Правильный додекаэдр - Regular dodecahedron

Правильный додекаэдр
Додекаэдр.jpg
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип Платоново твердое тело
короткий код 5d
Элементы F = 12, E = 30
V = 20 (χ = 2)
Лица по сторонам 12 {5}
Обозначение Конвея D
Символы Шлефли {5,3}
Конфигурация лица V3.3.3.3.3
Символ Wythoff 3 | 2 5
Диаграмма Кокстера CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Симметрия I h , H 3 , [5,3], (* 532)
Группа вращения Я , [5,3] + , (532)
использованная литература U 23 , C 26 , W 5
Характеристики правильный , выпуклый
Двугранный угол 116,56505 ° = arccos (- 15 )
Додекаэдр vertfig.png
5.5.5
( фигура вершины )
Икосаэдр.png
Правильный икосаэдр
( двойственный многогранник )
Додекаэдр flat.svg
Сеть
Анимация складывания сетки правильного (пятиугольного) додекаэдра
3D модель правильного додекаэдра

Додекаэдр или пятиугольный Додекаэдр является додекаэдром , что является регулярным , который состоит из 12 регулярных пятиугольных граней, три встречи в каждой вершине . Это одно из пяти Платоновых тел . У него 12 граней, 20 вершин, 30 ребер и 160 диагоналей (60 диагоналей граней , 100 диагоналей пространства ). Он представлен символом Шлефли {5,3}.

Габаритные размеры

Если длина ребра правильного додекаэдра является « », то радиусом из описанной сферы (одна , которая касается додекаэдра на все вершины) является

OEISA179296

а радиус вписанной сферы ( касательной к каждой из граней правильного додекаэдра) равен

в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен

Эти количества также могут быть выражены как

где ϕ - золотое сечение .

Заметим, что для правильного додекаэдра с длиной ребра, равным единице, r u - это радиус описывающей сферы вокруг куба с длиной ребра ϕ , а r i - апофема правильного пятиугольника с длиной ребра ϕ .

Площадь и объем поверхности

Площадь поверхности A и объем V правильного додекаэдра с длиной ребра a равны:

Кроме того, площадь поверхности и объем правильного додекаэдра связаны с золотым сечением . Додекаэдр с длиной ребра в одну единицу обладает свойствами:

Двумерные проекции симметрии

Додекаэдра имеет две специальных ортогональные проекции , по центру, на вершинах и пятиугольные гранях, соответствуют А 2 и Н 2 плоскостей кокстеровских .

Ортогональные проекции
В центре Вершина Край Лицо
Изображение Додекаэдр A2 projection.svg Додекаэдр t0 e.png Додекаэдр H3 projection.svg
Проективная
симметрия
[[3]] = [6] [2] [[5]] = [10]

В перспективной проекции , рассматриваемой поверх пятиугольной грани, правильный додекаэдр можно рассматривать как диаграмму Шлегеля с линейными краями , или как стереографическую проекцию как сферический многогранник . Эти проекции также используются для показа четырехмерного 120-ячеечного , правильного 4-мерного многогранника, построенного из 120 додекаэдров, проецируя его вниз до 3-х измерений .

Проекция Ортогональная проекция Перспективная проекция
Диаграмма Шлегеля Стереографическая проекция
Правильный додекаэдр Додекаэдр H3 projection.svg Додекаэдр schlegel.svg Додекаэдр Stereographic projection.png
Додекаплекс
( 120-элементный )
120-элементный t0 H3.svg Каркас Шлегеля 120-cell.png Стереографический многогранник 120cell faces.png

Сферическая черепица

Правильный додекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики .

Равномерная черепица 532-t0.png Додекаэдр стереографическая проекция.svg
Ортографическая проекция Стереографическая проекция

Декартовы координаты

Координаты вершины:
  Оранжевые вершины лежат в точках (± 1, ± 1, ± 1) и образуют куб (пунктирные линии).
  Зеленые вершины лежат в точках (0, ± ϕ , ± 1/ϕ) и образуют прямоугольник на плоскости yz .
  Синие вершины лежат в точках (±1/ϕ, 0, ± ϕ ) и образуют прямоугольник на плоскости xz .
  Розовые вершины лежат в точках (± ϕ , ±1/ϕ, 0) и образуют прямоугольник на плоскости xy .
Расстояние между соседними вершинами равно 2/ϕ, а расстояние от начала координат до любой вершины 3 .
ϕ =1 + 5/2 это золотое сечение.

Следующие декартовы координаты определяют 20 вершин правильного додекаэдра с центром в начале координат, соответствующим масштабом и ориентацией:

(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ± ϕ , ±1/ϕ)
1/ϕ, 0, ± ϕ )
ϕ , ±1/ϕ, 0)

где ϕ =1 + 5/2- золотое сечение (также пишется τ ) ≈ 1,618. Длина кромки2/ϕ= 5 - 1 . Описанной окружности составляет  3 .

Уравнения, определяющие грань

Подобно симметрии координат вершин, уравнения двенадцати граней правильного додекаэдра также демонстрируют симметрию своих коэффициентов:

x ± ϕy = ± ϕ 2
y ± ϕz = ± ϕ 2
z ± ϕx = ± ϕ 2

Характеристики

  • Двугранный угол регулярного додекаэдра равен 2  арктангенс ( φ ) или приблизительно116,565 ° (где снова ϕ =1 + 5/2, золотое сечение ). OEISA137218 Обратите внимание, что тангенс двугранного угла точно равен −2.
  • Если исходный правильный додекаэдр имеет длину ребра 1, то его дуальный икосаэдр имеет длину ребра ϕ .
  • Если пять Платоновых тел имеют одинаковый объем, правильный додекаэдр имеет самые короткие края.
  • Имеет 43380 сетей .
  • Число раскраски карты граней правильного додекаэдра равно 4.
  • Расстояние между вершинами на одной грани, не соединенными ребром, равно ϕ, умноженному на длину ребра.
  • Если два ребра имеют общую вершину, то середины этих ребер образуют треугольник 36-72-72 с центром тела.

Геометрические отношения

Додекаэдра является третьим в бесконечном множестве усеченного trapezohedra которая может быть построена путем усечения двух осевых вершин пятиугольного трапецоэдра .

В созвездиях регулярного додекаэдра составляют три из четырех Кеплер-Пуансо многогранников .

Выпрямляются додекаэдр образует икосододекаэдр .

Правильный додекаэдр имеет икосаэдрическую симметрию I h , группу Кокстера [5,3], порядок 120, с абстрактной групповой структурой A 5 × Z 2 .

Отношение к правильному икосаэдру

Когда правильный додекаэдр вписан в сферу , он занимает больше объема сферы (66,49%), чем икосаэдр, вписанный в ту же сферу (60,55%).

Правильный додекаэдр с длиной ребра 1 имеет более чем в три с половиной раза объем икосаэдра с такой же длиной ребер (7,663 ... по сравнению с 2,181 ...), что примерно составляет 3,512 461 179 75 , или в точных терминах:3/5(3 ϕ + 1) или (1,8 ϕ + 0,6) .

У правильного додекаэдра 12 граней и 20 вершин, а у правильного икосаэдра 20 граней и 12 вершин. У обоих по 30 ребер.

Отношение к вложенному кубу

Куб может быть встроен в правильный додекаэдр, прикрепленный к восьми из его равноудаленных вершин в пяти различных положениях. Фактически, пять кубов могут перекрываться и сцепляться внутри правильного додекаэдра, в результате чего получается соединение пяти кубов .

Отношение ребра правильного додекаэдра к ребру куба, вложенного внутрь такого правильного додекаэдра, равно 1:  ϕ или ( ϕ  - 1): 1.

Отношение объема правильного додекаэдра к объему куба, заключенного внутри такого правильного додекаэдра, равно 1: 2/2 +  ϕ, или 1 +  ϕ/2 : 1 или (5 +  5 ): 4.

