Список тем по абстрактной алгебре - List of abstract algebra topics
Абстрактная алгебра - это предметная область математики , изучающая алгебраические структуры , такие как группы , кольца , поля , модули , векторные пространства и алгебры . Фраза абстрактная алгебра была придумана на рубеже 20-го века, чтобы отличить эту область от того, что обычно называлось алгеброй , изучения правил манипулирования формулами и алгебраическими выражениями, включающими неизвестные и действительные или комплексные числа , которые часто теперь называют элементарной алгеброй. . В более поздних работах такое различие проводится редко.
Базовый язык
Алгебраические структуры определяются прежде всего как множества с операциями .
-
Алгебраическая структура
- Подобъекты : подгруппа , подкольцо , подалгебра , подмодуль и т. Д.
- Бинарная операция
- Унарный оператор
- Финитарная операция
Сохраняющие структуру отображения, называемые гомоморфизмами , жизненно важны при изучении алгебраических объектов.
Существует несколько основных способов объединения алгебраических объектов одного типа для создания третьего объекта того же типа. Эти конструкции используются во всей алгебре.
- Прямая сумма
- Прямой продукт
- Факторные объекты: фактор-группа , фактор-кольцо , фактор-модуль и т. Д.
- Тензорное произведение
Продвинутые концепции:
Полугруппы и моноиды
-
Полугруппа
- Подполугруппа
- Свободная полугруппа
- Отношения Грина
- Обратная полугруппа (или полугруппа инверсии, см. [1] )
- Теория Крона – Родса
- Полугрупповая алгебра
- Полугруппа преобразований
- Моноид
Теория групп
- Состав
- Конструкции
- Типы
- Простая группа
- Конечная группа
- Абелева группа
- Циклическая группа
- Решаемая группа
- Нильпотентная группа
- Делимая группа
- Группа Дедекинда , гамильтонова группа
- Примеры
- Приложения
Теория колец
- Общий
- Кольцо (математика)
- Коммутативная алгебра , Коммутативное кольцо
- Теория колец , Некоммутативное кольцо
- Алгебра над полем
- Родственники колец: полукольцо , неаринг , риг (алгебра)
- Состав
- Подкольцо , Подалгебра
- Кольцо идеальное
- Радикал Якобсона
- Цоколь кольца
- единица (теория колец) , идемпотент , нильпотент , делитель нуля
- Характеристика (алгебра)
- Гомоморфизм колец , гомоморфизм алгебр
- Градуированная алгебра
- Эквивалентность Морита
- Конструкции
- Прямая сумма колец , Произведение колец
- Факторное кольцо
- Матричное кольцо
- Кольцо эндоморфизмов
- Кольцо полиномов
- Формальный степенной ряд
- Моноидальное кольцо , Групповое кольцо
- Локализация кольца
- Тензорная алгебра
- Свободная алгебра
- Завершение (теория колец)
- Типы
- Поле (математика) , делительное кольцо , алгебра с делением
- Простое кольцо , Центральная простая алгебра , Полупростое кольцо , Полупростая алгебра
- Примитивное кольцо , Полупримитивное кольцо
- Премьер - кольцо , Полупримитивные кольцо , Уменьшенный кольцо
- Интегральная область , Домен (теория колец)
- Регулярное кольцо фон Неймана
- Кольцо квазифробениуса
- Наследственное кольцо , Полунаследственное кольцо
- Местное кольцо , Полу-местное кольцо
- Дискретное оценочное кольцо
- Обычное местное кольцо
- Кольцо Коэна – Маколея
- Кольцо Горенштейна
- Кольцо Artinian , Нётерское кольцо
- Идеальное кольцо , полусовершенное кольцо
- Baer кольцо , риккартовое кольцо
- Кольцо Ли , алгебра Ли
- Йорданова алгебра
- Дифференциальная алгебра
- Банахова алгебра
- Примеры
- Рациональное число , Действительное число , Комплексное число , Кватернионы , Октонионы
- Гауссовское целое число
- Теоремы и приложения
- Алгебраическая геометрия
- Базисная теорема Гильберта
- Теорема Хопкинса – Левицки.
- Теорема Крулля о главном идеале
- Теорема Левицкого
- Теория Галуа
- Теорема Артина-Веддерберна
- Теорема плотности Джекобсона
- Маленькая теорема Веддерберна
- Теорема Ласкера – Нётер
Теория поля
- Базовые концепты
- Поле (математика)
- Подполе (математика)
- Расширение поля
- Норма поля
- Полевой след
- Сопряженный элемент (теория поля)
- Тензорное произведение полей
- Типы
- Поле алгебраических чисел
- Глобальное поле
- Местное поле
- Конечное поле
- Симметричная функция
- Формально реальное поле
- Настоящее закрытое поле
- Приложения
Теория модулей
- Общий
- Состав
- Конструкции
- Бесплатный модуль
- Модуль частных
- Прямая сумма , Прямое произведение модулей
- Прямой предел , обратный предел
- Локализация модуля
- Завершение (теория колец)
- Типы
- Простой модуль , Полупростой модуль
- Несборный модуль
- Артинианский модуль , Нётерский модуль
- Гомологические типы:
- Связный модуль
- Конечно-порожденный модуль
- Конечно-представленный модуль
- Конечно связанный модуль
- Алгебраически компактный модуль
- Рефлексивный модуль
- Концепции и теоремы
- Композиция серии
- Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов
- Гомологическая размерность
- Измерение Крулля
- Регулярная последовательность (алгебра) , глубина (алгебра)
- Лемма Фиттинга
- Лемма Шура
- Лемма Накаямы
- Теорема Крулля – Шмидта.
- Лемма об обмене Стейница
- Теорема Жордана – Гёльдера
- Лемма Артина – Риса.
- Лемма Шануэля
- Эквивалентность Морита
Теория представлений
Теория представлений
- Представление алгебры
- Представительство группы
- Представление алгебры Ли
- Теорема Машке
- Лемма Шура
- Эквивариантная карта
- Взаимность Фробениуса
- Аффинное представление
- Проективное представление
- Теория модульного представления
- Колчан (математика)
- Теория представлений алгебр Хопфа
Неассоциативные системы
- Общий
- Ассоциативное свойство , Ассоциатор
- Куча (математика)
- Магма (алгебра)
- Неассоциативное кольцо , Неассоциативная алгебра
- Примеры
Общие
- Алгебраическая структура
- Универсальная алгебра
- Ядро функции
- Универсальная собственность
- Фильтрация (математика)
- Теория категорий
- Кручение (алгебра)