Правильный многоугольник - Regular polygon

Множество выпуклых правильных n-угольников
Правильные многоугольники
Ребра и вершины	п
Символ Шлефли	{ n }
Диаграмма Кокстера – Дынкина
Группа симметрии	D n , порядок 2n
Двойной многоугольник	Самодвойственный
Площадь (с длиной стороны, с )	${\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}$
Внутренний угол	${\ Displaystyle (п-2) \ раз {\ гидроразрыва {180 ^ {\ circ}} {п}}}$
Сумма внутренних углов	${\ Displaystyle \ влево (п-2 \ вправо) \ раз 180 ^ {\ circ}}$
Диаметр вписанной окружности	${\ displaystyle d _ {\ text {IC}} = s \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}$
Диаметр описанной окружности	${\ displaystyle d _ {\ text {OC}} = s \ csc \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}$
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В евклидовой геометрии , правильный многоугольник является многоугольник , который равноугольным (все углы равны в меру) и равносторонний (все стороны имеют одинаковую длину). Правильные многоугольники могут быть выпуклыми или звездчатыми . В пределе последовательность правильных многоугольников с увеличивающимся числом сторон приближается к кругу , если периметр или площадь фиксированы, или к правильному апейрогону (фактически прямая линия ), если длина ребра фиксирована.

Общие свойства

Правильные выпуклые и звездчатые многоугольники с 3–12 вершинами, помеченные символами Шлефли.

Эти свойства применяются ко всем правильным многоугольникам, будь то выпуклые или звездообразные .

Правильный n- сторонний многоугольник имеет вращательную симметрию порядка n .

Все вершины правильного многоугольника лежат на общей окружности ( описанной окружности ); т. е. они являются конциклическими точками . То есть правильный многоугольник - это циклический многоугольник .

Вместе со свойством сторон равной длины это означает, что каждый правильный многоугольник также имеет вписанную окружность или вписанную окружность, которая касается каждой стороны в средней точке. Таким образом, правильный многоугольник - это касательный многоугольник .

Правильный n- сторонний многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечетные простые множители n являются различными простыми числами Ферма . См. Конструируемый многоугольник .

Симметрия

Группа симметрии из п односторонняя правильный многоугольник является группа диэдра D _п (порядка 2 п ): D ₂ , D ₃ , D ₄ , ... Он состоит из вращений в С _п , вместе с симметрией отражения в п осей которые проходят через центр. Если n четно, то половина этих осей проходит через две противоположные вершины, а другая половина - через середины противоположных сторон. Если n нечетное, то все оси проходят через вершину и середину противоположной стороны.

Правильные выпуклые многоугольники

Все правильные простые многоугольники (простой многоугольник - это тот, который нигде не пересекает себя) являются выпуклыми. Те, у которых одинаковое количество сторон, также похожи .

П односторонний выпуклый правильный многоугольник обозначается его символом Шлефли { п }. При n <3 имеем два вырожденных случая:

Моногон {1}

Вырождаются в обычном пространстве . (Большинство авторитетов не рассматривают моногон как истинный многоугольник, отчасти из-за этого, а также потому, что приведенные ниже формулы не работают, и его структура не является структурой какого-либо абстрактного многоугольника .)

Дигон {2}; "двойной отрезок"

Вырождаются в обычном пространстве . (Из-за этого некоторые авторитеты не считают двуугольник настоящим многоугольником.)

В определенных контекстах все рассматриваемые полигоны будут правильными. В таких условиях приставка обычная принято опускать. Например, все грани однородных многогранников должны быть правильными, а грани будут описаны просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. Д.

Углы

Для правильного выпуклого n -угольника каждый внутренний угол имеет размер:

${\ displaystyle {\ frac {180 (n-2)} {n}}}$ градусы;

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {(п-2) \ pi} {п}}}$радианы; или

${\ displaystyle {\ frac {(n-2)} {2n}}}$полные обороты ,

и каждый внешний угол (то есть дополнительный к внутреннему углу) имеет меру градусов, при этом сумма внешних углов равна 360 градусам, или 2π радианам, или одному полному обороту. ${\ displaystyle {\ tfrac {360} {n}}}$

Когда n приближается к бесконечности, внутренний угол приближается к 180 градусам. Для правильного многоугольника с 10 000 сторон ( мириагон ) внутренний угол составляет 179,964 °. По мере увеличения количества сторон внутренний угол может приближаться к 180 °, а форма многоугольника приближается к форме круга. Однако многоугольник никогда не может стать кругом. Значение внутреннего угла никогда не может стать точно равным 180 °, поскольку окружность фактически превратилась бы в прямую линию. По этой причине круг не является многоугольником с бесконечным числом сторон.