Например, вложенный куб с объемом 64 (и длиной ребра 4) будет вложен в правильный додекаэдр объемом 64 + 32 ϕ (и длиной ребра 4 ϕ  - 4).

Таким образом, разница в объеме между окружающим правильным додекаэдром и замкнутым кубом всегда равна половине объема куба, умноженного на  ϕ .

Из этих соотношений выводятся простые формулы для объема правильного додекаэдра с длиной ребра a через золотую середину:

V = ( ) 3 ·1/4(5 +  5 )
V =1/4(14 ϕ  + 8) а 3

Отношение к золотому прямоугольнику

Золотые прямоугольники отношения ( ϕ  + 1): 1 и ϕ  : 1 также идеально вписываются в правильный додекаэдр. Пропорционально этому золотому прямоугольнику край замкнутого куба равен ϕ , когда большая длина прямоугольника равна ϕ  + 1 (или ϕ 2 ), а короткая длина равна 1 (ребро, общее с правильным додекаэдром).

Кроме того, в центре каждой грани правильного додекаэдра образуют три пересекающихся золотых прямоугольника.

Связь с 6-кубом и ромбическим триаконтаэдром

Проекция 6-полукуба на правильную додекаэдрическую огибающую

Его можно спроецировать в 3D из 6-мерного 6-полукуба, используя те же базисные векторы, которые образуют оболочку ромбического триаконтаэдра из 6-куба . Показанные здесь 12 внутренних вершин, которые не соединены ребрами внешней оболочки с 6D нормальной длиной 2 , образуют правильный икосаэдр .

Используемые базисные векторы трехмерной проекции [ u , v , w ]:

u = (1, ϕ , 0, −1, ϕ , 0)
v = ( ϕ , 0, 1, ϕ , 0, −1)
w = (0, 1, ϕ , 0, −1, ϕ )

История и использование

Всенаправленный источник звука

Обычные додекаэдрические объекты нашли практическое применение, а также сыграли роль в изобразительном искусстве и философии.

Ямвлих утверждает, что Гиппас , пифагорейец, погиб в море, потому что он хвастался, что впервые раскрыл «сферу с двенадцатью пятиугольниками». В Теэтете , диалоге Платона, Платон выдвинул гипотезу, что классические элементы состоят из пяти однородных правильных тел; позже они стали известны как платоновы тела . По поводу пятого платоновского тела, додекаэдра, Платон невнятно заметил: «… бог использовал [его] для расстановки созвездий на всем небе». Тимей ( ок.  360 г. до н.э. ), как персонаж диалога Платона, связывает другие четыре платоновых тела с четырьмя классическими элементами , добавляя, что существует пятый твердый узор, который, хотя и обычно ассоциируется с правильным додекаэдром, никогда прямо не упоминается как такой; «это Бог использовал для описания вселенной». Аристотель также постулировал, что небеса состоят из пятого элемента, который он назвал aithêr ( эфир на латыни, эфир на американском английском).

Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, был ответственным за первое известное доказательство того, что никаких других выпуклых правильных многогранников не существует. Евклид полностью математически описал Платоновы тела в Элементах , последняя книга (Книга XIII) которых посвящена их свойствам. В предложениях 13–17 Книги XIII описывается построение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в таком порядке. Для каждого твердого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине края. В предложении 18 он утверждает, что выпуклых правильных многогранников больше не существует.

Обычные додекаэдры использовались как игральные кости и, вероятно, также как гадательные приспособления. В эллинистическую эпоху были изготовлены небольшие полые бронзовые римские додекаэдры , которые были найдены в различных римских руинах в Европе. Их цель не ясна.

В искусстве ХХ века додекаэдры появляются в работах М.К. Эшера , таких как его литографии « Рептилии» (1943) и « Гравитация» (1952). На картине Сальвадора Дали « Таинство Тайной вечери» (1955) комната представляет собой полый правильный додекаэдр. Жерар Карис основал все свое художественное творчество на правильном додекаэдре и пятиугольнике, которые представлены как новое направление в искусстве, названное пентагонизмом.

Стена для скалолазания, состоящая из трех додекаэдрических частей.

