Граница (топология) - Boundary (topology)

Набор (светло-синий) и его граница (темно-синий).

В топологии и математике в целом, граница подмножества S в виде топологического пространства X есть множество точек , которые можно подойти как с S , и с внешней стороны S . Точнее, это множество точек в замыкании части , не принадлежащие к внутренней части элемента , границы называется граничной точкой из Термина граничной операции ссылается к нахождению или принимая границу набора. Обозначения, используемые для границы набора, включают, и некоторые авторы (например, Уиллард в Общей топологии ) используют термин граница вместо границы в попытке избежать путаницы с другим определением, используемым в алгебраической топологии и теории многообразий . Несмотря на широкое признание значений терминов «граница» и «граница», они иногда использовались для обозначения других множеств. Например, метрические пространства по ET Copson использует термин границы для обозначения хаусдорфового «ы границы , которая определяется как пересечение множества с ее границей. Хаусдорф также ввел термин вычет , который определяется как пересечение множества с замыканием границы его дополнения.

Компонента связности границы называется граничной компонентой из

Общие определения

Существует несколько эквивалентных определений границы подмножества топологического пространства, которые будут обозначаться или просто, если их понимают:

  1. Это замыкание в минус интерьера из в :
    где обозначает
    замыкание в в и обозначает топологический интерьер из в
  2. Это пересечение замыкания с замыканием его дополнения :
  3. Это множество точек , что каждая окрестность из содержит по меньшей мере одну точку и , по меньшей мере , один пункт не :

Граничная точка множества относится к любому элементу границы этого множества. Граница , определенная выше, иногда называется множество в топологической границе , чтобы отличить его от других одноименных понятий , таких , как границы в виде многообразия с краем или границы многообразия с углами , чтобы назвать только несколько примера.

Характеристики

Замыкание множества равно объединению множества с его границей:

где обозначает замыкание в в множество замкнуто тогда и только тогда , когда она содержит свою границу, и открыто тогда и только тогда , когда она не пересекается с его границей. Граница множества замкнута ; это следует из формулы, которая выражается как пересечение двух замкнутых подмножеств

(«Трихотомия»)Для любого подмножества каждая точка лежит ровно в одном из трех множеств, и сказано по-разному,

и эти три множества попарно не пересекаются . Следовательно, если эти множества не пусты , то они образуют перегородку из

Точка является граничной точкой набора тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит хотя бы одну точку в множестве и хотя бы одну точку не в множестве. Граница внутренней части множества, так же как и граница замыкания множества, оба содержатся в границе множества.

Накопление и границы S.PNG
Концептуальная диаграмма Венна , показывающая взаимосвязь между различными точками подмножества из = множество предельных точек из множества граничных точек на площадь затененных зеленый = набор внутренних точек в области затенены желтый = набор изолированных точек в областях затенены черные = пустые наборы. Каждая точка является либо внутренней, либо граничной точкой. Кроме того, каждая точка является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Точно так же каждая граничная точка является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Изолированные точки всегда являются граничными точками.

Примеры

Характеристики и общие примеры

Граница множества равна границе дополнения множества:

Если - плотное открытое подмножество, то

Внутренняя часть границы замкнутого множества - это пустое множество. Следовательно, внутренность границы замыкания множества - это пустое множество. Внутренняя часть границы открытого множества также является пустым множеством. Следовательно, внутренняя часть границы внутреннего множества - это пустое множество. В частности, если является замкнутым или открытым подмножеством, то не существует непустого подмножества , которое также является открытым подмножеством. Этот факт важен для определения и использования нигде не плотных подмножеств , скудных подмножеств и пространств Бэра .

Множество является границей некоторого открытого множества тогда и только тогда, когда оно замкнуто и нигде не плотно . Граница набора пуста тогда и только тогда, когда набор одновременно закрытый и открытый (то есть закрытый набор ).

