600 ячеек - 600-cell

600 ячеек
Диаграмма Шлегеля , центрированная по вершинам (вершины и ребра)
Тип	Выпуклый правильный 4-многогранник
Символ Шлефли	{3,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	600 ( 3.3.3 )
Лица	1200 {3}
Края	720
Вершины	120
Фигура вершины	икосаэдр
Многоугольник Петри	30-угольник
Группа Коксетера	H 4 , [3,3,5], заказ 14400
Двойной	120 ячеек
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , равногранный
Единый индекс	35 год

Сеть

В геометрии , то 600-клетка является выпуклым обычным 4-многогранником (четырехмерный аналогом Платонического твердого вещества ) с Шлефли символом {3,3,5}. Он также известен как C ₆₀₀ , гексакосихорон и гексакозигедроид . Она также называется tetraplex (сокращенно от «тетраэдрического комплекса») и polytetrahedron , будучи ограничена тетраэдрическими клетками .

Граница из 600 ячеек состоит из 600 тетраэдрических ячеек, по 20 пересекающихся в каждой вершине. Вместе они образуют 1200 треугольных граней, 720 ребер и 120 вершин. Это 4 - мерный аналог из икосаэдра , так как она имеет пять тетраэдров собрания на каждый краю, так же , как икосаэдр имеет пять треугольников , отвечающие в каждой вершине. Его двойственный многогранник - 120-элементный .

Геометрия

600-ячейка - пятая в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности). Его можно деконструировать на двадцать пять перекрывающихся экземпляров своего непосредственного предшественника, 24-ячеечного , так как 24-элементный может быть деконструирован на три перекрывающихся экземпляра своего предшественника, тессеракта (8-элементный) , а 8-элементный может быть деконструирован. на два перекрывающихся экземпляра своего предшественника с 16 ячейками .

Обратная процедура для создания каждого из них из экземпляра его предшественника сохраняет радиус предшественника, но обычно создает преемника с меньшей длиной ребра. Длина кромки 24-ячеек равна ее радиусу, но длина кромки 600-ячеек примерно в 0,618 раза больше ее радиуса. Радиус и длина ребра 600 ячеек находятся в золотом сечении .

Правильные выпуклые 4-многогранники
Группа симметрии	А 4	В 4		П 4	H 4
Имя	5-элементный гипер- тетраэдр	16 ячеек гипер- октаэдр	8-элементный гипер- куб	24-элементный	600 ячеек гипер- икосаэдр	120 ячеек гипер- додекаэдр
Символ Шлефли	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Диаграмма Кокстера
График
Вершины	5	8	16	24	120	600
Края	10	24	32	96	720	1200
Лица	10 треугольников	32 треугольника	24 квадрата	96 треугольников	1200 треугольников	720 пятиугольников
Клетки	5 тетраэдров	16 тетраэдров	8 кубиков	24 октаэдра	600 тетраэдров	120 додекаэдров
Большой радиус	1	1	1	1	1	1
Длина кромки	√ 5/√ 2 ≈ 1,581	√ 2 ≈ 1,414	1	1	1/ϕ ≈ 0,618	1/√ 2 ϕ 2 ≈ 0,270
Короткий радиус	1/4	1/2	1/2	√ 2/2 ≈ 0,707	1 - (√ 2/2 √ 3 φ) 2 ≈ 0,936	1 - (1/2 √ 3 φ) 2 ≈ 0,968
Площадь	10 •√ 8/3 ≈ 9,428	32 •√ 3/4 ≈ 13,856	24	96 •√ 3/4 ≈ 41,569	1200 •√ 3/8φ 2 ≈ 99,238	720 •25 + 10 √ 5/8φ 4 ≈ 621,9
Объем	5 •5 √ 5/24 ≈ 2,329	16 •1/3 ≈ 5,333	8	24 •√ 2/3 ≈ 11,314	600 •1/3 √ 8 φ 3 ≈ 16,693	120 •2 + φ/2 √ 8 φ 3 ≈ 18,118
4-Контент	√ 5/24• (√ 5/2) 4 ≈ 0,146	2/3 ≈ 0,667	1	2	Короткий ∙ Vol/4 ≈ 3,907	Короткий ∙ Vol/4 ≈ 4,385

Координаты

Радиус блока в декартовых координатах

Вершины 600-ячейки единичного радиуса с центром в начале координат четырехмерного пространства с ребрами длины 1/φ ≈ 0,618 (где φ = 1 + √ 5/2≈ 1,618 - золотое сечение ), можно выразить следующим образом:

8 вершин, полученных из

(0, 0, 0, ± 1)

путем перестановки координат и 16 вершин вида:

(±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)

Оставшиеся 96 вершин получаются, принимая даже перестановки из

(±φ/2, ±1/2, ±φ ⁻¹/2, 0)

Обратите внимание, что первые 8 вершин являются вершинами 16-ячеек , вторые 16 - вершинами тессеракта , а эти 24 вершины вместе являются вершинами 24-ячеек . Остальные 96 вершин являются вершинами пренебрежительной 24-ячейки , которую можно найти, последовательно разделив каждое из 96 ребер другой 24-ячейки (двойное первому) в золотом сечении.

Если интерпретировать их как кватернионы , это единицы икозианцев .

В 24-ячейке есть квадраты , шестиугольники и треугольники, которые лежат на больших окружностях (в центральных плоскостях через четыре или шесть вершин). В 600-ячейке есть двадцать пять перекрывающихся вписанных 24-ячеек, причем каждый квадрат уникален для одной 24-ячеечной ячейки, каждый шестиугольник или треугольник используется двумя 24-ячейками, а каждая вершина является общей для пяти 24-ячеек.

Сферические координаты Хопфа

В 600-ячейке также есть пятиугольники и декагоны большого круга (в центральных плоскостях через десять вершин).

Только ребра десятиугольника являются видимыми элементами 600-ячеек (потому что они являются ребрами 600-ячеек). Края других многоугольников большого круга являются внутренними хордами 600-ячеек, которые не показаны ни на одном из 600-ячеек в этой статье.

По симметрии через каждую вершину проходит равное количество многоугольников каждого типа; таким образом, можно учитывать все 120 вершин как пересечение набора центральных многоугольников только одного вида: декагонов, шестиугольников, пятиугольников, квадратов или треугольников. Например, 120 вершин можно рассматривать как вершины 15 пар полностью ортогональных квадратов, не имеющих общих вершин, или как 100 двойных пар неортогональных шестиугольников, между которыми все пары осей ортогональны, или как 144 неортогональных пятиугольники, шесть из которых пересекаются в каждой вершине. Эта последняя пятиугольная симметрия 600-ячеек фиксируется набором координат Хопфа (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ), заданных как:

({<10}𝜋/5, {≤5}𝜋/10, {<10}𝜋/5)

где {<10} - это перестановка десяти цифр (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9), а {≤5} - перестановка шести цифр (0 1 2 3 4 5). Координаты 𝜉 _i и 𝜉 _j лежат в пределах 10 вершин декагонов большого круга; четные и нечетные цифры обозначают вершины двух пятиугольников большого круга, вписанных в каждый десятиугольник.

Состав

Многогранные секции

Взаимные расстояния между вершинами, измеренные в градусах дуги на описанной гиперсфере , имеют только значения 36 ° =𝜋/5, 60 ° = 𝜋/3, 72 ° = 2𝜋/5, 90 ° = 𝜋/2, 108 ° = 3𝜋/5, 120 ° = 2𝜋/3, 144 ° = 4𝜋/5, а 180 ° = 𝜋. От произвольной вершины V под углом 36 ° и 144 ° находится 12 вершин икосаэдра , под углом 60 ° и 120 ° - 20 вершин додекаэдра , под углом 72 ° и 108 ° - 12 вершин большего икосаэдра под углом 90 °. ° 30 вершин икосододекаэдра и, наконец, под углом 180 ° противоположная вершина V. Их можно увидеть в проекциях плоскости Кокстера H3 с перекрывающимися окрашенными вершинами.

