вращение на 60 градусов в гексагональной плоскости переводит каждую вершину в соседнюю вершину, поворачивает все 16 шестиугольников на 60 градусов и переводит каждый многоугольник большого круга (квадрат, шестиугольник или треугольник) в большой круг, параллельный Клиффорду. такой же многоугольник на расстоянии 60 градусов. Изоклиническое вращение также называется смещением Клиффорда по имени его первооткрывателя .

Кажется, что 24 ячейки в анимации двойного вращения выворачиваются наизнанку. Это , кажется, потому что на самом деле делает, обращающей хиральность всего 4-многогранника только пути вашей ванной зеркало меняет хиральность вашего изображения на 180 градусов отражение в. Каждый 360 градусов изоклиничны вращение , как если бы поверхность 24-элементный отпарки , как перчатка, вывернутый наизнанку, делая правую перчатку в левой руке перчатку (или наоборот в зависимости от того, был ли это левый или правое изоклиническое вращение на 360 градусов).

При простом повороте 24-ячейки в гексагональной плоскости каждая вершина в плоскости сначала поворачивается вдоль ребра к соседней вершине на расстоянии 60 градусов. Но при изоклиническом вращении в двух полностью ортогональных гексагональных плоскостях каждая вершина сначала поворачивается к вершине на расстоянии двух ребер (по диагонали) в другой гексагональной плоскости. Спиральные геодезические двойного гексагонального вращения проходят через все остальные вершины, пересекая центральные плоскости. Несмотря на то, что все вершины и все шестиугольники вращаются одновременно, поворот на 360 градусов затрагивает только половину вершин в 24-ячейке. После 360 градусов каждая спираль прошла через 6 вершин, но не вернулась в вершину, из которой вышла, образуя замкнутый шестиугольник. Каждая центральная плоскость (каждый шестиугольник или квадрат в 24-ячейке) повернута на 360 градусов и наклонена вбок на 360 градусов обратно в исходное положение, но ориентация 24-ячейки в 4-м пространстве, в которое она встроена теперь другое. Поскольку 24-ячейка теперь вывернута наизнанку, если изоклиническое вращение будет продолжено в том же направлении еще на 360 градусов, движущиеся вершины пройдут через другую половину вершин, которые они пропустили при первом обороте (противоположные вершины те , что они попали в первый раз, на их обратной стороне ), и каждый изоклиничну геодезический будут прибывают в вершине она отошла от, образуя замкнутый двенадцатиугольник . Он принимает 720 градусов изоклиничны вращение в каждом двенадцатиугольной изоклиничну геодезического , чтобы закончить схему через все 12 вершин , которые лежат на ней с помощью обмотки вокруг 24-клетки дважды, возвращая 24-клетку к своей первоначальной хиральной ориентации.

Две плоскости также называют изоклиническими, если изоклиническое вращение сводит их вместе. Изоклинические плоскости - это в точности те центральные плоскости с параллельными Клиффорду геодезическими большими окружностями. Большие окружности, параллельные Клиффорду, не пересекаются, поэтому изоклинические многоугольники большого круга имеют непересекающиеся вершины. В 24-ячейке каждая гексагональная центральная плоскость изоклинна трем другим, а каждая квадратная центральная плоскость изоклинна пяти другим. Мы можем выделить 4 взаимно изоклинических (параллельных Клиффорду) больших шестиугольников (четыре разных пути), покрывающих все 24 вершины 24-ячейки только один раз. Мы можем выделить 6 взаимно изоклинических (параллельных Клиффорду) больших квадратов (тремя разными способами), покрывающих все 24 вершины 24-ячейки только один раз.

Многогранники, параллельные Клиффорду

Двумерные многоугольники большого круга - не единственные многогранники в 24-ячейке, параллельные в смысле Клиффорда. Конгруэнтные многогранники двух, трех или четырех измерений можно назвать параллельными Клиффорду в четырех измерениях, если их соответствующие вершины находятся на одинаковом расстоянии друг от друга во всех четырех направлениях координат. Три 16-ячеек, вписанные в 24-ячейку, являются параллелями Клиффорда. Многогранники, параллельные Клиффорду, являются полностью непересекающимися многогранниками. Изоклиническое вращение на 60 градусов в гексагональных плоскостях переводит каждую 16-ячейку в непересекающуюся 16-ячейку. Как и все двойные вращения , изоклинические вращения бывают двух хиральных форм: есть непересекающиеся 16 клеток слева от каждой 16 клеток, а другая - справа .

