Группа симметрии -Symmetry group

Правильный тетраэдр инвариантен относительно двенадцати различных вращений (если тождественное преобразование включено как тривиальное вращение, а отражения исключены). Они проиллюстрированы здесь в формате циклического графика вместе с поворотами ребра на 180° (синие стрелки) и вершины на 120° (розовые и оранжевые стрелки), которые переставляют тетраэдр по позициям. Двенадцать вращений образуют группу вращения (симметрии) фигуры.

В теории групп группа симметрии геометрического объекта — это группа всех преобразований , при которых объект инвариантен , наделен групповой операцией композиции . Такое преобразование представляет собой обратимое отображение окружающего пространства , переводящее объект в себя и сохраняющее всю соответствующую структуру объекта. Часто для группы симметрии объекта X используется обозначение G = Sym( X ).

Для объекта в метрическом пространстве его симметрии образуют подгруппу группы изометрий объемлющего пространства. В этой статье в основном рассматриваются группы симметрии в евклидовой геометрии , но эта концепция также может быть изучена для более общих типов геометрической структуры.

Введение

«Объектами», обладающими симметрией, мы считаем геометрические фигуры, изображения и узоры, например рисунок обоев . Для симметрии физических объектов можно также принять их физическое строение как часть паттерна. (Паттерн может быть определен формально как скалярное поле , функция положения со значениями в наборе цветов или веществ, как векторное поле или как более общая функция объекта.) Группа изометрий пространства индуцирует групповое действие на объекты в нем, а группа симметрии Sym( X ) состоит из тех изометрий, которые отображают X на себя (а также отображают любой другой образец на себя). Мы говорим, что X инвариантно относительно такого отображения, и отображение является симметрией X .

Вышеприведенное иногда называют полной группой симметрии X , чтобы подчеркнуть, что она включает в себя изометрии, изменяющие ориентацию (отражения, скользящие отражения и неправильные вращения ), до тех пор, пока эти изометрии отображают этот конкретный X на себя. Подгруппа сохраняющих ориентацию симметрий (переводов, поворотов и их композиций) называется собственной группой симметрии . Объект хиральный , если он не имеет симметрии, изменяющей ориентацию , так что его собственная группа симметрии равна его полной группе симметрии.

Любая группа симметрии, элементы которой имеют общую неподвижную точку , что верно, если группа конечна или фигура ограничена, может быть представлена ​​как подгруппа ортогональной группы O ( n ), выбрав начало координат в качестве фиксированной точки. Тогда правильная группа симметрии является подгруппой специальной ортогональной группы SO( n ) и называется группой вращения фигуры.

В дискретной группе симметрии точки, симметричные данной точке, не накапливаются к предельной точке. То есть каждая орбита группы (образы данной точки при всех элементах группы) образует дискретное множество . Все конечные группы симметрии дискретны.

Дискретные группы симметрии бывают трех типов: (1) конечные точечные группы , которые включают только повороты, отражения, инверсии и ротоинверсии , т. е. конечные подгруппы O( n ); (2) бесконечные группы решеток , включающие только переносы; и (3) бесконечные пространственные группы , содержащие элементы обоих предыдущих типов, а также, возможно, дополнительные преобразования, такие как винтовые смещения и скользящие отражения. Существуют также непрерывные группы симметрии (группы Ли ), которые содержат повороты на сколь угодно малые углы или переносы на сколь угодно малые расстояния. Примером является O(3) , группа симметрии сферы. Группы симметрии евклидовых объектов могут быть полностью классифицированы как подгруппы евклидовой группы E( n ) (группа изометрий Rn ⁾ .

Две геометрические фигуры имеют один и тот же тип симметрии, когда их группы симметрии являются сопряженными подгруппами евклидовой группы, т. е. когда подгруппы H ₁ , H ₂ связаны соотношением H ₁ = g − ¹ H ₂ g для некоторого g в E( n ). Например:

• две трехмерные фигуры обладают зеркальной симметрией, но относительно разных зеркальных плоскостей.
• две трехмерные фигуры имеют 3-кратную вращательную симметрию , но относительно разных осей.
• два 2D-паттерна обладают трансляционной симметрией, каждый в одном направлении; два вектора переноса имеют одинаковую длину, но разное направление.

В следующих разделах мы рассматриваем только группы изометрий, орбиты которых топологически замкнуты , включая все дискретные и непрерывные группы изометрий. Однако это исключает, например, группу переводов 1D по рациональному числу ; такую ​​незамкнутую фигуру нельзя нарисовать с достаточной точностью из-за сколь угодно мелкой детализации.

