Правильный многогранник - Regular polytope

Примеры регулярных многогранников
Правильный пятиугольник - это многоугольник , двумерный многогранник с 5 ребрами , представленный символом Шлефли {5}.	Правильный додекаэдр - это многогранник , трехмерный многогранник с 12 пятиугольными гранями , представленный символом Шлефли {5,3}.
Правильная 120-ячейка - это полихорон , четырехмерный многогранник со 120 додекаэдрическими ячейками , представленный символом Шлефли {5,3,3}. (показано здесь как диаграмма Шлегеля )	Регулярные кубические соты - это мозаика , бесконечный трехмерный многогранник, представленный символом Шлефли {4,3,4}.
256 вершин и 1024 ребра 8-куба могут быть показаны в этой ортогональной проекции ( многоугольник Петри ).

В математике , регулярный многогранник является многогранником , чья группа симметрии действует транзитивно на своих флагах , тем самым придавая ему самую высокую степень симметрии. Все его элементы или j -грани (для всех 0 ≤ j ≤ n , где n - размерность многогранника) - клетки, грани и т. Д. - также транзитивны на симметриях многогранника и являются правильными многогранниками размерности ≤ п .

Правильные многогранники являются обобщенным аналогом любого числа измерений правильных многоугольников (например, квадрата или правильного пятиугольника) и правильных многогранников (например, куба ). Сильная симметрия правильных многогранников придает им эстетическое качество, которое интересует как нематематиков, так и математиков.

Классически правильный многогранник в n измерениях может быть определен как имеющий правильные фасеты [( n - 1) -грани] и правильные фигуры вершин . Этих двух условий достаточно, чтобы гарантировать, что все грани и все вершины одинаковы. Обратите внимание, однако, что это определение не работает для абстрактных многогранников .

Правильный многогранник может быть представлен символом Шлефли вида {a, b, c, ...., y, z} с правильными гранями как {a, b, c, ..., y} и правильными вершины фигурируют как {b, c, ..., y, z}.

Классификация и описание

Правильные многогранники классифицируются в первую очередь по их размерности.

Их можно дополнительно классифицировать по симметрии . Например, куб и правильный октаэдр обладают той же симметрией, что и правильный додекаэдр и икосаэдр . Действительно, группы симметрии иногда называют в честь правильных многогранников, например тетраэдрической и икосаэдрической симметрии.

В каждом измерении существуют три специальных класса регулярных многогранников:

В двух измерениях существует бесконечное множество правильных многоугольников . В трехмерном и четырехмерном измерениях, кроме этих трех , есть еще несколько правильных многогранников и 4-многогранников . В пяти измерениях и выше они единственные. См. Также список правильных многогранников .

Идея многогранника иногда обобщается для включения связанных видов геометрических объектов. У некоторых из них есть регулярные примеры, как обсуждается в разделе, посвященном историческим открытиям, ниже.

Символы Шлефли

Краткое символическое представление правильных многогранников было разработано Людвигом Шлефли в XIX веке, и слегка измененная форма стала стандартной. Обозначения лучше всего пояснять, добавляя по одному измерению за раз.

Выпуклым правильный многоугольник , имеющий п стороны, обозначим через { п }. Итак, равносторонний треугольник - это {3}, квадрат {4} и так далее до бесконечности. Регулярный звезда многоугольник , который обматывает м раз вокруг своего центра обозначаются дробным значением { п / м }, где п и т является одним из простого , так что регулярная пентаграммы является {5/2}.
А правильный многогранник , имеющий грани { п } с р граней присоединения вокруг вершин обозначим через { п , р }. Девять правильных многогранников - это {3, 3} {3, 4} {4, 3} {3, 5} {5, 3} {3, 5/2} {5/2, 3} {5, 5/2 } и {5/2, 5}. { p } - фигура вершины многогранника.
Правильный 4-многогранник, содержащий клетки { n , p } с q клетками, соединяющимися вокруг ребра, обозначается { n , p , q }. Вершинная фигура 4-многогранника - это { p , q }.
Правильный 5-многогранник - это { n , p , q , r }. И так далее.

Двойственность правильных многогранников

Двойной регулярного многогранника также регулярная многогранник. Символ Шлефли для двойственного многогранника - это просто исходный символ, записанный в обратном направлении: {3, 3} самодвойственен, {3, 4} двойственен к {4, 3}, {4, 3, 3} к {3, 3, 4} и так далее.

