Евклидово пространство - Euclidean space

Точка в трехмерном евклидовом пространстве может быть расположена по трем координатам.

Евклидово пространство - фундаментальное пространство классической геометрии . Первоначально это было трехмерное пространство в евклидовой геометрии , но и в современной математике есть евклидовы пространство любой целой неотрицательной размерности , в том числе трехмерного пространства и евклидовой плоскости (размерности два). Он был введен древнегреческим математиком Евклидом Александрийским , и определитель евклидово используется, чтобы отличить его от других пространств, которые позже были обнаружены в физике и современной математике.

Древнегреческие геометры представили евклидово пространство для моделирования физической вселенной . Их большим нововведением было доказательство всех свойств пространства как теорем , исходя из нескольких фундаментальных свойств, называемых постулатами , которые либо считались очевидными (например, есть ровно одна прямая линия, проходящая через две точки), либо казались невозможными для доказать ( параллельный постулат ).

После введения в конце 19 века неевклидовой геометрии старые постулаты были формализованы, чтобы определить евклидовы пространства с помощью аксиоматической теории . Было показано, что другое определение евклидовых пространств с помощью векторных пространств и линейной алгебры эквивалентно аксиоматическому определению. Именно это определение чаще используется в современной математике и подробно описано в этой статье.

Во всех определениях евклидовы пространства состоят из точек, которые определяются только теми свойствами, которыми они должны обладать для формирования евклидова пространства.

По сути, существует только одно евклидово пространство каждого измерения; то есть все евклидовы пространства данной размерности изоморфны . Поэтому во многих случаях можно работать с конкретным евклидовым пространством, которое, как правило, представляет собой реальное n- пространство, снабженное скалярным произведением . Изоморфизм из евклидова пространства ассоциированных с каждой точкой п -кратным из действительных чисел , которые найти этот пункт в евклидове пространства и называются декартовые координатами этой точки.

Определение

История определения

Евклидово пространство было введено древними греками как абстракция нашего физического пространства. Их большим нововведением, появившимся в « Элементах» Евклида, было построение и доказательство всей геометрии, исходя из нескольких очень простых свойств, которые абстрагируются от физического мира и не могут быть доказаны математически из-за отсутствия более простых инструментов. Эти свойства называются постулатами или аксиомами на современном языке. Этот способ определения евклидова пространства все еще используется под названием синтетической геометрии .

В 1637 году Рене Декарт ввел декартовы координаты и показал, что это позволяет свести геометрические задачи к алгебраическим вычислениям с числами. Это сведение геометрии к алгебре было серьезным изменением точки зрения, поскольку до этого действительные числа, то есть рациональные числа и нерациональные числа вместе, определялись в терминах геометрии, как длина и расстояние.

Евклидова геометрия не применялась в пространствах более чем трех измерений до 19 века. Людвиг Шлефли обобщил евклидову геометрию на пространства n измерений, используя как синтетические, так и алгебраические методы, и открыл все регулярные многогранники (многомерные аналоги Платоновых тел ), которые существуют в евклидовых пространствах любого числа измерений.

Несмотря на широкое использование подхода Декарта, который получил название аналитической геометрии , определение евклидова пространства оставалось неизменным до конца XIX века. Введение абстрактных векторных пространств позволило их использовать при определении евклидовых пространств с чисто алгебраическим определением. Было показано, что это новое определение эквивалентно классическому определению в терминах геометрических аксиом. Именно это алгебраическое определение сейчас чаще всего используется для введения евклидовых пространств.

Мотивация современного определения

Один из способов думать о евклидовой плоскости как набор из точек , удовлетворяющих отношений, выражающихся с точки зрения расстояния и углов. Например, есть две основные операции (называемые движениями ) на плоскости. Одним из них является перевод , что означает смещение плоскости так , что каждая точка смещается в том же направлении и на одинаковое расстояние. Другой - вращение вокруг фиксированной точки на плоскости, при котором все точки на плоскости поворачиваются вокруг этой фиксированной точки на один и тот же угол. Один из основных принципов евклидовой геометрии состоит в том, что две фигуры (обычно рассматриваемые как подмножества ) плоскости должны считаться эквивалентными ( конгруэнтными ), если одна может быть преобразована в другую посредством некоторой последовательности перемещений, вращений и отражений (см. Ниже ).

Чтобы сделать все это математически точным, теория должна четко определить, что такое евклидово пространство, и связанные с ним понятия расстояния, угла, перемещения и вращения. Даже при использовании в физических теориях евклидово пространство представляет собой абстракцию, отделенную от реальных физических местоположений, определенных систем отсчета , измерительных инструментов и так далее. Чисто математическое определение евклидова пространства также игнорирует вопросы о единицах длины и других физических измерениях : расстояние в «математическом» пространстве - это число , а не что-то, выраженное в дюймах или метрах.