Одно измерение

Группы изометрии в одном измерении:

• тривиальная циклическая группа C ₁
• группы из двух элементов, порожденные отражением; они изоморфны C ₂
• бесконечные дискретные группы, порожденные трансляцией; они изоморфны Z , аддитивной группе целых чисел
• бесконечные дискретные группы, порожденные переносом и отражением; они изоморфны обобщенной группе диэдра Z , Dih( Z ), также обозначаемой D _∞ (которая является полупрямым произведением Z и C ₂ ).
• группа, порожденная всеми переносами (изоморфна аддитивной группе действительных чисел R ); эта группа не может быть группой симметрии евклидовой фигуры, пусть даже и с узором: такой узор был бы однородным, а значит, мог бы и отражаться. Однако постоянное одномерное векторное поле имеет эту группу симметрии.
• группа, порожденная всеми переводами и отражениями в точках; они изоморфны обобщенной группе диэдра Dih( R ).

См. также группы симметрии в одном измерении .

Два измерения

С точностью до сопряженности дискретными группами точек в двумерном пространстве являются следующие классы:

• циклические группы C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , ... где C _n состоит из всех поворотов вокруг фиксированной точки на угол, кратный 360°/ n
• группы диэдра D ₁ , D ₂ , D ₃ , D ₄ , ..., где D _n (порядка 2 n ) состоит из поворотов в C _n вместе с отражениями от n осей, проходящих через неподвижную точку.

C ₁ — тривиальная группа , содержащая только операцию тождества, которая имеет место, когда фигура несимметрична, например буква «F». С ₂ — группа симметрии буквы «Z», С ₃ — трискелиона , С ₄ — свастики , а С ₅ , С ₆ и т. д. — группы симметрии подобных свастикоподобных фигур с пятью, шестью, пр. оружия вместо четырех.

D ₁ - это группа из 2 элементов, содержащая операцию тождества и единственное отражение, которое возникает, когда фигура имеет только одну ось двусторонней симметрии , например буква «А».

D ₂ , изоморфная четырехгруппе Клейна , является группой симметрии неравностороннего прямоугольника. Эта фигура имеет четыре операции симметрии: операцию тождества, одну двойную ось вращения и две неэквивалентные зеркальные плоскости.

D ₃ , D ₄ и т. д . — группы симметрии правильных многоугольников .

Внутри каждого из этих типов симметрии есть две степени свободы для центра вращения, а в случае двугранных групп еще одна для положения зеркал.

Остальные группы изометрии в двух измерениях с фиксированной точкой:

• специальная ортогональная группа SO(2), состоящая из всех вращений вокруг неподвижной точки; ее также называют группой окружности S ¹ , мультипликативной группой комплексных чисел с абсолютным значением 1. Это правильная группа симметрии окружности и непрерывный эквивалент C _n . Не существует геометрической фигуры, полной группой симметрии которой является группа окружности, но для векторного поля она может применяться (см. трехмерный случай ниже).
• ортогональная группа O (2), состоящая из всех вращений вокруг фиксированной точки и отражений на любой оси, проходящей через эту фиксированную точку. Это группа симметрии окружности. Ее также называют Dih(S ¹ ), так как это обобщенная группа диэдра S ¹ .

Неограниченные фигуры могут иметь группы изометрий, включая переводы; Эти:

• 7 фризовых групп
• 17 групп обоев
• для каждой из групп симметрии в одном измерении комбинация всех симметрий в этой группе в одном направлении и группа всех переводов в перпендикулярном направлении
• то же самое с отражениями в линии в первом направлении.

Три измерения

С точностью до сопряженности множество трехмерных точечных групп состоит из 7 бесконечных рядов и 7 других индивидуальных групп. В кристаллографии рассматриваются только те точечные группы, которые сохраняют некоторую кристаллическую решетку (поэтому их вращения могут иметь только порядок 1, 2, 3, 4 или 6). Это кристаллографическое ограничение бесконечных семейств общих точечных групп приводит к 32 кристаллографическим точечным группам (27 отдельных групп из 7 серий и 5 из 7 других).

К непрерывным группам симметрии с фиксированной точкой относятся:

• цилиндрическая симметрия без плоскости симметрии, перпендикулярной оси, это относится, например, к пивной бутылке
• цилиндрическая симметрия с плоскостью симметрии, перпендикулярной оси
• сферическая симметрия

Для объектов со скалярной картиной поля цилиндрическая симметрия подразумевает и вертикальную симметрию отражения. Однако это неверно для картин векторного поля : например, в цилиндрических координатах относительно некоторой оси векторное поле всегда имеет цилиндрическую симметрию относительно оси и обладает этой симметрией (отсутствие зависимости от ); и он имеет отражательную симметрию только тогда, когда . ${\ displaystyle \ mathbf {A} = A _ {\ rho} {\boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + A _ {\phi}}{\boldsymbol {\ hat {\phi}}}+A_{z}{ \boldsymbol {\шляпа {z}}}}$${\ Displaystyle А _ {\ ро}, А _ {\ фи},}$${\ Displaystyle А_ {г}}$${\ Displaystyle \ фи}$${\ Displaystyle А _ {\ фи} = 0}$

Для сферической симметрии такого различия нет: любой узорчатый объект имеет плоскости симметрии отражения.

Непрерывные группы симметрии без фиксированной точки включают группы с винтовой осью , такие как бесконечная спираль . См. также подгруппы евклидовой группы .