Вершина фигура регулярного многогранника является двойственной фаской двойственного многогранника в. Например, фигура вершины {3, 3, 4} - это {3, 4}, двойственная к которой - {4, 3} - ячейка {4, 3, 3}.

В измеряют и поперечные многогранники в любом измерении двойственны друг к другу.

Если символ Шлефли палиндромный , т. Е. Одинаково читается вперед и назад, то многогранник самодвойственный. Самодвойственные правильные многогранники:

Все правильные многоугольники , {a}.
Все регулярные n - симплексы , {3,3, ..., 3}
Обычный 24-элементный в 4-х измерениях, {3,4,3}.
Большие 120-клетки ({5,5 / 2,5}) и гранд звездообразной 120-клетки ({5 / 2,5,5 / 2}) в 4 -х измерениях.
Все правильные n -мерные кубические соты , {4,3, ..., 3,4}. Их можно рассматривать как бесконечные многогранники .
Гиперболические мозаики и соты (мозаики {p, p} с p> 4 в двух измерениях, {4,4,4} , {5,3,5} . {3,5,3} , {6,3,6} , и {3,6,3} в 3-х измерениях, {5,3,3,5} в 4-х измерениях и {3,3,4,3,3} в 5-ти измерениях).

Регулярные симплексы

Графики от 1-симплекса до 4-симплекса.

Отрезок	Треугольник	Тетраэдр	Пентахорон

Начните с точкой A . Отметьте точку B на расстоянии r от нее и соедините, чтобы сформировать линейный сегмент . Отметьте точку C во втором ортогональном измерении на расстоянии r от обоих и соедините точки A и B, чтобы образовать равносторонний треугольник . Отметьте точку D в третьем ортогональном измерении на расстоянии r от всех трех и соедините, чтобы сформировать правильный тетраэдр . И так далее для более высоких измерений.

Это обычные симплексы или симплексы . Их имена в порядке размерности:

0. Балл

1. Отрезок линии

2. Равносторонний треугольник (правильный треугольник)

3. Правильный тетраэдр.

4. Обычный пентахорон или 4-симплекс.

5. Обычный гексатерон или 5-симплекс

... n -симплекс имеет n +1 вершин.

Измерьте многогранники (гиперкубы)

Графики от 2-куба до 4-куба.

Квадратный	Куб	Тессеракт

Начните с точкой A . Продлите линию до точки B на расстоянии r и соедините, чтобы сформировать сегмент линии. Продлите вторую линию длины r , ортогональную AB , от B до C , а также от A до D , чтобы образовался квадрат ABCD . Вытяните линии длины r соответственно от каждого угла, перпендикулярно как AB, так и BC (т. Е. Вверх). Отметьте новые точки E , F , G , H, чтобы сформировать куб ABCDEFGH . И так далее для более высоких измерений.

Это многогранники меры или гиперкубы . Их имена в порядке размерности:

0. Балл

1. Отрезок линии

2. Квадрат (правильный четырехугольник)

3. Куб (правильный шестигранник)

4. Тессеракт (обычный октахорон) или 4-куб.

5. Пентеракт (обычный декатерон) или 5-куб

... n -куб имеет 2 ⁿ вершин.

Кросс-многогранники (ортоплексы)

Графики от 2-ортоплекса до 4-ортоплекса.

Квадратный	Октаэдр	16 ячеек

Начните с точкой O . Протяните линию в противоположных направлениях до точек A и B на расстоянии r от O и на расстоянии 2 r друг от друга. Нарисуйте линию COD длиной 2 r с центром в точке O и перпендикулярно AB . Соедините концы, чтобы сформировать квадрат ACBD . Нарисуйте линию EOF одинаковой длины с центром в точке «O», ортогональную AB и CD (т. Е. Вверх и вниз). Соедините концы с квадратом, чтобы получился правильный октаэдр . И так далее для более высоких измерений.

Это кросс-политопы или ортоплексы . Их имена в порядке размерности:

0. Балл

1. Отрезок линии

2. Квадрат (правильный четырехугольник)

3. Правильный октаэдр.

4. Обычный гексадекахорон ( 16-клеточный ) или 4-ортоплекс.