Все параллельные 4-многогранники Клиффорда связаны изоклиническим вращением, но не все изоклинические многогранники являются параллелями Клиффорда (полностью не пересекаются). Три 8-ячейки в 24-ячейке изоклинически, но не параллельны Клиффорду. Как и 16 ячеек, они изоклинически повернуты на 60 градусов относительно друг друга, но не все их вершины не пересекаются (и, следовательно, не все равноудалены). Каждая вершина находится в двух из трех 8-ячеек (поскольку каждая 16-ячеечная ячейка встречается в двух из трех 8-ячеек).

Изоклинические вращения связывают выпуклые правильные 4-многогранники друг с другом. Изоклиническое вращение одной 16-ячеечной ячейки будет генерировать 24-ячейку. Простое вращение одной 16-ячеечной ячейки не будет, потому что ее вершины не достигнут вершин ни одной из двух других 16-ячеек в ходе вращения. Изоклиническое вращение 24-ячеек приведет к созданию 600-ячеек, а изоклиническое вращение 600-ячеек приведет к созданию 120-ячеек. (Или все они могут быть сгенерированы непосредственно изоклиническими поворотами 16-ячейки, генерируя изоклинические копии самого себя.) Выпуклые регулярные 4-многогранники вкладываются друг в друга и прячутся друг за другом в параллельных пространствах Клиффорда, составляющих 3 -сфера. Для объекта более чем одного измерения единственный способ получить прямой доступ к этим параллельным подпространствам - это изоклиническое вращение.

Прогнозы

Параллельные проекции

Проекционные конверты из 24 ячеек. (Каждая ячейка нарисована с разноцветными гранями, перевернутые ячейки не нарисованы)

Вершина первой параллельная проекция 24-клетки в 3-мерное пространство имеет ромбический додекаэдрический конверт . Двенадцать из 24 октаэдрических ячеек попарно проектируются на шесть квадратных дипирамид, которые встречаются в центре ромбического додекаэдра. Остальные 12 октаэдрических ячеек проецируются на 12 ромбических граней ромбического додекаэдра.

Клеток-первый параллельная проекция 24-клетки в 3-мерное пространство имеет кубооктаэдрический конверт. Две октаэдрические ячейки, ближайшие и удаленные от наблюдателя по оси w , проецируются на октаэдр, вершины которого лежат в центре квадратных граней кубооктаэдра. Этот центральный октаэдр окружают выступы 16 других ячеек, имеющих 8 пар, каждая из которых выступает в один из 8 объемов, лежащих между треугольной гранью центрального октаэдра и ближайшей треугольной гранью кубооктаэдра. Остальные 6 ячеек выступают на квадратные грани кубооктаэдра. Это соответствует разложению кубооктаэдра на правильный октаэдр и 8 неправильных, но равных октаэдров, каждый из которых имеет форму выпуклой оболочки куба с удаленными двумя противоположными вершинами.

Края первых параллельная проекция имеет удлиненную гексагональную dipyramidal конверта, и лицо первого параллельную проекция имеет неоднородную гексагональную би- antiprismic огибающий.

Перспективные прогнозы

Вершина первой перспективная проекция из 24-клетки в 3-мерное пространство имеет тетракис шестигранный конверт. Расположение ячеек на этом изображении аналогично изображению при параллельной проекции.

Следующая последовательность изображений показывает структуру перспективной проекции 24-элементной ячейки в трех измерениях. Точка обзора 4D размещается на расстоянии, в пять раз превышающем радиус центра вершины 24-ячейки.

