Многогранник - Polytope

Полиэдр представляет собой 3-мерный многогранник

Многоугольник является 2-мерный многогранник. Некоторые многоугольники разных типов: открытые (за исключением его границы), только ограничивающий контур (без учета его внутренней части), замкнутые (включая его границу и его внутреннюю часть) и самопересекающиеся с различной плотностью различных областей.

В элементарной геометрии , A многогранник является геометрическим объектом с «плоскими» сторонами. Это обобщение трехмерного многогранника в любом количестве измерений . Многогранники могут существовать в любом общем числе измерений n как n- мерный многогранник или n- многогранник . В этом контексте «плоские стороны» означают, что стороны ( k +1) -многогранника состоят из k -многогранников, которые могут иметь ( k -1) -многогранников общих. Например, двумерный многоугольник - это 2-многогранник, а трехмерный многогранник - это 3-многогранник.

Некоторые теории дополнительно обобщают идею включения таких объектов, как неограниченные апейротопы и мозаики , разложения или мозаики изогнутых многообразий, включая сферические многогранники , и теоретико-множественные абстрактные многогранники .

Многогранники в более чем трех измерениях были впервые обнаружены Людвигом Шлефли . Немецкий термин Polytop был придуман математик Reinhold Хоппе , и был введен английским математикам многогранника Алисия Буля Стотт .

Подходы к определению

Термин многогранник в настоящее время является широким термином, охватывающим широкий класс объектов, и в математической литературе появляются различные определения. Многие из этих определений не эквивалентны друг другу, в результате чего различные перекрывающиеся наборы объектов называются многогранниками . Они представляют собой различные подходы к обобщению выпуклых многогранников для включения других объектов с аналогичными свойствами.

Первоначальный подход, которому широко следовали Людвиг Шлефли , Торольд Госсет и другие, начинается с расширения по аналогии на четыре или более измерений идеи многоугольника и многогранника соответственно в двух и трех измерениях.

Попытки обобщить эйлерову характеристику многогранников на многомерные многогранники привели к развитию топологии и трактовке декомпозиции или CW-комплекса как аналога многогранника. В этом подходе многогранник можно рассматривать как мозаику или декомпозицию некоторого заданного многообразия . Пример этого подхода определяет многогранник как набор точек, допускающий симплициальное разложение . В этом определении многогранник - это объединение конечного числа симплексов с дополнительным свойством, что для любых двух симплексов, имеющих непустое пересечение, их пересечение является вершиной, ребром или гранью более высокой размерности. Однако это определение не допускает звездных многогранников с внутренней структурой и поэтому ограничивается некоторыми областями математики.

Открытие звездных многогранников и других необычных конструкций привело к идее многогранника как ограничивающей поверхности, игнорируя его внутреннюю часть. В этом смысле выпуклые многогранники в p- пространстве эквивалентны мозаикам ( p − 1) -сферы , в то время как другие могут быть мозаиками других эллиптических , плоских или тороидальных ( p −1) -поверхностей - см. Эллиптические мозаики и тороидальные многогранники . Под многогранником понимается поверхность, грани которой представляют собой многоугольники , под 4-многогранником - гиперповерхность, фасеты ( ячейки ) которой являются многогранниками, и т. Д.

Идея построения более высокого многогранника из многогранников более низкой размерности также иногда расширяется вниз по размерности, при этом ( ребро ) рассматривается как 1-многогранник, ограниченный парой точек, а точка или вершина - как 0-многогранник. Такой подход используется, например, в теории абстрактных многогранников .

В некоторых областях математики, термины «многогранник» и «многогранник» используются в другом смысле: а многогранник является общим объектом в любом измерении (упоминаются как многогранник в этой статье) и многогранник означает ограниченный многогранник. Эта терминология обычно применяется к многогранникам и многогранникам, которые являются выпуклыми . Согласно этой терминологии, выпуклый многогранник является пересечением конечного числа полупространств и определяется своими сторонами, а выпуклый многогранник - это выпуклая оболочка конечного числа точек и определяется своими вершинами.

Многогранники меньших размеров имеют стандартные названия:

Элементы

Многогранник состоит из элементов разной размерности, таких как вершины, ребра, грани, ячейки и т. Д. Терминология для них не полностью согласована у разных авторов. Например, некоторые авторы используют лицо для обозначения ( n  - 1) -мерного элемента, в то время как другие используют лицо для обозначения двухмерного элемента . Авторы могут использовать j -face или j -facet для обозначения элемента j размеров. Некоторые используют край для обозначения гребня, в то время как HSM Coxeter использует ячейку для обозначения ( n  - 1) -мерного элемента.

