Правильный тетраэдр - Regular tetrahedron

Правильный тетраэдр представляет собой тетраэдр , в котором все четыре грани равносторонние треугольники . Это одно из пяти правильных Платоновых тел , известных с древности.

В правильном тетраэдре все грани имеют одинаковый размер и форму (конгруэнтны), и все ребра имеют одинаковую длину.

Пять тетраэдров лежат на плоскости, причем самые высокие трехмерные точки отмечены цифрами 1, 2, 3, 4 и 5. Затем эти точки соединяются друг с другом, и остается тонкий объем пустого пространства , где пять углы кромок не совсем совпадают.

Сами по себе правильные тетраэдры не мозаичны (заполняют пространство), но если их чередовать с правильными октаэдрами в соотношении двух тетраэдров к одному октаэдру, они образуют чередующиеся кубические соты , которые являются мозаикой. Некоторые тетраэдры, которые не являются правильными, включая ортосхему Шлефли и тетраэдр Хилла , могут быть мозаичными .

Правильный тетраэдр самодвойственный, что означает, что его двойственный - другой правильный тетраэдр. Соединение фигура , содержащая два таких двойной формы тетраэдров звездчатый октаэдр или стелла octangula.

Координаты правильного тетраэдра

Следующие декартовы координаты определяют четыре вершины тетраэдра с длиной ребра 2 с центром в начале координат и двумя ребрами уровня:

{\ displaystyle \ left (\ pm 1,0, - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right) \ quad {\ mbox {and}} \ quad \ left (0, \ pm 1, {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right)}

Выраженные симметрично в виде 4 точек на единичной сфере , центр тяжести в начале координат, с нижним уровнем грани, вершины таковы:

${\ displaystyle v_ {1} = \ left ({\ sqrt {\ frac {8} {9}}}, 0, - {\ frac {1} {3}} \ right)}$

${\ displaystyle v_ {2} = \ left (- {\ sqrt {\ frac {2} {9}}}, {\ sqrt {\ frac {2} {3}}}, - {\ frac {1} { 3}} \ right)}$

${\ displaystyle v_ {3} = \ left (- {\ sqrt {\ frac {2} {9}}}, - {\ sqrt {\ frac {2} {3}}}, - {\ frac {1}) {3}} \ right)}$

${\ displaystyle v_ {4} = (0,0,1)}$

с кромкой длиной . ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {8} {3}}}}$

Еще один набор координат основан на чередующемся кубе или полукубе с длиной ребра 2. Эта форма имеет диаграмму Кокстера. и символ Шлефли h {4,3}. Тетраэдр в этом случае имеет длину ребра 2 √ 2 . Инвертирование этих координат генерирует двойственный тетраэдр, а пара вместе образует звездчатый октаэдр, вершины которого совпадают с вершинами исходного куба.

Тетраэдр: (1,1,1), (1, −1, −1), (−1,1, −1), (−1, −1,1)

Двойственный тетраэдр: (−1, −1, −1), (−1,1,1), (1, −1,1), (1,1, −1)

Правильный тетраэдр ABCD и его описанная сфера

Углы и расстояния

Для правильного тетраэдра с длиной ребра а :