Перспективная проекция ячейки
На этом изображении ближайшая ячейка отображается красным цветом, а остальные ячейки обведены краями. Для ясности отбракованы клетки, направленные в противоположную сторону от точки обзора 4D.	На этом изображении четыре из 8 ячеек, окружающих ближайшую ячейку, показаны зеленым. Четвертая ячейка находится за центральной ячейкой с этой точки зрения (слегка различима, поскольку красная ячейка полупрозрачна).	Наконец, отображаются все 8 ячеек, окружающих ближайшую ячейку, а последние четыре отображаются пурпурным цветом.
Обратите внимание, что эти изображения не включают ячейки, которые обращены в сторону от точки обзора 4D. Следовательно, здесь показаны только 9 ячеек. На дальней стороне 24-элементной ячейки находятся еще 9 ячеек в идентичном расположении. Остальные 6 ячеек лежат на «экваторе» 24-ячеек и соединяют два набора ячеек.

Анимированный разрез 24-элементной

Стереоскопический 3D проекция icositetrachoron (24 клетки).

Воспроизвести медиа Изометрическая ортогональная проекция: 8 ячеек (Тессеракт) + 16 ячеек = 24 ячейки

Ортогональные проекции

орфографические проекции

Самолет Кокстера	П 4
График
Двугранная симметрия	[12]
Самолет Кокстера	B 3 / A 2 (а)	B 3 / A 2 (б)
График
Двугранная симметрия	[6]	[6]
Самолет Кокстера	В 4	B 2 / A 3
График
Двугранная симметрия	[8]	[4]

Визуализация

24 ячейки ограничены 24 октаэдрическими ячейками . Для визуализации удобно, что октаэдр имеет противоположные параллельные грани (черта, которую он разделяет с ячейками тессеракта и 120-ячейкой ). Октаэдры можно сложить лицом к лицу по прямой, изогнутой в 4-м направлении, в большой круг с окружностью в 6 ячеек. Расположение ячеек поддается гиперсферическому описанию. Выберите произвольную ячейку и назовите ее « Северный полюс ». Восемь меридианов большого круга (длиной в две ячейки) расходятся в трех измерениях, сходясь в третьей ячейке « Южного полюса ». На этот скелет приходится 18 из 24 ячеек (2 +  8 × 2 ). См. Таблицу ниже.

В 24-ячейке есть еще один связанный большой круг , двойственный к предыдущему. Путь, который пересекает 6 вершин только по ребрам, находится в двойственном многограннике, который является самодвойственным многограннику. Это шестиугольные геодезические, описанные выше . Этим путем легко проследить изображение поперечного сечения экваториального кубооктаэдра .

Начиная с Северного полюса, мы можем построить 24-ячейку в 5-ти широтных слоях. За исключением полюсов, каждый слой представляет собой отдельную 2-сферу, а экватор - большую 2-сферу. Ячейки, помеченные экваториальными в следующей таблице, являются промежуточными по отношению к ячейкам большого круга меридиана. Промежуточные «экваториальные» ячейки касаются гранями ячеек меридиана. Они касаются друг друга и полюсных ячеек в их вершинах. Это последнее подмножество из восьми немеридиональных и полюсных ячеек имеет такое же относительное положение друг относительно друга, что и ячейки в тессеракте (8-ячейке), хотя они соприкасаются своими вершинами, а не гранями.

Перспективная проекция ребро-центр, показывающая одно из четырех колец из 6 октаэдров вокруг экватора.

24-ячейка может быть разделена на непересекающиеся ячейки из четырех из этих 6-элементных колец большого круга, образуя дискретное расслоение Хопфа из четырех взаимосвязанных колец. Одно кольцо является «вертикальным» и включает в себя полюсные ячейки и четыре меридиональных ячейки. Каждое из трех других колец охватывает две экваториальные ячейки и четыре меридиональных ячейки, две из северного полушария и два из южного.

Обратите внимание, что этот путь большого круга шестиугольника подразумевает, что внутренний / двугранный угол между соседними ячейками составляет 180 - 360/6 = 120 градусов. Это говорит о том, что вы можете расположить ровно три ячейки по 24 ячейки в одной плоскости и сформировать четырехмерную соту из 24 ячеек, как описано ранее.