Диагонали

Для n > 2 количество диагоналей равно ; т.е. 0, 2, 5, 9, ..., для треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника, .... Диагонали делят многоугольник на 1, 4, 11, 24, ... части OEIS :  A007678 . ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} п (п-3)}$

Для правильного n -угольника, вписанного в круг единичного радиуса, произведение расстояний от данной вершины до всех других вершин (включая смежные вершины и вершины, соединенные диагональю) равно n .

Очки в плоскости

Для правильного простого n -угольника с радиусом описанной окружности R и расстояниями d _i от произвольной точки плоскости до вершин имеем

${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {4} + 3R ^ {4} = \ left ({\ frac {1} { n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2} + R ^ {2} \ right) ^ {2}.}$

Для больших степеней расстояний от произвольной точки на плоскости до вершин правильного -угольника, если ${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m}}$,

тогда

${\ Displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = \ left (S_ {n} ^ {(2)} \ right) ^ {m} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ left \ lfloor { \ frac {m} {2}} \ right \ rfloor} {\ binom {m} {2k}} {\ binom {2k} {k}} R ^ {2k} \ left (S_ {n} ^ {(2 )} - R ^ {2} \ right) ^ {k} \ left (S_ {n} ^ {(2)} \ right) ^ {m-2k}}$,

а также

${\ Displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = \ left (S_ {n} ^ {(2)} \ right) ^ {m} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ left \ lfloor { \ frac {m} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {1} {2 ^ {k}}} {\ binom {m} {2k}} {\ binom {2k} {k}} \ left (S_ {n} ^ {(4)} - \ left (S_ {n} ^ {(2)} \ right) ^ {2} \ right) ^ {k} \ left (S_ {n} ^ {(2 )} \ right) ^ {m-2k}}$,

где положительное целое число меньше . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

Если - расстояние от произвольной точки на плоскости до центра тяжести правильного -угольника с описанным радиусом , то ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m} = n \ left (\ left (R ^ {2} + L ^ {2} \ right) ^ {m} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {m} {2}} \ right \ rfloor} {\ binom {m} {2k}} {\ binom {2k} {k}} R ^ {2k} L ^ {2k} \ left (R ^ {2} + L ^ {2} \ right) ^ {m-2k} \ right)}$,

где = 1, 2,… ,. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n-1}$

Внутренние точки

Для правильного n -угольника сумма перпендикулярных расстояний от любой внутренней точки до n сторон равна n раз апофемой (апофема - это расстояние от центра до любой стороны). Это обобщение теоремы Вивиани для случая n = 3.

Circumradius

Правильный пятиугольник ( n = 5) со стороной s , радиусом описанной окружности R и апофемой a

Графики стороны ,  с ; апофема ,  а ; и область ,  из правильных многоугольников с п сторон и описанной окружности 1, с основанием ,  б в виде прямоугольника с той же самой области . Зеленой линией показан случай n = 6 .

Описанная окружность R от центра правильного многоугольника на одной из вершин связана длиной стороны с или к апофеме а по

${\ displaystyle R = {\ frac {s} {2 \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}} = {\ frac {a} {\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}}}$

Для построимых многоугольников , алгебраические выражения для этих отношений существуют; см. Бицентрический многоугольник # Правильные многоугольники .

Сумма перпендикуляров от вершин правильного n -угольника к любой прямой, касающейся описанной окружности, равна n, умноженному на радиус описанной окружности.

Сумма квадратов расстояний от вершин правильного n -угольника до любой точки его описанной окружности равна 2 nR ^2, где R - радиус описанной окружности.

Сумма квадратов расстояний от середин сторон правильного n -угольника до любой точки описанной окружности равна 2 nR ² -1/4ns ² , где s - длина стороны, а R - радиус описанной окружности.

