Равномерный 9-многогранник - Uniform 9-polytope
В девяти-мерной геометрии , А девять-мерный многогранник или 9-многогранник является многогранником , содержащийся на 8-многограннике грани. Каждый гребень 7-многогранников разделяет ровно две грани 8-многогранников .
Равномерная 9-многогранник является одним , который является вершиной-симметрический , и строится из равномерных 8-многогранника граней .
Правильные 9-многогранники
Правильные 9-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p, q, r, s, t, u, v, w} с гранями 8-многогранников w {p, q, r, s, t, u, v} вокруг каждой вершины .
Таких выпуклых правильных 9-многогранников ровно три :
- {3,3,3,3,3,3,3,3} - 9-симплекс
- {4,3,3,3,3,3,3,3} - 9-куб.
- {3,3,3,3,3,3,3,4} - 9-ортоплекс
Не существует невыпуклых правильных 9-многогранников.
Эйлерова характеристика
Топология любого данного 9-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения .
Значение характеристики Эйлера, используемой для характеристики многогранников, бесполезно обобщается на более высокие измерения, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти.
Точно так же понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения.
Равномерные 9-многогранники фундаментальными группами Кокстера
Равномерные 9-многогранники с отражающей симметрией могут быть порождены этими тремя группами Кокстера, представленными перестановками колец диаграмм Кокстера-Дынкина :
Группа Кокстера | Диаграмма Кокстера-Дынкина | |
---|---|---|
А 9 | [3 8 ] | |
В 9 | [4,3 7 ] | |
D 9 | [3 6,1,1 ] |
Выбранные регулярные и равномерные 9-многогранники из каждого семейства включают:
-
Семейство симплексных : A 9 [3 8 ] -
- 271 равномерный 9-многогранник как перестановка колец в групповой диаграмме, включая один регулярный:
- {3 8 } - 9-симплекс или дека-9-топ или гнилой хлопок -
- 271 равномерный 9-многогранник как перестановка колец в групповой диаграмме, включая один регулярный:
-
Семейство гиперкубов / ортоплексов : B 9 [4,3 8 ] -
- 511 равномерных 9-многогранников как перестановок колец в групповой диаграмме, в том числе два регулярных:
- {4,3 7 } - 9-куб или аннеракт -
- {3 7 , 4} - 9-ортоплекс или эннеакросс -
- 511 равномерных 9-многогранников как перестановок колец в групповой диаграмме, в том числе два регулярных:
-
Семейство Demihypercube D 9 : [3 6,1,1 ] -
- 383 однородных 9-многогранников как перестановок колец в групповой диаграмме, в том числе:
- {3 1,6,1 } - 9-полукуб или демиеннеракт , 1 61 -; также как h {4,3 8 }.
- {3 6,1,1 } - 9-ортоплекс , 6 11 -
- 383 однородных 9-многогранников как перестановок колец в групповой диаграмме, в том числе:
Аналого 9 семьи
Семейство A 9 имеет симметрию порядка 3628800 (10 факториал).
Существует 256 + 16-1 = 271 форма, основанная на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами. Все они перечислены ниже. Названия акронимов в стиле Bowers даны в скобках для перекрестных ссылок.