Можно также пройти по маршруту большого круга через противоположные вершины октаэдров, длина которого составляет четыре клетки. Это квадратные геодезические вдоль четырех √ 2 хорд, описанных выше . Этот путь соответствует переходу по диагонали через квадраты в поперечном сечении кубооктаэдра. 24-элементный многогранник - единственный правильный многогранник более чем в двух измерениях, где вы можете пересечь большой круг только через противоположные вершины (и внутреннюю часть) каждой ячейки. Этот большой круг самодвойственен. Этот путь был затронут выше относительно набора из 8 немеридиональных (экваториальных) и полюсных ячеек. 24 ячейки могут быть равнораспределены на три подмножества по 8 ячеек, каждое из которых имеет структуру тессеракта. Каждый из этих подмножеств может быть далее равнораспределен на две взаимосвязанные цепочки больших кругов длиной четыре ячейки. Вместе эти три подмножества теперь образуют другое, шестикольцевое дискретное расслоение Хопфа.

Три конструкции группы Кокстера

Существуют две формы более низкой симметрии 24-элементной ячейки, производные от выпрямленной 16-элементной , с симметрией B ₄ или [3,3,4], нарисованной двухцветной с 8 и 16 октаэдрическими ячейками. Наконец, он может быть построен на основе симметрии D ₄ или [3 ^1,1,1 ] и нарисован трехцветным с 8 октаэдрами в каждом.

Три сетки по 24-клеток с клетками окрашенных D 4 , B 4 и F 4 симметрии
Исправленный димитессеракт	Выпрямленный 16-элементный	Обычный 24-элементный
D 4 , [3 1,1,1 ], заказ 192	В 4 , [3,3,4], заказ 384	F 4 , [3,4,3], заказ 1152
Три набора из 8 выпрямленных тетраэдрических ячеек	Один набор из 16 выпрямленных тетраэдрических ячеек и один набор из 8 октаэдрических ячеек.	Один набор из 24 октаэдрических ячеек
Фигура вершины (каждое ребро соответствует одной треугольной грани, раскрашенной в соответствии с расположением симметрии)

Связанные сложные полигоны

Регулярный комплекс многоугольника ₄ {3} ₄ , или содержит 24 вершины 24-ячейки и 24 4-ребра, которые соответствуют центральным квадратам 24 из 48 октаэдрических ячеек. Его симметрия ₄ [3] ₄ , порядок 96.

Правильный комплексный многогранник ₃ {4} ₃ , или , in имеет реальное представление как 24-ячейка в 4-мерном пространстве. ₃ {4} ₃ имеет 24 вершины и 24 3-ребра. Его симметрия ₃ [4] ₃ , порядок 72. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

Связанные фигуры в ортогональных проекциях

Имя	{3,4,3},	4 {3} 4 ,	3 {4} 3 ,
Симметрия	[3,4,3], , заказ 1152	4 [3] 4 ,, заказ 96	3 [4] 3 ,, заказ 72
Вершины	24	24	24
Края	96 2-кром.	24 4-гранный	24 3-кромки
Изображение	24 ячейки в плоскости Кокстера F4, с 24 вершинами в двух кольцах по 12 и 96 ребрами.	4 {3} 4 , имеет 24 вершины и 32 4-ребра, показанные здесь с 8 красными, зелеными, синими и желтыми квадратными 4-ребрами.	3 {4} 3 или имеет 24 вершины и 24 3-ребра, показанные здесь с 8 красными, 8 зелеными и 8 синими квадратными 3-ребрами с синими заливками.

Связанные 4-многогранники

Несколько однородных 4-многогранников могут быть получены из 24-ячеек путем усечения :

• усечение на 1/3 длины края дает усеченные 24 ячейки ;
• усечение на 1/2 длины кромки дает выпрямленный 24-элементный ;
• и усечение на половину глубины к двойным 24 ячейкам дает усеченные по битам 24 ячейки , которые являются транзитивными ячейками .

96 ребер 24-ячеек можно разделить на золотое сечение, чтобы получить 96 вершин курносой 24-ячеек . Это делается путем размещения векторов по краям 24-ячеек таким образом, чтобы каждая двумерная грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разбивая каждое ребро на золотое сечение в направлении его вектора. Аналогичная модификация октаэдра дает икосаэдр или « курносый октаэдр ».