Группы симметрии в целом

В более широком контексте группа симметрии может быть любой группой преобразования или группой автоморфизмов . Каждый тип математической структуры имеет обратимые отображения , сохраняющие структуру. И наоборот, указание группы симметрии может определить структуру или, по крайней мере, прояснить значение геометрической конгруэнтности или инвариантности; это один из способов взглянуть на программу Erlangen .

Например, объекты в гиперболической неевклидовой геометрии имеют фуксовы группы симметрии , которые являются дискретными подгруппами группы изометрий гиперболической плоскости, сохраняя гиперболическое, а не евклидово расстояние. (Некоторые из них изображены на рисунках Эшера .) Точно так же группы автоморфизмов конечных геометрий сохраняют семейства наборов точек (дискретных подпространств), а не евклидовых подпространств, расстояний или скалярных произведений. Как и для евклидовых фигур, объекты в любом геометрическом пространстве имеют группы симметрии, которые являются подгруппами симметрий объемлющего пространства.

Другой пример группы симметрии — комбинаторный граф : симметрия графа — это перестановка вершин, которая переводит ребра в ребра. Любая конечно определенная группа является группой симметрии своего графа Кэли ; свободная группа — это группа симметрии бесконечного древовидного графа .

Структура группы с точки зрения симметрии

Теорема Кэли утверждает, что любая абстрактная группа является подгруппой перестановок некоторого множества X и поэтому может рассматриваться как группа симметрии X с некоторой дополнительной структурой. Кроме того, многие абстрактные свойства группы (определяемые исключительно в терминах групповой операции) можно интерпретировать в терминах симметрий.

Например, пусть G = Sym( X ) — конечная группа симметрии фигуры X в евклидовом пространстве, а H ⊂ G — подгруппа. Тогда H можно интерпретировать как группу симметрии X ⁺ , «декорированную» версию X . Такое украшение может быть построено следующим образом. Добавьте к X некоторые шаблоны, такие как стрелки или цвета, чтобы нарушить всю симметрию, получив фигуру X ^# с Sym( X ^# ) = {1}, тривиальная подгруппа; то есть gX ^# ≠ X ^# для всех нетривиальных g ∈ G . Теперь мы получаем:

${\ displaystyle X ^ {+} \ = \ \ bigcup _ {h \ in H} hX ^ {\ #} \ quad {\ text {удовлетворяет}} \ quad H = \ mathrm {Sym} (X ^ {+} ).}$

Нормальные подгруппы также могут быть охарактеризованы в этой структуре. Группа симметрии трансляции gX ⁺ есть сопряженная подгруппа gHg− ¹ . Таким образом , H является нормальным, когда:

${\ displaystyle \ mathrm {Sym} (gX ^ {+}) = \ mathrm {Sym} (X ^ {+}) \ \ {\ text {для всех}} \ g \ in G;}$

то есть всякий раз, когда украшение X ⁺ может быть нарисовано в любой ориентации по отношению к любой стороне или элементу X , и все же дает ту же группу симметрии gHg− ¹ = H .

В качестве примера рассмотрим группу диэдра G = D ₃ = Sym( X ), где X — равносторонний треугольник. Мы можем украсить это стрелкой на одном ребре, получив асимметричную фигуру X ^# . Пусть τ ∈ G является отражением ребра со стрелкой, составная фигура X ⁺ = X ^# ∪ τ X ^# имеет двунаправленную стрелку на этом ребре, и ее группа симметрии H = {1, τ}. Эта подгруппа не является нормальной, поскольку у gX ⁺ может быть бистрелка на другом ребре, что дает другую группу симметрии отражения.

Однако, если H = {1, ρ, ρ ² } ⊂ D ₃ — циклическая подгруппа, порожденная поворотом, декорированная фигура X ⁺ состоит из 3-цикла стрелок с согласованной ориентацией. Тогда H нормально, так как рисование такого цикла с любой ориентацией дает одну и ту же группу симметрии H .

Смотрите также

дальнейшее чтение

• Бернс, Г.; Глейзер, AM (1990). Космические группы для ученых и инженеров (2-е изд.). Бостон: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-145761-3.
• Клегг, В. (1998). Определение кристаллической структуры (Oxford Chemistry Primer) . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-855901-1.
• О'Киф, М .; Хайд, Б.Г. (1996). Кристаллические структуры; I. Паттерны и симметрия . Вашингтон, округ Колумбия: Минералогическое общество Америки, серия монографий. ISBN 0-939950-40-5.
• Миллер, Уиллард младший (1972). Группы симметрии и их приложения . Нью-Йорк: Академическая пресса. OCLC  589081 . Архивировано из оригинала 17 февраля 2010 г. Проверено 28 сентября 2009 г. .

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Группа симметрии» . Мир Математики .
• Вайсштейн, Эрик В. «Группа тетраэдров» . Мир Математики .
• Обзор 32 кристаллографических точечных групп - сформируйте первые части (кроме пропуска n = 5) 7 бесконечных серий и 5 из 7 отдельных трехмерных точечных групп.