# | График |
Диаграмма Кокстера-Дынкина Символ Шлефли Имя |
Количество элементов | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
8 лиц | 7 лиц | 6 лиц | 5 лиц | 4-гранный | Клетки | Лица | Края | Вершины | |||
1 |
|
10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | |
2 |
|
360 | 45 | ||||||||
3 |
|
1260 | 120 | ||||||||
4 |
|
2520 | 210 | ||||||||
5 |
|
3150 | 252 | ||||||||
6 |
|
405 | 90 | ||||||||
7 |
|
2880 | 360 | ||||||||
8 |
|
1620 | 360 | ||||||||
9 |
|
8820 | 840 | ||||||||
10 |
|
10080 | 1260 | ||||||||
11 |
|
3780 | 840 | ||||||||
12 |
|
15120 | 1260 | ||||||||
13 |
|
26460 | 2520 | ||||||||
14 |
|
20160 | 2520 | ||||||||
15 |
|
5670 | 1260 | ||||||||
16 |
|
15750 | 1260 | ||||||||
17 |
|
37800 | 3150 | ||||||||
18 |
|
44100 | 4200 | ||||||||
19 |
|
25200 | 3150 | ||||||||
20 |
|
10080 | 840 | ||||||||
21 год |
|
31500 | 2520 | ||||||||
22 |
|
50400 | 4200 | ||||||||
23 |
|
3780 | 360 | ||||||||
24 |
|
15120 | 1260 | ||||||||
25 |
|
720 | 90 | ||||||||
26 год |
|
3240 | 720 | ||||||||
27 |
|
18900 | 2520 | ||||||||
28 год |
|
12600 | 2520 | ||||||||
29 |
|
11340 | 2520 | ||||||||
30 |
|
47880 | 5040 | ||||||||
31 год |
|
60480 | 7560 | ||||||||
32 |
|
52920 | 7560 | ||||||||
33 |
|
27720 | 5040 | ||||||||
34 |
|
41580 | 7560 | ||||||||
35 год |
|
22680 | 5040 | ||||||||
36 |
|
66150 | 6300 | ||||||||
37 |
|
126000 | 12600 | ||||||||
38 |
|
107100 | 12600 | ||||||||
39 |
|
107100 | 12600 | ||||||||
40 |
|
151200 | 18900 | ||||||||
41 год |
|
81900 | 12600 | ||||||||
42 |
|
37800 | 6300 | ||||||||
43 год |
|
81900 | 12600 | ||||||||
44 год |
|
75600 | 12600 | ||||||||
45 |
|
28350 | 6300 | ||||||||
46 |
|
52920 | 5040 | ||||||||
47 |
|
138600 | 12600 | ||||||||
48 |
|
113400 | 12600 | ||||||||
49 |
|
176400 | 16800 | ||||||||
50 |
|
239400 | 25200 | ||||||||
51 |
|
126000 | 16800 | ||||||||
52 |
|
113400 | 12600 | ||||||||
53 |
|
226800 | 25200 | ||||||||
54 |
|
201600 | 25200 | ||||||||
55 |
|
32760 | 5040 | ||||||||
56 |
|
94500 | 12600 | ||||||||
57 год |
|
23940 | 2520 | ||||||||
58 |
|
83160 | 7560 | ||||||||
59 |
|
64260 | 7560 | ||||||||
60 |
|
144900 | 12600 | ||||||||
61 |
|
189000 | 18900 | ||||||||
62 |
|
138600 | 12600 | ||||||||
63 |
|
264600 | 25200 | ||||||||
64 |
|
71820 | 7560 | ||||||||
65 |
|
17640 | 2520 | ||||||||
66 |
|
5400 | 720 | ||||||||
67 |
|
25200 | 2520 | ||||||||
68 |
|
57960 | 5040 | ||||||||
69 |
|
75600 | 6300 | ||||||||
70 |
|
22680 | 5040 | ||||||||
71 |
|
105840 | 15120 | ||||||||
72 |
|
75600 | 15120 | ||||||||
73 |
|
75600 | 15120 | ||||||||
74 |
|
68040 | 15120 | ||||||||
75 |
|
214200 | 25200 | ||||||||
76 |
|
283500 | 37800 | ||||||||
77 |
|
264600 | 37800 | ||||||||
78 |
|
245700 | 37800 | ||||||||
79 |
|
138600 | 25200 | ||||||||
80 |
|
226800 | 37800 | ||||||||
81 год |
|
189000 | 37800 | ||||||||
82 |
|
138600 | 25200 | ||||||||
83 |
|
207900 | 37800 | ||||||||
84 |
|
113400 | 25200 | ||||||||
85 |
|
226800 | 25200 | ||||||||
86 |
|
453600 | 50400 | ||||||||
87 |
|
403200 | 50400 | ||||||||
88 |
|
378000 | 50400 | ||||||||
89 |
|
403200 | 50400 | ||||||||
90 |
|
604800 | 75600 | ||||||||
91 |
|
529200 | 75600 | ||||||||
92 |
|
352800 | 50400 | ||||||||
93 |
|
529200 | 75600 | ||||||||
94 |
|
302400 | 50400 | ||||||||
95 |
|
151200 | 25200 | ||||||||
96 |
|
352800 | 50400 | ||||||||
97 |
|
277200 | 50400 | ||||||||
98 |
|
352800 | 50400 | ||||||||
99 |
|
491400 | 75600 | ||||||||
100 |
|
252000 | 50400 | ||||||||
101 |
|
151200 | 25200 | ||||||||