Стандартный способ математически определить евклидово пространство, так как осуществляется в остальной части этой статьи, состоит в определении евклидово пространство в виде множества точек , на которых действует на реальное векторное пространство , то пространство переводов , который снабжен внутренним продуктом . Действие переводов делает пространство аффинным , что позволяет определять линии, плоскости, подпространства, размерность и параллельность . Внутренний продукт позволяет определять расстояние и углы.

Набор из n наборов действительных чисел, снабженный скалярным произведением, представляет собой евклидово пространство размерности n . И наоборот, выбор точки, называемой началом координат, и ортонормированным базисом пространства переводов эквивалентен определению изоморфизма между евклидовым пространством размерности n и рассматриваемым как евклидово пространство.

Отсюда следует , что все , что можно сказать о евклидовом пространстве также можно сказать о Поэтому многие авторы, особенно на начальном уровне, вызовите на стандартное евклидово пространство размерности п , или просто в евклидовом пространстве размерности п .

Причина для введения такого абстрактного определения евклидовых пространств и для работы с ним вместо того , что часто предпочтительнее работать без координат и без начала координат (то есть без выбора предпочтительной основы и предпочтительной исходной точки). ). Другая причина состоит в том, что в физическом мире нет происхождения и какой-либо основы.

Техническое определение

А Евклидово векторное пространство - это конечномерноевнутреннее пространство продуктанаддействительными числами.

Евклидово пространство является аффинным пространством над переАльса таким образом, что ассоциированное векторное пространство является евклидовым векторным пространством. Евклидовы пространства иногда называют евклидовыми аффинными пространствами, чтобы отличить их от евклидовых векторных пространств.

Если E - евклидово пространство, его ассоциированное векторное пространство часто обозначается . Размерность евклидова пространства - это размерность связанного с ним векторного пространства.

Элементы E называются точками и обычно обозначаются заглавными буквами. Элементы называются евклидовыми векторами или свободными векторами . Их также называют переводами , хотя, собственно говоря, перевод - это геометрическое преобразование, возникающее в результате действия евклидова вектора на евклидовом пространстве.

Действие сдвига v на точку P дает точку, которая обозначается P + v . Это действие удовлетворяет

(Второй + в левой части является векторным сложением; все остальные + обозначают действие вектора на точку. Это обозначение не является двусмысленным, поскольку для различения двух значений + достаточно взглянуть на характер его левого аргумента.)

Тот факт , что действие свободно и переходные означает , что для каждой пары точек ( P , Q ) существует ровно один вектор V такие , что Р + v = Q . Этот вектор v обозначается Q - P или

Как объяснялось ранее, некоторые из основных свойств евклидовых пространств являются результатом структуры аффинного пространства. Они описаны в § Аффинная структура и ее подразделы. Свойства, возникающие из внутреннего продукта, объясняются в § Метрическая структура и ее подразделы.

Прототипные примеры

Для любого векторного пространства сложение действует свободно и транзитивно в самом векторном пространстве. Таким образом, евклидово векторное пространство можно рассматривать как евклидово пространство, которое само ассоциируется с векторным пространством.

Типичный случай евклидова векторного пространства рассматривается как векторное пространство, снабженное скалярным произведением в качестве внутреннего продукта . Важность этого конкретного примера евклидова пространства заключается в том факте, что каждое евклидово пространство изоморфно ему. Точнее, учитывая евклидово пространство Е размерности п , выбор точки, называется происхождение и ортонормированный базис из задает изоморфизм евклидовых пространств от Е к

Поскольку каждое евклидово пространство размерности n изоморфно ему, евклидово пространство иногда называют стандартным евклидовым пространством размерности n .

Аффинная структура

Некоторые основные свойства евклидовых пространств зависят только от того, что евклидово пространство является аффинным пространством . Они называются аффинными свойствами и включают концепции прямых, подпространств и параллелизма, которые подробно описаны в следующих подразделах.

Подпространства

Пусть E - евклидово пространство и связанное с ним векторное пространство.

Плоское , евклидов подпространство или аффинное подпространство в Е представляет собой подмножество Р из Й такого , что

является линейным подпространством в евклидове подпространства F является евклидовом пространства с как связанными векторным пространством. Это линейное подпространство называется направление в F .

Если P точка F, то

И наоборот, если Р является точкой Е и V представляет собой линейное подпространство в то

является евклидово подпространство в направлении V .

Евклидово векторное пространство (то есть такое евклидово пространство ) имеет два вида подпространств: его евклидовы подпространства и его линейные подпространства. Линейные подпространства являются евклидовыми подпространствами, а евклидово подпространство является линейным подпространством тогда и только тогда, когда оно содержит нулевой вектор.

Линии и сегменты

В евклидовом пространстве линия - это евклидово подпространство размерности один. Поскольку векторное пространство размерности один натянуто на любой ненулевой вектор, линия представляет собой множество вида

где P и Q - две разные точки.

Отсюда следует, что есть ровно одна линия, которая проходит через две различные точки (содержит). Это означает, что две различные прямые пересекаются не более чем в одной точке.

Более симметричное представление прямой, проходящей через P и Q, выглядит следующим образом:

где O - произвольная точка (не обязательно на прямой).

