Правильный додекаэдр - Regular dodecahedron
Правильный додекаэдр | |
---|---|
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель) |
|
Тип | Платоново твердое тело |
короткий код | 5d |
Элементы |
F = 12, E = 30 V = 20 (χ = 2) |
Лица по сторонам | 12 {5} |
Обозначение Конвея | D |
Символы Шлефли | {5,3} |
Конфигурация лица | V3.3.3.3.3 |
Символ Wythoff | 3 | 2 5 |
Диаграмма Кокстера | |
Симметрия | I h , H 3 , [5,3], (* 532) |
Группа вращения | Я , [5,3] + , (532) |
использованная литература | U 23 , C 26 , W 5 |
Характеристики | правильный , выпуклый |
Двугранный угол | 116,56505 ° = arccos (- 1 ⁄ √ 5 ) |
5.5.5 ( фигура вершины ) |
Правильный икосаэдр ( двойственный многогранник ) |
Сеть |
Додекаэдр или пятиугольный Додекаэдр является додекаэдром , что является регулярным , который состоит из 12 регулярных пятиугольных граней, три встречи в каждой вершине . Это одно из пяти Платоновых тел . У него 12 граней, 20 вершин, 30 ребер и 160 диагоналей (60 диагоналей граней , 100 диагоналей пространства ). Он представлен символом Шлефли {5,3}.
Габаритные размеры
Если длина ребра правильного додекаэдра является « », то радиусом из описанной сферы (одна , которая касается додекаэдра на все вершины) является
а радиус вписанной сферы ( касательной к каждой из граней правильного додекаэдра) равен
в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен
Эти количества также могут быть выражены как
где ϕ - золотое сечение .
Заметим, что для правильного додекаэдра с длиной ребра, равным единице, r u - это радиус описывающей сферы вокруг куба с длиной ребра ϕ , а r i - апофема правильного пятиугольника с длиной ребра ϕ .
Площадь и объем поверхности
Площадь поверхности A и объем V правильного додекаэдра с длиной ребра a равны:
Кроме того, площадь поверхности и объем правильного додекаэдра связаны с золотым сечением . Додекаэдр с длиной ребра в одну единицу обладает свойствами:
Двумерные проекции симметрии
Додекаэдра имеет две специальных ортогональные проекции , по центру, на вершинах и пятиугольные гранях, соответствуют А 2 и Н 2 плоскостей кокстеровских .
В центре | Вершина | Край | Лицо |
---|---|---|---|
Изображение | |||
Проективная симметрия |
[[3]] = [6] | [2] | [[5]] = [10] |
В перспективной проекции , рассматриваемой поверх пятиугольной грани, правильный додекаэдр можно рассматривать как диаграмму Шлегеля с линейными краями , или как стереографическую проекцию как сферический многогранник . Эти проекции также используются для показа четырехмерного 120-ячеечного , правильного 4-мерного многогранника, построенного из 120 додекаэдров, проецируя его вниз до 3-х измерений .
Проекция | Ортогональная проекция | Перспективная проекция | |
---|---|---|---|
Диаграмма Шлегеля | Стереографическая проекция | ||
Правильный додекаэдр | |||
Додекаплекс ( 120-элементный ) |
Сферическая черепица
Правильный додекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики .
Ортографическая проекция | Стереографическая проекция |
---|
Декартовы координаты
Следующие декартовы координаты определяют 20 вершин правильного додекаэдра с центром в начале координат, соответствующим масштабом и ориентацией:
- (± 1, ± 1, ± 1)
- (0, ± ϕ , ±1/ϕ)
- (±1/ϕ, 0, ± ϕ )
- (± ϕ , ±1/ϕ, 0)
где ϕ =1 + √ 5/2- золотое сечение (также пишется τ ) ≈ 1,618. Длина кромки2/ϕ= √ 5 - 1 . Описанной окружности составляет √ 3 .
Уравнения, определяющие грань
Подобно симметрии координат вершин, уравнения двенадцати граней правильного додекаэдра также демонстрируют симметрию своих коэффициентов:
- x ± ϕy = ± ϕ 2
- y ± ϕz = ± ϕ 2
- z ± ϕx = ± ϕ 2
Характеристики
- Двугранный угол регулярного додекаэдра равен 2 арктангенс ( φ ) или приблизительно116,565 ° (где снова ϕ =1 + √ 5/2, золотое сечение ). OEIS : A137218 Обратите внимание, что тангенс двугранного угла точно равен −2.
- Если исходный правильный додекаэдр имеет длину ребра 1, то его дуальный икосаэдр имеет длину ребра ϕ .
- Если пять Платоновых тел имеют одинаковый объем, правильный додекаэдр имеет самые короткие края.