Область лица	${\ displaystyle A_ {0} = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2} \,}$
Площадь поверхности	${\ displaystyle A = 4 \, A_ {0} = {\ sqrt {3}} a ^ {2} \,}$
Высота пирамиды	${\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {6}} {3}} a = {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} \, a \,}$
Расстояние от центроида до вершины	${\ displaystyle {\ frac {3} {4}} \, h = {\ frac {\ sqrt {6}} {4}} \, a = {\ sqrt {\ frac {3} {8}}} \ , а \,}$
Расстояние от края до противоположного края	${\ displaystyle l = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \, a \,}$
Объем	${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} A_ {0} h = {\ frac {\ sqrt {2}} {12}} a ^ {3} = {\ frac {a ^ {3} } {6 {\ sqrt {2}}}} \,}$
Угол грань-вершина-кромка	${\ displaystyle \ arccos \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3}}} \ right) = \ arctan \ left ({\ sqrt {2}} \ right) \,}$ (прибл. 54,7356 °)
Угол между гранью и кромкой , т.е. "двугранный угол"	${\ displaystyle \ arccos \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) = \ arctan \ left (2 {\ sqrt {2}} \ right) \,}$ (прибл. 70,5288 °)
Угол вершины-центра-вершины, угол между линиями от центра тетраэдра к любым двум вершинам. Это также угол между границами плато в вершине. В химии это называется тетраэдрическим валентным углом . Этот угол (в радианах) также является длиной дуги геодезического сегмента на единичной сфере, полученной в результате центрального проецирования одного края тетраэдра на сферу.	${\ displaystyle \ arccos \ left (- {\ frac {1} {3}} \ right) = 2 \ arctan \ left ({\ sqrt {2}} \ right) \,}$ (прибл. 109,4712 °)
Телесный угол в вершине, образуемой гранью	${\ displaystyle \ arccos \ left ({\ frac {23} {27}} \ right)}$ (прибл. 0,55129 стерадиана ) (прибл. 1809,8 квадратных градуса )
Радиус циркумосферы	${\ displaystyle R = {\ frac {\ sqrt {6}} {4}} a = {\ sqrt {\ frac {3} {8}}} \, a \,}$
Радиус вдоха , касающийся лиц	${\ displaystyle r = {\ frac {1} {3}} R = {\ frac {a} {\ sqrt {24}}} \,}$
Радиус средней сферы , касательный к краям	${\ displaystyle r _ {\ mathrm {M}} = {\ sqrt {rR}} = {\ frac {a} {\ sqrt {8}}} \,}$
Радиус экзосферы	${\ displaystyle r _ {\ mathrm {E}} = {\ frac {a} {\ sqrt {6}}} \,}$
Расстояние до центра экзосферы от противоположной вершины	${\ displaystyle d _ {\ mathrm {VE}} = {\ frac {\ sqrt {6}} {2}} a = {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} a \,}$

По отношению к базовой плоскости наклон грани (2 √ 2 ) вдвое больше, чем у кромки ( √ 2 ), что соответствует тому факту, что горизонтальное расстояние, пройденное от основания до вершины вдоль кромки, вдвое больше, чем вдоль кромки. медиана лица. Другими словами, если C - центр тяжести основания, расстояние от C до вершины основания вдвое больше, чем от C до середины ребра основания. Это следует из того факта, что медианы треугольника пересекаются в его центроиде, и эта точка делит каждый из них на два отрезка, один из которых вдвое длиннее другого (см. Доказательство ).

Для правильного тетраэдра с длиной стороны a , радиусом R описывающей его сферы и расстояниями d _i от произвольной точки трехмерного пространства до четырех его вершин имеем

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d_ {1} ^ {4} + d_ {2} ^ {4} + d_ {3} ^ {4} + d_ {4} ^ {4}} { 4}} + {\ frac {16R ^ {4}} {9}} & = \ left ({\ frac {d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} + d_ {3} ^ {2} + d_ {4} ^ {2}} {4}} + {\ frac {2R ^ {2}} {3}} \ right) ^ {2}; \\ 4 \ left (a ^ {4 } + d_ {1} ^ {4} + d_ {2} ^ {4} + d_ {3} ^ {4} + d_ {4} ^ {4} \ right) & = \ left (a ^ {2} + d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} + d_ {3} ^ {2} + d_ {4} ^ {2} \ right) ^ {2}. \ end {align}} }

Изометрии правильного тетраэдра

Собственные вращения (вращение третьего порядка на вершине и грани и второго порядка на двух ребрах) и плоскости отражения (через две грани и одно ребро) в группе симметрии правильного тетраэдра

Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр (см. Выше, а также анимацию , показывающую один из двух тетраэдров в кубе). В симметрий правильного тетраэдра соответствуют половине тех куба: те , которые отображают тетраэдров к себе, а не друг с другом.

Тетраэдр - единственное платоново твердое тело, которое не отображается на себя посредством точечной инверсии .