Если - расстояния от вершин правильного -угольника до любой точки описанной окружности, то ${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle 3 \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2} \ right) ^ {2} = 2n \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ { i} ^ {4}}$.

Расслоения

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (2 м -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) может быть разрезан на или${\ Displaystyle {\ tbinom {п} {2}}}$1/2m ( m - 1) параллелограммов. Эти мозаики содержатся в виде подмножеств вершин, ребер и граней в ортогональных проекциях m -кубов . В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. В списке OEIS :  A006245 указано количество решений для небольших полигонов.

Пример разрезов для выбранных правильных четных многоугольников

2 мес.	6	8	10	12	14	16	18	20	24	30	40	50
Изображение
Ромбы	3	6	10	15	21 год	28 год	36	45	66	105	190	300

Площадь

Площадь A выпуклого правильного n- стороннего многоугольника со стороной s , радиусом описанной окружности R , апофемой a и периметром p определяется выражением

${\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({ \ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = {\ tfrac {1} {2}} nR ^ {2} \ sin \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {n}} \ right)}$

Для правильных многоугольников со стороной s = 1, радиусом описанной окружности R = 1 или апофемой a = 1 получается следующая таблица: (Обратите внимание, что, поскольку as${\displaystyle \cot x\rightarrow 1/x}$${\displaystyle x\rightarrow 0}$ , площадь, когда стремится к as, увеличивается.) ${\ displaystyle s = 1}$${\ Displaystyle п ^ {2} / 4 \ pi}$${\ displaystyle n}$

Количество сторон	Площадь при стороне s = 1		Площадь при окружном радиусе R = 1			Площадь при апофеме а = 1
	Точный	Приближение	Точный	Приближение	Относительно площади описанной окружности	Точный	Приближение	Относительно области вписанной окружности
п	${\ displaystyle {\ tfrac {n} {4}} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}$		${\ displaystyle {\ tfrac {n} {2}} \ sin \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {n}} \ right)}$		${\ displaystyle {\ tfrac {n} {2 \ pi}} \ sin \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {n}} \ right)}$	${\ Displaystyle п \ загар \ влево ({\ tfrac {\ pi} {п}} \ вправо)}$		${\ displaystyle {\ tfrac {n} {\ pi}} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}$
3	${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {4}}}$	0,433012702	${\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {4}}}$	1,299038105	0,4134966714	${\ displaystyle 3 {\ sqrt {3}}}$	5,196152424	1,653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0,6366197722	4	4,000000000	1,273239544
5	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}}}$	1,720477401	${\ displaystyle {\ tfrac {5} {4}} {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2}} \ left (5 + {\ sqrt {5}} \ right)}}}$	2,377641291	0,7568267288	${\ displaystyle 5 {\ sqrt {5-2 {\ sqrt {5}}}}}$	3,632712640	1,156328347
6	${\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {2}}}$	2,598076211	${\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {2}}}$	2,598076211	0,8269933428	${\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}}}$	3,464101616	1.102657791
7		3,633912444		2,736410189	0,8710264157		3,371022333	1.073029735
8	${\ displaystyle 2 + 2 {\ sqrt {2}}}$	4,828427125	${\ displaystyle 2 {\ sqrt {2}}}$	2,828427125	0,9003163160	${\ displaystyle 8 \ left ({\ sqrt {2}} - 1 \ right)}$	3,313708500	1.054786175
9		6,181824194		2,892544244	0,9207254290		3,275732109	1.042697914
10	${\ displaystyle {\ tfrac {5} {2}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}}$	7.694208843	${\ displaystyle {\ tfrac {5} {2}} {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2}} \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right)}}}$	2,938926262	0,9354892840	${\ displaystyle 2 {\ sqrt {25-10 {\ sqrt {5}}}}}$	3,249196963	1.034251515
11		9.365639907		2,973524496	0,9465022440		3,229891423	1.028106371
12	${\ displaystyle 6 + 3 {\ sqrt {3}}}$	11,19615242	3	3.000000000	0,9549296586	${\ displaystyle 12 \ left (2 - {\ sqrt {3}} \ right)}$	3,215390309	1.023490523
13		13,18576833		3,020700617	0,9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3,037186175	0,9667663859		3,195408642	1.017130161
15		17.64236291		3,050524822	0,9710122088		3,188348426	1.014882824
16		20.10935797	${\ displaystyle 4 {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}}$	3,061467460	0,9744953584		3,182597878	1.013052368
17		22,73549190		3,070554163	0,9773877456		3,177850752	1.011541311
18		25,52076819		3,078181290	0,9798155361		3,173885653	1.010279181
19		28,46518943		3,084644958	0,9818729854		3,170539238	1,009213984
20		31,56875757		3,090169944	0,9836316430		3,167688806	1,008306663
100		795.5128988		3,139525977	0,9993421565		3,142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3,141571983	0,9999934200		3,141602989	1,000003290
10 000		7957746,893		3,141592448	0,9999999345		3,141592757	1.000000033
1 000 000		79577471545		3,141592654	1.000000000		3,141592654	1.000000000

Сравнение размеров правильных многоугольников с одинаковой длиной ребра, от трех до шестидесяти сторон. Размер неограниченно увеличивается по мере того, как количество сторон приближается к бесконечности.

Из всех n -угольников с заданным периметром правильный.

Конструируемый многоугольник

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки ; другие правильные многоугольники вообще не могут быть построены. В древнегреческие математики знали , как построить правильный многоугольник с 3 -х , 4 -х или 5 - ти сторон, и они знали , как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон данного правильного многоугольника. В связи с этим возник вопрос: можно ли построить все правильные n -угольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n -угольники можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пять лет спустя он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников:

Правильный n -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если n является произведением степени 2 и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

( Простое число Ферма - это простое число формы ) Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо , но никогда не публиковал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля . ${\ displaystyle 2 ^ {(2 ^ {n})} + 1.}$

Точно так же правильный n -угольник можно построить тогда и только тогда, когда косинус его общего угла является конструктивным числом, то есть его можно записать в терминах четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней.

Правильные косые многоугольники

Куб содержит перекос регулярного шестиугольника , рассматривается как 6 красных края зигзаги между двумя плоскостями , перпендикулярной осью диагонали кубы.

Зигзагообразные боковые края n - антипризмы представляют собой правильный перекос 2 n --угольников, как показано на этой 17-угольной антипризме.

Регулярный пространственный многоугольник в 3-пространстве можно рассматривать как неплоская дорожку зигзагов между двумя параллельными плоскостями, определяются как боковые края однородной антипризмы . Все края и внутренние углы равны.

В Платоновых тела ( тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр ) имеет Petrie многоугольники, увиденные в красном цвете здесь, со сторон 4, 6, 6, 10 и 10 соответственно.

В более общем случае правильные косые многоугольники могут быть определены в n -пространстве. Примеры включают многоугольники Петри , многоугольные пути ребер, которые делят правильный многогранник на две половины и которые рассматриваются как правильный многоугольник в ортогональной проекции.

В бесконечном пределе правильные косые многоугольники становятся косыми апейрогонами .

Правильные звездчатые многоугольники

Правильные звездчатые многоугольники

2 <2q <p, НОД (p, q) = 1 {5/2} {7/2} {7/3} ...
Символ Шлефли	{p / q}
Вершины и ребра	п
Плотность	q
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D p )
Двойной многоугольник	Самодвойственный
Внутренний угол ( градусы )	${\ displaystyle {\ frac {180 (p-2q)} {p}}}$

Невыпуклый правильный многоугольник - это правильный многоугольник со звездой . Самый распространенный пример - пентаграмма , которая имеет те же вершины, что и пятиугольник , но соединяет чередующиеся вершины.

Для n- стороннего звездчатого многоугольника символ Шлефли изменен, чтобы указать плотность или "звездность" m многоугольника как { n / m }. Если , например, m равно 2, то соединяется каждая вторая точка. Если m равно 3, то каждая третья точка соединяется. Граница многоугольника обвивается вокруг центра m раз.

