Многообразие - Manifold

${\ displaystyle \ epsilon}$

Обычно считается, что многообразия имеют фиксированную размерность (пространство должно быть локально гомеоморфно фиксированному n -шару), и такое пространство называется n -многообразием ; однако некоторые авторы допускают многообразия, в которых разные точки могут иметь разные размеры . Если многообразие имеет фиксированный размер, оно называется чистым многообразием . Например, (поверхность) сферы имеет постоянную размерность 2 и, следовательно, является чистым многообразием, тогда как несвязное объединение сферы и линии в трехмерном пространстве не является чистым многообразием. Поскольку измерение является локальным инвариантом (т. Е. Карта, отправляющая каждую точку в измерение ее окрестности, по которой определена диаграмма, является локально постоянной ), каждый связный компонент имеет фиксированное измерение.

Схематически многообразие представляет собой локально окольцованное пространство , структурный пучок которого локально изоморфен пучку непрерывных (или дифференцируемых, или комплексно-аналитических и т. Д.) Функций на евклидовом пространстве. Это определение в основном используется при обсуждении аналитических многообразий в алгебраической геометрии .

Диаграммы, атласы и карты переходов

Для навигации по сферической Земле используются плоские карты или диаграммы, собранные в атлас. Точно так же дифференцируемое многообразие можно описать с помощью математических карт , называемых координатными картами , собранных в математическом атласе . Обычно невозможно описать многообразие с помощью только одной карты, потому что глобальная структура многообразия отличается от простой структуры карт. Например, ни одна плоская карта не может представлять всю Землю без разделения смежных объектов по границам карты или дублирования покрытия. Когда коллектор строится из нескольких перекрывающихся диаграмм, области, в которых они перекрываются, несут информацию, необходимую для понимания глобальной структуры.

Диаграммы

Координаты карты , а координаты диаграммы , или просто диаграмма , многообразие является обратимым отображением между подмножеством многообразия и простым пространством таким образом, что обе карты и обратным сохранить желаемую структуру. Для топологического многообразия простое пространство является подмножеством некоторого евклидова пространства, и интерес сосредоточен на топологической структуре. Эта структура сохраняется

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

В случае дифференцируемого многообразия набор карт, называемый атласом, позволяет нам проводить вычисления на многообразиях. Например, полярные координаты образуют диаграмму для плоскости за вычетом положительной оси

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Атласы

Для описания большинства многообразий требуется более одной карты. Конкретный набор карт, покрывающий многообразие, называется атласом . Атлас не уникален, поскольку все многообразия можно охватить разными способами, используя различные комбинации диаграмм. Два атласа называются эквивалентными, если их объединение также является атласом.

Атлас, содержащий все возможные карты, согласующиеся с данным атласом, называется максимальным атласом (т.

Карты переходов

Графики в атласе могут перекрываться, и одна точка коллектора может быть представлена ​​на нескольких картах. Если две карты накладываются друг на друга, части из них представляют одну и ту же область многообразия, точно так же, как карта Европы и карта Азии могут содержать Москву. Учитывая две перекрывающиеся диаграммы, можно определить функцию перехода, которая идет от открытого шара внутрь к многообразию, а затем обратно к другому (или, возможно, тому же самому) открытому шару внутрь . Результирующая карта, как и карта

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Дополнительная конструкция

Атлас также можно использовать для определения дополнительной структуры коллектора. Структура сначала определяется на каждой диаграмме отдельно. Если все карты переходов совместимы с этой структурой, структура переходит на многообразие.

Это стандартный способ определения дифференцируемых многообразий. Если функции перехода атласа для топологического многообразия сохраняют естественную дифференциальную структуру (т. Е. Если они являются

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Структура многообразия зависит от атласа, но иногда можно сказать, что разные атласы порождают одну и ту же структуру. Такие атласы называются совместимыми .

Эти понятия в целом уточняются с помощью псевдогрупп .

Коллектор с краем

Многообразие с краем является многообразием с краем. Например, лист бумаги - это двумерное многообразие с одномерной границей. Граница n -многообразия с краем является ( n - 1) -многообразием. Диск (круг плюс внутренняя) представляет собой 2-многообразие с краем. Его граница - круг, 1-многообразие . Квадрат с внутренней также 2-многообразие с краем. Шар (сфера плюс внутренняя) представляет собой 3-многообразие с краем. Его граница - сфера, двумерное многообразие. (См. Также Граница (топология) ).

Говоря техническим языком, многообразие с краем - это пространство, содержащее как внутренние точки, так и граничные точки. Каждая внутренняя точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому n -шару {( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) | Σ x _i ² <1}. Каждая граничная точка имеет окрестность, гомеоморфную «половинке» n -шара {( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) | Σ x _i ² <1 и x ₁ ≥ 0} . Гомеоморфизм должен переводить каждую граничную точку в точку с x ₁  = 0.