102 |
|
327600 | 50400 | ||||||||
103 |
|
128520 | 15120 | ||||||||
104 |
|
359100 | 37800 | ||||||||
105 |
|
302400 | 37800 | ||||||||
106 |
|
283500 | 37800 | ||||||||
107 |
|
478800 | 50400 | ||||||||
108 |
|
680400 | 75600 | ||||||||
109 |
|
604800 | 75600 | ||||||||
110 |
|
378000 | 50400 | ||||||||
111 |
|
567000 | 75600 | ||||||||
112 |
|
321300 | 37800 | ||||||||
113 |
|
680400 | 75600 | ||||||||
114 |
|
567000 | 75600 | ||||||||
115 |
|
642600 | 75600 | ||||||||
116 |
|
907200 | 113400 | ||||||||
117 |
|
264600 | 37800 | ||||||||
118 |
|
98280 | 15120 | ||||||||
119 |
|
302400 | 37800 | ||||||||
120 |
|
226800 | 37800 | ||||||||
121 |
|
428400 | 50400 | ||||||||
122 |
|
302400 | 37800 | ||||||||
123 |
|
98280 | 15120 | ||||||||
124 |
|
35280 | 5040 | ||||||||
125 |
|
136080 | 15120 | ||||||||
126 |
|
105840 | 15120 | ||||||||
127 |
|
252000 | 25200 | ||||||||
128 |
|
340200 | 37800 | ||||||||
129 |
|
176400 | 25200 | ||||||||
130 |
|
252000 | 25200 | ||||||||
131 |
|
504000 | 50400 | ||||||||
132 |
|
453600 | 50400 | ||||||||
133 |
|
136080 | 15120 | ||||||||
134 |
|
378000 | 37800 | ||||||||
135 |
|
35280 | 5040 | ||||||||
136 |
|
136080 | 30240 | ||||||||
137 |
|
491400 | 75600 | ||||||||
138 |
|
378000 | 75600 | ||||||||
139 |
|
378000 | 75600 | ||||||||
140 |
|
378000 | 75600 | ||||||||
141 |
|
340200 | 75600 | ||||||||
142 |
|
756000 | 100800 | ||||||||
143 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
144 |
|
982800 | 151200 | ||||||||
145 |
|
982800 | 151200 | ||||||||
146 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
147 |
|
554400 | 100800 | ||||||||
148 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
149 |
|
831600 | 151200 | ||||||||
150 |
|
756000 | 151200 | ||||||||
151 |
|
554400 | 100800 | ||||||||
152 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
153 |
|
756000 | 151200 | ||||||||
154 |
|
554400 | 100800 | ||||||||
155 |
|
831600 | 151200 | ||||||||
156 |
|
453600 | 100800 | ||||||||
157 |
|
567000 | 75600 | ||||||||
158 |
|
1209600 | 151200 | ||||||||
159 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
160 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
161 |
|
982800 | 151200 | ||||||||
162 |
|
1134000 | 151200 | ||||||||
163 |
|
1701000 | 226800 | ||||||||
164 |
|
1587600 | 226800 | ||||||||
165 |
|
1474200 | 226800 | ||||||||
166 |
|
982800 | 151200 | ||||||||
167 |
|
1587600 | 226800 | ||||||||
168 |
|
1360800 | 226800 | ||||||||
169 |
|
982800 | 151200 | ||||||||
170 |
|
1474200 | 226800 | ||||||||
171 |
|
453600 | 75600 | ||||||||
172 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
173 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
174 |
|
831600 | 151200 | ||||||||
175 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
176 |
|
1587600 | 226800 | ||||||||
177 |
|
1360800 | 226800 | ||||||||
178 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
179 |
|
453600 | 75600 | ||||||||
180 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
181 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
182 |
|
453600 | 75600 | ||||||||
183 |
|
196560 | 30240 | ||||||||
184 |
|
604800 | 75600 | ||||||||
185 |
|
491400 | 75600 | ||||||||
186 |
|
491400 | 75600 | ||||||||
187 |
|
856800 | 100800 | ||||||||
188 |
|
1209600 | 151200 | ||||||||
189 |
|
1134000 | 151200 | ||||||||
190 |
|
655200 | 100800 | ||||||||
191 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
192 |
|
655200 | 100800 | ||||||||
193 |
|
604800 | 75600 | ||||||||
194 |
|
1285200 | 151200 | ||||||||
195 |
|
1134000 | 151200 | ||||||||
196 |
|
1209600 | 151200 | ||||||||
197 |
|
1814400 | 226800 | ||||||||
198 |
|
491400 | 75600 | ||||||||
199 |
|
196560 | 30240 | ||||||||
200 |
|
604800 | 75600 | ||||||||
201 |
|
856800 | 100800 | ||||||||
202 |
|
680400 | 151200 | ||||||||
203 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
204 |
|
1512000 | 302400 | ||||||||
205 |
|
1512000 | 302400 | ||||||||
206 |
|
1512000 | 302400 | ||||||||
207 |
|
1512000 | 302400 | ||||||||
208 |
|
1360800 | 302400 | ||||||||
209 |
|
1965600 | 302400 | ||||||||
210 |
|
2948400 | 453600 | ||||||||
211 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
212 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
213 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
214 |
|
2494800 | 453600 | ||||||||
215 |
|
1663200 | 302400 | ||||||||
216 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
217 |
|
2494800 | 453600 | ||||||||
218 |
|
2494800 | 453600 | ||||||||
219 |
|
2268000 | 453600 | ||||||||
220 |
|
1663200 | 302400 | ||||||||
221 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
222 |
|
2494800 | 453600 | ||||||||
223 |
|
2268000 | 453600 | ||||||||
224 |
|
1663200 | 302400 | ||||||||
225 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
226 |
|
1663200 | 302400 | ||||||||
227 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
228 |
|
2116800 | 302400 | ||||||||
229 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
230 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
231 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
232 |
|
2116800 | 302400 | ||||||||
233 |
|
3175200 | 453600 | ||||||||
234 |
|
2948400 | 453600 | ||||||||
235 |
|
2948400 | 453600 | ||||||||
236 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
237 |
|
2948400 | 453600 | ||||||||
238 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
239 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
240 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
241 |
|
2116800 | 302400 | ||||||||
242 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
243 |
|
2116800 | 302400 | ||||||||
244 |
|
3175200 | 453600 | ||||||||
245 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
246 |
|
2721600 | 604800 | ||||||||
247 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
248 |
|
4536000 | 907200 | ||||||||
249 |
|
4536000 | 907200 | ||||||||
250 |
|
4536000 | 907200 | ||||||||
251 |
|
4536000 | 907200 | ||||||||
252 |
|
4536000 | 907200 | ||||||||
253 |
|
4082400 | 907200 | ||||||||
254 |
|
3326400 | 604800 | ||||||||
255 |
|
5443200 | 907200 | ||||||||
256 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
257 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
258 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
259 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
260 |
|
3326400 | 604800 | ||||||||
261 |
|
5443200 | 907200 | ||||||||
262 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
263 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
264 |
|
3326400 | 604800 | ||||||||
265 |
|
5443200 | 907200 | ||||||||
266 |
|
8164800 | 1814400 | ||||||||
267 |
|
9072000 | 1814400 | ||||||||
268 |
|
9072000 | 1814400 | ||||||||
269 |
|
9072000 | 1814400 | ||||||||
270 |
|
9072000 | 1814400 | ||||||||
271 |
|
16329600 | 3628800 |
B 9 семьи
Существует 511 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Дынкина с одним или несколькими кольцами.
Ниже показаны одиннадцать случаев: девять исправленных форм и 2 усечения. Названия акронимов в стиле Bowers даны в скобках для перекрестных ссылок. Названия акронимов в стиле Bowers даны в скобках для перекрестных ссылок.
# | График |
Диаграмма Кокстера-Дынкина Символ Шлефли Имя |
Количество элементов | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
8 лиц | 7 лиц | 6 лиц | 5 лиц | 4-гранный | Клетки | Лица | Края | Вершины | ||||
1 |
t 0 {4,3,3,3,3,3,3,3} 9-куб (энне) |
18 | 144 | 672 | 2016 г. | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | ||
2 |
t 0,1 {4,3,3,3,3,3,3,3} Усеченный 9-куб (десять) |
2304 | 4608 | |||||||||
3 |
t 1 {4,3,3,3,3,3,3,3} Ректифицированный 9-куб (ren) |
18432 | 2304 | |||||||||
4 |
т 2 {4,3,3,3,3,3,3,3} Биректифицированный 9-куб (сарай) |
64512 | 4608 | |||||||||
5 |
т 3 {4,3,3,3,3,3,3,3} Триректифицированный 9-куб (каркас) |
96768 | 5376 | |||||||||
6 |
t 4 {4,3,3,3,3,3,3,3} Квадриректифицированный 9-куб (nav) (Четырехректированный 9-ортоплекс) |
80640 | 4032 | |||||||||
7 |
t 3 {3,3,3,3,3,3,3,4} Триректифицированный 9-ортоплекс (tarv) |
40320 | 2016 г. | |||||||||
8 |
t 2 {3,3,3,3,3,3,3,4} Биректифицированный 9-ортоплекс (brav) |
12096 | 672 | |||||||||
9 |
t 1 {3,3,3,3,3,3,3,4} Выпрямленный 9-ортоплекс (riv) |
2016 г. | 144 | |||||||||
10 |
t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,4} Усеченный 9-ортоплекс (tiv) |
2160 | 288 | |||||||||
11 |
t 0 {3,3,3,3,3,3,3,4} 9-ортоплекс (vee) |
512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 г. | 672 | 144 | 18 |
D 9 семьи
Семейство D 9 имеет симметрию порядка 92 897 280 (9 факториалов × 2 8 ).
Это семейство состоит из 3 × 128−1 = 383 однородных многогранников Витоффа, созданных пометкой одного или нескольких узлов диаграммы Кокстера-Дынкина D 9 . Из них 255 (2 × 128-1) повторяются из семейства B 9, а 128 являются уникальными для этого семейства, с восемью формами с 1 или 2 кольцами, перечисленными ниже. Названия акронимов в стиле Bowers даны в скобках для перекрестных ссылок.
# | Графики плоскости Кокстера |
Диаграмма Кокстера-Дынкина символ Шлефли |
Базовая точка (с альтернативной подписью) |
Количество элементов | Circumrad | ||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
В 9 | D 9 | D 8 | Д 7 | D 6 | D 5 | D 4 | D 3 | А 7 | А 5 | А 3 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | ||||
1 |
9-demicube (henne) |
(1,1,1,1,1,1,1,1,1) | 274 | 2448 | 9888 | 23520 | 36288 | 37632 | 21404 | 4608 | 256 | 1,0606601 | |||||||||||
2 |
Усеченный 9-demicube (thenne) |
(1,1,3,3,3,3,3,3,3) | 69120 | 9216 | 2,8504384 | ||||||||||||||||||
3 |
Сквозной 9-полукуб |
(1,1,1,3,3,3,3,3,3) | 225792 | 21504 | 2,6692696 | ||||||||||||||||||
4 |
Runcinated 9-demicube |
(1,1,1,1,3,3,3,3,3) | 419328 | 32256 | 2,4748735 | ||||||||||||||||||
5 |
Стерифицированный 9-полукруглый |
(1,1,1,1,1,3,3,3,3) | 483840 | 32256 | 2,2638462 | ||||||||||||||||||
6 |
Пятиугольник 9-полукуб |
(1,1,1,1,1,1,3,3,3) | 354816 | 21504 | 2,0310094 | ||||||||||||||||||
7 |
Проклятый 9-полукуб |
(1,1,1,1,1,1,1,3,3) | 161280 | 9216 | 1,7677668 | ||||||||||||||||||
8 |
Зубчатый 9-полукуб |
(1,1,1,1,1,1,1,1,3) | 41472 | 2304 | 1,4577379 |
Обычные и однородные соты
Есть пять фундаментальных аффинных групп Кокстера, которые генерируют регулярные и однородные мозаики в 8-пространстве:
# | Группа Кокстера | Диаграмма Кокстера | Формы | |
---|---|---|---|---|
1 | [3 [9] ] | 45 | ||
2 | [4,3 6 , 4] | 271 | ||
3 | h [4,3 6 , 4] [4,3 5 , 3 1,1 ] |
383 (128 новых) | ||
4 | q [4,3 6 , 4] [3 1,1 , 3 4 , 3 1,1 ] |
155 (15 новых) | ||
5 | [3 5,2,1 ] | 511 |
Обычные и однородные мозаики включают:
-
45 уникально окольцованных форм
- 8-односторонние соты : {3 [9] }
-
271 уникально окольцованная форма
- Обычные 8-кубовые соты : {4,3 6 , 4},
-
: 383 формы с уникальными кольцами, 255 совместно используемых , 128 новых.
- Сота с 8 полукубами : h {4,3 6 , 4} или {3 1,1 , 3 5 , 4}, или
- , [3 1,1 , 3 4 , 3 1,1 ]: 155 уникальных перестановок колец и 15 новых, первое,Кокстер назвал четверть 8-кубической соты , представив ее как q {4,3 6 , 4} или qδ 9 .
- 511 форм
Регулярные и однородные гиперболические соты
Не существует компактных гиперболических групп Кокстера ранга 9, групп, которые могут порождать соты со всеми конечными фасетами и конечной фигуры вершины . Однако существует 4 некомпактных гиперболических группы Кокстера ранга 9, каждая из которых порождает однородные соты в 8-пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера.
= [3,3 [8] ]: |
= [3 1,1 , 3 3 , 3 2,1 ]: |
= [4,3 4 , 3 2,1 ]: |
= [3 4,3,1 ]: |
использованная литература
- Т. Госсет : О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Macmillan, 1900
- А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных из регулярных многогранников и заполнений пространства , Верханделинген из академии Koninklijke van Wetenschappen, единица ширины Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910 г.
-
HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins и JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954.
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
-
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995,
ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Регулярные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Клитцинг, Ричард. «9D однородные многогранники (polyyotta)» .
внешние ссылки
- Имена многогранников
- Многогранники разных измерений , Джонатан Бауэрс
- Многомерный глоссарий
- Глоссарий по гиперпространству , Георгий Ольшевский.
Космос | Семья | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E 2 | Равномерная черепица | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Шестиугольный |
E 3 | Равномерно выпуклые соты | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Равномерные 4-соты | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | 24-ячеечные соты |
E 5 | Равномерные 5-соты | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Равномерные 6-соты | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Равномерные 7-соты | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Равномерные 8-соты | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Равномерные 9-соты | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E 10 | Равномерные 10-соты | {3 [11] } | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
E n -1 | Uniform ( n -1) - соты | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 к2 • 2 к1 • к 21 |