5. Обычный триаконтакаидитерон ( пентакросс ) или 5-ортоплекс

... n -ортоплекс имеет 2n вершин.

История открытия

Выпуклые многоугольники и многогранники

Самые ранние из сохранившихся математических трактовок правильных многоугольников и многогранников пришли к нам от древнегреческих математиков. Им были известны пять Платоновых тел . Пифагор знал по крайней мере о трех из них, а Теэтет (ок. 417 г. до н.э. - 369 г. до н.э.) описал все пять. Позже Евклид написал систематическое исследование математики, опубликовав его под названием « Элементы» , в котором была построена логическая теория геометрии и теория чисел . Его работа завершилась математическим описанием пяти Платоновых тел .

Платоновы тела

Тетраэдр	Куб	Октаэдр	Додекаэдр	Икосаэдр

Звездные многоугольники и многогранники

Наше понимание оставалось неизменным в течение многих столетий после Евклида. Дальнейшая история правильных многогранников может быть охарактеризована постепенным расширением основного понятия, позволяющим рассматривать все больше и больше объектов среди их числа. Томас Брэдвардин (Bradwardinus) был первым, кто сделал серьезное исследование звездных многоугольников. Различные звездные многогранники появляются в искусстве эпохи Возрождения, но только когда Иоганн Кеплер изучил малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр в 1619 году, он понял, что эти два были правильными. Луи Пуансо открыл большой додекаэдр и большой икосаэдр в 1809 году, а Огюстен Коши доказал полный список в 1812 году. Эти многогранники вместе известны как многогранники Кеплера-Пуансо .

Многогранники Кеплера-Пуансо

Малый звездчатый додекаэдр	Большой звездчатый додекаэдр	Большой додекаэдр	Большой икосаэдр

Многомерные многогранники

Трехмерная проекция вращающегося тессеракта. Этот тессеракт изначально ориентирован так, чтобы все ребра были параллельны одной из четырех осей координатного пространства. Вращение происходит в плоскости xw.

Только в 19 веке швейцарский математик Людвиг Шлефли исследовал и охарактеризовал правильные многогранники в более высоких измерениях. Его работы были впервые полностью опубликованы в Schläfli (1901) , через шесть лет после смерти, хотя некоторые из них были опубликованы в Schläfli (1855) и Schläfli (1858) . Между 1880 и 1900 годами результаты Шлефли были переоткрыты независимо друг от друга по крайней мере девятью другими математиками - см. Coxeter (1948 , стр. 143–144) для получения более подробной информации. Шлефли назвал такую фигуру «полисхема» (по-английски «полисхема» или «полисхема»). Термин «многогранник» был введен Рейнхольдом Хоппе , одним из открывателей Шлефли, в 1882 году и впервые использован на английском языке Алисией Буль Стотт примерно двадцать лет спустя. Термин «многогранники» также использовался в более ранней литературе (Hilbert, 1952).

Coxeter (1948) , вероятно, является наиболее исчерпывающим печатным описанием результатов Шлефли и аналогичных результатов на сегодняшний день. Шлефли показал, что существует шесть правильных выпуклых многогранников в четырех измерениях . Пять из них можно рассматривать как аналог Платоновых тел: 4-симплекс (или пентахорон) с тетраэдром , гиперкуб (или тессеракт ) с кубом , 4-ортоплекс (или гексадекахорон, или 16-элементный ) с октаэдром. , то 120-клетки к додекаэдру , и 600-клетки к икосаэдру . Шестой, 24-элементный , можно рассматривать как переходную форму между гиперкубом и 16-ячеечным, аналогично тому, как кубооктаэдр и ромбический додекаэдр являются переходными формами между кубом и октаэдром.

В пяти и более измерениях есть ровно три правильных многогранника, которые соответствуют тетраэдру, кубу и октаэдру: это правильные симплексы , многогранники меры и перекрестные многогранники . Их описание можно найти в списке правильных многогранников . Интересны также звездные правильные 4-многогранники , частично открытые Шлефли.

К концу 19 века математики, такие как Артур Кэли и Людвиг Шлефли, разработали теорию правильных многогранников в четырех и более измерениях, таких как тессеракт и 24-элементный .

Последние трудно (хотя и возможно) визуализировать, но они все же сохраняют эстетически приятную симметрию своих собратьев из более низких измерений. Тессеракт содержит 8 кубические клетки. Он состоит из двух кубов в параллельных гиперплоскостях с соответствующими вершинами, перекрестно соединенными таким образом, что 8 поперечных ребер равны по длине и ортогональны 12 + 12 ребрам, расположенным на каждом кубе. Соответствующие грани двух кубов соединяются, образуя оставшиеся 6 кубических граней тессеракта . 24-клетки могут быть получены из тессеракта путем соединения 8 вершин каждого из своих граней кубических к дополнительной вершине , чтобы сформировать четырехмерный аналог пирамиды. Обе фигуры, а также другие четырехмерные фигуры могут быть непосредственно визуализированы и изображены с помощью четырехмерных стереографов.

Еще труднее представить себе более современные абстрактные правильные многогранники, такие как 57-элементный или 11-элементный . Однако с математической точки зрения эти объекты обладают теми же эстетическими качествами, что и их более знакомые двух- и трехмерные родственники.

В начале ХХ века определение правильного многогранника было следующим.

Правильный многоугольник - это многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны.
Правильный многогранник - это многогранник, все грани которого являются конгруэнтными правильными многоугольниками, а фигуры вершин конгруэнтны и правильны.
И так далее, правильный n -многогранник - это n -мерный многогранник, все ( n - 1) -мерные грани которого правильны и конгруэнтны, а фигуры вершин правильны и конгруэнтны.

Это «рекурсивное» определение. Он определяет правильность фигур более высоких размеров относительно правильных фигур более низкого измерения. Существует эквивалентное (нерекурсивное) определение, в котором говорится, что многогранник является правильным, если он имеет достаточную степень симметрии.

П -многогранник является регулярным , если любой набор , состоящий из вершин, ребро , содержащий его, 2-мерная грань , содержащая край, и так далее до п -1 размеров, может быть отображена в любой другой такой набор с помощью симметрии многогранник.

Так, например, куб является правильным, потому что если мы выберем вершину куба и одно из трех ребер, на котором он находится, и одну из двух граней, содержащих ребро, тогда эта тройка или флаг (вершина, ребро, face) может быть отображен на любой другой такой флаг с помощью подходящей симметрии куба. Таким образом, мы можем очень кратко определить правильный многогранник:

Правильный многогранник - это многогранник, группа симметрии которого транзитивна по флагам.

В 20 веке были сделаны некоторые важные события. В симметрии группы классических регулярных многогранников были обобщены в то , что теперь называют Кокстеровские группы . Группы Кокстера также включают группы симметрии регулярных мозаик пространства или плоскости. Например, группа симметрии бесконечной шахматной доски будет группой Кокстера [4,4].

Апейотопы - бесконечные многогранники

В первой половине 20 века Кокстер и Петри открыли три бесконечные структуры {4, 6}, {6, 4} и {6, 6}. Они назвали их правильными косыми многогранниками, потому что они, казалось, удовлетворяли определению правильного многогранника - все вершины, ребра и грани одинаковы, все углы одинаковы, и фигура не имеет свободных ребер. В настоящее время их называют бесконечными многогранниками или апейроэдрами. Правильные мозаики плоскости {4, 4}, {3, 6} и {6, 3} также можно рассматривать как бесконечные многогранники.

В 1960-х Бранко Грюнбаум призвал геометрическое сообщество рассмотреть более абстрактные типы правильных многогранников, которые он назвал полистроматами . Он разработал теорию полистромат, показав примеры новых объектов, которые он назвал правильными апейотопами , то есть правильными многогранниками с бесконечным числом граней. Простым примером перекоса апейрогона может быть зигзаг. Кажется, он удовлетворяет определению правильного многоугольника - все ребра одинаковой длины, все углы одинаковы, и фигура не имеет свободных концов (потому что они никогда не достижимы). Что еще более важно, возможно, существуют симметрии зигзага, которые могут отображать любую пару вершины и присоединенного ребра к любой другой. С тех пор продолжали открываться другие регулярные апейрогоны и высшие апейротопы.

Правильные сложные многогранники

Комплексное число имеет вещественную часть, которая является бит мы все знакомы, и мнимую часть, которая кратна квадратный корень из минус единицы. Комплексное гильбертово пространство имеет координаты x, y, z и т. Д. В виде комплексных чисел. Это фактически удваивает количество измерений. Многогранник, построенный в таком унитарном пространстве, называется комплексным многогранником .

Абстрактные многогранники

Полукуб выводится из куба путем приравнивания противоположных вершин, ребер и граней. У него 4 вершины, 6 ребер и 3 грани.

Грюнбаум также открыл 11-элементный четырехмерный самодвойственный объект, грани которого не являются икосаэдрами, а являются «полуикосаэдрами» - то есть они представляют собой форму, которую можно получить, если рассматривать противоположные грани икосаэдров как действительные. то же лицо ( Grünbaum 1976 ). У полуикосаэдра всего 10 треугольных граней и 6 вершин, в отличие от икосаэдра, у которого их 20 и 12.

Читателю будет легче понять эту концепцию, если учесть взаимосвязь куба и полукуба. У обычного куба 8 углов, их можно обозначить буквами от A до H, где A напротив H, B напротив G и так далее. В гемикубе A и H будут рассматриваться как один и тот же угол. То же самое было бы с B и G и так далее. Ребро AB станет тем же ребром, что и GH, а грань ABEF станет той же гранью, что и CDGH. У новой формы всего три грани, 6 граней и 4 угла.

11-ячейка не может быть сформирована с помощью регулярной геометрии в плоском (евклидовом) гиперпространстве, а только в положительно искривленном (эллиптическом) гиперпространстве.

Через несколько лет после открытия Грюнбаума в части 11-клетки , Коксетер независимо друг от друга обнаружил ту же самую форму. Ранее он обнаружил подобный многогранник - 57-элементный (Coxeter 1982, 1984).

К 1994 году Грюнбаум абстрактно рассматривал многогранники как комбинаторные множества точек или вершин, и его не волновало, были ли грани плоскими. По мере того как он и другие уточняли эти идеи, такие множества стали называть абстрактными многогранниками . Абстрактный многогранник определяется как частично упорядоченное множество (poset), элементами которого являются грани многогранника (вершины, ребра, грани и т. Д.), Упорядоченные по включению . На множество накладываются определенные ограничения, аналогичные свойствам, которым удовлетворяют классические правильные многогранники (включая Платоновы тела). Однако ограничения достаточно жесткие, поэтому регулярные мозаики, полукубы и даже такие странные объекты, как 11-элементный или чужой, являются примерами правильных многогранников.

Под геометрическим многогранником понимается реализация абстрактного многогранника, при которой существует взаимно однозначное отображение абстрактных элементов в геометрические. Таким образом, любой геометрический многогранник может быть описан соответствующим абстрактным множеством, хотя не все абстрактные многогранники имеют правильные геометрические реализации.

С тех пор теория получила дальнейшее развитие, в основном McMullen & Schulte (2002) , но другие исследователи также внесли свой вклад.

Регулярность абстрактных многогранников

Регулярность имеет родственное, хотя и другое значение для абстрактных многогранников , поскольку углы и длины ребер не имеют значения.

Определение регулярности в терминах транзитивности флагов, данное во введении, применимо к абстрактным многогранникам.

Любой классический правильный многогранник имеет абстрактный регулярный эквивалент, полученный взятием множества граней. Но нерегулярные классические многогранники могут иметь обычные абстрактные эквиваленты, поскольку абстрактные многогранники, например, не заботятся об углах и длинах ребер. А правильный абстрактный многогранник не может быть реализован как классический многогранник.

Например, в абстрактном мире все многоугольники правильны, тогда как в классическом мире правильными являются только те, которые имеют равные углы и равную длину.

Вершинная фигура абстрактных многогранников

Понятие вершины фигуры также по-другому определяется для абстрактного многогранника . Фигура вершины данного абстрактного n -многогранника в данной вершине V - это множество всех абстрактных граней, содержащих V , включая саму V. Более формально это абстрактный раздел.

F _n / V = { F | V ≤ F ≤ F _n }

где F _n - максимальная грань, т. е. условная n- грань, содержащая все остальные грани. Заметим, что каждая i- грань, i ≥ 0 исходного многогранника становится ( i - 1) -границей вершинной фигуры.

В отличие от евклидовых многогранников, абстрактный многогранник с правильными гранями и фигурами вершин может сам быть правильным, а может и не быть - например, квадратная пирамида, все грани и фигуры вершин которой являются правильными абстрактными многоугольниками.

Однако классическая вершинная фигура будет реализацией абстрактной.

Конструкции

Полигоны

Традиционный способ построить правильный многоугольник или любую другую фигуру на плоскости - с помощью циркуля и линейки . Построить некоторые правильные многоугольники таким способом очень просто (самый простой - это, возможно, равносторонний треугольник), некоторые более сложные, а некоторые невозможны («не могут быть построены»). Самые простые правильные многоугольники, которые невозможно построить, - это n- сторонние многоугольники с n, равным 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, ...

Конструктивность в этом смысле относится только к идеальным конструкциям с идеальными инструментами. Конечно, достаточно точные приближения можно построить с помощью ряда методов; в то время как теоретически возможные конструкции могут оказаться непрактичными.

Многогранники

Евклид элементы дал какую сумму , чтобы правитель и компас конструкции для пяти Платоновых тел. Однако чисто практический вопрос о том, как можно провести прямую линию в пространстве даже с помощью линейки, может привести к сомнению, что именно означает «построить» правильный многогранник. (Конечно, можно задать тот же вопрос о многоугольниках.)

Сетка для икосаэдра

Английское слово «construct» означает систематическое построение конструкции. Самый распространенный способ построения правильного многогранника - раскладывающаяся сетка . Чтобы получить разворачивающуюся сетку многогранника, нужно взять поверхность многогранника и разрезать ее по краям ровно настолько, чтобы поверхность могла быть плоской. Это дает план сети развернутого многогранника. Поскольку у Платоновых тел есть только треугольники, квадраты и пятиугольники для лиц, и все они могут быть построены с помощью линейки и циркуля, существуют методы линейки и компаса для рисования этих складывающихся сетей. То же самое относится и к звездным многогранникам, хотя здесь мы должны быть осторожны, чтобы сделать сетку только для видимой внешней поверхности.

Если эта сетка нарисована на картоне или подобном складном материале (например, листовом металле), сетка может быть вырезана, сложена по неразрезанным краям, соединена по соответствующим обрезанным краям и, таким образом, образуется многогранник, для которого сетка была разработан. Для данного многогранника может быть много раскладывающихся сеток. Например, для куба их 11, а для додекаэдра - более 900000.

Многочисленные детские игрушки, обычно предназначенные для подростков или подростков, позволяют экспериментировать с правильными многоугольниками и многогранниками. Например, klikko предоставляет наборы пластиковых треугольников, квадратов, пятиугольников и шестиугольников, которые можно соединить по стыку множеством различных способов. Ребенок, играющий с такой игрушкой, может заново открыть для себя Платоновы твердые тела (или твердые тела Архимеда ), особенно если получить небольшое руководство от знающего взрослого.

Теоретически для построения правильных многогранников можно использовать практически любой материал. Их можно вырезать из дерева, слепить из проволоки, вылепить из цветного стекла. Воображение - это предел.

Высшие измерения

Сеть для тессеракта

Перспективная проекция ( диаграмма Шлегеля ) для тессеракта

Анимированный разрез 24-ячейки в разрезе .

В более высоких измерениях становится труднее сказать, что подразумевается под «конструированием» объектов. Ясно, что в трехмерной Вселенной невозможно построить физическую модель объекта, имеющего 4 или более измерений. Есть несколько подходов, которые обычно используются для решения этой проблемы.

Первый подход, подходящий для четырех измерений, использует четырехмерную стереографию. Глубина в третьем измерении представлена горизонтальным относительным смещением, глубина в четвертом измерении - вертикальным относительным смещением между левым и правым изображениями стереографа.

Второй подход заключается во встраивании многомерных объектов в трехмерное пространство с использованием методов, аналогичных способам рисования трехмерных объектов на плоскости. Например, раскладывающиеся сети, упомянутые в предыдущем разделе, имеют эквиваленты более высоких измерений. Можно даже представить, как построить модель этой разворачивающейся сети, как нарисовать разворачивающуюся сетку многогранника на листе бумаги. К сожалению, из-за ограничений физической вселенной мы никогда не смогли выполнить необходимое сворачивание трехмерной структуры для получения четырехмерного многогранника. Другой способ «нарисовать» многомерные формы в 3-х измерениях - это использовать какую-то проекцию, например, аналог ортогональной или перспективной проекции. В известной книге Кокстера о многогранниках ( Coxeter 1948 ) есть несколько примеров таких орфографических проекций. Обратите внимание, что погружение даже четырехмерной полихоры непосредственно в два измерения довольно запутано. Легче понять трехмерные модели прогнозов. Такие модели иногда можно найти в научных музеях или на математических факультетах университетов (например, в Université Libre de Bruxelles ).

Пересечение четырехмерного (или более высокого) правильного многогранника с трехмерной гиперплоскостью будет многогранником (не обязательно правильным). Если гиперплоскость перемещается по фигуре, трехмерные срезы могут быть объединены, анимированы в своего рода четырехмерный объект, где четвертое измерение принимается за время. Таким образом, мы можем увидеть (если не полностью понять) полную четырехмерную структуру четырехмерных регулярных многогранников через такие разрезы. Это аналогично тому, как компьютерная томография воссоздает двухмерные изображения, чтобы сформировать трехмерное представление сканируемых органов. Идеальным вариантом была бы какая-то анимированная голограмма , однако даже простая анимация, подобная показанной, уже может дать некоторое ограниченное представление о структуре многогранника.

Другой способ, которым трехмерный зритель может понять структуру четырехмерного многогранника, - это «погружение» в объект, возможно, с помощью какой-либо технологии виртуальной реальности . Чтобы понять, как это может работать, представьте, что можно было бы увидеть, если бы пространство было заполнено кубиками. Зритель будет внутри одного из кубов и сможет видеть кубики спереди, сзади, сверху, снизу, слева и справа от себя. Если бы можно было путешествовать в этих направлениях, можно было бы исследовать массив кубов и понять его геометрическую структуру. Бесконечный массив кубов не многогранник в традиционном смысле этого слова. По сути, это мозаика трехмерного ( евклидова ) пространства. Однако 4-многогранник можно рассматривать как мозаику трехмерного неевклидова пространства, а именно мозаику поверхности четырехмерной сферы (4-мерную сферическую мозаику ).

Регулярные додекаэдрические соты {5,3,4} гиперболического пространства, спроецированные в 3-пространство.

Локально это пространство похоже на то, с которым мы знакомы, и поэтому система виртуальной реальности в принципе может быть запрограммирована так, чтобы позволять исследовать эти «мозаики», то есть четырехмерные правильные многогранники. Отдел математики в UIUC имеет ряд картин , что можно было бы увидеть , если встроенные в тесселяции из гиперболического пространства с додекаэдрами. Такая мозаика образует пример бесконечного абстрактного правильного многогранника.

Обычно для абстрактных правильных многогранников математик считает, что объект «построен», если известна структура его группы симметрии . Это связано с важной теоремой при изучении абстрактных регулярных многогранников, предоставляющей технику, которая позволяет строить абстрактный регулярный многогранник по его группе симметрии стандартным и простым способом.

Правильные многогранники в природе

Примеры полигонов в природе см.

Каждое из Платоновых тел встречается в природе в той или иной форме:

Смотрите также

Внешние ссылки

Ольшевский, Георгий. «Правильный многогранник» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
Атлас малых правильных многогранников - Список абстрактных правильных многогранников.

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
Семья	А _п	B _n	I ₂ (p) / D _n	E ₆ / E ₇ / E ₈ / F ₄ / G ₂	H _n
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадратный	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб.	5-полукруглый
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб.	6-полукуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукруглый	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб.	8-полукруглый	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Равномерное n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - demicube	1 _к2 • 2 _к1 • к ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

Languages

In other projects

Правильный многогранник - Regular polytope

СОДЕРЖАНИЕ

Классификация и описание

Символы Шлефли

Двойственность правильных многогранников

Регулярные симплексы

Измерьте многогранники (гиперкубы)

Кросс-многогранники (ортоплексы)

История открытия

Выпуклые многоугольники и многогранники

Звездные многоугольники и многогранники

Многомерные многогранники

Апейотопы - бесконечные многогранники

Правильные сложные многогранники

Абстрактные многогранники

Регулярность абстрактных многогранников

Вершинная фигура абстрактных многогранников

Конструкции

Полигоны

Многогранники

Высшие измерения

Правильные многогранники в природе

Смотрите также

Рекомендации

Заметки

Библиография

Внешние ссылки