Мнимое число - Imaginary number

Мнимое число является комплексным числом , которое может быть записано в виде действительное число , умноженное на мнимую единицу я , которая определяется его свойством я ² = -1 . Квадрат мнимого числа би является - б ² . Например, 5 i - мнимое число, а его квадрат равен −25 . По определению ноль считается как действительным, так и мнимым.

Первоначально введенная в 17 веке Рене Декартом как уничижительный термин и считавшаяся вымышленной или бесполезной, эта концепция получила широкое признание после работ Леонарда Эйлера (в 18 веке), Августена-Луи Коши и Карла Фридриха Гаусса (в начале 19 века). 19 век).

Мнимое число bi может быть добавлено к действительному числу a для образования комплексного числа формы a + bi , где действительные числа a и b называются, соответственно, действительной и мнимой частью комплексного числа.

История

Иллюстрация комплексной плоскости. Мнимые числа отложены по вертикальной оси координат.

Хотя греческий математик и инженер Герой Александрийский отмечен как первый, кто придумал мнимые числа, именно Рафаэль Бомбелли первым установил правила умножения комплексных чисел в 1572 году. Эта концепция появилась в печати раньше, например, в работе пользователя Gerolamo Cardano . В то время мнимые числа и отрицательные числа были плохо поняты и рассматривались некоторыми как вымышленные или бесполезные, как когда-то был ноль. Многие другие математики не спешили использовать мнимые числа, в том числе Рене Декарт , который писал о них в своей «Геометрии», в которой термин « мнимые» использовался как уничижительный. Использование мнимых чисел не было широко распространено до работ Леонарда Эйлера (1707–1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости было впервые описано Каспаром Весселем (1745–1818).

В 1843 году Уильям Роуэн Гамильтон расширил идею оси мнимых чисел на плоскости до четырехмерного пространства воображаемых кватернионов, в котором три измерения аналогичны мнимым числам в комплексном поле.

Геометрическая интерпретация

Поворот на 90 градусов в комплексной плоскости

Геометрически мнимые числа находятся на вертикальной оси плоскости комплексных чисел , что позволяет представлять их перпендикулярно действительной оси. Один из способов просмотра мнимых чисел - рассмотреть стандартную числовую линию, положительно увеличивающуюся по величине справа и отрицательно возрастающую по величине слева. В точке 0 на оси x можно нарисовать ось y с «положительным» направлением вверх; "положительные" мнимые числа затем увеличиваются по величине вверх, а "отрицательные" мнимые числа увеличиваются по величине вниз. Эта вертикальная ось часто называют «мнимой оси» и обозначается или ℑ . ${\ Displaystyle я \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {I},}$

В этом представлении умножение на  –1 соответствует повороту на 180 градусов относительно начала координат. Умножение на i соответствует повороту на 90 градусов в «положительном» направлении против часовой стрелки, а уравнение i ² = −1 интерпретируется как говорящее о том, что если мы применим два поворота на 90 градусов вокруг начала координат, конечный результат будет единичным. Вращение на 180 градусов. Обратите внимание, что поворот на 90 градусов в «отрицательном» (по часовой стрелке) направлении также удовлетворяет этой интерпретации, которая отражает тот факт, что - i также решает уравнение x ² = −1 . В общем, умножение на комплексное число аналогично вращению вокруг начала координат на аргумент комплексного числа с последующим масштабированием по его величине.

Квадратные корни отрицательных чисел

Необходимо использовать при работе с мнимыми числами, которые выражаются как главные значения этих квадратных корней из отрицательных чисел :

${\ displaystyle 6 = {\ sqrt {36}} = {\ sqrt {(-4) (- 9)}} \ neq {\ sqrt {-4}} {\ sqrt {-9}} = (2i) ( 3i) = 6i ^ {2} = - 6.}$

Иногда это записывается как:

${\ displaystyle -1 = я ^ {2} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1}} {\ stackrel {\ text {(error)}} {=}} {\ sqrt {(- 1) (- 1)}} = {\ sqrt {1}} = 1.}$

Ошибка происходит равенство не выполняется , когда переменные не соответствующим образом ограничены. В этом случае равенство не выполняется, поскольку оба числа отрицательны, что может быть продемонстрировано следующим образом: ${\ displaystyle {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {-x}} {\ sqrt {-y}} = i {\ sqrt {x}} \ i {\ sqrt {y}} = i ^ {2} {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} = - {\ sqrt {xy}} \ neq {\ sqrt {xy}},}$

где x и y - неотрицательные действительные числа.

Смотрите также

• формула де Муавра
• Октонион
• -1

Примечания

использованная литература

Библиография

• Нахин, Пол (1998). Воображаемая сказка: история квадратного корня -1 . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02795-1., объясняет многие применения воображаемых выражений.

внешние ссылки

• Как можно показать, что мнимые числа действительно существуют? - статья, в которой обсуждается существование мнимых чисел.
• Программа 5Numbers 4 Программа BBC Radio 4
• Зачем использовать мнимые числа? Основное объяснение и использование мнимых чисел