Правильный тетраэдр имеет 24 изометрии, формируя группы симметрии T _D , [3,3], (* 332), изоморфную симметрической группе , S ₄ . Их можно разделить на следующие категории:

Т , [3,3] ⁺ , (332) изоморфна знакопеременной группе , ₄ (тождество и 11 собственные вращения) со следующими классами сопряженных элементов (в скобках даны перестановки вершин, или , соответственно, лица, и представление единичного кватерниона
):
- личность (личность; 1)
- вращение вокруг оси через вершину, перпендикулярную противоположной плоскости, на угол ± 120 °: 4 оси, по 2 на каждую ось, вместе 8 ((1 2 3) и т.д .; 1 ± i ± j ± k/2)
- поворот на угол 180 ° так, чтобы край соответствовал противоположному краю: 3 ((1 2) (3 4) и т.д .; i , j , k )
отражение в плоскости, перпендикулярной ребру: 6
отражения в плоскости в сочетании с поворотом на 90 ° вокруг оси, перпендикулярной плоскости: 3 оси, по 2 на каждую ось, вместе 6; эквивалентно, это повороты на 90 ° в сочетании с инверсией ( x отображается в - x ): вращения соответствуют вращениям куба относительно осей лицом к лицу.

Ортогональные проекции правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр имеет две специальные ортогональные проекции , одна с центром на вершине или, что эквивалентно, на грани, а другая с центром на ребре. Первый соответствует плоскости Кокстера А ₂ .

Ортографическая проекция
В центре	Лицо / вершина	Край
Изображение
Проективная симметрия	[3]	[4]

Поперечное сечение правильного тетраэдра

Центральное поперечное сечение правильного тетраэдра - квадрат .

Два косо перпендикулярных противоположных ребра правильного тетраэдра определяют набор параллельных плоскостей. Когда одна из этих плоскостей пересекает тетраэдр, результирующее сечение представляет собой прямоугольник . Когда пересекающаяся плоскость находится рядом с одним из краев, прямоугольник получается длинным и тонким. На полпути между двумя краями пересечение представляет собой квадрат . Соотношение сторон прямоугольника меняется на противоположное, когда вы проходите эту половину пути. Для пересечения квадрата средней точки результирующая граничная линия пересекает каждую грань тетраэдра аналогичным образом. Если тетраэдр разделить пополам на этой плоскости, обе половины станут клиньями .

Тетрагональный дисфеноид, рассматриваемый перпендикулярно двум зеленым краям.

Это свойство также применяется к тетрагональным дифеноидам при применении к двум специальным парам ребер.

Сферическая черепица

Тетраэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция

Спиральная укладка

Одиночное 30-тетраэдрическое кольцо спирали Бурдейка – Кокстера в 600-ячейке в стереографической проекции

Правильные тетраэдры могут быть сложены лицом к лицу в хиральную апериодическую цепочку, называемую спиралью Бурдейка – Кокстера . В четырех измерениях все выпуклые правильные 4-многогранники с тетраэдрическими ячейками ( 5-ячеечная , 16-ячеечная и 600-ячеечная ) могут быть построены как мозаики 3-сферы этими цепочками, которые становятся периодическими в трехмерном пространстве. пространство граничной поверхности 4-многогранника.

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
Семья	А _п	B _n	I ₂ (p) / D _n	E ₆ / E ₇ / E ₈ / F ₄ / G ₂	H _n
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб.	5-полукуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб.	6-полукуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукруглый	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб.	8-полукруглый	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Равномерное n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - demicube	1 _к2 • 2 _к1 • к ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд ; Регулярные многогранники , Метуэн и Ко, 1948, таблица I (i)
^ Köller, Jürgen, "Тетраэдр" , Mathematische Basteleien, 2001
^ Бриттин, WE (1945). «Угол валентности тетраэдрического атома углерода». Журнал химического образования . 22 (3): 145. Bibcode : 1945JChEd..22..145B . DOI : 10.1021 / ed022p145 .
^ Парк, Пу-Сун. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
^ Сечения тетраэдра

[Cox-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд ; Регулярные многогранники , Метуэн и Ко, 1948, таблица I (i)

[2] Köller, Jürgen, "Тетраэдр" , Mathematische Basteleien, 2001

[pubs.acs.org-3] Бриттин, WE (1945). «Угол валентности тетраэдрического атома углерода». Журнал химического образования . 22 (3): 145. Bibcode : 1945JChEd..22..145B . DOI : 10.1021 / ed022p145 .

[4] Парк, Пу-Сун. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf

[5] Сечения тетраэдра

Languages

In other projects