Конфигурация (многогранник) - Configuration (polytope)

В геометрии , Коксетер называется регулярным многогранником особого вида конфигурации .

Остальные конфигурации по геометрии отличаются. Эти конфигурации многогранников более точно можно назвать матрицами инцидентности , где одинаковые элементы собраны вместе в строки и столбцы. Обычные многогранники будет иметь одну строку и столбец за K -Лицо элемента, в то время как другие многогранники будет иметь одну строку и столбец для каждого типа к-грани со стороны их классов симметрии. Многогранник без симметрии будет иметь по одной строке и столбцу для каждого элемента, и матрица будет заполнена 0, если элементы не связаны, и 1, если они связаны. Элементы того же k не будут связаны и будут иметь запись в таблице "*".

Каждый многогранник и абстрактный многогранник имеет диаграмму Хассе, выражающую эти связности, которые можно систематически описывать с помощью матрицы инцидентности .

Матрица конфигурации для правильных многогранников

Конфигурация правильного многогранника представлена матрицей, в которой диагональный элемент N _i - это количество i- граней в многограннике. Диагональные элементы также называются f-вектором многогранника . Недиагональный ( i ≠ j ) элемент N _ij - это количество j- граней, инцидентных каждому элементу i- граней, так что N _i N _ij = N _j N _ji .

Принцип обычно распространяется на $n$ измерений, где $0 \leq j < n$ .

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} N_ {0} & N_ {0,1} & N_ {0,2} & \ cdots & N_ {0, n-1} \\ N_ {1,0} & N_ {1} & N_ {1,2} & \ cdots & N_ {1, n-1} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ N_ {n-1,0} & N_ {n-1, 1} & N_ {n-1,2} & \ cdots & N_ {n-1} \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}

Полигоны

Правильный многоугольник , символ шлефл { д }, будет иметь матрицу 2х2, с первым рядом для вершин и второго рядом по краям. Порядок г 2 кв .

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} N_ {0} & N_ {01} \\ N_ {10} & N_ {1} \ end {matrix}} \ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} {\ begin {matrix} g / 2 & 2 \\ 2 & g / 2 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} q & 2 \\ 2 & q \ end {matrix} } \ end {bmatrix}}}

Обычный n-угольник будет иметь матрицу 2n x 2n с первыми n строками и вершинами столбцов и последними n строками и столбцами в качестве ребер.

Пример треугольника

Существует три классификации симметрии треугольника : равносторонний, равнобедренный и разносторонний. Все они имеют одинаковую матрицу инцидентности , но симметрия позволяет собирать и подсчитывать вершины и ребра. Эти треугольники имеют вершины, помеченные A, B, C, и ребра a, b, c, а вершины и ребра, которые могут быть отображены друг на друга с помощью операции симметрии, помечены одинаково.

Треугольники

Равносторонний
{3}

Равносторонний треугольник element-labeled.png

Равнобедренный
{} ∨ ()

Скален
() ∨ () ∨ ()

Масштабный треугольник element-labeled.png

(v: 3; e: 3)

(v: 2 + 1; e: 2 + 1)

(v: 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1)

  | A | a 
--+---+---
A | 3 | 2 
--+---+---
a | 2 | 3

  | A B | a b
--+-----+-----
A | 2 * | 1 1
B | * 1 | 2 0
--+-----+-----
a | 1 1 | 2 * 
b | 2 0 | * 1

  | A B C | a b c
--+-------+-------
A | 1 * * | 0 1 1
B | * 1 * | 1 0 1 
C | * * 1 | 1 1 0 
--+-------+-------
a | 0 1 1 | 1 * * 
b | 1 0 1 | * 1 * 
c | 1 1 0 | * * 1

Четырехугольники

Четырехугольники по симметрии

Четырехугольники можно классифицировать по симметрии, каждый со своей матрицей. Четырехугольники существуют с двойными парами, которые будут иметь одинаковую матрицу, повернутую на 180 градусов, с перевернутыми вершинами и ребрами. Квадраты, параллелограммы и общие четырехугольники самодвойственны по классам, поэтому их матрицы не меняются при повороте на 180 градусов.

