6-ортоплекс - 6-orthoplex

6-ортоплекс Hexacross
Ортогональная проекция внутри многоугольника Петри
Тип	Правильный 6-многогранник
Семья	ортоплекс
Символы Шлефли	{3,3,3,3,4} {3,3,3,3 ^1,1 }
Диаграммы Кокстера-Дынкина	знак равно
5 лиц	64 {3 ⁴ }
4 лица	192 {3 ³ }
Клетки	240 {3,3}
Лица	160 {3}
Края	60
Вершины	12
Фигура вершины	5-ортоплекс
Многоугольник Петри	двенадцатигранник
Группы Кокстера	B ₆ , [4,3 ⁴ ] D ₆ , [3 ^3,1,1 ]
Двойной	6-куб
Свойства	выпуклый

В геометрии , A 6-orthoplex , или 6 - кросс многогранник , является регулярным 6-многогранник с 12 вершинами , 60 ребер , 160 треугольных граней , 240 тетраэдра клеток , 192 5-клеточных 4-граней , и 64 5-граней .

Он имеет две сконструированные формы: первая - правильная с символом Шлефли {3 ⁴ , 4}, а вторая - с попеременно помеченными (клетчатыми) фасетами, с символом Шлефли {3,3,3,3 ^1,1 } или символом Кокстера 3. ₁₁ .

Это часть бесконечного семейства многогранников, называемых кросс-многогранниками или ортоплексами . Двойного многогранник представляет собой 6- гиперкуба , или hexeract .

Альтернативные имена

Гексакросс , образованный от объединения имени семейства кросс-многогранник с шестигранником для шести (измерений) в греческом языке .
Гексаконтитетрапетон как 64- гранный 6-многогранник .

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет собой 6-ортоплекс. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам, 4-граням и 5-граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 6-ортоплексе. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 12 & 10 & 40 & 80 & 80 & 32 \\ 2 & 60 & 8 & 24 & 32 & 16 \\ 3 & 3 & 160 & 6 & 12 & 8 \\ 4 & 6 & 4 & 240 & 4 & 4 \\ 5 & 10 & 10 & 5 & 192 & 2 \\ 6 & 15 & 15 & 15 & матрица {} \ end {64} \ end$

строительство

Есть три группы Кокстера, связанные с 6-ортоплексом, одна регулярная , двойственная к гексеракту с C ₆ или [4,3,3,3,3] группой Кокстера , и полусимметрия с двумя копиями 5-симплексных граней. , чередуя, с D ₆ или [3 ^3,1,1 ] группой Кокстера. Конструкция с наименьшей симметрией основана на двойнике 6- ортотопа , называемом 6-фузилом .

название	Schläfli	Симметрия	порядок
Обычный 6-ортоплекс	{3,3,3,3,4}	[4,3,3,3,3]	46080
Квазирегулярный 6-ортоплекс	{3,3,3,3 ^1,1 }	[3,3,3,3 ^1,1 ]	23040
6-фузил	{3,3,3,4} + {}	[4,3,3,3,3]	7680
	{3,3,4} + {4}	[4,3,3,2,4]	3072
	2 {3,4}	[4,3,2,4,3]	2304
	{3,3,4} +2 {}	[4,3,3,2,2]	1536
	{3,4} + {4} + {}	[4,3,2,4,2]	768
	3 {4}	[4,2,4,2,4]	512
	{3,4} +3 {}	[4,3,2,2,2]	384
	2 {4} +2 {}	[4,2,4,2,2]	256
	{4} +4 {}	[4,2,2,2,2]	128
	6 {}	[2,2,2,2,2]	64

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин 6-ортоплекса с центром в начале координат равны

(± 1,0,0,0,0,0), (0, ± 1,0,0,0,0), (0,0, ± 1,0,0,0), (0,0, 0, ± 1,0,0), (0,0,0,0, ± 1,0), (0,0,0,0,0, ± 1)

Каждая пара вершин соединена ребром , кроме противоположностей.

Изображений

орфографические проекции
Самолет Кокстера	В ₆	В ₅	В ₄
График
Двугранная симметрия	[12]	[10]	[8]
Самолет Кокстера	В ₃	В ₂
График
Двугранная симметрия	[6]	[4]
Самолет Кокстера	А ₅	А ₃
График
Двугранная симметрия	[6]	[4]

Связанные многогранники

6-ортоплекс можно спроецировать до 3-х измерений на вершины правильного икосаэдра .

2D		3D
Икосаэдр {3,5} = Самолет Кокстера H ₃	6-ортоплекс {3,3,3,3 ^1,1 } = Самолет Кокстера D ₆	Икосаэдр	6-ортоплекс
Эту конструкцию геометрически можно рассматривать как 12 вершин 6-ортоплекса, спроецированные на 3 измерения как вершины правильного икосаэдра . Это представляет собой геометрическое складывание из D ₆ Н ₃ кокстеровских группы : : к . Слева, если смотреть на эти ортогональные проекции 2D плоскости Кокстера , две перекрывающиеся центральные вершины определяют третью ось в этом отображении. Каждая пара вершин 6-ортоплекса соединена, кроме противоположных: 30 ребер являются общими с икосаэдром, а еще 30 ребер из 6-ортоплекса выступают внутрь икосаэдра.

Он находится в размерном ряду однородных многогранников и сот, выраженных Кокстером как ряд 3 _k1 . (Вырожденный 4-мерный случай существует как разбиение на 3 сферы, тетраэдрический осоэдр .)

3 фигурки _k1
Космос	Конечный				Евклидово	Гиперболический
п	4	5	6	7	8	9
Группа Коксетера	А ₃ А ₁	А ₅	D ₆	E ₇	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$ = E ₇⁺	${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$ = E ₇⁺⁺
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 ^−1,3,1 ]	[3 ^0,3,1 ]	[[3 ^1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1 ]	[3 ^3,3,1 ]	[3 ^4,3,1 ]
порядок	48	720	46 080	2 903 040	∞
График					-	-
название	3 _{1, -1}	3 ₁₀	3 ₁₁	3 ₂₁	3 ₃₁	3 ₄₁

Этот многогранник является одним из 63 однородных 6-многогранников, образованных из плоскости Кокстера B ₆ , включая правильный 6-куб или 6-ортоплекс.

Многогранники B6
β ₆	т ₁ β ₆	т ₂ β ₆	t ₂ γ ₆	t ₁ γ ₆	γ ₆	т _0,1 β ₆	т _0,2 β ₆
т _1,2 β ₆	т _0,3 β ₆	т _1,3 β ₆	т _2,3 γ ₆	т _0,4 β ₆	т _1,4 γ ₆	т _1,3 γ ₆	т _1,2 γ ₆
t _0,5 γ ₆	т _0,4 γ ₆	t _0,3 γ ₆	t _0,2 γ ₆	t _0,1 γ ₆	т _0,1,2 β ₆	т _0,1,3 β ₆	т _0,2,3 β ₆
т _1,2,3 β ₆	т _0,1,4 β ₆	т _0,2,4 β ₆	т _1,2,4 β ₆	т _0,3,4 β ₆	т _1,2,4 γ ₆	т _1,2,3 γ ₆	т _0,1,5 β ₆
т _0,2,5 β ₆	т _0,3,4 γ ₆	т _0,2,5 γ ₆	т _0,2,4 γ ₆	т _0,2,3 γ ₆	t _0,1,5 γ ₆	т _0,1,4 γ ₆	т _0,1,3 γ ₆
т _0,1,2 γ ₆	т _0,1,2,3 β ₆	т _0,1,2,4 β ₆	т _0,1,3,4 β ₆	т _0,2,3,4 β ₆	т _1,2,3,4 γ ₆	т _0,1,2,5 β ₆	т _0,1,3,5 β ₆
т _0,2,3,5 γ ₆	т _0,2,3,4 γ ₆	т _0,1,4,5 γ ₆	т _0,1,3,5 γ ₆	т _0,1,3,4 γ ₆	т _0,1,2,5 γ ₆	т _0,1,2,4 γ ₆	т _0,1,2,3 γ ₆
т _0,1,2,3,4 β ₆	т _0,1,2,3,5 β ₆	т _0,1,2,4,5 β ₆	т _0,1,2,4,5 γ ₆	т _0,1,2,3,5 γ ₆	т _0,1,2,3,4 γ ₆	т _0,1,2,3,4,5 γ ₆

Ссылки

HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Единообразные многогранники
Нормана Джонсона
, рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. 1966 г.
Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты) x3o3o3o3o4o - гы» .

Конкретный

^ Коксетер, Правильные многогранники, сек. 1.8 Конфигурации
^ Кокстер, Комплексные правильные многогранники, стр.117
^ Квазикристаллы и геометрия , Марджори Сенешал, 1996, Cambridge University Press, p64. 2.7.1 Кристалл I ₆

внешние ссылки

Ольшевский, Георгий. «Кросс-многогранник» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
Многогранники разной размерности
Многомерный глоссарий

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
Семья	А _п	B _n	I ₂ (p) / D _n	E ₆ / E ₇ / E ₈ / F ₄ / G ₂	H _n
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукруглый
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукруглый	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Равномерное n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - demicube	1 _к2 • 2 _к1 • к ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Регулярный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

[1] Коксетер, Правильные многогранники, сек. 1.8 Конфигурации

[2] Кокстер, Комплексные правильные многогранники, стр.117

[3] Квазикристаллы и геометрия , Марджори Сенешал, 1996, Cambridge University Press, p64. 2.7.1 Кристалл I ₆

Languages

In other projects