Эти многогранные секции являются твердыми в том смысле, что они трехмерны, но, конечно, все их вершины лежат на поверхности 600-ячеек (они полые, а не твердые). Каждый многогранник лежит в евклидовом 4-мерном пространстве как параллельное сечение 600-ячейки (гиперплоскость). В искривленном трехмерном пространстве граничной оболочки 600-ячеек многогранник окружает вершину V так же, как он окружает собственный центр. Но его собственный центр находится внутри 600-элементного элемента, а не на его поверхности. На самом деле V не находится в центре многогранника, потому что он смещен наружу от этой гиперплоскости в четвертом измерении к поверхности 600-ячейки. Таким образом, V - вершина 4-пирамиды, основанной на многограннике.

Концентрические корпуса
	600-ячеечная проекция проецируется в 3D с использованием ортонормированной основы. Вершины сортируются и вычисляются по их трехмерной норме. Создание все более прозрачной оболочки каждого набора суммированных норм показывает: 1) две точки в начале координат 2) два икосаэдра 3) два додекаэдра 4) два больших икосаэдра 5) и один икосододекаэдр, всего 120 вершин.

Вершинные хорды

Геометрия вершин 600-ячеек, показывающая 5 правильных многоугольников большого круга и 8 длин хорды от вершины к вершине с углами дуги. Золотое сечение управляет дробными корнями всех остальных аккордов и радиальными золотыми треугольниками, которые встречаются в центре.

120 вершин распределены на восьми разных длинах хорды друг от друга. Эти ребра и хорды 600-ячейки - это просто ребра и хорды его пяти многоугольников большого круга. В порядке возрастания длины они равны √ 0.𝚫 , √ 1 , √ 1.𝚫 , √ 2 , √ 2.𝚽 , √ 3 , √ 3.𝚽 и √ 4 .

Обратите внимание, что четыре гиперкубических хорды 24-ячейки ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) чередуются с четырьмя новыми хордами дополнительных больших окружностей 600-ячеек, декагонов и пятиугольников. Новые длины хорды обязательно квадратные корни из фракций, но очень специальные фракции , связанные с золотой пропорции в том числе двух золотых секций из √ 5 , как показано на рисунке.

Граничные конверты

Трехмерная проекция 600-элементного изображения, выполняющего простое вращение . Видна трехмерная поверхность из 600 тетраэдров.

600-ячейка округляет 24-ячейку, добавляя еще 96 вершин между существующими 24-ячеечными вершинами, фактически добавляя еще двадцать четыре перекрывающиеся 24-ячейки, вписанные в 600-ячейку. Образованная таким образом новая поверхность представляет собой мозаику из более мелких и более многочисленных ячеек и граней: тетраэдров с длиной ребра.1/φ≈ 0,618 вместо октаэдров длины кромки 1. окружает √ 1 ребро 24-клеток, которые становятся невидимыми внутренними аккордами в 600-клетке, как √ 2 и √ 3 аккордов .

Трехмерная проекция 24-элементной ячейки, выполняющей простое вращение . Видна трехмерная поверхность из 24 октаэдров. Он также присутствует в 600-ячейке, но в виде невидимой внутренней граничной оболочки.

Поскольку тетраэдры состоят из более коротких ребер треугольников, чем октаэдры (в раз 1/φ, обратное золотое сечение), 600-ячейка не имеет единичной длины ребра в системе координат единичного радиуса, как 24-ячейка и тессеракт; в отличие от этих двух, 600-элементный не является радиально равносторонним . Подобно им, он особым образом имеет радиально-треугольную форму, но в центре которого встречаются золотые треугольники, а не равносторонние треугольники.

Граничная оболочка из 600 маленьких тетраэдрических ячеек охватывает двадцать пять огибающих из 24 октаэдрических ячеек (добавляя некоторое 4-мерное пространство в местах между этими 3-мерными оболочками). Форма этих промежутков должна быть какой-то восьмигранной четырехугольной пирамидой , но в 600-ячейке она не правильная .

Геодезические

Хорды вершин 600-ячейки расположены в геодезических многоугольниках большого круга пяти видов: декагонах, шестиугольниках, пятиугольниках, квадратах и ​​треугольниках.

Центрированная по ячейкам стереографическая проекция 72 центральных декагонов 600-ячеечной клетки на их большие круги. Каждый большой круг разделен на 10 дуг-ребер на пересечениях, где пересекаются 6 больших кругов.

В √ 0.Δ ребра = Ф образуют 72 плоских регулярные центральные десятиугольники , 6 из которых пересекают в каждой вершине. Подобно тому, как икосододекаэдр можно разделить на 6 центральных декагонов (60 ребер = 6 × 10), 600-ячейку можно разделить на 72 декагона (720 ребер = 72 × 10). 720 √ 0.𝚫 ребер делят поверхность на 1200 треугольных граней и 600 тетраэдрических ячеек: 600 ячеек. 720 ребер образуют 360 параллельных пар на расстоянии √ 3 друг от друга. Как и в десятиугольнике и икосододекаэдре, ребра образуют золотые треугольники, которые встречаются в центре многогранника. 72 больших декагона можно разделить на 6 наборов по 12 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда , так что только один большой декагон в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 12 декагонов в каждом наборе достигают всех 120 вершин.

В √ 1 аккорды образуют 200 центральные шестиугольники (25 комплектов 16, с каждого шестиугольника в двух наборах), 10 из которых пересекают в каждой вершине (4 от каждого из пяти 24-клеток, причем каждый шестиугольник в двух из 24-клеток) . Каждый набор из 16 шестиугольников состоит из 96 ребер и 24 вершин одной из 25 перекрывающихся вписанных 24 ячеек. В √ 1 хорды соединяют вершины , которые являются два √ 0.Δ края друг от друга. Каждая хорда √ 1 - это длинный диаметр пары тетраэдрических ячеек, соединенных гранями ( треугольная бипирамида ), и проходит через центр общей грани. Так как граней 1200, имеется 1200 √ 1 хорд в 600 параллельных парах, √ 3 друг от друга. Гексагональные плоскости не ортогональны (разнесены на 60 градусов), но они образуют 100 двойных пар, в которых все 3 оси одного шестиугольника ортогональны всем 3 осям его двойственного. 200 больших шестиугольников можно разделить на 10 наборов из 20 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда, так что только один большой шестиугольник в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 20 шестиугольников в каждом наборе достигают всех 120 вершин.

В √ 1.Δ аккорды образуют 144 центральных пятиугольники, 6 из которых пересекают в каждой вершине. В √ 1.Δ аккордов запустить вершину-к-каждую-второй вершине в той же плоскости, что и 72 десятиугольников: два пятиугольников вписаны в каждом десятиугольнике. В √ 1.Δ аккорды соединяют вершины , которые являются два √ 0.Δ края друг от друга на геодезического большой круг. 720 √ 1.𝚫 хорд образуют 360 параллельных пар, √ 2.𝚽 = φ друг от друга.

В √ 2 хорды образуют центральные площади 450 (25 непересекающихся множеств 18), 15 из которых пересекают в каждой вершине (3 из каждой из пяти 24-клеток). Каждый набор из 18 квадратов состоит из 72 √ 2 ребер и 24 вершин одной из 25 перекрывающихся вписанных 24 ячеек. В √ 2 хорды соединяют вершины , которые являются три √ 0.Δ края друг от друга (и два √ 1 аккорды друг от друга). Каждая хорда √ 2 - это длинный диаметр октаэдрической ячейки всего в одной 24-ячейке. Имеется 1800 √ 2 хорд в 900 параллельных парах, разделенных √ 2 . 450 больших квадратов (225 полностью ортогональных пар) можно разделить на 15 наборов из 30 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда, так что только один квадратный большой круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 30 квадратов в каждом наборе достигают всех 120. вершины.

В √ 2.Φ = ф хорд образуют ножки 720 центральных равнобедренных треугольников (72 комплектов 10 , вписанных в каждом десятиугольнике), 6 из которых пересекают в каждой вершине. Третье ребро (основание) каждого равнобедренного треугольника имеет длину √ 3.𝚽 . В √ 2.Φ аккордов работать вершины-к-каждую-третьей вершине в той же плоскости, что и 72 десятиугольников, соединяющая вершину , которые являются три √ 0.Δ края друга от друга на геодезическом большом круге. Имеется 720 различных хорд √ 2.𝚽 в 360 параллельных парах, разделенных √ 1.𝚫 .

В √ 3 хорды образует 400 равносторонних центральные треугольники (25 комплектов 32, с каждым треугольником в двух наборах), 10 из которых пересекают в каждой вершине (4 от каждого из пяти 24-клеток , при этом каждом треугольнике в двух из 24-клеток ). Каждый набор из 32 треугольников состоит из 96 √ 3 хорд и 24 вершин одной из 25 перекрывающихся вписанных 24 ячеек. В √ 3 хорды запустить вершину-на-каждой-второй вершиной в той же плоскости, что и 200 шестиугольников: два треугольника вписаны в каждом шестиугольнике. В √ 3 хорда соединяет вершины , которые являются четыре √ 0.Δ края друг от друга (и два √ 1 аккорды друг от друга на геодезическом большом круге). Каждая хорда √ 3 - это длинный диаметр двух кубических ячеек в одной 24 ячейке. Имеется 1200 √ 3 хорд в 600 параллельных парах, разделенных √ 1 .

В √ 3.Φ аккорды (диагоналей пятиугольников) образуют ножки 720 центральных равнобедренных треугольников (144 комплектов 5 вписанных в каждом пятиугольнике), 6 из которых пересекают в каждой вершине. Третье ребро (основание) каждого равнобедренного треугольника - это ребро пятиугольника длиной √ 1.𝚫 , так что это золотые треугольники. В √ 3.Φ аккордов работать вершины-к-каждую-четвертой вершине в той же плоскости, что и 72 десятиугольников, соединяющая вершину , которые являются четыре √ 0.Δ края друга от друга на геодезическом большом круге. Есть 720 различных хорд √ 3.𝚽 в 360 параллельных парах, разделенных √ 0.𝚫 .

В √ 4 аккордов встречаются в виде 60 длинных диаметров (75 комплектов 4 ортогональных осей), 120 длинных радиусов 600-клетки. В √ 4 аккорда присоединиться противоположные вершины , которые являются пять √ 0.Δ края друг от друга на геодезического большой круг. Есть 25 различных, но перекрывающихся наборов 12 диаметров, каждый из которых состоит из 25 вписанных 24 ячеек.

Сумма квадратов длин всех этих отдельных хорд 600-ячейки равна 14 400 = 120 ² . Все это центральные многоугольники, проходящие через вершины, но у 600-ячеек действительно есть один примечательный центральный многоугольник, который не проходит через какие-либо вершины. Более того, в 4-пространстве есть геодезические на 3-сфере, которые вообще не лежат в центральных плоскостях. Существуют кратчайшие геодезические пути между двумя вершинами из 600 ячеек, которые являются скорее спиральными, чем просто круговыми; они соответствуют изоклиническим (диагональным) поворотам, а не простым поворотам.

Все геодезические многоугольники, перечисленные выше, лежат в центральных плоскостях всего трех видов, каждый из которых характеризуется углом поворота: плоскости десятиугольника (𝜋/5 друг от друга), плоскости шестиугольника (𝜋/3 отдельно, также в каждой из 25 вписанных 24 ячеек), и квадратные плоскости (𝜋/2отдельно, также в каждой из 75 вписанных 16 ячеек). Эти центральные плоскости 600-ячеек можно разделить на 4 центральные гиперплоскости (3-пространства), каждая из которых образует икосододекаэдр . Есть 450 больших квадратов, разнесенных на 90 градусов; 200 больших шестиугольников, разнесенных на 60 градусов; и 72 больших декагона, разнесенных на 36 градусов. Каждая большая квадратная плоскость полностью ортогональна другой большой квадратной плоскости. Каждая плоскость большого шестиугольника полностью ортогональна плоскости, которая пересекает только две вершины (одна √ 4 длинного диаметра): плоскость большого двуугольника . Каждый большой декагон самолет вполне ортогональна плоскости , которая не пересекает ни одной вершины: большой 30-угольник самолет.

Волокна

Каждый набор подобных многоугольников большого круга (квадратов, шестиугольников или декагонов) можно разделить на связки непересекающихся параллельных больших кругов Клиффорда (из 30 квадратов, 20 шестиугольников или 12 декагонов). Каждый пучок волокон параллельных больших окружностей Клиффорда представляет собой дискретное расслоение Хопфа, которое заполняет 600-ячейку, посещая все 120 вершин только один раз. Многоугольники большого круга в каждой связке вращаются по спирали вокруг друг друга, очерчивая спиральные кольца из связанных гранями ячеек, которые встраиваются друг в друга, проходят друг через друга, не пересекаясь ни в каких ячейках, и точно заполняют 600-ячейку своими непересекающимися наборами ячеек. Каждый из различных пучков волокон с их кольцами ячеек заполняет одно и то же пространство (600 ячеек), но их волокна проходят параллельно Клиффорду в разных «направлениях»; Многоугольники большого круга в различных расслоениях не параллельны Клиффорду.

Декагоны

В слоении 600-клеток включают в себя 6 расслоение своих 72 больших десятиугольников: 6 волокнистых пучков 12 больших десятиугольников. Каждый пучок волокон очерчивает 20 спиральных колец по 30 тетраэдрических ячеек в каждом, с пятью кольцами, гнездящимися вместе вокруг каждого десятиугольника. Каждая тетраэдрическая ячейка занимает только одно клеточное кольцо в каждом из 6 расслоений. Тетраэдрическая ячейка вносит каждое из своих 6 ребер в десятиугольник в другом расслоении, но вносит вклад в это ребро в пять различных колец ячеек в расслоении.

Шестиугольники

В слоении 24-клеток включают в себя 4 расслоение своих 16 больших шестиугольников: 4 пучков волокон из 4 больших шестиугольников. Каждый пучок волокон очерчивает 4 спиральных кольца по 6 октаэдрических ячеек каждое, с тремя кольцами, гнездящимися вместе вокруг каждого шестиугольника. Каждая октаэдрическая ячейка занимает только одно клеточное кольцо в каждом из 4 расслоений. Октаэдрическая ячейка вносит 3 из своих 12 ребер в 3 различных параллельных шестиугольника Клиффорда в каждом расслоении, но вносит вклад каждое ребро в три отдельных кольца ячеек в расслоении. 600 ячеек содержит 25 24 ячеек и может рассматриваться как соединение 5 непересекающихся 24 ячеек. Он имеет 10 расслоений из 200 больших шестиугольников: 10 пучков волокон из 20 больших шестиугольников. Каждый пучок волокон очерчивает 20 спиральных колец по 6 октаэдрических ячеек каждое, с тремя кольцами, гнездящимися вместе вокруг каждого шестиугольника. Каждая октаэдрическая ячейка занимает только одно клеточное кольцо в каждом из 10 расслоений.

Квадраты

В слоении 16-клеток включают в себя 3 расслоение своих 6 больших квадратов: 3 волокнистых пучков 2 больших площадей. Каждый пучок волокон образует 2 спиральных кольца по 8 тетраэдрических ячеек в каждом. Каждая тетраэдрическая ячейка занимает только одно клеточное кольцо в каждом из 3-х расслоений. Тетраэдрическая ячейка вносит каждое из своих 6 ребер в квадрат в другом расслоении, но вносит это ребро в оба из двух отдельных колец ячеек в расслоении. 600 ячеек содержит 75 16 ячеек и может рассматриваться как соединение 15 непересекающихся 16 ячеек. Он имеет 15 расслоений своих 450 больших квадратов: 15 пучков волокон по 30 больших квадратов. Каждый пучок волокон образует 150 спиральных колец по 8 тетраэдрических ячеек в каждом. Каждая тетраэдрическая ячейка занимает только одно клеточное кольцо в каждом из 15 расслоений.

Справочные кадры

Поскольку каждая 16-ячеечная система составляет ортонормированную основу для выбора системы координат , расслоения различных 16-ячеек имеют разные естественные системы отсчета. 15 расслоений больших квадратов в 600-ячейке соответствуют 15 естественным системам отсчета 600-ячейки. Одна или несколько из этих систем отсчета естественны для каждого расслоения 600-ячеечной клетки. Каждое расслоение больших шестиугольников имеет три (одинаково естественных) таких системы отсчета (поскольку 24-ячейка имеет 3 16-ячейки); каждое расслоение больших декагонов содержит все 15 (поскольку 600-ячейка имеет 15 непересекающихся 16-ячеек).

Кольца с параллельными ячейками Клиффорда

Плотно упакованные спиральные ячеечные кольца расслоений не пересекаются с ячейками, но имеют общие вершины, ребра и грани. Каждое расслоение из 600 ячеек можно рассматривать как плотную упаковку ячеечных колец с соответствующими гранями соседних ячеечных колец, соединенных гранями друг с другом. То же расслоение можно также рассматривать как минимальное разреженное расположение меньшего количества полностью непересекающихся колец клеток, которые вообще не соприкасаются.

Расслоения больших декагонов можно рассматривать (пятью разными способами) как 4 полностью непересекающихся тетраэдрических клеточных кольца с разделяющими их пространствами, а не как 20 соединенных гранями клеточных колец, если исключить все, кроме одного, клеточного кольца из пяти, которые встречаются в каждом. десятиугольник. Пять различных способов сделать это эквивалентны в том смысле, что все пять соответствуют одному и тому же дискретному расслоению (в том же смысле, что и 12 расслоений по 600 ячеек эквивалентны, в том смысле, что все 12 покрывают одни и те же 600 ячеек). 4 клеточных кольца по-прежнему составляют полное расслоение: они включают все 12 параллельных декагонов Клиффорда, которые посещают все 120 вершин. Это подмножество 4 из 20 ячеечных колец размерно аналогично подмножеству из 12 из 72 декагонов, поскольку оба являются наборами полностью непересекающихся параллельных многогранников Клиффорда, которые посещают все 120 вершин. Подмножество 4 из 20 клеточных колец является одним из 5 расслоений внутри расслоения 12 из 72 декагонов: расслоение расслоения. Все расслоения имеют эту двухуровневую структуру с подволоконами .

Расслоения больших шестиугольников из 24 ячеек можно рассматривать (тремя разными способами) как 2 полностью непересекающихся кольца ячеек с промежутками, разделяющими их, а не как 4 соединенных лицевыми сторонами ячеечных колец, если исключить все, кроме одного ячеечного кольца из трех, встречаются в каждом шестиугольнике. Следовательно, каждое из 10 расслоений больших шестиугольников 600-ячеечной клетки можно рассматривать как 2 полностью непересекающихся октаэдрических ячеечных кольца.

Расслоения больших квадратов из 16 ячеек можно рассматривать (двумя разными способами) как одноячеечное кольцо с прилегающим пустым пространством размером с клеточное кольцо, а не как два соединенных лицевыми сторонами ячеечных колец, если исключить одно из двух ячеечные кольца, которые встречаются в каждом квадрате. Поэтому каждое из 15 расслоений больших квадратов 600 ячеек можно рассматривать как одно тетраэдрическое ячеечное кольцо.

Редкие конструкции расслоений на 600 ячеек соответствуют разложениям с более низкой симметрией на 600, 24 или 16 ячеек с ячейками разного цвета, чтобы отличать кольца ячеек от пространств между ними. Конкретная форма более низкой симметрии 600-ячеек, соответствующая разреженной конструкции расслоений большого десятиугольника, по размерам аналогична форме курносого тетраэдра икосаэдра (который является основанием этих расслоений на 2-сфере). Каждое из 4-х полностью непересекающихся ячеечных колец Бордейка-Кокстера поднимается с соответствующей грани икосаэдра.

Конструкции

600-ячеечный включает в себя геометрию каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях, за исключением 5-ячеечного, 120-ячеечного и многоугольников {7} и выше. Следовательно, существует множество способов сконструировать или разобрать 600-ячейку, но ни один из них не является тривиальным. Конструкцию 600-элементного устройства по сравнению с его обычным предшественником, 24-элементным, трудно представить.

Конструкция Госсета

Торольд Госсет открыл полуправильные 4-многогранники , в том числе курносый 24-клеточный с 96 вершинами, который находится между 24-клеточным и 600-клеточным в последовательности выпуклых 4-многогранников возрастающего размера и сложности в том же радиусе. Госсет конструирует 600-элементный из 24-элементного в два этапа, используя курносый 24-элементный в качестве промежуточной формы. На первом, более сложном этапе (описанном в другом месте ) курносая 24-ячейка конструируется посредством специального курносого усечения 24-элементной ячейки по золотым сечениям ее краев. На втором этапе 600-элементная ячейка конструируется простым способом путем добавления 4-пирамид (вершин) к граням курносой 24-ячейки.

Курносая 24-ячейка - это уменьшенная 600-ячеечная, из которой 24 вершины (и кластер из 20 тетраэдрических ячеек вокруг каждой) были усечены, оставив "плоскую" икосаэдрическую ячейку на месте каждой удаленной икосаэдрической пирамиды. Таким образом, курносая 24-ячейка имеет 24 икосаэдрических ячейки и оставшиеся 120 тетраэдрических ячеек. Второй шаг построения Госсета 600-ячеек - это просто обратное этому уменьшению: икосаэдрическая пирамида из 20 тетраэдрических ячеек помещается на каждую икосаэдрическую ячейку.

Построение 600-элементной ячейки единичного радиуса из ее предшественницы 24-элементной ячейки единичного радиуса методом Госсета на самом деле требует трех шагов. Предшественник с 24 ячейками для ячейки с курносым-24 не имеет того же радиуса: он больше, поскольку ячейка с курносым-24 является его усечением. Начиная с 24-элементной ячейки с единичным радиусом, первый шаг состоит в том, чтобы возвратно-поступательно перемещать ее вокруг своей средней сферы, чтобы построить ее внешний канонический двойник : более крупную 24-элементную ячейку, поскольку 24-ячейка является самодвойственной. Эти более крупные 24-элементные ячейки затем могут быть усечены курносым до 24-элементного промежуточного радиуса.

Кластеры клеток

Поскольку это так косвенно, конструкция Госсета может не очень помочь нам непосредственно визуализировать, как 600 тетраэдрических ячеек вписываются вместе в трехмерную поверхностную оболочку или как они лежат на нижней поверхностной оболочке октаэдрических ячеек с 24 ячейками. Для этого полезно построить 600-элементную ячейку непосредственно из кластеров тетраэдрических ячеек.

Большинство из нас испытывают трудности с визуализацией 600-ячеек снаружи в 4-мерном пространстве или с распознаванием внешнего вида 600-ячеек из-за полного отсутствия у нас сенсорного опыта в 4-мерных пространствах, но мы должны быть в состоянии визуализировать Поверхностная оболочка из 600 ячеек изнутри, потому что этот объем является трехмерным пространством, в котором мы могли бы «ходить» и исследовать. В этих упражнениях по созданию 600-ячеек из кластеров ячеек мы полностью находимся в трехмерном пространстве, хотя и в странно маленьком замкнутом искривленном пространстве , в котором мы можем пройти всего десять сторон по прямой линии в любой точке. направление и вернемся к нашей отправной точке.

Икосаэдры

Правильный икосаэдр, окрашенный в симметрию курносого октаэдра . Икосаэдры в 600-ячейке соединены гранями друг с другом на желтых гранях и с кластерами из 5 тетраэдрических ячеек на синих гранях. Вершина икосаэдрической пирамиды (не видна) - это 13-я вершина из 600 ячеек внутри икосаэдра (но над его гиперплоскостью).

Кластер из 5 тетраэдрических ячеек: четыре ячейки, соединенные лицевой стороной вокруг пятой ячейки (не видно). Четыре ячейки лежат в разных гиперплоскостях.

Вершина фигуры из 600-клеток является икосаэдр . Двадцать тетраэдрических ячеек встречаются в каждой вершине, образуя икосаэдрическую пирамиду , вершиной которой является вершина, окруженная своим основанием икосаэдром. 600-клетка имеет двугранный угол из𝜋/3 + arccos (-1/4) ≈ 164,4775 ° .

Целые 600 ячеек могут быть собраны из 24 таких икосаэдрических пирамид (соединенных лицом к лицу на 8 из 20 граней икосаэдра, окрашены в желтый цвет на иллюстрации), плюс 24 кластера по 5 тетраэдрических ячеек (четыре ячейки соединены лицевыми сторонами. вокруг одного), которые заполняют пустоты, оставшиеся между икосаэдрами. Каждый икосаэдр соединен гранями с каждым соседним кластером из 5 ячеек двумя синими гранями, которые имеют общее ребро (которое также является одним из шести ребер центрального тетраэдра из пяти). Шесть кластеров по 5 ячеек окружают каждый икосаэдр, а шесть икосаэдров окружают каждый кластер из 5 ячеек. Каждый край икосаэдра окружают пять тетраэдрических ячеек: две от пирамиды икосаэдра и три от кластера из 5 ячеек (одна из которых является центральным тетраэдром из пяти).

Вершины 24 икосаэдрических пирамид являются вершинами 24-ячеек, вписанных в 600-ячейку. Остальные 96 вершин (вершины икосаэдров) являются вершинами вписанной курносой 24-ячейки , которая имеет точно такую ​​же структуру икосаэдров и тетраэдров, описанных здесь, за исключением того, что икосаэдры не являются 4-пирамидами, заполненными тетраэдрическими ячейками; они всего лишь «плоские» трехмерные икосаэдрические клетки.

Раскрасить икосаэдры с 8 желтыми и 12 синими гранями можно 5 различными способами. Таким образом, вершина каждой икосаэдрической пирамиды представляет собой вершину из 5 различных 24-ячеек, а 120 вершин содержат 25 (а не 5) 24-ячеек.

Икосаэдры соединены гранями в геодезические «прямые линии» своими противоположными гранями, изогнутыми в четвертом измерении в кольцо из шести икосаэдрических пирамид. Их вершины - вершины шестиугольника большого круга . Эта шестиугольная геодезическая пересекает кольцо из 12 тетраэдрических ячеек, попеременно связанных лицом к лицу и вершиной к вершине. Длинный диаметр каждой соединенной гранями пары тетраэдров (каждой треугольной бипирамиды ) представляет собой ребро шестиугольника (ребро с 24 ячейками). Есть 4 непересекающихся сцепляющихся кольца из 6 икосаэдров, так же как есть 4 непересекающихся сцепляющихся кольца из 6 октаэдров в 24-ячейке ( гексагональное расслоение ).

Тетраэдрические ячейки соединены гранями в тройные спирали , изогнутые в четвертом измерении в кольца из 30 тетраэдрических ячеек. Три спирали - это геодезические «прямые» из 10 ребер: декагоны большого круга, которые проходят по Клиффорду параллельно друг другу. Каждый тетраэдр, имеющий шесть ребер, участвует в шести различных декагонах и, таким образом, во всех шести декагональных слоях 600-ячейки .

Разделение 600-ячеек на кластеры по 20 ячеек и кластеры по 5 ячеек является искусственным, поскольку все ячейки одинаковы. Можно начать с выбора кластера икосаэдрических пирамид с центром в любой произвольно выбранной вершине, так что в 600-ячейке имеется 120 перекрывающихся икосаэдров. Их 120 вершин каждая является вершиной пяти 24-вершинных 24-ячеек, поэтому имеется 5 * 120/24 = 25 перекрывающихся 24-ячеек.

Октаэдра

Существует еще один полезный способ разделить поверхность из 600 ячеек на 24 кластера по 25 тетраэдрических ячеек, который выявляет больше структуры и прямое построение 600-ячеечной поверхности по сравнению с ее предшественником, 24-ячейкой.

Начните с любого из кластеров из 5 ячеек (см. Выше) и рассмотрите его центральную ячейку как центральный объект нового большего кластера тетраэдрических ячеек. Центральная ячейка - это первая часть из 600 ячеек, начинающаяся с ячейки. Окружив его большим количеством тетраэдрических ячеек, мы можем достичь более глубоких участков, начиная с ячейки.

Во-первых, обратите внимание, что кластер из 5 ячеек состоит из 4 перекрывающихся пар связанных гранями тетраэдров ( треугольных дипирамид ), чей длинный диаметр представляет собой край из 24 ячеек (ребро шестиугольника) длины √ 1 . Еще шесть треугольных дипирамид помещаются во впадины на поверхности кластера из 5, поэтому внешние хорды, соединяющие его 4 апикальные вершины, также являются ребрами из 24 ячеек длины √ 1 . Они образуют тетраэдр с длиной ребра √ 1 , который является вторым участком 600-ячейки, начинающейся с ячейки. В 600-ячейке 600 таких √ 1 тетраэдрических секций.

Поскольку шесть треугольных дипиамидов помещаются во впадины, появляется 12 новых ячеек и 6 новых вершин в дополнение к 5 ячейкам и 8 вершинам исходного кластера. 6 новых вершин образуют третью часть 600-ячеечной ячейки, начиная с ячейки, октаэдра с длиной ребра √ 1 , очевидно, ячейки 24-ячейки. Поскольку этот октаэдр √ 1 пока частично заполнен (17 тетраэдрических ячеек), он имеет вогнутые грани, в которые вписывается короткая треугольная пирамида; он имеет тот же объем, что и обычная тетраэдрическая ячейка, но неправильную тетраэдрическую форму. Каждая октаэдрическая ячейка состоит из 1 + 4 + 12 + 8 = 25 тетраэдрических ячеек: 17 правильных тетраэдрических ячеек плюс 8 объемно эквивалентных тетраэдрических ячеек, каждая из которых состоит из 6 1/6 фрагментов из 6 различных правильных тетраэдрических ячеек, каждая из которых охватывает три соседние октаэдрические ячейки.

Таким образом, 600-элементная ячейка с единичным радиусом построена непосредственно из ее предшественницы, 24-элементной ячейки с единичным радиусом, путем размещения на каждой из ее октаэдрических граней усеченной неправильной октаэдрической пирамиды с 14 вершинами, построенной (описанным выше способом) из 25 правильных тетраэдров. ячейки длины ребра 1/φ ≈ 0,618.

Союз двух торов

Есть еще один полезный способ разделить поверхность с 600 ячейками на кластеры тетраэдрических ячеек, который выявляет больше структуры и десятиугольных расслоений 600-ячеек. Целые 600 ячеек могут быть собраны из 2 колец 5 икосаэдрических пирамид, соединенных между вершинами в геодезические «прямые линии», плюс 40 колец из 10 ячеек, которые заполняют пустоты, оставшиеся между икосаэдрами.

100 тетраэдров в массиве 10 × 10, образующем границу тора Клиффорда в 600 ячейке. Его противоположные края идентифицируются, образуя дуоцилиндр .

120-клеток можно разложить на два непересекающихся торов . Поскольку он является двойником 600-ячеечной, такая же структура двойных торов существует и в 600-ячейке, хотя она несколько более сложна. Геодезический путь из 10 ячеек в 120 ячейках соответствует десятиугольному пути с 10 вершинами в 600 ячейках.

Начните со сборки пяти тетраэдров вокруг общего ребра. Эта конструкция чем-то напоминает угловатую «летающую тарелку». Сложите десять штук, от вершины к вершине, в стиле «блин». Заполните кольцевое кольцо между каждой парой «летающих тарелок» 10 тетраэдрами, чтобы сформировать икосаэдр. Вы можете рассматривать это как пять вершин уложенных друг на друга икосаэдрических пирамид с заполненными пятью дополнительными кольцевыми кольцевыми промежутками. Поверхность такая же, как у десяти уложенных друг на друга пятиугольных антипризм : столбец с треугольными гранями и пятиугольным поперечным сечением. Согнутый в виде столбчатого кольца, это тор, состоящий из 150 ячеек, десяти ребер в длину, со 100 открытыми треугольными гранями, 150 открытыми ребрами и 50 открытыми вершинами. Сложите по одному тетраэдру на каждую открытую грань. Это даст вам несколько неровный тор из 250 ячеек с 50 приподнятыми вершинами, 50 вершинами впадин и 100 краями впадин. Долины представляют собой замкнутые пути длиной 10 ребер и соответствуют другим примерам пути десятиугольника с 10 вершинами, упомянутым выше (десятиугольники большого круга). Эти декагоны вращаются по спирали вокруг центрального десятиугольника ядра, но математически все они эквивалентны (все они лежат в центральных плоскостях).

Постройте второй идентичный тор из 250 ячеек, который соединяется с первым. Это 500 ячеек. Эти два тора соприкасаются вместе с вершинами долины, касающимися приподнятых вершин, оставляя 100 тетраэдрических пустот, которые заполняются оставшимися 100 тетраэдрами, соприкасающимися по краям впадины. Этот последний набор из 100 тетраэдров находится на точной границе дуоцилиндра и образует тор Клиффорда . Их можно «развернуть» в квадратный массив 10х10. Между прочим, эта структура образует один тетраэдрический слой в тетраэдрическо-октаэдрической соте . С обеих сторон имеется ровно 50 углублений и выступов «ящика для яиц», которые сопрягаются с торами на 250 ячеек. При этом в каждое углубление вместо октаэдра, как в сотах, помещается треугольная бипирамида, составленная из двух тетраэдров.

Это разложение на 600 ячеек имеет симметрию [[10,2 ⁺ , 10]], порядок 400, ту же симметрию, что и большая антипризма . Большая антипризма - это всего лишь 600-ячеечная с удаленными двумя вышеупомянутыми 150-ячеечными торами, оставляя только единственный средний слой из 300 тетраэдров, размерно аналогичный 10-гранному поясу икосаэдра с удаленными 5 верхними и 5 нижними гранями ( пятиугольная антипризма ).

Каждый из двух 150-ячеечных торов содержит 6 больших декагонов, параллельных Клиффорду (пять вокруг одного), и два тора являются параллельными друг другу торами Клиффорда, поэтому вместе они составляют полное расслоение из 12 декагонов, которое достигает всех 120 вершин, несмотря на то, что заполняет только половину. 600-ячеечный с ячейками.

Одиночное 30-тетраэдрическое спиральное кольцо Бурдейка – Кокстера в 600-ячейке в стереографической проекции.

По периметру этой 30-угольной ортогональной проекции можно увидеть кольцо из 30 тетраэдров.

30 вершин кольца из 30 ячеек лежат на косой звезде 30-угольника с числом витков 11.

600 ячеек также можно разделить на 20 непересекающихся ячеек переплетающихся колец по 30 ячеек, каждое с десятью краями в длину, образуя дискретное расслоение Хопфа, которое заполняет все 600 ячеек. Эти цепочки из 30 тетраэдров образуют спираль Бордейка – Кокстера . Центральная ось каждой спирали представляет собой геодезическую с 30 углами, которая не пересекает никаких вершин, а 30 вершин кольца с 30 ячейками образуют косую звезду с 30 угольниками с геодезической орбитой, которая 11 раз оборачивается вокруг 600-ячейки. Пять из этих 30-элементных спиралей гнездятся вместе и закручиваются вокруг каждой из 10-вершинных траекторий десятиугольника, образуя 150-элементный тор, описанный выше. Таким образом, каждый большой десятиугольник является центральным десятиугольником ядра 150-элементного тора.

20 непересекающихся ячеек 30-ячеечных колец составляют четыре идентичных не пересекающихся ячеек тора из 150 ячеек: два, описанные выше в разложении на большую антипризму, и еще два, которые заполняют средний слой из 300 тетраэдров, занятый 30 кольцами из 10 ячеек. грандиозное разложение антипризмы. Четыре кольца из 150 ячеек вращаются по спирали друг вокруг друга и проходят друг через друга так же, как 20 колец из 30 ячеек или 12 больших декагонов; эти три набора параллельных многогранников Клиффорда представляют собой одно и то же дискретное десятиугольное расслоение 600-элементного .

Вращения

В регулярных выпуклых 4-многогранники являются выражением их основной симметрии , которая известна как SO (4) , в группе вращений вокруг фиксированной точки в 4-мерном евклидовом пространстве.

600-элементная ячейка создается изоклиническим вращением 24-элементной ячейки на 36 ° =𝜋/5 (дуга одной длины ребра в 600 ячеек).

В 600 ячейке 25 вписанных 24 ячеек. Следовательно, есть также 25 вписанных курносых 24 ячеек, 75 вписанных тессерактов и 75 вписанных 16 ячеек.

8-вершинная 16-секционная ячейка имеет 4 длинных диаметра, наклоненных под углом 90 ° = 𝜋/2друг к другу, часто принимаемые за 4 ортогональные оси или основу системы координат.

24-х элементная 24-элементная ячейка имеет 12 длинных диаметров, наклоненных под углом 60 ° = 𝜋/3 друг к другу: 3 непересекающихся набора из 4 ортогональных осей, каждый набор состоит из диаметров одной из 3 вписанных 16-ячеек, изоклинически повернутых на 𝜋/3 по отношению друг к другу.

120-вершинная 600-ячейка имеет 60 длинных диаметров: не только 5 непересекающихся наборов по 12 диаметров, каждый из которых состоит из 5 вписанных 24-ячеек (как мы могли бы подозревать по аналогии), но и 25 различных, но перекрывающихся наборов по 12 диаметров, каждый состоящий из 25 вписанных 24 ячеек. Там есть 5 непересекающиеся 24-клетки в 600-клетки, но не только 5: Есть 10 различных способов сегментировать 600-клетки в 5 непересекающихся 24-клеток.

Подобно 16-клеткам и 8-клеткам, вписанным в 24-клетку, 25 24-клеток, вписанных в 600-клетку, являются взаимно изоклинными политопами . Расстояние вращения между вписанными 24-клетками всегда является одинаковым угловым поворот из𝜋/5 в каждой паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей вращения.

Четырехмерное кольцо из трех параллельных больших десятиугольников Клиффорда, разрезанных и выложенных в трехмерном пространстве.

Пять 24-клеток не пересекаются, потому что они параллельны Клиффорду: их соответствующие вершины равны 𝜋/5 на двух непересекающихся параллельных десятиугольных больших окружностях Клиффорда (а также 𝜋/5на одной и той же десятиугольной большой окружности). Изоклиническое вращение декагональных плоскостей на𝜋/5переводит каждую 24-ячейку в непересекающуюся 24-ячейку (точно так же, как изоклиническое вращение гексагональных плоскостей на𝜋/3переводит каждую 16-ячейку в непересекающуюся 16-ячейку). Каждое изоклиническое вращение происходит в двух хиральных формах: есть 4 непересекающихся 24 клетки слева от каждой 24 клетки и еще 4 непересекающихся 24 клетки справа . Левое и правое вращение достигают разных 24 ячеек; следовательно, каждая 24-ячейка принадлежит двум разным наборам из пяти непересекающихся 24-ячеек.

Все параллельные многогранники Клиффорда изоклинические, но не все изоклинические многогранники являются параллелями Клиффорда (полностью непересекающимися объектами). Каждая 24-ячейка изоклиническая и параллельна Клиффорду 8 другим, и изоклиническая, но не параллельна Клиффорду 16 другим. С каждой из 16 он разделяет 6 вершин: гексагональную центральную плоскость. Неразрывные 24-клетки связаны простым вращением соотношением𝜋/5в инвариантной плоскости, пересекающей только две вершины 600-ячейки, вращение, при котором полностью ортогональная фиксированная плоскость является их общей гексагональной центральной плоскостью. Они также связаны изоклиническим вращением, при котором обе плоскости вращаются на𝜋/5.

Есть два вида 𝜋/5изоклинические вращения, которые переводят каждую 24 клетки в другую 24 клетки. Непересекающиеся 24-клетки связаны между собой𝜋/5изоклиническое вращение всего расслоения из 12 параллельных Клиффорда декагональных инвариантных плоскостей . (Существует 6 таких наборов волокон, и с каждым набором возможно правое или левое изоклиническое вращение, так что имеется 12 таких различных вращений.) Неразрывные 24-клетки связаны между собой соотношением𝜋/5изоклиническое вращение всего расслоения из 20 параллельных Клиффорда гексагональных инвариантных плоскостей . (Таких наборов волокон 10, так что таких разных поворотов 20.)

С другой стороны, каждый из 10 наборов из пяти непересекающихся 24-ячеек является параллелью Клиффорда, потому что соответствующие ему большие шестиугольники параллельны Клиффорду. (24-ячейки не имеют больших декагонов.) 16 больших шестиугольников в каждой 24-ячейке можно разделить на 4 набора из 4 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда , каждый набор которых покрывает все 24 вершины 24-ячейки. 200 больших шестиугольников в 600-ячейке можно разделить на 10 наборов по 20 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда , каждый из которых покрывает все 120 вершин 600-ячейки. Каждый из 10 наборов из 20 непересекающихся шестиугольников можно разделить на пять наборов по 4 непересекающихся шестиугольника, каждый набор из 4 которых покрывает непересекающиеся 24 ячейки. Точно так же соответствующие большие квадраты непересекающихся 24-клеток параллельны Клиффорду.

Радиальные золотые треугольники

600-ячейка может быть построена радиально из 720 золотых треугольников с длинами ребер √ 0.𝚫 √ 1 √ 1, которые пересекаются в центре 4-многогранника, каждый из которых дает два радиуса √ 1 и ребро √ 0.𝚫 . Они образуют 1200 треугольных пирамид с вершинами в центре: неправильные тетраэдры с равносторонними основаниями √ 0.𝚫 (грани 600-ячейки). Они образуют 600 тетраэдрических пирамид с вершинами в центре: неправильные 5 ячеек с правильными основаниями тетраэдра √ 0.𝚫 (ячейки 600-ячеек).

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет собой 600 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всей 600 ячейке. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 120 & 12 & 30 & 20 \\ 2 & 720 & 5 & 5 \\ 3 & 3 & 1200 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 600 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}$

Вот конфигурация, расширенная элементами k -face и k -figures. Количество диагональных элементов - это отношение полного порядка группы Кокстера , 14400, деленное на порядок подгруппы с удалением зеркала.

H 4		k -face	f k	f 0	f 1	ж 2	ж 3	k -fig	Примечания
H 3		()	f 0	120	12	30	20	{3,5}	H 4 / H 3 = 14400/120 = 120
А 1 Н 2		{}	f 1	2	720	5	5	{5}	H 4 / H 2 A 1 = 14400/10/2 = 720
А 2 А 1		{3}	ж 2	3	3	1200	2	{}	H 4 / A 2 A 1 = 14400/6/2 = 1200
А 3		{3,3}	ж 3	4	6	4	600	()	H 4 / A 3 = 14400/24 ​​= 600

Симметрии

В icosians представляют собой специфический набор гамильтоновых кватернионов с той же симметрией, что и 600-клетки. Икозианы лежат в золотом поле ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , где восемь переменных являются рациональными числами. . Конечные суммы 120 единичных икозианов называются икозиановым кольцом .

При интерпретации как кватернионы 120 вершин 600-ячеек образуют группу при кватернионном умножении. Эта группа часто называется бинарной икосаэдрической группа и обозначается 2I , как это двойное покрытие из обычной икосаэдра группы I . Он встречается дважды в группе вращательной симметрии RSG 600-клеточной подгруппы как инвариантная подгруппа , а именно как подгруппа 2I _L кватернионных умножений слева и как подгруппа 2I _R кватернионных умножений справа. Каждая вращательная симметрия 600-ячеек создается определенными элементами 2I _L и 2I _R ; пара противоположных элементов порождает один и тот же элемент RSG . Центр из RSG состоит из не-вращения Id и центральной инверсии -id . Имеется изоморфизм RSG ≅ (2I _L × 2I _R ) / {Id, -Id} . Порядок RSG равен120 × 120/2 = 7200.

Двоичная икосаэдрическая группа изоморфна к SL (2,5) .

Полная группа симметрии из 600-клеток является группа Вейля из H ₄ . Это группа порядка 14400. Она состоит из 7200 вращений и 7200 вращений-отражений. Вращения образуют инвариантную подгруппу полной группы симметрии. Группа вращательной симметрии описана С.Л. ван Оссом.

Визуализация

Симметрии трехмерной поверхности 600-ячеек довольно сложно визуализировать как из-за большого количества тетраэдрических ячеек, так и из-за того, что тетраэдр не имеет противоположных граней или вершин. Можно начать с осознания того, что 600-ячеечная - двойная 120-ячеечная. Можно также заметить, что 600-ячейка также содержит вершины додекаэдра, которые с некоторым усилием можно увидеть в большинстве перспективных проекций ниже.

2D проекции

Десятиугольная проекция H3 показывает плоскость многоугольника Ван Осса .

Ортогональные проекции на плоскостях кокстеровских

H 4	-	П 4
[30] (красный = 1)	[20] (красный = 1)	[12] (красный = 1)
H 3	A 2 / B 3 / D 4	A 3 / B 2
[10] (красный = 1, оранжевый = 5, желтый = 10)	[6] (красный = 1, оранжевый = 3, желтый = 6)	[4] (красный = 1, оранжевый = 2, желтый = 4)

3D проекции

Трехмерная модель 600-ячейки, находящаяся в коллекции Института Анри Пуанкаре , была сфотографирована в 1934–1935 годах Ман Рэем и являлась частью двух его более поздних картин «Шекспировское уравнение».

Вершинная проекция
	На этом изображении показана перспективная проекция 600-ячеек в первую очередь вершины в 3D. 600-ячейка масштабируется до радиуса центра вершины, равного 1, а четырехмерная точка обзора размещается на расстоянии 5 единиц. Затем применяются следующие улучшения: 20 тетраэдров, пересекающихся в вершине, ближайшей к точке обзора 4D, отображаются сплошным цветом. Их икосаэдрическое расположение ясно показано. Тетраэдры, непосредственно примыкающие к этим 20 ячейкам, окрашены в прозрачный желтый цвет. Остальные ячейки отображаются контурами по краям. Клетки, обращенные от точки обзора 4D (те, что лежат на «дальней стороне» 600-ячеек) были отбракованы, чтобы уменьшить визуальный беспорядок на окончательном изображении.
Клеточная проекция
	На этом изображении показана трехмерная перспективная проекция на 600 ячеек. Опять же, 600 ячеек до радиуса центра вершины, равного 1, и точка обзора 4D расположены на расстоянии 5 единиц. Затем применяются следующие улучшения: Ближайшая к 4-й точке обзора ячейка отображается сплошным цветом и располагается в центре проецируемого изображения. Окружающие его ячейки (имеющие как минимум 1 вершину) отображаются прозрачным желтым цветом. Остальные ячейки отображаются контурами по краям. Клетки, обращенные от точки обзора 4D, были выбраны для ясности. Эта конкретная точка обзора показывает красивый контур из 5 тетраэдров, разделяющих ребро, по направлению к передней части трехмерного изображения.

Ортогональная изометрическая (слева) и перспективная (справа) проекции с покадровой синхронизацией
Воспроизвести медиа

Уменьшено 600 ячеек

Вздернутые 24-клетки могут быть получены из 600-ячейки, удалив вершины вписанной 24-клетки и принимая выпуклую оболочку из остальных вершин. Этот процесс является уменьшением 600-элементного.

Большую антипризму можно получить путем другого уменьшения 600-ячейки: удаления 20 вершин, лежащих на двух взаимно ортогональных кольцах, и взятия выпуклой оболочки оставшихся вершин.

Из 600-ячеек с уменьшенным bi-24 и со всеми уменьшенными до трех ячеек икосаэдра 48 вершин удалены, в результате чего остается 72 из 120 вершин 600-ячеек. Двойник из 600-ячеек с уменьшенным bi-24, представляет собой 600-ячейку с уменьшенным tri-24, с 48 вершинами и 72 ячейками шестигранника.

Всего имеется 314 248 344 уменьшения 600-ячеек из-за несмежных вершин. Все они состоят из правильных тетраэдрических и икосаэдрических ячеек.

Уменьшено 600 ячеек
Имя	Tri-24-уменьшенный 600-элементный	Bi-24-уменьшенный 600-элементный	Snub 24-элементный (24-уменьшенный 600-элементный)	Большая антипризма (20 уменьшенных 600-ячеек)	600 ячеек
Вершины	48	72	96	100	120
Фигура вершины (симметрия)	двойственный к трехуменьшенному икосаэдру ([3], порядок 6)	тетрагональный антивид ([2] + , порядок 2)	трехуменьшенный икосаэдр ([3], порядок 6)	двумерный икосаэдр ([2], порядок 4)	Икосаэдр ([5,3], порядок 120)
Симметрия	Заказ 144 (48 × 3 или 72 × 2)		[3 + , 4,3] Порядок 576 (96 × 6)	[[10,2 + , 10]] Порядок 400 (100 × 4)	[5,3,3] Заказать 14400 (120 × 120)
Сеть
Орто Н 4 плоскость
Самолет Орто F 4

Связанные сложные полигоны

В обычных сложных многогранниках ₃ {5} ₃ ,и ₅ {3} ₅ ,, в реальном представлении в виде 600 ячеек в 4-мерном пространстве. Оба имеют 120 вершин и 120 ребер. Первый имеет комплексную группу отражений ₃ [5] ₃ порядка 360, а второй имеет симметрию ₅ [3] ₅ порядка 600. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

Правильный комплексный многогранник в ортогональной проекции плоскости Кокстера H 4
{3,3,5} Заказ 14400	3 {5} 3 Заказ 360	5 {3} 5 Заказ 600

Связанные многогранники и соты

600-ячейка - это один из 15 правильных и однородных многогранников с одинаковой симметрией [3,3,5]:

Семейные многогранники H 4
120 ячеек	выпрямленный 120-элементный	усеченный 120-элементный	скошенный 120-элементный	беглый 120-клеточный	усеченный 120-элементный	усеченный 120- ячеечный	усеченная 120-ячеечная
{5,3,3}	г {5,3,3}	т {5,3,3}	рр {5,3,3}	т 0,3 {5,3,3}	tr {5,3,3}	т 0,1,3 {5,3,3}	т 0,1,2,3 {5,3,3}
600 ячеек	выпрямленный 600-элементный	усеченный 600-ячеечный	скошенный на 600 ячеек	усеченный по битам, 600 ячеек	усеченный 600- ячеечный	усеченный 600- ячеечный	омниусеченный 600-ячеечный
{3,3,5}	г {3,3,5}	т {3,3,5}	рр {3,3,5}	2т {3,3,5}	tr {3,3,5}	т 0,1,3 {3,3,5}	т 0,1,2,3 {3,3,5}

Он похож на три правильных 4-многогранника : 5-клеточный {3,3,3}, 16-клеточный {3,3,4} евклидова 4-пространства и тетраэдрические соты порядка 6 {3,3, 6} гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдрические ячейки.

{3,3, p} многогранники
Космос	S 3			H 3
Форма	Конечный			Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	... {3,3, ∞}
Изображение
Фигура вершины	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3, ∞}

Этот 4-многогранник является частью последовательности 4-многогранника и сот с фигурами вершин икосаэдра :

{p, 3,5} многогранники
Космос	S 3	H 3
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞, 3,5}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}

Смотрите также

• 24-элементный , предшественник 4 -элементного многогранника, на котором основан 600-элементный
• 120-элементный , двойной 4-многогранник для 600-элементного и его преемник
• Семейство однородных 4-многогранников с симметрией [5,3,3]
• Правильный 4-многогранник
• Многогранник

Примечания

Цитаты

использованная литература

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «600-Cell» . MathWorld .
• Ольшевский, Георгий. «Гексакосихорон» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
  • Выпуклая однородная полихора на основе гекатоникосахорон (120 клеток) и гексакосихорон (600 клеток) - Модель 35 , Георгий Ольшевский.
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихоры) x3o3o5o - ex» .
• Der 600-Zeller (600-элементный) Регулярные многогранники Марко Мёллера в R ⁴ (немецкий)
• 600-Cell вершинных по центру расширение 600-клетки