Четырехугольники
Квадрат {4}	Прямоугольник {} × {}	Ромб {} + {}	Параллелограмм
(v: 4; e: 4)	(v: 4; e: 2 + 2)	(v: 2 + 2; e: 4)	(v: 2 + 2; e: 2 + 2)
\| A \| a --+---+--- A \| 4 \| 2 --+---+--- a \| 2 \| 4	\| A \| a b --+---+----- A \| 4 \| 1 1 --+---+----- a \| 2 \| 2 * b \| 2 \| * 2	\| A B \| a --+-----+--- A \| 2 * \| 2 B \| * 2 \| 2 --+-----+--- a \| 1 1 \| 4	\| A B \| a b --+-----+----- A \| 2 * \| 1 1 B \| * 2 \| 1 1 --+-----+----- a \| 1 1 \| 2 * b \| 1 1 \| * 2
Равнобедренная трапеция {} \|\| {}	воздушный змей	Общее
(v: 2 + 2; e: 1 + 1 + 2)	(v: 1 + 1 + 2; e: 2 + 2)	(v: 1 + 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1 + 1)
\| A B \| a b c --+-----+------- A \| 2 * \| 1 0 1 B \| * 2 \| 0 1 1 --+-----+------ a \| 2 0 \| 1 * * b \| 0 2 \| * 1 * c \| 1 1 \| * * 2	\| A B C \| a b --+-------+---- A \| 1 * * \| 2 0 B \| * 1 * \| 0 2 C \| * * 2 \| 1 1 --+-------+---- a \| 1 0 1 \| 2 * b \| 0 1 1 \| * 2	\| A B C D \| a b c d --+---------+-------- A \| 1 * * * \| 1 0 0 1 B \| * 1 * * \| 1 1 0 0 C \| * * 1 * \| 0 1 1 0 D \| * * * 1 \| 0 0 1 1 --+---------+-------- a \| 1 1 0 0 \| 1 * * * b \| 0 1 1 0 \| * 1 * * c \| 0 0 1 1 \| * * 1 * d \| 1 0 0 1 \| * * * 1

Сложные полигоны

Идея также применима для обычных сложных многоугольников , _р { д } _г , построенных в : ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} N_ {0} & N_ {01} \\ N_ {10} & N_ {1} \ end {matrix}} \ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} {\ begin {matrix} g / r & r \\ p & g / p \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}

Комплекс группа отражений является _р [ д ] _г , порядок . ${\ displaystyle g = 8 / q \ cdot (1 / p + 2 / q + 1 / r-1) ^ {- 2}}$

Многогранники

Идея может быть применена в трех измерениях, рассматривая инцидентности точек, линий и плоскостей, или $j$ -пространств $(0 \leq j <3)$ , где каждое $j-$ пространство инцидентно $N jk k$ -пространствам $(j \neq k)$ . Записывая $N j$ для количества присутствующих $j$ -пространств, данная конфигурация может быть представлена матрицей

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} N_ {0} & N_ {01} & N_ {02} \\ N_ {10} & N_ {1} & N_ {12} \\ N_ {20} & N_ {21 } & N_ {2} \ end {matrix}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} g / 2q & q & q \\ 2 & g / 4 & 2 \\ p & p & g / 2p \ end {matrix}} \ конец {bmatrix}}}

для символа Шлефли {p, q} с групповым порядком g = 4 pq / (4 - ( p - 2) ( q - 2)).

Тетраэдр

Симметрии тетраэдров

Тетраэдры имеют матрицы, которые также могут быть сгруппированы по их симметрии, с общим тетраэдром, имеющим 14 строк и столбцов для 4 вершин, 6 ребер и 4 граней. Тетраэдры самодвойственны, и поворот матриц на 180 градусов (перестановка вершин и граней) оставит их неизменными.

Тетраэдры

Обычный
(v: 4; e: 6; f: 4)

тетрагональный дисфеноид
(v: 4; e: 2 + 4; f: 4)

Ромбический дисфеноид
(v: 4; e: 2 + 2 + 2; f: 4)

Дигональный дисфеноид
(v: 2 + 2; e: 4 + 1 + 1; f: 2 + 2)

Филлический дисфеноид
(v: 2 + 2; e: 2 + 2 + 1 + 1; f: 2 + 2)

  A| 4 | 3 | 3
---+---+---+--
  a| 2 | 6 | 2
---+---+---+--
aaa| 3 | 3 | 4

  A| 4 | 2 1 | 3
---+---+-----+--
  a| 2 | 4 * | 2
  b| 2 | * 2 | 2
---+---+-----+--
aab| 3 | 2 1 | 4