Термины, принятые в этой статье, приведены в таблице ниже:

Размер элемента	Срок (в n -многограннике)
−1	Аннулирование (необходимо в абстрактной теории)
0	Вершина
1	Край
2	Лицо
3	Клетка
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
j	j -face - элемент ранга j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
п - 3	Пик - ( n - 3) -лицо
п - 2	Гребень или подфасет - ( n - 2) -граница
п - 1	Фасет - ( n - 1) -лицо
п	Сам многогранник

П - мерный многогранник ограничен числом ( п  - 1) -мерных граней . Эти грани сами по себе являются многогранниками, фасеты которых представляют собой ( n  - 2) -мерные гребни исходного многогранника. Каждый гребень возникает как пересечение двух граней (но пересечение двух граней не обязательно должно быть гребнем). Гребни - это снова многогранники, грани которых порождают ( n  - 3) -мерные границы исходного многогранника и т. Д. Эти ограничивающие суб-многогранники могут называться гранями или, в частности, j -мерными гранями или j- гранями . 0-мерная грань называется вершиной и состоит из одной точки. Одномерная грань называется ребром и состоит из отрезка прямой. Двумерная грань состоит из многоугольника , а трехмерная грань, иногда называемая ячейкой , состоит из многогранника .

Важные классы многогранников

Выпуклые многогранники

Многогранник может быть выпуклым . Выпуклые многогранники являются простейшими разновидностями многогранников и составляют основу нескольких различных обобщений концепции многогранников. Выпуклый многогранник иногда определяют как пересечение множества полупространств . Это определение не позволяет многограннику быть ни ограниченным, ни конечным. Многогранники определяются таким образом, например, в линейном программировании . Многогранник является ограниченным, если его содержит шар конечного радиуса. Многогранник называется точечным, если он содержит хотя бы одну вершину. Каждый непустой ограниченный многогранник является точечным. Примером многогранника без точек является множество . Многогранник конечен, если он определен в терминах конечного числа объектов, например, как пересечение конечного числа полуплоскостей. Это целочисленный многогранник, если все его вершины имеют целочисленные координаты. ${\ displaystyle \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid x \ geq 0 \}}$

Определенный класс выпуклых многогранников являются рефлексивными многогранниками. Неотъемлемая -многогранник рефлексивна , если для некоторой интегральной матрицы , где обозначает вектор всех единиц, а неравенство покомпонентное. Из этого определения следует, что рефлексивно тогда и только тогда, когда для всех . Другими словами, -расширение отличается в терминах целочисленных узлов решетки от -расширение только узлами решетки, полученными на границе. Эквивалентно, рефлексивно тогда и только тогда, когда его двойственный многогранник является целым многогранником. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {d}: \ mathbf {Ax} \ leq \ mathbf {1} \}}$${\ displaystyle \ mathbf {1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle (т + 1) {\ mathcal {P}} ^ {\ circ} \ cap \ mathbb {Z} ^ {d} = t {\ mathcal {P}} \ cap \ mathbb {Z} ^ {d }}$${\ Displaystyle т \ ин \ mathbb {Z} _ {\ geq 0}}$${\ Displaystyle (т + 1)}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {*}}$

Правильные многогранники

Правильные многогранники обладают наивысшей степенью симметрии из всех многогранников. Группа симметрии правильного многогранника транзитивно действует на его флагах ; следовательно, двойственный многогранник к правильному многограннику также является регулярным.

Есть три основных класса правильных многогранников, которые встречаются в любом количестве измерений:

• Симплексы , включая равносторонний треугольник и правильный тетраэдр .
• Гиперкубы или многогранники мер, включая квадрат и куб .
• Ортоплексы или кросс-многогранники, включая квадратный и правильный октаэдр .

Размеры два, три и четыре включают регулярные цифры , которые в пять разы симметрии , а некоторые из которых являются невыпуклыми звездами, а в двух измерениях Есть бесконечно много правильных многоугольников из п -кратной симметрии, оба выпуклых и (для п ≥ 5) звезды. Но в более высоких измерениях других правильных многогранников нет.

В трех измерениях выпуклые Платоновы тела включают пятисимметричный додекаэдр и икосаэдр , а также четыре звездных многогранника Кеплера-Пуансо с пятикратной симметрией, в результате чего общее количество правильных многогранников составляет девять.

В четырех измерениях правильные 4-многогранники включают одно дополнительное выпуклое тело с четырехкратной симметрией и два с пятисторонней симметрией. Существует десять звездных 4-многогранников Шлефли-Гесса , все из которых имеют пятикратную симметрию, что дает всего шестнадцать правильных 4-многогранников.