В современных ролевых играх правильный додекаэдр часто используется в качестве двенадцатигранной кости , одной из наиболее распространенных многогранных игральных костей .

Компания Immersive Media , производящая камеры, создала камеру Dodeca 2360, первую в мире камеру с полным движением на 360 °, которая снимает видео высокого разрешения со всех сторон одновременно со скоростью более 100 миллионов пикселей в секунду или 30 кадров в секунду. Он основан на правильном додекаэдре.

Megaminx извилистые головоломки, наряду с его большими и малыми аналогами порядка, в форме додекаэдра.

В детском романе «Призрак Толлбут» правильный додекаэдр появляется как персонаж в стране математики. Каждое его лицо имеет различное выражение - например, счастливое, злое, грустное, - которое он поворачивает вперед по мере необходимости, чтобы соответствовать своему настроению.

В природе

Ископаемая кокколитофора Braarudosphaera bigelowii (см. Рисунок), одноклеточная прибрежная фитопланктонная водоросль , имеет раковину из карбоната кальция с правильной додекаэдрической структурой около 10 микрометров в поперечнике.

Некоторые квазикристаллы имеют додекаэдрическую форму (см. Рисунок). Некоторые регулярные кристаллы , такие как гранат и алмазы также сказали выставляться «двенадцатигранной» привычка , но это утверждение на самом деле относится к ромбическому додекаэдру формы.

Форма вселенной

Были предложены различные модели глобальной геометрии Вселенной. В дополнение к примитивной геометрии , эти предложения включают додекаэдрическое пространство Пуанкаре, пространство с положительной кривизной, состоящее из правильного додекаэдра, противоположные грани которого соответствуют друг другу (с небольшим поворотом). Это было предложено Жан-Пьером Люмине и его коллегами в 2003 году, а оптимальная ориентация модели на небе была оценена в 2008 году.

В рассказе Бертрана Рассела 1954 года «Кошмар математика: видение профессора Скверпунта» цифра 5 гласила: «Я - количество пальцев на руке. Я делаю пятиугольники и пентаграммы. И без меня додекаэдра не могло бы существовать. ; и, как всем известно, Вселенная - это додекаэдр. Так что, если бы не я, вселенной не могло быть ".

Заполнение пространства кубиком и билунабиротондами

Регулярные додекаэдры заполняют пространство кубами и двунабиротондами ( твердое тело Джонсона 91) в соотношении 1: 1: 3. Только додекаэдры образуют решетку из пиритоэдров от края до края . Билунабиротонды заполняют ромбические промежутки. Каждый куб встречается с шестью билунабиротондами в трех ориентациях.

J91.jpg
Блочная модель
Соты из правильных додекаэдров-кубов-J91.png Решетка Додекаэдра.png
Решетка додекаэдров
Bilunabirotunda augmented cube.png
6 билунабиротондов вокруг куба

Связанные многогранники и мозаики

Правильный додекаэдр топологически связан с серией мозаик вершиной n 3 .

* n 32 изменение симметрии правильных мозаик: { n , 3}
Сферический Евклидово Компактная гиперболия. Paraco. Некомпактный гиперболический
Сферический треугольник hosohedron.png Равномерная черепица 332-t0.png Равномерная черепица 432-t0.png Равномерная черепица 532-t0.png Однородный многогранник-63-t0.png Семигранный tiling.svg H2-8-3-dual.svg H2-I-3-dual.svg H2 плитка 23j12-1.png H2 мозаика 23j9-1.png H2 мозаика 23j6-1.png H2 мозаика 23j3-1.png
{2,3} {3,3} {4,3} {5,3} {6,3} {7,3} {8,3} {∞, 3} {12i, 3} {9i, 3} {6i, 3} {3i, 3}

Правильный додекаэдр может быть преобразован последовательностью усечения в его двойственный икосаэдр:

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия : [5,3] , (* 532) [5,3] + , (532)
Равномерный многогранник-53-t0.svg Однородный многогранник-53-t01.svg Равномерный многогранник-53-t1.svg Однородный многогранник-53-t12.svg Равномерный многогранник-53-t2.svg Однородный многогранник-53-t02.png Однородный многогранник-53-t012.png Однородный многогранник-53-s012.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel узел h.pngCDel 5.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png
{5,3} т {5,3} г {5,3} т {3,5} {3,5} рр {5,3} tr {5,3} ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам
Икосаэдр.jpg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.jpg Pentakisdodecahedron.jpg Додекаэдр.jpg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Пентагональный гексеконтаэдрccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5
Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432) [4,3] +
(432)
[1 + , 4,3] = [3,3]
(* 332)
[3 + , 4]
(3 * 2)
{4,3} т {4,3} г {4,3}
г {3 1,1 }
т {3,4}
т {3 1,1 }
{3,4}
{3 1,1 }
rr {4,3}
s 2 {3,4}
tr {4,3} sr {4,3} ч {4,3}
{3,3}
ч 2 {4,3}
т {3,3}
с {3,4}
с {3 1,1 }
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel узел h.pngCDel 4.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png CDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel узел h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
знак равно Узлы CDel 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel узел h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
знак равно Узлы CDel 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel узел h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
знак равно CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png CDel узел h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png знак равно
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png или Узлы CDel 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel узел h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png знак равно
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png или Узлы CDel 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel узел h0.png знак равно
CDel узел h.pngCDel split1.pngУзлы CDel hh.png
Равномерный многогранник-43-t0.svg Равномерный многогранник-43-t01.svg Равномерный многогранник-43-t1.svg
Однородный многогранник-33-t02.png
Равномерный многогранник-43-t12.svg
Однородный многогранник-33-t012.png
Равномерный многогранник-43-t2.svg
Однородный многогранник-33-t1.png
Однородный многогранник-43-t02.png
Равномерная окраска ребер ромбокубооктаэдра.png
Однородный многогранник-43-t012.png Однородный многогранник-43-s012.png Равномерный многогранник-33-t0.pngОднородный многогранник-33-t2.png Равномерный многогранник-33-t01.pngРавномерное многогранник-33-t12.png Равномерный многогранник-43-h01.svg
Однородный многогранник-33-s012.svg
Двойники к однородным многогранникам
V4 3 V3.8 2 В (3,4) 2 V4.6 2 V3 4 V3.4 3 V4.6.8 V3 4 .4 V3 3 V3.6 2 V3 5
CDel узел f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel узел f1.pngCDel 4.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел f1.pngCDel 4.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел fh.pngCDel 4.pngCDel узел fh.pngCDel 3.pngCDel узел fh.png CDel узел fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel узел fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел fh.pngCDel 3.pngCDel узел fh.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel узел f1.pngCDel 4.pngCDel узел fh.pngCDel 3.pngCDel узел fh.png CDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел fh.pngCDel 3.pngCDel узел fh.pngCDel 3.pngCDel узел fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Ромбододекаэдр.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Dodecahedron.svg

Правильный додекаэдр является членом последовательности неоднородных многогранников и мозаик, составленных из пятиугольников с конфигурациями граней (V3.3.3.3. N ). (При n  > 6 последовательность состоит из мозаик гиперболической плоскости.) Эти транзитивные по граням фигуры обладают ( n 32) симметрией вращения .

n 32 мутации симметрии курносых мозаик: 3.3.3.3.n
Симметрия
n 32
Сферический Евклидово Компактный гиперболический Paracomp.
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
Курносые
фигуры
Сферическая тригональная антипризма.png Сферический курносый тетраэдр.png Spherical snub cube.png Сферический курносый додекаэдр.png Равномерная черепица 63-snub.svg Курносый трехгептагональный кафель.svg H2-8-3-snub.svg Равномерная черепица i32-snub.png
Конфиг. 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7 3.3.3.3.8 3.3.3.3.∞
Гироскопические
фигуры
Равномерная черепица 432-t0.png Равномерная черепица 532-t0.png Сферический пятиугольник icositetrahedron.png Сферический пятиугольный шестиугольник.png Плитка Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg 7-3 цветочек пятиугольной плитки.svg H2-8-3-floret.svg Order-3-infinite floret pentagon tiling.png
Конфиг. V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7 V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞

Расположение вершин

Правильный додекаэдр имеет общее расположение вершин с четырьмя невыпуклыми однородными многогранниками и тремя однородными составными многогранниками .