(Невырожденные) правильные звезды с числом сторон до 12:

• Пентаграмма - {5/2}
• Гептаграмма - {7/2} и {7/3}
• Октаграмма - {8/3}
• Эннеаграмма - {9/2} и {9/4}
• Декаграмма - {10/3}
• Хендекаграмма - {11/2}, {11/3}, {11/4} и {11/5}
• Додекаграмма - {12/5}

m и n должны быть взаимно простыми , иначе число выродится.

Вырожденные правильные звезды с числом сторон до 12:

• Тетрагон - {4/2}
• Шестиугольники - {6/2}, {6/3}
• Восьмиугольники - {8/2}, {8/4}
• Эннеагон - {9/3}
• Декагоны - {10/2}, {10/4} и {10/5}
• Додекагоны - {12/2}, {12/3}, {12/4} и {12/6}

Две интерпретации {6/2}

Грюнбаум {6/2} или 2 {3}	Кокстер 2 {3} или {6} [2 {3}] {6}
Шестигранник с двойной обмоткой	Гексаграмма как соединение двух треугольников

В зависимости от точного происхождения символа Шлефли мнения о природе вырожденной фигуры различаются. Например, {6/2} можно рассматривать двумя способами:

• На протяжении большей части 20-го века (см., Например, Coxeter (1948) ), мы обычно использовали / 2 для обозначения соединения каждой вершины выпуклого {6} с его ближайшими соседями на расстоянии двух шагов, чтобы получить правильное соединение двух треугольников. , или гексаграмма .
  Кокстер поясняет это обычное соединение с помощью обозначения {kp} [k {p}] {kp} для соединения {p / k}, поэтому гексаграмма представлена ​​как {6} [2 {3}] {6}. Более компактно Кокстер также записывает 2 {n / 2}, например 2 {3} для гексаграммы как составной, как чередование правильных четных многоугольников, с курсивом на ведущем множителе, чтобы отличить его от совпадающей интерпретации.
• Многие современные геометры, такие как Грюнбаум (2003), считают это неверным. Они используют / 2 для обозначения перемещения на два места вокруг {6} на каждом шаге, получая треугольник "с двойной обмоткой", у которого две вершины наложены друг на друга в каждой угловой точке и два ребра вдоль каждого сегмента линии. Это не только лучше согласуется с современными теориями абстрактных многогранников , но также более точно копирует способ, которым Пуансо (1809 г.) создавал свои звездные многоугольники - беря один отрезок провода и сгибая его в последовательных точках под одним и тем же углом. пока фигура не закрылась.

Двойственность правильных многоугольников

Все правильные многоугольники самодвойственны к конгруэнтности, а для нечетных n они самодвойственны идентичности.

Кроме того, правильные звездные фигуры (соединения), состоящие из правильных многоугольников, также самодуальны.

Правильные многоугольники как грани многогранников

Равномерное многогранник имеет правильные многоугольники, лица, такие , что для любых двух вершин существует изометрия отображение друг в друг (так же , как есть для правильного многоугольника).

Квазирегулярная полиэдр является равномерным полиэдр , который имеет только два вида лица , чередующиеся вокруг каждой вершины.

Правильный многогранник является однородным многогранник , который имеет только один вид лица.

Оставшиеся (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными гранями известны как тела Джонсона .

Многогранник с правильными треугольниками на гранях называется дельтаэдром .

Смотрите также

• Евклидовы мозаики выпуклыми правильными многоугольниками
• Платоново твердое тело
• Апейрогон - Многоугольник с бесконечными сторонами также может быть правильным, {∞}.
• Список правильных многогранников и соединений
• Равносторонний многоугольник
• Карлайл круг

Примечания

использованная литература

• Кокстер, HSM (1948). «Правильные многогранники». Метуэн и Ко. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
• Grünbaum, B .; Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Дискретные и вычислительные. geom: фестивальный сборник Гудмана-Поллака , Под ред. Аронов и др., Springer (2003), стр. 461–488.
• Пуансо, Л .; Воспоминания о многоугольниках и многогранниках. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), стр. 16–48.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Правильный многоугольник» . MathWorld .
• Описание правильного многоугольника с интерактивной анимацией
• Окружность правильного многоугольника с интерактивной анимацией
• Площадь правильного многоугольника Три разные формулы с интерактивной анимацией
• Построение правильных многоугольников на Конвергенции художниками эпохи Возрождения