Звездные многогранники

Невыпуклый многогранник может быть самопересекающимся; к этому классу многогранников относятся звездные многогранники . Некоторые правильные многогранники - звезды.

Характеристики

Эйлерова характеристика

Поскольку (заполненный) выпуклый многогранник Р в измерениях является сжимаемым в точку, то эйлерова характеристика ее границы ∂P задается переменным суммой: ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ chi}$

${\ displaystyle \ chi = n_ {0} -n_ {1} + n_ {2} - \ cdots \ pm n_ {d-1} = 1 + (- 1) ^ {d-1}}$, где - количество -мерных граней.${\ displaystyle n_ {j}}$${\ displaystyle j}$

Это обобщает формулу Эйлера для многогранников .

Внутренние углы

Теорема Грама – Эйлера аналогично обобщает альтернированную сумму внутренних углов для выпуклых многогранников на многогранники более высокой размерности: ${\ textstyle \ sum \ varphi}$

${\ Displaystyle \ сумма \ varphi = (- 1) ^ {d-1}}$

Обобщения многогранника

Бесконечные многогранники

Не все многообразия конечны. Если многогранник понимается как мозаика или разложение многообразия, эту идею можно распространить на бесконечные многообразия. плоские мозаики , заполнение пространства ( соты ) и гиперболические мозаики являются в этом смысле многогранниками и иногда называются апейротопами, потому что у них бесконечно много ячеек.

Среди них есть правильные формы, включая правильные косые многогранники и бесконечные серии мозаик, представленных правильным апейрогоном , квадратным мозаичным покрытием, кубическими сотами и т. Д.

Абстрактные многогранники

Теория абстрактных многогранников пытается отделить многогранники от содержащего их пространства, рассматривая их чисто комбинаторные свойства. Это позволяет расширить определение термина, включив в него объекты, для которых трудно определить интуитивно понятное базовое пространство, например, 11-ячейку .

Абстрактный многогранник - это частично упорядоченный набор элементов или членов, подчиняющийся определенным правилам. Это чисто алгебраическая структура, и теория была разработана для того, чтобы избежать некоторых проблем, которые затрудняют согласование различных геометрических классов в рамках согласованной математической структуры. Геометрический многогранник называется реализацией в некотором реальном пространстве соответствующего абстрактного многогранника.

Сложные многогранники

Структуры, аналогичные многогранникам, существуют в сложных гильбертовых пространствах, где n реальных измерений сопровождаются n мнимыми . Правильные сложные многогранники уместнее рассматривать как конфигурации . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

Двойственность

Каждый n -многогранник имеет двойственную структуру, полученную путем замены его вершин на фасеты, ребер на ребра и т. Д., Как правило, заменяя его ( j  - 1) -мерные элементы на ( n  -  j ) -мерные элементы (при j  = 1 на n  - 1), сохраняя при этом связь или инцидентность между элементами.

Для абстрактного многогранника это просто меняет порядок набора. Это обращение наблюдается в символах Шлефли для правильных многогранников, где символ двойственного многогранника просто противоположен оригиналу. Например, {4, 3, 3} двойственно к {3, 3, 4}.

В случае геометрического многогранника необходимо некоторое геометрическое правило дуализации, см., Например, правила, описанные для двойственных многогранников . В зависимости от обстоятельств двойная фигура может быть или не быть другим геометрическим многогранником.

Если двойственный перевернуть, то восстанавливается исходный многогранник. Таким образом, многогранники существуют в двойственных парах.

Самодвойственные многогранники

5-клеток (4-симплекс) самодвойственна с 5 вершинами и 5 тетраэдрических клеток.

Если многогранник имеет то же количество вершин, что и фасет, и ребер, и ребер, и т. Д., И такие же связности, то двойственная фигура будет подобна исходной, а многогранник самодвойственен.

Некоторые распространенные самодвойственные многогранники включают в себя:

• Каждый правильный n - симплекс любого числа измерений с символом Шлафли {3 ⁿ }. К ним относятся равносторонний треугольник {3}, правильный тетраэдр {3,3} и 5-элементный {3,3,3}.
• Каждый гиперкубической соты , в любом количестве измерений. К ним относятся апейрогон {∞}, квадратная мозаика {4,4} и кубические соты {4,3,4}.
• Многочисленные компактные, паракомпактные и некомпактные гиперболические мозаики, такие как икосаэдрические соты {3,5,3} и пятиугольные мозаики порядка 5 {5,5}.
• В 2 измерениях все правильные многоугольники (правильные 2-многогранники)
• В 3-х измерениях канонические многоугольные пирамиды и удлиненные пирамиды , а также тетраэдрически уменьшенный додекаэдр .
• В 4-х измерениях, 24-элементный , с символом Шлафли {3,4,3}. А также отличный 120-элементный {5,5 / 2,5} и большой звездчатый 120-элементный {5 / 2,5,5 / 2}.