Конкретные примеры

Граница гиперболических компонент множества Мандельброта

Рассмотрим реальную линию с обычной топологией (то есть, топология которых основой множества являются открытые интервалы ) и подмножество рациональных чисел (которых топологический интерьер в пусто). потом

Эти последние два примера иллюстрируют тот факт, что граница плотного множества с пустой внутренней частью является его замыканием. Они также показывают, что граница подмножества может содержать непустое открытое подмножество ; то есть, чтобы внутренняя часть in была непустой. Однако граница замкнутого подмножества всегда имеет пустую внутреннюю часть.

В пространстве рациональных чисел с обычной топологией ( подпространство топологии в ), граница , где нерационально, пусто.

Граница множества - это топологическое понятие, которое может измениться при изменении топологии. Например, учитывая обычную топологию на границе замкнутого диска, является окружающая его окружность: если диск рассматривается как набор с его собственной обычной топологией, то есть тогда граница диска - это сам диск: если диск рассматривается как собственное топологическое пространство (с топологией подпространства ), тогда граница диска пуста.

Граница открытого шара и окружающей его сферы

Этот пример демонстрирует , что топологическая граница открытого шара радиуса это не обязательно совпадает с соответствующей сферой радиуса ( с центром в той же точке); Он также показывает , что замыкание открытого шара радиуса является не обязательно совпадает с замкнутым шаром радиуса (опять - таки с центром в той же точке). Обозначим обычное евклидово метрику на по

что индуцирует обычную евклидову топологию . Позвольте обозначить объединение оси- с единичной окружностью с центром в начале координат ; то есть, что является топологическим подпространством из которых топология равно , что индуцированное (ограничение) метрика В частности, множеств и все замкнутые подмножества и , таким образом , также замкнутые подмножества его подпространства В дальнейшем, если это явно не указано иное , каждый открытый шар, замкнутый шар и сфера следует считать центрированными в начале координат и, более того, будет рассматриваться только метрическое пространство (а не его суперпространство ); это полное метрическое пространство с линейной связью и локально линейно связным .

Обозначим открытый шар радиуса в с помощью так , что когда то

- открытый подинтервал оси -оси строго между и . Единичная сфера в ("единица" означает, что ее радиус равен )
в то время как замкнутый единичный шар в представляет собой объединение открытого единичного шара и единичной сферы с центром в этой же точке:

Однако топологическая граница и топологическое замыкание в открытом единичном шаре является:

В частности, топологическая граница открытого единичного шара является
собственным подмножеством единичной сферы в И топологическое замыкание открытого единичного шара является собственным подмножеством замкнутого единичного шара в Точка, например, не может принадлежать, потому что не существует последовательности в том, что к нему сходится; те же рассуждения обобщаются, чтобы также объяснить, почему никакая точка вне замкнутого подинтервала не принадлежит. Поскольку топологическая граница множества всегда является подмножеством замыкания, отсюда следует, что это также должно быть подмножеством

В любом метрическом пространстве топологическая граница открытого шара радиуса с центром в точке всегда является подмножеством сферы радиуса с центром в той же точке ; то есть,

всегда держит.

Более того, единичная сфера в содержит, которая является открытым подмножеством. Это показывает, в частности, что единичная сфера в содержит

непустое открытое подмножество

Граница границы

Для любого множества где обозначает

надмножество с равенством, выполняемым тогда и только тогда, когда граница не имеет внутренних точек, что будет иметь место, например, если оно либо закрыто, либо открыто. Поскольку граница множества замкнута, для любого множества граничный оператор, таким образом, удовлетворяет ослабленной идемпотентности .

При обсуждении границ многообразий или симплексов и их симплициальных комплексов часто встречается утверждение, что граница границы всегда пуста. Действительно, построение особых гомологий критически опирается на этот факт. Объяснение очевидного несоответствия состоит в том, что топологическая граница (предмет этой статьи) - это понятие, немного отличающееся от границы многообразия или симплициального комплекса. Например, граница открытого диска, рассматриваемая как многообразие, пуста, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, представляет собой круг, окружающий диск. И наоборот, граница замкнутого диска, рассматриваемого как многообразие, является ограничивающей окружностью, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, пуста. В частности, топологическая граница зависит от объемлющего пространства, а граница многообразия инвариантна.

Смотрите также

Примечания

Цитаты

использованная литература