Соты (геометрия) - Honeycomb (geometry)

кубические соты

В геометрии , А соты является заполнение пространства или плотной упаковкой из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений. Его размерность может быть определена как n -медовые соты для сот n- мерного пространства.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Можно заполнить плоскость многоугольниками, которые не пересекаются в углах, например, используя прямоугольники , как в шаблоне кирпичной стены: это неправильная мозаика, потому что углы частично лежат вдоль края соседнего многоугольника. Точно так же в настоящих сотах не должно быть ребер или вершин, частично лежащих вдоль грани соседней соты. Интерпретация каждой грани кирпича как шестиугольника, имеющего два внутренних угла 180 градусов, позволяет рассматривать узор как правильную плитку. Однако не все геометры принимают такие шестиугольники.

Классификация

Существует бесконечно много сот, которые только частично классифицированы. Самые обычные вызвали наибольший интерес, в то время как богатый и разнообразный ассортимент других продолжает открываться.

Простейшие соты для создания образуются из слоев или пластин призм, уложенных друг на друга на основе мозаики плоскости. В частности, для каждого параллелепипеда копии могут заполнять пространство, причем кубические соты являются особенными, потому что это единственные правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Еще одно интересное семейство - тетраэдры Хилла и их обобщения, которые также могут замощать пространство.

Однородные 3-соты

Трехмерные однородные соты - это соты в трехмерном пространстве, состоящие из однородных многогранных ячеек и имеющие одинаковые вершины (т. Е. Группа [изометрий трехмерного пространства, сохраняющих мозаику], транзитивна на вершинах ). Есть 28 выпуклых примеров в евклидовом трехмерном пространстве, также называемых архимедовыми сотами .

Соты называются регулярными, если группа изометрий, сохраняющих замощение, действует транзитивно на флагах, где флаг - это вершина, лежащая на ребре, лежащем на грани, лежащей в клетке. Все обычные соты автоматически становятся однородными. Однако в евклидовом трехмерном пространстве есть только одна обычная сотовая структура - кубические соты . Два из них квазирегулярны (состоят из двух типов регулярных ячеек):

Тип	Обычные кубические соты	Квазирегулярные соты
Клетки	Кубический	Октаэдры и тетраэдры
Слой плиты

Тетраэдрический-октаэдрический сот и вращался тетраэдрическим-октаэдрические соты генерируются 3 или 2 позициями сляба слоя клеток, каждый из переменных тетраэдров и октаэдров. Бесконечное количество уникальных сот можно создать, повторяя эти слои плиты более высокого порядка.

Многогранники, заполняющие пространство

Сота, в которой все ячейки идентичны в пределах своей симметрии, называется ячейко-транзитивной или изохорной . В трехмерном евклидовом пространстве ячейка такой соты называется многогранником, заполняющим пространство . Необходимое условие для многогранника быть пространство заполнения многогранника является то , что его инвариант Дена должен быть равен нулем, что исключает какие - либо из многогранников , кроме куба.

Пять многогранников, заполняющих пространство, могут составить мозаику трехмерного евклидова пространства, используя только переводы. Их называют параллелоэдрами :

1. Кубические соты (или варианты: кубоид , ромбический шестигранник или параллелепипед )
2. Гексагональные призматические соты
3. Ромбические додекаэдрические соты
4. Удлиненные додекаэдрические соты
5. Битоусеченные кубические соты или усеченные октаэдры

кубические соты	Гексагональные призматические соты	Ромбические додекаэдры	Удлиненные додекаэдры	Усеченные октаэдры
Куб (параллелепипед)	Гексагональная призма	Ромбический додекаэдр	Удлиненный додекаэдр	Усеченный октаэдр
3 длины кромки	3 + 1 кромка	4 кромки	4 + 1 кромка	6 кромок

Другие известные примеры многогранников, заполняющих пространство, включают:

• Треугольные призматические соты
• Вращались треугольный призматический сот
• Тройнозубые акулы усеченная четырехгранная сот . Ячейки Вороного атомов углерода в алмазе имеют такую ​​форму.
• Trapezo-ромбические додекаэдрической соты
• равногранные тайлинги

Прочие соты с двумя и более многогранниками

Иногда два или более разных многогранника могут быть объединены, чтобы заполнить пространство. Помимо множества однородных сот, еще одним хорошо известным примером является структура Вейра-Фелана , заимствованная из структуры кристаллов клатратных гидратов.

Структура Вейра-Фелана (с двумя типами клеток)

Невыпуклые 3-соты

Документированные примеры редки. Можно выделить два класса:

• Невыпуклые ячейки, которые упаковываются без перекрытия, аналогично мозаике вогнутых многоугольников. К ним относится упаковка небольшого звездчатого ромбического додекаэдра , как в кубе Ёсимото .
• Перекрытие ячеек, положительная и отрицательная плотности которых «сокращаются», образуя однородно плотный континуум, аналогично перекрывающимся мозаикам на плоскости.

Гиперболические соты

В 3-мерном гиперболическом пространстве , то двугранный угол многогранника зависит от его размера. Таким образом, правильные гиперболические соты включают две с четырьмя или пятью додекаэдрами, пересекающимися на каждом краю; их двугранные углы, таким образом, равны π / 2 и 2π / 5, оба из которых меньше, чем у евклидова додекаэдра. Помимо этого эффекта, гиперболические соты подчиняются тем же топологическим ограничениям, что и евклидовы соты и полихоры.

Перечислены 4 компактных и 11 паракомпактных обычных гиперболических сот и множество компактных и паракомпактных однородных гиперболических сот.

Четыре обычных компактных соты в H ³

{5,3,4}

{4,3,5}

{3,5,3}

{5,3,5}

11 паракомпактных обычных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Двойственность 3-х сот

Для каждой соты есть две соты, которые можно получить, заменив:

ячейки для вершин.

грани для краев.

Это просто правила дуализации четырехмерных 4-многогранников , за исключением того, что обычный конечный метод возвратно-поступательного движения относительно концентрической гиперсферы может столкнуться с проблемами.

Более обычные соты аккуратно дуализируются:

• Кубические соты самодвойственные.
• Октаэдры и тетраэдры двойственны ромбическим додекаэдрам.
• Соты плиты, полученные из однородных плоских мозаик, двойственны друг другу так же, как и мозаики.
• Все двойники остальных архимедовых сот являются клеточно-транзитивными и были описаны Инчбальдом.

Самодвойные соты

Соты также могут быть самодвойными . Все n -мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3 ^{n −2} , 4} самодвойственны.

Смотрите также

• Список однородных мозаик
• Обычные соты
• Бесконечный косой многогранник
• Плезиоэдр

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Кокстер, HSM : правильные многогранники .
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc., стр. 164–199. ISBN   0-486-23729-X . Глава 5: Упаковка многогранников и заполнение пространства
• Критчлоу, К .: Порядок в космосе .
• Пирс, П .: Структура в природе - это стратегия дизайна .
• Голдберг, Майкл. Три бесконечных семейства тетраэдральных заполнителей пространства. Журнал комбинаторной теории. A, 16, стр. 348–354, 1974.
• Гольдберг, Майкл (1972). "Заполняющие пространство пятигранники" . Журнал комбинаторной теории, Серия А . 13 (3): 437–443. DOI : 10.1016 / 0097-3165 (72) 90077-5 .
• Голдберг, Майкл . Пентаэдры, заполняющие пространство II , Журнал комбинаторной теории 17 (1974), 375–378.
• Гольдберг, Майкл (1977). «О заполняющих пространство гексаэдрах». Geometriae Dedicata . 6 . DOI : 10.1007 / BF00181585 .
• Гольдберг, Майкл (1978). «О гептаэдрах, заполняющих пространство». Geometriae Dedicata . 7 (2): 175–184. DOI : 10.1007 / BF00181630 .
• Гольдберг, Майкл Выпуклые многогранные заполнители пространства более чем двенадцатью гранями. Геом. Дедиката 8, 491-500, 1979.
• Гольдберг, Майкл (1981). «О заполняющих пространство октаэдрах» . Geometriae Dedicata . 10 (1–4): 323–335. DOI : 10.1007 / BF01447431 .
• Гольдберг, Майкл (1982). «О Декаэдрах, заполняющих пространство» . Цитировать журнал требует |journal= ( помощь )
• Гольдберг, Майкл (1982). «О заполняющих пространство эннеаэдрах». Geometriae Dedicata . 12 (3). DOI : 10.1007 / BF00147314 .

внешние ссылки

• Ольшевский, Георгий. «Соты» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
• Пять заполняющих пространство многогранников , Гай Инчбальд, The Mathematical Gazette 80 , ноябрь 1996 г., стр. 466-475.
• Raumfueller (Многогранники, заполняющие пространство) Т.Е. Дорозинского
• Вайсштейн, Эрик В. "Многогранник, заполняющий пространство" . MathWorld .

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ / / ${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерные 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21