   A| 4 | 1 1 1 | 3
----+---+-------+--
   a| 2 | 2 * * | 2
   b| 2 | * 2 * | 2
   c| 2 | * * 2 | 2
----+---+-------+--
 abc| 3 | 1 1 1 | 4

  A| 2 * | 2 1 0 | 2 1
  B| * 2 | 2 0 1 | 1 2
---+-----+-------+----
  a| 1 1 | 4 * * | 1 1
  b| 2 0 | * 1 * | 2 0
  c| 0 2 | * * 1 | 0 2
---+-----+-------+----
aab| 2 1 | 2 1 0 | 2 *
aac| 1 2 | 2 0 1 | * 2

  A| 2 * | 1 0 1 1 | 1 2
  B| * 2 | 1 1 1 0 | 2 1
---+-----+---------+----
  a| 1 1 | 2 * * * | 1 1
  b| 1 1 | * 2 * * | 1 1
  c| 0 2 | * * 1 * | 2 0
  d| 2 0 | * * * 1 | 0 2
---+-----+---------+----
abc| 1 2 | 1 1 1 0 | 2 *
bcd| 2 1 | 1 1 0 1 | * 2

Треугольная пирамида
(v: 3 + 1; e: 3 + 3; f: 3 + 1)

Зеркальный сфероид
(v: 2 + 1 + 1; e: 2 + 2 + 1 + 1; f: 2 + 1 + 1)

Нет симметрии
(v: 1 + 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1; f: 1 + 1 + 1 + 1)

  A| 3 * | 2 1 | 2 1
  B| * 1 | 0 3 | 3 0
---+-----+-----+----
  a| 2 0 | 3 * | 1 1
  b| 1 1 | * 3 | 2 0
---+-----+-----+----
abb| 2 1 | 1 2 | 3 *
aaa| 3 0 | 3 0 | * 1

  A| 2 * * | 1 1 0 1 | 1 1 1 
  B| * 1 * | 2 0 1 0 | 0 2 1 
  C| * * 1 | 0 2 1 0 | 1 2 0 
---+-------+---------+------
  a| 1 0 1 | 2 * * * | 0 1 1 
  b| 0 1 1 | * 2 * * | 1 1 0 
  c| 1 1 0 | * * 1 * | 0 2 0 
  d| 0 0 2 | * * * 1 | 1 0 1 
---+-------+---------+------
ABC| 1 1 1 | 1 1 1 0 | 2 * *
ACC| 1 0 2 | 2 0 0 1 | * 1 *
BCC| 0 1 2 | 0 2 0 1 | * * 1

  A | 1 0 0 0 | 1 1 1 0 0 0 | 1 1 1 0
  B | 0 1 0 0 | 1 0 0 1 1 0 | 1 1 0 1
  C | 0 0 1 0 | 0 1 0 1 0 1 | 1 0 1 1
  D | 0 0 0 1 | 0 0 1 0 1 1 | 0 1 1 1
----+---------+-------------+--------
  a | 1 1 0 0 | 1 0 0 0 0 0 | 1 1 0 0
  b | 1 0 1 0 | 0 1 0 0 0 0 | 1 0 1 0
  c | 1 0 0 1 | 0 0 1 0 0 0 | 0 1 1 0
  d | 0 1 1 0 | 0 0 0 1 0 0 | 1 0 0 1
  e | 0 1 0 1 | 0 0 0 0 1 0 | 0 1 0 1
  f | 0 0 1 1 | 0 0 0 0 0 1 | 0 0 1 1
----+---------+-------------+--------
ABC | 1 1 1 0 | 1 1 0 1 0 0 | 1 0 0 0
ABD | 1 1 0 1 | 1 0 1 0 1 0 | 0 1 0 0
ACD | 1 0 1 1 | 0 1 1 0 0 1 | 0 0 1 0
BCD | 0 1 1 1 | 0 0 0 1 1 1 | 0 0 0 1

Ноты

Ссылки

Кокстер, HSM (1948), регулярные многогранники , Метуэн и Ко.
Кокстер, HSM (1991), регулярные комплексные многогранники , Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
Кокстер, HSM (1999), "Самодуальные конфигурации и регулярные графы", Красота геометрии , Дувр, ISBN 0-486-40919-8

Languages

In other projects