Граница и интерьер

Пусть M - многообразие с краем. Интерьер из M , обозначаются Int М , является множеством точек М , которые имеют окрестности , гомеоморфные открытое подмножество .

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {п}}$

Если M - многообразие с границей размерности n , то Int

Строительство

Одиночный коллектор может быть сконструирован по-разному, каждый из которых подчеркивает разные аспекты коллектора, что приводит к несколько иной точке зрения.

Диаграммы

График отображает часть сферы с положительной координатой z на диск.

Возможно, самый простой способ построить многообразие - это тот, который использовался в приведенном выше примере круга. Сначала определяется подмножество , а затем строится атлас, охватывающий это подмножество. Концепция

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Сфера с графиками

С сферой можно обращаться почти так же, как с кругом. В математике сфера - это просто поверхность (а не внутренняя часть твердого тела), которую можно определить как подмножество : ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

$${\ displaystyle S = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ right \}.}$$

Сфера двумерна, поэтому каждая диаграмма отображает часть сферы в открытое подмножество . Рассмотрим северное полушарие, которое является частью с положительной координатой

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

$${\ Displaystyle \ чи (х, у, г) = (х, у), \}$$

отображает северное полушарие на открытый единичный диск , проецируя его на плоскость ( x , y ). Аналогичная диаграмма существует для южного полушария. Вместе с двумя картами, проецируемыми на плоскость ( x , z ), и двумя картами, проецируемыми на плоскость ( y , z ), получается атлас из шести карт, который покрывает всю сферу.

Это можно легко обобщить на сферы более высокой размерности.

Пэчворк

Многообразие можно построить, склеивая части последовательно, превращая их в перекрывающиеся диаграммы. Эта конструкция возможна для любого многообразия и поэтому часто используется как характеристика, особенно для дифференцируемых и римановых многообразий. Основное внимание в нем уделяется атласу, поскольку участки, естественно, представляют собой диаграммы, а поскольку внешнее пространство не задействовано, это приводит к внутреннему представлению о многообразии.

Многообразие строится путем задания атласа, который сам определяется картами переходов. Таким образом, точка многообразия - это класс эквивалентности точек, которые отображаются друг в друга с помощью переходов. Графики сопоставляют классы эквивалентности с точками одного патча. Обычно предъявляются жесткие требования к согласованности карт перехода. Для топологических многообразий требуется, чтобы они были гомеоморфизмами; если они также являются диффеоморфизмами, полученное многообразие является дифференцируемым многообразием.

Это можно проиллюстрировать на примере карты перехода t = ¹ / _s из второй половины круга. Начните с двух копий линии. Используйте координату s для первой копии и t для второй копии. Теперь склейте обе копии вместе, отождествив точку t на второй копии с точкой s = ¹ / _t на первой копии (точки t = 0 и s = 0 не отождествляются ни с одной точкой на первой и второй копии, соответственно). Это дает круг.

Внутренний и внешний вид

Первая конструкция и эта конструкция очень похожи, но представляют собой довольно разные точки зрения. В первой конструкции многообразие рассматривается как вложенное в некоторое евклидово пространство. Это сторонний взгляд . Когда многообразие рассматривается таким образом, легко использовать интуицию из евклидовых пространств для определения дополнительной структуры. Например, в евклидовом пространстве всегда ясно, является ли вектор в некоторой точке касательным или нормальным к некоторой поверхности, проходящей через эту точку.

Конструкция лоскутного шитья не использует вложения, а просто рассматривает многообразие как топологическое пространство само по себе. Эта абстрактная точка зрения называется внутренней точкой зрения . Это может затруднить представление о том, что может быть касательным вектором, и нет внутреннего понятия нормального расслоения, но вместо этого есть внутреннее стабильное нормальное расслоение .

п -Сфера как лоскутное одеяло

П -сферы S ^п представляет собой обобщение идеи окружности (1-сфера) и сферы (2-сферы) до более высоких измерений. П -сферы S ^п может быть построен путем склеивания двух копий . Карта перехода между ними - это

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}: x \ mapsto x / \ | x \ | ^ { 2}.}$$

Эта функция является собственной инверсией и поэтому может использоваться в обоих направлениях. Поскольку карта перехода является гладкой функцией , этот атлас определяет гладкое многообразие. В случае n = 1 пример упрощается до примера с кругом, приведенного ранее.

Определение точек многообразия

Можно сделать разные точки многообразия одинаковыми. Это можно представить как соединение этих точек в одну точку, образуя факторное пространство . Однако нет никаких оснований ожидать, что такие фактор-пространства будут многообразиями. Среди возможных фактор-пространств, которые не обязательно являются многообразиями, орбифолды и комплексы CW считаются относительно хорошо развитыми . Примером фактор-пространства многообразия, которое также является многообразием, является реальное проективное пространство , идентифицированное как фактор-пространство соответствующей сферы.

Один из способов отождествления точек (их склейки) - это правое (или левое) действие группы , действующей на многообразие. Две точки идентифицируются, если одна перемещается на другую каким-либо элементом группы. Если M - многообразие, а G - группа, полученное фактор-пространство обозначается M / G (или G \ M ).

Многообразия, которые могут быть построены путем отождествления точек, включают торы и вещественные проективные пространства (начиная с плоскости и сферы соответственно).

Склейка по границам

Два многообразия с краями можно склеить по границе. Если все сделать правильно, результат тоже будет многообразием. Аналогичным образом можно склеить две границы одного многообразия.

Формально склейка определяется биекцией между двумя границами. Две точки идентифицируются, когда они накладываются друг на друга. Для топологического многообразия эта биекция должна быть гомеоморфизмом, иначе результат не будет топологическим многообразием. Точно так же для дифференцируемого многообразия оно должно быть диффеоморфизмом. Для других коллекторов следует сохранить другие конструкции.

Конечный цилиндр можно построить как многообразие, начав с полосы [0,1] × [0,1] и склеив пару противоположных ребер на границе подходящим диффеоморфизмом. Проективная плоскость может быть получена путем приклеивания сферы с отверстием в нем к Мёбиусу вдоль их соответствующих круговым границ.

Декартовы произведения

Декартово произведение многообразий является также многообразием.

Размер коллектора продукта - это сумма размеров его факторов. Его топология - это топология произведения , а декартово произведение диаграмм - это диаграмма для многообразия произведений. Таким образом, атлас многообразия произведений может быть построен с использованием атласов его факторов. Если эти атласы определяют дифференциальную структуру на факторах, соответствующий атлас определяет дифференциальную структуру на многообразии продукта. То же самое верно и для любой другой структуры, определенной на факторах. Если у одного из факторов есть граница, то и у производного многообразия есть граница. Декартовы произведения могут использоваться для построения торов и конечных цилиндров , например, как S ¹  ×  S ¹ и S ¹  × [0,1] соответственно.

Конечный цилиндр - это многообразие с краем.

История

Изучение многообразий объединяет многие важные области математики: оно обобщает такие понятия, как кривые и поверхности, а также идеи из линейной алгебры и топологии.

Ранняя разработка

До появления современной концепции многообразия было несколько важных результатов.

Неевклидова геометрия рассматривает пространство , где Euclid «s параллельно постулат терпит неудачу. Саккери впервые изучил такую ​​геометрию в 1733 году, но попытался только опровергнуть ее. Гаусс , Бойяи и Лобачевский независимо друг от друга открыли их 100 лет спустя. Их исследование выявило два типа пространств, геометрическая структура которых отличается от классического евклидова пространства; они привели к гиперболической геометрии и эллиптической геометрии . В современной теории многообразий этим понятиям соответствуют римановы многообразия постоянной отрицательной и положительной кривизны соответственно.

Карл Фридрих Гаусс, возможно, был первым, кто рассматривал абстрактные пространства как самостоятельные математические объекты. Его теорема egregium дает метод вычисления кривизны поверхности без учета окружающего пространства, в котором она находится. Такую поверхность, используя современную терминологию, можно было бы назвать многообразием; и, говоря современным языком, теорема доказала, что кривизна поверхности является внутренним свойством . Теория многообразий сосредоточилась исключительно на этих внутренних свойствах (или инвариантах), в значительной степени игнорируя внешние свойства окружающего пространства.

Другой, более топологический пример внутреннего свойства многообразия - это его эйлерова характеристика . Леонард Эйлер показал, что для выпуклого многогранника в трехмерном евклидовом пространстве с V вершинами (или углами), E ребрами и F гранями,

$${\ Displaystyle V-E + F = 2. \}$$

Синтез

Исследования Нильса Хенрика Абеля и Карла Густава Якоби по обращению эллиптических интегралов в первой половине XIX века привели их к рассмотрению специальных типов комплексных многообразий, ныне известных как якобианы . Бернхард Риман внес свой вклад в их теорию, прояснив геометрический смысл процесса аналитического продолжения функций комплексных переменных.

Еще одним важным источником многообразий в математике XIX века была аналитическая механика , разработанная Симеоном Пуассоном , Якоби и Уильямом Роуэном Гамильтоном . Возможные состояния механической системы считаются точками абстрактного пространства, фазового пространства в лагранжевом и гамильтоновом формализмах классической механики. Фактически это пространство представляет собой многомерное многообразие, размерность которого соответствует степеням свободы системы, а точки задаются своими обобщенными координатами . Для неограниченного движения свободных частиц многообразие эквивалентно евклидову пространству, но различные законы сохранения ограничивают его более сложными образованиями, например торами Лиувилля . Теория вращающегося твердого тела, развитая в 18 веке Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем , дает еще один пример, когда многообразие нетривиально. Геометрические и топологические аспекты классической механики подчеркивал Анри Пуанкаре , один из основоположников топологии.

Риман был первым, кто проделал обширную работу по обобщению идеи поверхности на более высокие измерения. Название « многообразие» происходит от оригинального немецкого термина Римана , Mannigfaltigkeit , который Уильям Кингдон Клиффорд перевел как «многообразие». В своей вступительной лекции в Геттингене Риман описал набор всех возможных значений переменной с определенными ограничениями как Mannigfaltigkeit , потому что переменная может иметь много значений. Он различает stetige Mannigfaltigkeit и diskrete Mannigfaltigkeit ( непрерывное многообразие и прерывное многообразие ) в зависимости от того, изменяется ли значение непрерывно или нет. В качестве непрерывных примеров Риман обращается не только к цветам и расположению объектов в пространстве, но и к возможным формам пространственной фигуры. Используя индукцию , Риман строит n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit ( n-кратное расширенное многообразие или n-мерное многообразие ) как непрерывный стек (n − 1) -мерных многообразий. Интуитивное представление Римана о Mannigfaltigkeit превратилось в то, что сегодня формализовано как многообразие. Римановы многообразия и римановы поверхности названы в честь Римана.

Определение Пуанкаре

В своей очень влиятельной статье Analysis Situs Анри Пуанкаре дал определение дифференцируемого многообразия ( varété ), которое послужило предшественником современной концепции многообразия.

В первом разделе Analysis Situs Пуанкаре определяет многообразие как множество уровня непрерывно дифференцируемой функции между евклидовыми пространствами, удовлетворяющую условию невырожденности теоремы о неявной функции . В третьем разделе он начинает с того, что отмечает, что график непрерывно дифференцируемой функции является многообразием в последнем смысле. Затем он предлагает новое, более общее определение многообразия, основанное на «цепочке многообразий» ( une chaîne des varétés ).

Представление Пуанкаре о цепочке многообразий является предшественником современного понятия атласа. В частности, он рассматривает два многообразия, определяемых соответственно как графики функций и . Если эти многообразия перекрываются (

${\ displaystyle \ theta (y)}$

${\ Displaystyle \ тета '\ влево (у' \ вправо)}$

${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle y '}$

${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y '}$

Например, единичный круг на плоскости можно рассматривать как график функции или как функцию в окрестности каждой точки, кроме точек (1, 0) и (−1, 0); и в окрестности этих точек его можно рассматривать как график соответственно и . Окружность может быть представлена ​​графом в окрестности каждой точки, потому что левая часть его определяющего уравнения имеет ненулевой градиент в каждой точке круга. По

${\ textstyle y = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

${\ textstyle y = - {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

${\ textstyle х = {\ sqrt {1-y ^ {2}}}}$

${\ textstyle х = - {\ sqrt {1-y ^ {2}}}}$

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$

Герман Вейль дал внутреннее определение дифференцируемых многообразий в своем курсе лекций по римановым поверхностям в 1911–1912 гг., Открыв дорогу к общей концепции топологического пространства, которая вскоре последовала. В течение 1930-х годов Хасслер Уитни и другие прояснили основополагающие аспекты предмета, и, таким образом, интуиция, относящаяся ко второй половине XIX века, стала точной и развивалась с помощью дифференциальной геометрии и теории групп Ли . Примечательно, что теорема вложения Уитни показала, что внутреннее определение в терминах карт эквивалентно определению Пуанкаре в терминах подмножеств евклидова пространства.

Топология многообразий: основные моменты

Двумерные многообразия, также известные как двумерные поверхности, встроенные в наше общее трехмерное пространство, рассматривались Риманом под видом римановых поверхностей и строго классифицировались в начале 20 века Полом Хегаардом и Максом Деном . Пуанкаре был пионером в изучении трехмерных многообразий и поднял о них фундаментальный вопрос, который сегодня известен как гипотеза Пуанкаре . Спустя почти столетие Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре (см. Решение гипотезы Пуанкаре ). Тёрстон «s программа геометризации , сформулированный в 1970 - е годы, при условии , далеко идущее расширение гипотезы Пуанкаре для общих трехмерных многообразий. Четырехмерные многообразия были выдвинуты на передний план математических исследований в 1980-х Майклом Фридманом, а в другом контексте - Саймоном Дональдсоном , который был мотивирован недавним прогрессом в теоретической физике ( теория Янга-Миллса ), где они служат заменитель обычного «плоского» пространства -

Дополнительная конструкция

Топологические многообразия

Самый простой вид многообразия для определения - это топологическое многообразие, которое локально выглядит как некоторое «обычное» евклидово пространство . По определению, все многообразия являются топологическими многообразиями, поэтому фраза «топологическое многообразие» обычно используется, чтобы подчеркнуть, что у многообразия отсутствует дополнительная структура или что рассматриваются только его топологические свойства. Формально топологическое многообразие - это топологическое пространство,

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

А топологические многообразие выглядит локально как евклидово пространство в довольно слабой форме: в то время как для каждой отдельной диаграммы можно выделить дифференцируемые функции измерения расстояний и углов, просто в силу того , топологическое многообразие пространство не имеет какой - либо конкретный и последовательный выбор таких понятий. Чтобы обсудить такие свойства для многообразия, необходимо определить дополнительную структуру и рассмотреть дифференцируемые многообразия и римановы многообразия, обсуждаемые ниже. В частности, одно и то же лежащее в основе топологическое многообразие может иметь несколько несовместимых классов дифференцируемых функций и бесконечное количество способов задания расстояний и углов.

Обычно для исключения патологических случаев делаются дополнительные технические предположения о топологическом пространстве. Принято требовать, чтобы пространство было хаусдорфовым и было счетным .

Размерность многообразия в некоторой точке размерность евклидова пространства , что диаграммы в этой точке к карте (число п в определении). Все точки в связном многообразии имеют одинаковую размерность. Некоторые авторы требуют, чтобы все карты топологического многообразия отображались в евклидовы пространства той же размерности. В этом случае каждое топологическое многообразие имеет топологический инвариант - свою размерность.

Дифференцируемые многообразия

Для большинства приложений используется особый вид топологического многообразия, а именно дифференцируемое многообразие . Если локальные карты на многообразии совместимы в определенном смысле, можно определить направления, касательные пространства и дифференцируемые функции на этом многообразии. В частности, можно использовать исчисление на дифференцируемом многообразии. Каждая точка n- мерного дифференцируемого многообразия имеет касательное пространство . Это n- мерное евклидово пространство, состоящее из касательных векторов кривых, проходящих через точку.

Двумя важными классами дифференцируемых многообразий являются гладкие и аналитические многообразия . Для гладких многообразий отображения переходов гладкие, т. Е. Бесконечно дифференцируемые. Аналитические многообразия - это гладкие многообразия с дополнительным условием, что отображения переходов аналитичны (их можно выразить в виде степенных рядов ). Сфере можно придать аналитическую структуру, как и большинству знакомых кривых и поверхностей.

Спрямляемое множество обобщает идею кусочно - гладкую или спрямляемые кривой на более высокие размеры; однако спрямляемые множества не являются общими многообразиями.

Римановы многообразия

Для измерения расстояний и углов на многообразиях многообразие должно быть римановым. Риманова многообразия является дифференцируемое многообразие , в котором каждая касательное пространство оснащено внутренним произведением ⟨⋅, ⋅⟩ в манере , которая изменяется плавно от точки к точке. Учитывая две касательные векторы ˙U и V , скалярное произведение ⟨ U , v ⟩ дает действительное число. Точка (или скаляр) продукт представляет собой типичный пример внутреннего продукта. Это позволяет определить различные понятия , такие как длину, углы , области (или томы ), кривизна и расхождение в векторных полей .

Всем дифференцируемым многообразиям (постоянной размерности) можно придать структуру риманова многообразия. Само евклидово пространство несет естественную структуру риманова многообразия (касательные пространства естественно отождествляются с самим евклидовым пространством и несут стандартное скалярное произведение пространства). Многие знакомые кривые и поверхности, включая, например, все n -сферы, определены как подпространства евклидова пространства и наследуют метрику от их вложения в него.

Финслеровы многообразия

Финслерово многообразие позволяет определять расстояние , но не требует понятия угла; это аналитическое многообразие, в котором каждое касательное пространство снабжено нормой || · ||, плавно меняющейся от точки к точке. Эту норму можно расширить до метрики , определяющей длину кривой; но в целом его нельзя использовать для определения внутреннего продукта.

Любое риманово многообразие является финслеровым многообразием.

Группы Ли

Группы Ли , названные в честь Софуса Ли , представляют собой дифференцируемые многообразия, которые несут также структуру группы, которая такова, что групповые операции определяются гладкими отображениями.

Евклидово векторное пространство с групповой операцией сложения векторов является примером некомпактной группы Ли. Простым примером компактной группы Ли является окружность: групповая операция - это просто вращение. Эта группа, известная как U (1), также может быть охарактеризована как группа комплексных чисел по модулю 1 с умножением как групповой операцией.

Другие примеры групп Ли включают специальные группы матриц , которые являются подгруппами общей линейной группы , группы матриц n на n с ненулевым определителем. Если матричные элементы являются действительными числами , это будет n ² -мерное несвязное многообразие. В ортогональных группах , то группа симметрии сферы и гиперсфер , являются п ( п - 1) / 2 мерных многообразия, где п -1 является размерностью сферы. Дополнительные примеры можно найти в таблице групп Ли .

Другие типы коллекторов

• Комплексное многообразие является многообразием, графики принимают значения и переход, функции которых

${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

CR многообразие является многообразием смоделирована на границах областей в .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

Классификация и инварианты

Разные понятия многообразий имеют разные понятия классификации и инварианта; в этом разделе мы сосредоточимся на гладких замкнутых многообразиях.

Классификация гладких замкнутых многообразий в принципе хорошо понятна , за исключением размерности 4 : в малых размерностях (2 и 3) она геометрическая, с помощью теоремы униформизации и решения гипотезы Пуанкаре , а в высокой размерности (5 и выше) он алгебраический, через теорию хирургии . Это принципиальная классификация: общий вопрос о том, диффеоморфны ли два гладких многообразия, вообще не вычислим. Кроме того, конкретные вычисления остаются сложными, и остается много открытых вопросов.

Ориентируемые поверхности можно визуализировать, а их классы диффеоморфизма пронумеровать по родам. Учитывая две ориентируемые поверхности, можно определить, являются ли они диффеоморфными, вычислив их соответствующие роды и сравнив: они диффеоморфны тогда и только тогда, когда роды равны, поэтому род образует полный набор инвариантов .

Это намного сложнее в более высоких измерениях: многомерные многообразия не могут быть непосредственно визуализированы (хотя визуальная интуиция полезна для их понимания), также нельзя перечислить их классы диффеоморфизма, и нельзя в целом определить, есть ли два разных описания многомерного многообразие относятся к одному и тому же объекту.

Тем не менее, можно определить , если два многообразия различны , если есть некоторая внутренняя характеристика , которая отличает их. Такие критерии обычно называют инвариантами , потому что, хотя они могут быть определены в терминах некоторого представления (например, род в терминах триангуляции), они одинаковы относительно всех возможных описаний конкретного многообразия: они инвариантны. под разными описаниями.

Наивно можно было надеяться разработать арсенал инвариантных критериев, которые окончательно классифицировали бы все многообразия с точностью до изоморфизма. К сожалению, известно, что для многообразий размерности 4 и выше не существует программы, которая могла бы определить, являются ли два многообразия диффеоморфными.

Гладкие многообразия имеют богатый набор инвариантов , вытекающих из точечной топологии , классической алгебраической топологии и геометрической топологии . Наиболее известные инварианты, видимые для поверхностей, - это ориентируемость (нормальный инвариант, также обнаруживаемый посредством гомологии ) и род (гомологический инвариант).

Гладкие замкнутые многообразия не имеют локальных инвариантов (кроме размерности), хотя геометрические многообразия имеют локальные инварианты, в частности кривизну риманова многообразия и кручение многообразия, снабженного аффинной связностью . Это различие между локальными инвариантами и отсутствием локальных инвариантов является обычным способом различать геометрию и топологию . Таким образом, все инварианты гладкого замкнутого многообразия глобальны.

Алгебраическая топология является источником ряда важных глобальных инвариантных свойств. Некоторые ключевые критерии включают односвязное свойство и ориентируемость (см. Ниже). Действительно, несколько разделов математики, таких как гомология и теория гомотопий и теория характеристических классов, были основаны для изучения инвариантных свойств многообразий.

Поверхности

Ориентируемость

В размерностях два и выше простым, но важным критерием инвариантности является вопрос о том, допускает ли многообразие осмысленную ориентацию. Рассмотрим топологическое многообразие с картами, отображаемыми в . При наличии

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Некоторые иллюстративные примеры неориентируемых многообразий включают: (1) ленту Мёбиуса , которая является многообразием с краем, (2) бутылка Клейна , которая должна пересекаться сама с собой в своем представлении в 3-м пространстве, и (3) вещественная проективная плоскость , которое естественно возникает в геометрии.

Лента Мебиуса

Лента Мебиуса

Начните с бесконечного кругового цилиндра, стоящего вертикально, многообразия без границ. Разрежьте его сверху и снизу, чтобы образовались две круглые границы и цилиндрическая полоса между ними. Это ориентируемое многообразие с краем, на котором будет проведена «операция». Разрежьте полоску так, чтобы она могла развернуться, чтобы получился прямоугольник, но держите обрезанные концы. Поверните один конец на 180 °, чтобы внутренняя поверхность была обращена наружу, и склейте концы обратно без шва. В результате получается полоса с постоянным полукручением: лента Мёбиуса. Его граница больше не пара окружностей, а (топологически) единственная окружность; и то, что когда-то было его «внутренним», слилось с его «внешним», так что теперь у него есть только одна сторона. Подобно бутылке Клейна ниже, эта двумерная поверхность должна пересекаться в двух измерениях, но ее можно легко построить в трех или более измерениях.

Бутылка Клейна

Бутылка Клейна погружает в трехмерном пространстве

Возьмите две полоски Мебиуса; каждая имеет одну петлю в качестве границы. Распрямите эти петли в круги и позвольте полоскам деформироваться в крестообразные колпачки . Склеивание кругов вместе даст новый замкнутый коллектор без границ, бутылку Клейна. Закрытие поверхности ничего не делает для улучшения отсутствия ориентируемости, оно просто удаляет границу. Таким образом, бутылка Клейна представляет собой закрытую поверхность без различия между внутренней и внешней стороной. В трехмерном пространстве поверхность бутылки Клейна должна проходить сквозь себя. Создание бутылки Клейна, которая не является самопересекающейся, требует четырех или более пространственных измерений.

Реальная проективная плоскость

Начните со сферы с центром в начале координат. Каждая линия, проходящая через начало координат, пронизывает сферу в двух противоположных точках, называемых антиподами . Хотя физически это невозможно сделать, можно (с учетом факторного пространства ) математически объединить каждую пару антиподов в одну точку. Созданная таким образом замкнутая поверхность является реальной проективной плоскостью, еще одной неориентируемой поверхностью. У него есть ряд эквивалентных описаний и конструкций, но этот маршрут объясняет его название: все точки на любой заданной линии через исходную точку проецируются в одну и ту же «точку» на этой «плоскости».

Род и эйлерова характеристика

Для двумерных многообразий ключевым инвариантным свойством является род или «количество ручек», присутствующих на поверхности. Тор - это сфера с одной ручкой, двойной тор - это сфера с двумя ручками и т. Д. Действительно, компактные двумерные многообразия можно полностью охарактеризовать на основе их рода и ориентируемости. В высших многообразиях рода заменяется понятием Эйлера характеристики , а также в более общем случае числа Бетти и гомологии и когомологий .

Карты многообразий

Morin поверхность , погружение используется в сфере выворачивания

Подобно тому, как существуют различные типы многообразий, существуют различные типы отображений многообразий . Помимо непрерывных функций и вообще гладких функций, существуют карты со специальными свойствами. В геометрической топологии основным типом являются вложения , центральным примером которых является теория узлов , и обобщения, такие как погружения , субмерсии , накрывающие пространства и разветвленные накрывающие пространства . Основные результаты включают теорему вложения Уитни и

В римановой геометрии можно требовать отображения для сохранения римановой метрики, что приводит к понятиям изометрических вложений , изометрических погружений и римановых субмерсий ; основным результатом является теорема вложения Нэша .

Скалярные функции

Трехмерный цветной график сферических гармоник степени${\ displaystyle n = 5}$

Основным примером отображений между многообразиями являются скалярнозначные функции на многообразии,

$${\ displaystyle f \ двоеточие M \ to \ mathbb {R}}$$

$${\ displaystyle f \ двоеточие M \ to \ mathbb {C},}$$

иногда называемые регулярными функциями или функционалами по аналогии с алгебраической геометрией или линейной алгеброй. Они представляют интерес как сами по себе, так и для изучения лежащего в основе многообразия.

В геометрической топологии наиболее часто изучаются функции Морса , которые приводят к разложению ручек , в то время как в математическом анализе часто изучаются решения уравнений в

Обобщения многообразий

Бесконечномерные многообразия

Определение многообразия можно обобщить, отказавшись от требования конечномерности. Таким образом, бесконечномерное многообразие - это топологическое пространство, локально гомеоморфное топологическому векторному пространству над действительными числами. Это опускает аксиомы точечных множеств, допуская более высокие мощности и нехаусдорфовы многообразия ; и он опускает конечную размерность, что позволяет моделировать такие структуры, как гильбертовы многообразия , на гильбертовых пространствах , банаховы многообразия, моделируемые на банаховых пространствах , и многообразия Фреше , моделируемые на пространствах Фреше . Обычно ослабляется то или иное условие: многообразия с аксиомами точечных множеств изучаются в общей топологии , а бесконечномерные многообразия изучаются в функциональном анализе .

Орбифолды

Орбифолдный является обобщение многообразия позволяет для определенных видов « особенностей » в топологии. Грубо говоря, это пространство, которое локально выглядит как фактор некоторого простого пространства ( например, евклидова пространства) действиями различных конечных групп . Особенности соответствуют неподвижным точкам действий группы, и действия должны быть в определенном смысле совместимыми.

Алгебраические многообразия и схемы

Неособые алгебраические многообразия над действительными или комплексными числами являются многообразиями. Один обобщает это, во-первых, допуская особенности, во-вторых, допуская различные поля, и, в-третьих, эмулируя конструкцию склеивания многообразий: так же, как многообразие склеивается из открытых подмножеств евклидова пространства, алгебраическое многообразие склеивается из аффинных алгебраических многообразий, которые - нулевые множества многочленов над алгебраически замкнутыми полями. Схемы также склеиваются из аффинных схем, которые являются обобщением алгебраических многообразий. Оба связаны с многообразиями, но построены алгебраически с использованием пучков вместо атласов.

Из-за особых точек разнообразие, как правило, не является многообразием, хотя с лингвистической точки

Позвольте быть непустым множеством. Предположим, что выбрано некоторое семейство вещественных функций на . Обозначим его . Это алгебра относительно поточечного сложения и умножения. Пусть наделен топологией, индуцированной . Предположим также, что выполняются следующие условия. Первый: для каждого , где и произвольного состава . Во-вторых: каждая функция, которая в каждой точке локально совпадает с некоторой функцией из , также принадлежит . Пара, для которой выполняются указанные выше условия, называется дифференциальным пространством Сикорского.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle C \ substeq \ mathbb {R} ^ {M}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle H \ in C ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {i} \ right)}$${\ Displaystyle я \ в \ mathbb {N}}$${\ displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {n} \ in C}$${\ displaystyle H \ circ \ left (f_ {1}, \ dots, f_ {n} \ right) \ in C}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle (М, С)}$

Смотрите также

• Геодезические  - кратчайший путь на искривленной поверхности или римановом многообразии.
• Направленная статистика : статистика по многообразиям
• Список коллекторов  - статья со списком в Википедии
• Хронология многообразий  - Хронология математики
• Математика общей теории относительности  - Математические структуры и методы, используемые в общей теории относительности

По размеру

• 3-многообразие  - Пространство, которое локально выглядит как евклидово 3-мерное пространство.
• 4-многообразие  - многообразие размерности четыре
• 5-коллектор  - коллектор размерности пять
• Многообразия отображений

Примечания

использованная литература

• Фридман, Майкл Х. и Куинн, Франк (1990) Топология 4-многообразий . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08577-3 .
• Гийемен, Виктор и Поллак, Алан (1974) Дифференциальная топология . Прентис-Холл. ISBN  0-13-212605-2 . Продвинутый текст для студентов / выпускников первого года обучения, вдохновленный Милнором.
• Хемпель, Джон (1976) 3-многообразия . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-8218-3695-1 .
• Хирш, Моррис , (1997) Дифференциальная топология . Springer Verlag. ISBN  0-387-90148-5 . Наиболее полный отчет с исторической точки зрения и отличными, но трудными проблемами. Стандартный справочник для желающих глубоко разобраться в предмете.
• Кирби, Робион К. и Зибенманн, Лоуренс К. (1977) Основополагающие очерки топологических многообразий. Сглаживания и триангуляции . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08190-5 . Подробное изучение категории топологических многообразий.
• Ли, Джон М. (2000) Введение в топологические многообразия . Springer-Verlag. ISBN  0-387-98759-2 . Подробный и исчерпывающий текст для выпускников первого года обучения.
• Ли, Джон М. (2003) Введение в гладкие многообразия . Springer-Verlag. ISBN  0-387-95495-3 . Подробный и исчерпывающий текст для выпускников первого года обучения; продолжение « Введение в топологические многообразия» .
• Мэсси, Уильям С. (1977) Алгебраическая топология: Введение . Springer-Verlag. ISBN  0-387-90271-6 .
• Милнор, Джон (1997) Топология с дифференцируемой точки зрения . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-04833-9 . Классическое краткое введение в дифференциальную топологию.
• Мункрес, Джеймс Р. (1991) Анализ многообразий . Эддисон-Уэсли (перепечатано Westview Press) ISBN  0-201-51035-9 . Текст для бакалавров, посвященный многообразиям в .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$
• Мункрес, Джеймс Р. (2000) Топология . Прентис Холл. ISBN  0-13-181629-2 .
• Нойвирт, LP, изд. (1975) Узлы, группы и 3-многообразия. Документы, посвященные памяти Р. Х. Фокса . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-08170-0 .
• Риман, Бернхард , Gesammelte Mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass , Sändig Reprint. ISBN  3-253-03059-8 .
  • Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. Докторская диссертация 1851 года, в которойвпервые появляется«многообразие» ( Mannigfaltigkeit ).
  • Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Инаугурационная лекция в Геттингене 1854 года ( Habilitationsschrift ).
• Спивак, Майкл (1965) Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления . WA Benjamin Inc. (перепечатано издательствами Addison-Wesley и Westview Press). ISBN  0-8053-9021-9 . Лаконичный текст для студентов и выпускников первого года обучения.
• Спивак, Майкл (1999) Комплексное введение в дифференциальную геометрию (3-е издание) Publish or Perish Inc. Энциклопедическая серия из пяти томов, представляющая систематическое рассмотрение теории многообразий, римановой геометрии, классической дифференциальной геометрии и многих других тем вначале. - и второй год обучения.
• Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-7399-3.. Краткий текст для выпускников первого курса.

внешние ссылки

• "Многообразие" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Dimensions-math.org (фильм, объясняющий и визуализирующий многообразие до четвертого измерения.)
• В коллекторных атласе проект из Института Макса Планка по математике в Бонне