История

Многоугольники и многогранники известны с давних времен.

Ранний намек на высшие измерения появился в 1827 году, когда Август Фердинанд Мёбиус обнаружил, что два зеркальных тела могут быть наложены друг на друга, вращая одно из них в четвертом математическом измерении. К 1850-м годам горстка других математиков, таких как Артур Кейли и Герман Грассманн, также рассматривали более высокие измерения.

Людвиг Шлефли первым рассмотрел аналоги многоугольников и многогранников в этих высших пространствах. Он описал шесть выпуклых правильных 4-многогранников в 1852 году, но его работа не была опубликована до 1901 года, через шесть лет после его смерти. К 1854 году « Хабилитация» Бернхарда Римана прочно утвердила геометрию высших измерений, и, таким образом, концепция n- мерных многогранников стала приемлемой. Многогранники Шлефли в последующие десятилетия неоднократно открывались заново, даже при его жизни.

В 1882 году Рейнхольд Хоппе , пишущий на немецком языке , придумано слово Polytop для обозначения этой более общей концепции многоугольников и многогранников. Со временем Алисия Буль Стотт , дочь логика Джорджа Буля , ввела англизированный многогранник в английский язык.

В 1895 году Торольд Госсет не только заново открыл правильные многогранники Шлефли, но также исследовал идеи полуправильных многогранников и мозаик, заполняющих пространство, в более высоких измерениях. Многогранники также начали изучаться в неевклидовых пространствах, таких как гиперболическое пространство.

Важная веха была достигнута в 1948 году с выходом книги HSM Coxeter « Regular Polytopes» , в которой были обобщены результаты проделанной работы и добавлены новые собственные открытия.

Тем временем французский математик Анри Пуанкаре развил топологическую идею многогранника как кусочного разложения (например, CW-комплекса ) многообразия . Бранко Грюнбаум опубликовал свою влиятельную работу о выпуклых многогранниках в 1967 году.

В 1952 году Джеффри Колин Шепард обобщил эту идею как сложные многогранники в сложном пространстве, где каждому реальному измерению соответствует воображаемое. Кокстер развил теорию дальше.

Концептуальные вопросы, связанные со сложными многогранниками, невыпуклостью, двойственностью и другими явлениями, привели Грюнбаума и других к более общему изучению абстрактных комбинаторных свойств, относящихся к вершинам, ребрам, граням и так далее. Сходной идеей была идея комплексов инцидентности, которые изучали частоту или связь различных элементов друг с другом. Эти разработки в конечном итоге привели к теории абстрактных многогранников как частично упорядоченных множеств или посетов таких элементов. Питер МакМаллен и Эгон Шульте опубликовали свою книгу « Абстрактные правильные многогранники» в 2002 году.

Перечисление однородных многогранников , выпуклых и невыпуклых, в четырех или более измерениях остается нерешенной проблемой.

В наше время многогранники и связанные с ними концепции нашли множество важных приложений в таких разнообразных областях, как компьютерная графика , оптимизация , поисковые системы , космология , квантовая механика и многие другие области. В 2013 году амплитуэдр был обнаружен как упрощающая конструкция в некоторых расчетах теоретической физики.

Приложения

В области оптимизации , линейное программирование изучающих максимумов и минимумов в линейных функциях; эти максимумы и минимумы происходят на границе в качестве п - мерного многогранника. В линейном программировании многогранники возникают при использовании обобщенных барицентрических координат и переменных запаса .

В твисторной теории , разделе теоретической физики , многогранник, называемый амплитуэдром , используется для вычисления амплитуд рассеяния субатомных частиц при их столкновении. Эта конструкция является чисто теоретической и не имеет известных физических проявлений, но, как утверждается, значительно упрощает определенные вычисления.

Смотрите также

использованная литература

Примечания

Источники

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Многогранник» . MathWorld .
• «Математика потрясет ваш мир» - применение многогранников к базе данных статей, используемых для поддержки настраиваемых новостных лент через Интернет - ( Business Week Online )
• Регулярные и полурегулярные выпуклые многогранники краткий исторический обзор: