Антипризма - Antiprism

Набор однородных n -угольных антипризм
Пример однородной шестиугольной антипризмы
Тип	равномерный в смысле полуправильного многогранника
Лица	2 { n } + 2 n {3}
Края	4 п
Вершины	2 п
Обозначения многогранника Конвея	А п
Конфигурация вершины	3.3.3. п
Символ Шлефли	{} ⊗ { n } s {2,2 n } sr {2, n }
Диаграммы Кокстера
Группа симметрии	D _{n d} , [2 ⁺ , 2 n ], (2 * n ), порядок 4 n
Группа вращения	D _n , [2, n ] ⁺ , (22 n ), порядок 2 n
Двойной многогранник	выпуклый двойственно-однородный n -угольный трапецоэдр
Характеристики	выпуклые , вершинно-транзитивные , правильные многоугольники , конгруэнтные и коаксиальные основания
Сеть	Пример однородной эннеагональной антипризматической сети (n = 9)

В геометрии , п -gonal антипризмы или п -antiprism представляет собой полиэдр , состоящий из двух параллельных прямых копий (не зеркальные изображений) в качестве п односторонний многоугольника , соединенных переменной полосой 2 п треугольников .

Антипризмы являются подклассом призматоидов и представляют собой (вырожденный) тип курносых многогранников .

Антипризмы похожи на призмы , за исключением того, что основания скручены относительно друг друга, а боковые грани (соединяющие основания) представляют собой 2 n треугольников, а не n четырехугольников.

Правая антипризма

Для антипризмы с правильными основаниями n -угольников обычно рассматривается случай, когда эти две копии закручены на угол180/п градусов.

Ось правильного многоугольника является линией , перпендикулярной к плоскости многоугольника и лежащим в многоугольнике центре.

Для антипризмы с равными правильными основаниями n-угольников, закрученных на угол180/пградусов, большая регулярность получается, если основания имеют одну и ту же ось: соосны ; т.е. (для некомпланарных оснований): если линия, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскостям основания. Тогда антипризма называется правой антипризмой , а ее 2 n боковых граней - равнобедренными треугольниками.

Равномерная антипризма

У однородной антипризмы есть две совпадающие правильные n-угольники базовые грани и 2 n равносторонних треугольника в качестве боковых граней.

Равномерные антипризмы образуют бесконечный класс вершинно-транзитивных многогранников, как и равномерные призмы. При n = 2 мы имеем правильный тетраэдр как двуугольную антипризму (вырожденную антипризму); при n = 3 правильный октаэдр как треугольная антипризма (невырожденная антипризма).

Двойные многогранники из антипризм являются trapezohedra .

Обсуждалось существование антипризм, и их название было придумано Иоганном Кеплером , хотя возможно, что они были ранее известны Архимеду , поскольку они удовлетворяют тем же условиям на гранях и вершинах, что и архимедовы тела .

Семейство однородных n -угольных антипризм

v

т

е
Название антипризмы	Дигональная антипризма	(Тригональная) Треугольная антипризма	(Тетрагональная) Квадратная антипризма	Пятиугольная антипризма	Шестиугольная антипризма	Семиугольная антипризма	Восьмиугольная антипризма	Эннеагональная антипризма	Десятиугольная антипризма	Хендекагональная антипризма	Додекагональная антипризма	...	Апейрогональная антипризма
Изображение многогранника												...
Сферическое мозаичное изображение												Плоское мозаичное изображение
Конфигурация вершины.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...	∞.3.3.3

Диаграммы Шлегеля

A3	A4	A5	A6	A7	A8

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин правой антипризмы (т.е. с правильными основаниями из n -угольников и равнобедренными боковыми гранями) равны

{\ displaystyle \ left (\ cos {\ frac {k \ pi} {n}}, \ sin {\ frac {k \ pi} {n}}, (- 1) ^ {k} h \ right)}

с k в диапазоне от 0 до 2 n - 1;

если треугольники равносторонние, то

{\ displaystyle 2h ^ {2} = \ cos {\ frac {\ pi} {n}} - \ cos {\ frac {2 \ pi} {n}}.}

Объем и площадь поверхности

Пусть a - длина ребра однородной антипризмы; тогда объем

{\ displaystyle V = {\ frac {n {\ sqrt {4 \ cos ^ {2} {\ frac {\ pi} {2n}} - 1}} \ sin {\ frac {3 \ pi} {2n}} } {12 \ sin ^ {2} {\ frac {\ pi} {n}}}} ~ a ^ {3},}

и площадь поверхности

{\ displaystyle A = {\ frac {n} {2}} \ left (\ cot {\ frac {\ pi} {n}} + {\ sqrt {3}} \ right) a ^ {2}.}

Связанные многогранники

Существует бесконечное множество усеченных антипризм, включая форму усеченного октаэдра с более низкой симметрией (усеченная треугольная антипризма). Их можно чередовать, чтобы создать курносые антипризмы , две из которых являются твердыми телами Джонсона , а курносая треугольная антипризма является формой икосаэдра с более низкой симметрией .

Антипризмы
				...
с {2,4}	с {2,6}	с {2,8}	с {2,10}	с {2,2 н }
Усеченные антипризмы
				...
ts {2,4}	ts {2,6}	ts {2,8}	тс {2,10}	ts {2,2n}
Курносые антипризмы
J ₈₄	Икосаэдр	J ₈₅	Неровные лица ...
				...
сс {2,4}	сс {2,6}	сс {2,8}	сс {2,10}	сс {2,2n}

Симметрия

Группа симметрии из правого п -antiprism (т.е. с регулярными основаниями и равнобедренной боковые поверхности) является Г _{п г} 4 - го порядка п , за исключением случаев:

n = 2: правильный тетраэдр , который имеет большую группу симметрии T _d порядка 24 = 3 × (4 × 2), который имеет три версии D _{2d в} качестве подгрупп;

n = 3: правильный октаэдр , который имеет большую группу симметрии O _h порядка 48 = 4 × (4 × 3), который имеет четыре версии D _{3d в} качестве подгрупп.

Группа симметрии содержит инверсию тогда и только тогда, когда n нечетно.

Группа вращения - это D _n порядка 2 n , за исключением случаев:

n = 2: правильный тетраэдр, который имеет большую группу вращений T порядка 12 = 3 × (2 × 2), который имеет три версии D _{2 в} качестве подгрупп;

n = 3: правильный октаэдр, который имеет большую группу вращений O порядка 24 = 4 × (2 × 3), который имеет четыре версии D _{3 в} качестве подгрупп.

Звездная антипризма

5/2-антипризма			5/3-антипризма
9/2-антипризма		9/4-антипризма		9/5-антипризма

Это показывает все антипризмы, отличные от звезды, и звезды, вплоть до 15 сторон - вместе с таковыми икосикаеннагона.

Однородные звездные антипризмы названы по основанию их звездного многоугольника , { p / q }, и существуют в прямом и ретроградном (скрещенных) решениях. Скрещенные формы имеют пересекающиеся фигуры вершин и обозначаются «перевернутыми» дробями: p / ( p - q ) вместо p / q ; пример: 5/3 вместо 5/2.

Правая звезда антипризма имеет два конгруэнтен коаксиальные регулярные выпуклые или звезда многоугольные базовые лиц, и 2 п равнобедренный треугольник боковые поверхности.

Любую звездную антипризму с правильными выпуклыми основаниями или основаниями звездообразного многоугольника можно превратить в правильную звездную антипризму (при необходимости сдвигая и / или скручивая одно из ее оснований).

В ретроградных формах, но не в прямолинейных, треугольники, соединяющие выпуклые или звездные основания, пересекают ось вращательной симметрии. Таким образом:

Ретроградные звездные антипризмы с правильными выпуклыми основаниями многоугольника не могут иметь равные длины ребер, поэтому не могут быть однородными. «Исключение»: ретроградная звездная антипризма с основаниями равностороннего треугольника (конфигурация вершин: 3.3 / 2.3.3) может быть однородной; но тогда он имеет вид равностороннего треугольника: это вырожденный звездный многогранник.

Точно так же некоторые ретроградные звездные антипризмы с правильным основанием звездообразного многоугольника не могут иметь равные длины ребер, поэтому не могут быть однородными. Пример: ретроградная звездная антипризма с правильными звездными 7/5-угольными основаниями (конфигурация вершин: 3.3.3.7/5) не может быть однородной.

Кроме того, можно построить соединения звездной антипризмы с правильными основаниями звездообразных p / q -угольников, если p и q имеют общие множители. Пример: звездная 10/4-антипризма представляет собой соединение двух звездчатых 5/2-антипризм.

Звездные p / q -антипризмы по симметрии для p ≤ 12
Группа симметрии	Однородные звезды			Правые звезды
D _4d [2 ⁺ , 8] (2 * 4)				3.3 / 2.3.4
D _5ч [2,5] (* 225)	3.3.3.5/2			3.3 / 2.3.5
D _5d [2 ⁺ , 10] (2 * 5)	3.3.3.5/3
D _6d [2 ⁺ , 12] (2 * 6)				3.3 / 2.3.6
D _7h [2,7] (* 227)	3.3.3.7/2	3.3.3.7/4
Д _7д [ ²⁺ , 14] (2 * 7)	3.3.3.7/3
D _8d [2 ⁺ , 16] (2 * 8)	3.3.3.8/3	3.3.3.8/5
D _9h [2,9] (* 229)	3.3.3.9/2	3.3.3.9/4
D _9d [ ²⁺ , 18] (2 * 9)	3.3.3.9/5
Д _10д [ ²⁺ , 20] (2 * 10)	3.3.3.10/3
D _11h [2,11] (* 2.2.11)	3.3.3.11/2	3.3.3.11/4	3.3.3.11/6
D _11d [ ²⁺ , 22] (2 * 11)	3.3.3.11/3	3.3.3.11/5	3.3.3.11/7
D _12d [2 ⁺ , 24] (2 * 12)	3.3.3.12/5	3.3.3.12/7
...	...

Смотрите также

Апейрогональная антипризма
Ректифицированная антипризма
Большая антипризма - четырехмерный многогранник
One World Trade Center , здание, состоящее в основном из вытянутой квадратной антипризмы
Наклон многоугольника

использованная литература

Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 2: Архимедовы многогранники, призмы и антипризмы

Languages

In other projects