24-ячейка - это уникальный выпуклый самодвойственный правильный евклидов многогранник, который не является ни многоугольником, ни симплексом . Ослабление условия выпуклости допускает еще две фигуры: большую 120-элементную и большую звездчатую 120-элементную . Сам с собой он может образовывать многогранник : соединение двух 24-ячеек .

Связанные однородные многогранники

D 4 однородная полихора
{3,3 1,1 } ч {4,3,3}	2r {3,3 1,1 } ч 3 {4,3,3}	т {3,3 1,1 } ч 2 {4,3,3}	2т {3,3 1,1 } ч 2,3 {4,3,3}	г {3,3 1,1 } {3 1,1,1 } = {3,4,3}	rr {3,3 1,1 } r {3 1,1,1 } = r {3,4,3}	tr {3,3 1,1 } t {3 1,1,1 } = t {3,4,3}	sr {3,3 1,1 } s {3 1,1,1 } = s {3,4,3}

24-элементные семейные многогранники
Имя	24-элементный	усеченный 24-элементный	курносый 24-элементный	выпрямленный 24-элементный	наклонный 24-элементный	усеченный по битам 24-элементный	усеченный 24-элементный	беглый 24-элементный	усеченный 24-элементный	омниусеченный 24-элементный
Символ Шлефли	{3,4,3}	т 0,1 {3,4,3} т {3,4,3}	с {3,4,3}	т 1 {3,4,3} r {3,4,3}	т 0,2 {3,4,3} рр {3,4,3}	т 1,2 {3,4,3} 2 т {3,4,3}	t 0,1,2 {3,4,3} tr {3,4,3}	т 0,3 {3,4,3}	т 0,1,3 {3,4,3}	т 0,1,2,3 {3,4,3}
Диаграмма Кокстера
Диаграмма Шлегеля
П 4
В 4
В 3 (а)
В 3 (б)
В 2

24-элементный также может быть получен как выпрямленный 16-элементный:

Многогранники симметрии B4
Имя	тессеракт	исправленный тессеракт	усеченный тессеракт	скошенный тессеракт	беглый тессеракт	усеченный битовый тессеракт	усеченный тессеракт	runcitурезанный тессеракт	полностью усеченный тессеракт
Диаграмма Кокстера		знак равно				знак равно
Символ Шлефли	{4,3,3}	т 1 {4,3,3} r {4,3,3}	т 0,1 {4,3,3} т {4,3,3}	т 0,2 {4,3,3} рр {4,3,3}	т 0,3 {4,3,3}	т 1,2 {4,3,3} 2 т {4,3,3}	t 0,1,2 {4,3,3} tr {4,3,3}	т 0,1,3 { 4,3,3 }	т 0,1,2,3 { 4,3,3 }
Диаграмма Шлегеля
В 4
Имя	16 ячеек	выпрямленный 16-элементный	усеченный 16-элементный	скошенный 16-элементный	беглый 16-ти клеточный	усеченный битами 16 ячеек	усеченный 16-элементный	усеченный 16-элементный	усеченная 16-ячеечная
Диаграмма Кокстера	знак равно	знак равно	знак равно	знак равно		знак равно	знак равно
Символ Шлефли	{3,3,4}	т 1 {3,3,4} r {3,3,4}	т 0,1 {3,3,4} т {3,3,4}	т 0,2 {3,3,4} рр {3,3,4}	т 0,3 {3,3,4}	т 1,2 {3,3,4} 2 т {3,3,4}	t 0,1,2 {3,3,4} tr {3,3,4}	т 0,1,3 {3,3,4}	т 0,1,2,3 {3,3,4}
Диаграмма Шлегеля
В 4

{3, п , 3} многогранники
Космос	S 3		H 3
Форма	Конечный		Компактный	Паракомпакт	Некомпактный
{3, п , 3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3, ∞, 3}
Изображение
Клетки	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3, ∞}
Фигура вершины	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}

Смотрите также

• Octacube (скульптура)
• Равномерный 4-многогранник # Семейство F4

Примечания

Цитаты

использованная литература

внешние ссылки

• 24-ячеечная анимация
• 24 ячейки в стереографических проекциях
• Описание и схемы из 24 ячеек
• Додекагоны Петри в 24 ячейках: математика и анимационное программное обеспечение