Внутри помещаются пять кубов , края которых являются диагоналями граней правильного додекаэдра, и вместе они составляют правильную многогранную смесь из пяти кубов. Поскольку два тетраэдра могут поместиться на чередующихся вершинах куба, пять и десять тетраэдров также могут поместиться в правильный додекаэдр.

Большой звездчатый додекаэдр.png
Большой звездчатый додекаэдр
Малый дитригональный икосододекаэдр.png
Малый дитригональный икосододекаэдр
Дитригональный додекадодекаэдр.png
Дитригональный додекадодекаэдр
Большой дитригональный икосододекаэдр.png
Большой дитригональный икосододекаэдр
Соединение пяти кубиков.png
Соединение пяти кубиков
Соединение пяти тетраэдров.png
Соединение пяти тетраэдров
Соединение десяти тетраэдров.png
Соединение десяти тетраэдров

Звёздчатые

Три звёздчатых элемента правильного додекаэдра являются правильными ( невыпуклыми ) многогранниками: (многогранники Кеплера – Пуансо )

0 1 2 3
Звездчатость Додекаэдр.png
Правильный додекаэдр
Малый звездчатый додекаэдр.png
Малый звездчатый додекаэдр
Большой додекаэдр.png
Большой додекаэдр
Большой звездчатый додекаэдр.png
Большой звездчатый додекаэдр
Диаграмма фасетов Нулевое звено додекаэдра Facets.svg Первая звездчатая форма додекаэдра facets.svg Вторая звездчатая форма додекаэдра facets.svg Третья звездчатость додекаэдра facets.svg

Додекаэдрический граф

График регулярного додекаэдра
Гамильтонов path.svg
Гамильтонов цикл в додекаэдра.
Вершины 20
Края 30
Радиус 5
Диаметр 5
Обхват 5
Автоморфизмы 120 ( A 5 × Z 2 )
Хроматическое число 3
Характеристики Гамильтониан , регулярный , симметричный , дистанционно-регулярный , дистанционно-транзитивный , 3-вершинно-связанный , плоский граф
Таблица графиков и параметров

Скелет додекаэдра (вершины и ребра) образуют граф . Это один из пяти платоновых графов , каждый из которых является скелетом своего платоновского тела .

Этот граф также может быть построен как обобщенный граф Петерсена G (10,2). Высокая степень симметрии многоугольника воспроизводится в свойствах этого графа, который является дистанционно-транзитивным , дистанционно-регулярным и симметричным . Группа автоморфизмов имеет порядок 120. Вершины можно раскрасить в 3 цвета, как и ребра, а диаметр равен 5.

Граф додекаэдра является гамильтоновым - есть цикл, содержащий все вершины. Действительно, это название происходит от математической игры, изобретенной в 1857 году Уильямом Роуэном Гамильтоном , икозианской игры . Целью игры было найти гамильтонов цикл по краям додекаэдра.

Ортогональная проекция
Додекаэдр H3 projection.svg

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Семья А п B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-угольник Шестиугольник Пентагон
Равномерный многогранник Тетраэдр ОктаэдрКуб Демикуб ДодекаэдрИкосаэдр
Равномерный полихорон Пентахорон 16 ячеекТессеракт Demitesseract 24-элементный 120 ячеек600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс5-куб. 5-полукруглый
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс6-куб. 6-полукуб 1 222 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс7-куб 7-полукруглый 1 322 313 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс8-куб. 8-полукруглый 1 422 414 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс9-куб 9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс10-куб 10-полукуб
Равномерное n - многогранник n - симплекс n - ортоплексn - куб n - demicube 1 к22 к1к 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранниковПравильный многогранникСписок правильных многогранников и соединений