- Имеет 43380 сетей .
- Число раскраски карты граней правильного додекаэдра равно 4.
- Расстояние между вершинами на одной грани, не соединенными ребром, равно ϕ, умноженному на длину ребра.
- Если два ребра имеют общую вершину, то середины этих ребер образуют треугольник 36-72-72 с центром тела.
Геометрические отношения
Додекаэдра является третьим в бесконечном множестве усеченного trapezohedra которая может быть построена путем усечения двух осевых вершин пятиугольного трапецоэдра .
В созвездиях регулярного додекаэдра составляют три из четырех Кеплер-Пуансо многогранников .
Выпрямляются додекаэдр образует икосододекаэдр .
Правильный додекаэдр имеет икосаэдрическую симметрию I h , группу Кокстера [5,3], порядок 120, с абстрактной групповой структурой A 5 × Z 2 .
Отношение к правильному икосаэдру
Когда правильный додекаэдр вписан в сферу , он занимает больше объема сферы (66,49%), чем икосаэдр, вписанный в ту же сферу (60,55%).
Правильный додекаэдр с длиной ребра 1 имеет более чем в три с половиной раза объем икосаэдра с такой же длиной ребер (7,663 ... по сравнению с 2,181 ...), что примерно составляет 3,512 461 179 75 , или в точных терминах:3/5(3 ϕ + 1) или (1,8 ϕ + 0,6) .
У правильного додекаэдра 12 граней и 20 вершин, а у правильного икосаэдра 20 граней и 12 вершин. У обоих по 30 ребер.
Отношение к вложенному кубу
Куб может быть встроен в правильный додекаэдр, прикрепленный к восьми из его равноудаленных вершин в пяти различных положениях. Фактически, пять кубов могут перекрываться и сцепляться внутри правильного додекаэдра, в результате чего получается соединение пяти кубов .
Отношение ребра правильного додекаэдра к ребру куба, вложенного внутрь такого правильного додекаэдра, равно 1: ϕ или ( ϕ - 1): 1.
Отношение объема правильного додекаэдра к объему куба, заключенного внутри такого правильного додекаэдра, равно 1: 2/2 + ϕ, или 1 + ϕ/2 : 1 или (5 + √ 5 ): 4.
Например, вложенный куб с объемом 64 (и длиной ребра 4) будет вложен в правильный додекаэдр объемом 64 + 32 ϕ (и длиной ребра 4 ϕ - 4).
Таким образом, разница в объеме между окружающим правильным додекаэдром и замкнутым кубом всегда равна половине объема куба, умноженного на ϕ .
Из этих соотношений выводятся простые формулы для объема правильного додекаэдра с длиной ребра a через золотую середину:
- V = ( aϕ ) 3 ·1/4(5 + √ 5 )
- V =1/4(14 ϕ + 8) а 3
Отношение к золотому прямоугольнику
Золотые прямоугольники отношения ( ϕ + 1): 1 и ϕ : 1 также идеально вписываются в правильный додекаэдр. Пропорционально этому золотому прямоугольнику край замкнутого куба равен ϕ , когда большая длина прямоугольника равна ϕ + 1 (или ϕ 2 ), а короткая длина равна 1 (ребро, общее с правильным додекаэдром).
Кроме того, в центре каждой грани правильного додекаэдра образуют три пересекающихся золотых прямоугольника.
Связь с 6-кубом и ромбическим триаконтаэдром
Его можно спроецировать в 3D из 6-мерного 6-полукуба, используя те же базисные векторы, которые образуют оболочку ромбического триаконтаэдра из 6-куба . Показанные здесь 12 внутренних вершин, которые не соединены ребрами внешней оболочки с 6D нормальной длиной √ 2 , образуют правильный икосаэдр .
Используемые базисные векторы трехмерной проекции [ u , v , w ]:
- u = (1, ϕ , 0, −1, ϕ , 0)
- v = ( ϕ , 0, 1, ϕ , 0, −1)
- w = (0, 1, ϕ , 0, −1, ϕ )
История и использование
Обычные додекаэдрические объекты нашли практическое применение, а также сыграли роль в изобразительном искусстве и философии.
Ямвлих утверждает, что Гиппас , пифагорейец, погиб в море, потому что он хвастался, что впервые раскрыл «сферу с двенадцатью пятиугольниками». В Теэтете , диалоге Платона, Платон выдвинул гипотезу, что классические элементы состоят из пяти однородных правильных тел; позже они стали известны как платоновы тела . По поводу пятого платоновского тела, додекаэдра, Платон невнятно заметил: «… бог использовал [его] для расстановки созвездий на всем небе». Тимей ( ок. 360 г. до н.э. ), как персонаж диалога Платона, связывает другие четыре платоновых тела с четырьмя классическими элементами , добавляя, что существует пятый твердый узор, который, хотя и обычно ассоциируется с правильным додекаэдром, никогда прямо не упоминается как такой; «это Бог использовал для описания вселенной». Аристотель также постулировал, что небеса состоят из пятого элемента, который он назвал aithêr ( эфир на латыни, эфир на американском английском).
Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, был ответственным за первое известное доказательство того, что никаких других выпуклых правильных многогранников не существует. Евклид полностью математически описал Платоновы тела в Элементах , последняя книга (Книга XIII) которых посвящена их свойствам. В предложениях 13–17 Книги XIII описывается построение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в таком порядке. Для каждого твердого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине края. В предложении 18 он утверждает, что выпуклых правильных многогранников больше не существует.
Обычные додекаэдры использовались как игральные кости и, вероятно, также как гадательные приспособления. В эллинистическую эпоху были изготовлены небольшие полые бронзовые римские додекаэдры , которые были найдены в различных римских руинах в Европе. Их цель не ясна.
В искусстве ХХ века додекаэдры появляются в работах М.К. Эшера , таких как его литографии « Рептилии» (1943) и « Гравитация» (1952). На картине Сальвадора Дали « Таинство Тайной вечери» (1955) комната представляет собой полый правильный додекаэдр. Жерар Карис основал все свое художественное творчество на правильном додекаэдре и пятиугольнике, которые представлены как новое направление в искусстве, названное пентагонизмом.
В современных ролевых играх правильный додекаэдр часто используется в качестве двенадцатигранной кости , одной из наиболее распространенных многогранных игральных костей .
Компания Immersive Media , производящая камеры, создала камеру Dodeca 2360, первую в мире камеру с полным движением на 360 °, которая снимает видео высокого разрешения со всех сторон одновременно со скоростью более 100 миллионов пикселей в секунду или 30 кадров в секунду. Он основан на правильном додекаэдре.
Megaminx извилистые головоломки, наряду с его большими и малыми аналогами порядка, в форме додекаэдра.
В детском романе «Призрак Толлбут» правильный додекаэдр появляется как персонаж в стране математики. Каждое его лицо имеет различное выражение - например, счастливое, злое, грустное, - которое он поворачивает вперед по мере необходимости, чтобы соответствовать своему настроению.
В природе
Ископаемая кокколитофора Braarudosphaera bigelowii (см. Рисунок), одноклеточная прибрежная фитопланктонная водоросль , имеет раковину из карбоната кальция с правильной додекаэдрической структурой около 10 микрометров в поперечнике.
Некоторые квазикристаллы имеют додекаэдрическую форму (см. Рисунок). Некоторые регулярные кристаллы , такие как гранат и алмазы также сказали выставляться «двенадцатигранной» привычка , но это утверждение на самом деле относится к ромбическому додекаэдру формы.
Форма вселенной
Были предложены различные модели глобальной геометрии Вселенной. В дополнение к примитивной геометрии , эти предложения включают додекаэдрическое пространство Пуанкаре, пространство с положительной кривизной, состоящее из правильного додекаэдра, противоположные грани которого соответствуют друг другу (с небольшим поворотом). Это было предложено Жан-Пьером Люмине и его коллегами в 2003 году, а оптимальная ориентация модели на небе была оценена в 2008 году.
В рассказе Бертрана Рассела 1954 года «Кошмар математика: видение профессора Скверпунта» цифра 5 гласила: «Я - количество пальцев на руке. Я делаю пятиугольники и пентаграммы. И без меня додекаэдра не могло бы существовать. ; и, как всем известно, Вселенная - это додекаэдр. Так что, если бы не я, вселенной не могло быть ".
Заполнение пространства кубиком и билунабиротондами
Регулярные додекаэдры заполняют пространство кубами и двунабиротондами ( твердое тело Джонсона 91) в соотношении 1: 1: 3. Только додекаэдры образуют решетку из пиритоэдров от края до края . Билунабиротонды заполняют ромбические промежутки. Каждый куб встречается с шестью билунабиротондами в трех ориентациях.
Блочная модель |
Решетка додекаэдров |
6 билунабиротондов вокруг куба |
Связанные многогранники и мозаики
Правильный додекаэдр топологически связан с серией мозаик вершиной n 3 .
* n 32 изменение симметрии правильных мозаик: { n , 3} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сферический | Евклидово | Компактная гиперболия. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | |||||||
{2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | {12i, 3} | {9i, 3} | {6i, 3} | {3i, 3} |
Правильный додекаэдр может быть преобразован последовательностью усечения в его двойственный икосаэдр:
Семейство однородных икосаэдрических многогранников | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | т {5,3} | г {5,3} | т {3,5} | {3,5} | рр {5,3} | tr {5,3} | ср {5,3} |
Двойники к однородным многогранникам | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Однородные октаэдрические многогранники | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) |
[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) |
[3 + , 4] (3 * 2) |
|||||||
{4,3} | т {4,3} |
г {4,3} г {3 1,1 } |
т {3,4} т {3 1,1 } |
{3,4} {3 1,1 } |
rr {4,3} s 2 {3,4} |
tr {4,3} | sr {4,3} |
ч {4,3} {3,3} |
ч 2 {4,3} т {3,3} |
с {3,4} с {3 1,1 } |
знак равно |
знак равно |
знак равно |
знак равно или |
знак равно или |
знак равно |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Двойники к однородным многогранникам | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | В (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Правильный додекаэдр является членом последовательности неоднородных многогранников и мозаик, составленных из пятиугольников с конфигурациями граней (V3.3.3.3. N ). (При n > 6 последовательность состоит из мозаик гиперболической плоскости.) Эти транзитивные по граням фигуры обладают ( n 32) симметрией вращения .
n 32 мутации симметрии курносых мозаик: 3.3.3.3.n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия n 32 |
Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | ||||
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Курносые фигуры |
||||||||
Конфиг. | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
Гироскопические фигуры |
||||||||
Конфиг. | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Расположение вершин
Правильный додекаэдр имеет общее расположение вершин с четырьмя невыпуклыми однородными многогранниками и тремя однородными составными многогранниками .
Внутри помещаются пять кубов , края которых являются диагоналями граней правильного додекаэдра, и вместе они составляют правильную многогранную смесь из пяти кубов. Поскольку два тетраэдра могут поместиться на чередующихся вершинах куба, пять и десять тетраэдров также могут поместиться в правильный додекаэдр.
Звёздчатые
Три звёздчатых элемента правильного додекаэдра являются правильными ( невыпуклыми ) многогранниками: (многогранники Кеплера – Пуансо )
0 | 1 | 2 | 3 | |
---|---|---|---|---|
Звездчатость |
Правильный додекаэдр |
Малый звездчатый додекаэдр |
Большой додекаэдр |
Большой звездчатый додекаэдр |
Диаграмма фасетов |
Додекаэдрический граф
График регулярного додекаэдра | |
---|---|
Вершины | 20 |
Края | 30 |
Радиус | 5 |
Диаметр | 5 |
Обхват | 5 |
Автоморфизмы | 120 ( A 5 × Z 2 ) |
Хроматическое число | 3 |
Характеристики | Гамильтониан , регулярный , симметричный , дистанционно-регулярный , дистанционно-транзитивный , 3-вершинно-связанный , плоский граф |
Таблица графиков и параметров |
Скелет додекаэдра (вершины и ребра) образуют граф . Это один из пяти платоновых графов , каждый из которых является скелетом своего платоновского тела .
Этот граф также может быть построен как обобщенный граф Петерсена G (10,2). Высокая степень симметрии многоугольника воспроизводится в свойствах этого графа, который является дистанционно-транзитивным , дистанционно-регулярным и симметричным . Группа автоморфизмов имеет порядок 120. Вершины можно раскрасить в 3 цвета, как и ребра, а диаметр равен 5.
Граф додекаэдра является гамильтоновым - есть цикл, содержащий все вершины. Действительно, это название происходит от математической игры, изобретенной в 1857 году Уильямом Роуэном Гамильтоном , икозианской игры . Целью игры было найти гамильтонов цикл по краям додекаэдра.
Смотрите также
- 120-элементный , правильный полихорон (4-мерный многогранник, поверхность которого состоит из 120 додекаэдрических ячеек)
- Braarudosphaera bigelowii - кокколитофора в форме додекаэдра( одноклеточные водоросли фитопланктона ).
- Додекаэдран (молекула)
- Додекаэдр пентакиса
- Курносый додекаэдр
- Усеченный додекаэдр
использованная литература
внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Правильный додекаэдр» . MathWorld .
- Клитцинг, Ричард. "Трехмерные выпуклые равномерные многогранники o3o5x - лань" .
- Редактируемая печатная сетка додекаэдра с интерактивным трехмерным изображением
- Равномерные многогранники
- Оригами Многогранники - Модели, сделанные из Модульного Оригами
- Додекаэдр - трехмерная модель, которая работает в вашем браузере
- Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
- KJM MacLean, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
- Додекаэдр 3D визуализация
- Stella: Polyhedron Navigator : Программное обеспечение, используемое для создания некоторых изображений на этой странице.
- Как сделать додекаэдр из пенополистирольного куба
- Греческий, индийский и китайский элементы - теория семи элементов