В евклидовом векторном пространстве нулевой вектор обычно выбирается для O ; это позволяет упростить предыдущую формулу до

Стандартное соглашение позволяет использовать эту формулу в любом евклидовом пространстве, см. Аффинное пространство § Аффинные комбинации и барицентр .

Отрезок линии , или просто отрезок , соединяющий точки P и Q представляет собой подмножество точек таких , что 0 & le ; А , & le ; 1 в предыдущих формулах. Обозначается PQ или QP ; то есть

Параллелизм

Два подпространства S и T одной размерности в евклидовом пространстве параллельны, если они имеют одинаковое направление. Эквивалентно, они параллельны, если есть вектор сдвига v, который отображает один в другой:

Для точки P и подпространства S существует ровно одно подпространство, содержащее P и параллельное S , т.е. В случае, когда S - линия (подпространство размерности один), это свойство является аксиомой Плейфэра .

Отсюда следует, что в евклидовой плоскости две прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.

Концепция параллельных подпространств была распространена на подпространства разных размеров: два подпространства параллельны, если направление одного из них совпадает с направлением на другое.

Метрическая структура

Векторное пространство, связанное с евклидовым пространством E, является внутренним пространством продукта . Отсюда следует симметричная билинейная форма

который положительно определен ( всегда положителен при x 0 ).

Внутреннее произведение евклидова пространства часто называют скалярным произведением и обозначают xy . Это особенно касается случая, когда была выбрана декартова система координат , поскольку в этом случае внутреннее произведение двух векторов является скалярным произведением их векторов координат . По этой причине и по историческим причинам точечная запись чаще используется, чем скобка, для внутреннего произведения евклидовых пространств. Эта статья будет следовать этому использованию; то есть будет обозначаться xy в оставшейся части статьи.

Евклидова норма вектора х является

Внутреннее произведение и норма позволяет выразить и доказать все метрические и топологические свойства евклидовой геометрии . В следующем подразделе описаны самые основные из них. В этих подразделах E обозначает произвольное евклидово пространство и обозначает его векторное пространство переводов.

Расстояние и длина

Расстояние (точнее евклидово расстояние ) между двумя точками евклидова пространства норма вектора сдвига , который отображает одну точку на другой; то есть

Длина сегмента PQ является расстоянием d ( P , Q ) между его концами. Это часто обозначается .

Расстояние является метрикой , так как оно положительно определено, симметрично и удовлетворяет неравенству треугольника

Более того, равенство верно тогда и только тогда, когда R принадлежит отрезку PQ . Это неравенство означает, что длина любого ребра треугольника меньше суммы длин других ребер. Отсюда возник термин неравенство треугольника .

С евклидовым расстоянием каждое евклидово пространство является полным метрическим пространством .

Ортогональность

Два ненулевых вектора ˙U и v из являются перпендикулярны или ортогональны , если их скалярное произведение равно нулю:

Два линейных подпространства ортогональны, если каждый ненулевой вектор первого перпендикулярен каждому ненулевому вектору второго. Отсюда следует, что пересечение линейного подпространства сводится к нулевому вектору.

Две прямые и, в более общем смысле, два евклидовых подпространства ортогональны, если их направление ортогонально. Две пересекающиеся ортогональные прямые называются перпендикулярными .

Два сегмента AB и AC, которые имеют общую конечную точку, перпендикулярны или образуют прямой угол, если векторы и ортогональны.

Если AB и AC образуют прямой угол, то

Это теорема Пифагора . Его доказательство в этом контексте легко, поскольку, выражая это в терминах внутреннего продукта, мы получаем, используя билинейность и симметрию внутреннего продукта:

Угол

Положительные и отрицательные углы на ориентированной плоскости

(Неориентированный) угол θ между двумя ненулевыми векторами x и y в равен

где агссоз это главное значение в Арккосинус функции. По неравенству Коши – Шварца аргумент арккосинуса находится в интервале [−1, 1] . Следовательно, θ является вещественным и 0 ≤ θπ (или 0 ≤ θ ≤ 180, если углы измеряются в градусах).

Углы бесполезны в евклидовой прямой, поскольку они могут быть только 0 или π .

В ориентированной евклидовой плоскости можно определить ориентированный угол двух векторов. Ориентированный угол двух векторов x и y противоположен ориентированному углу y и x . В этом случае угол двух векторов может иметь любое значение по модулю целого числа, кратного 2 π . В частности, угол отражения π < θ <2 π равен отрицательному углу - π < θ - 2 π <0 .

Угол двух векторов не изменится, если их умножить на положительные числа. Точнее, если x и y - два вектора, а λ и μ - действительные числа, то

Если A , B и C - три точки в евклидовом пространстве, угол отрезков AB и AC - это угол векторов, а As умножение векторов на положительные числа не меняет угол, угол двух половинных чисел. Можно определить прямые с начальной точкой A : это угол отрезков AB и AC , где B и C - произвольные точки, по одной на каждой полупрямой. Хотя это используется реже, аналогичным образом можно определить угол сегментов или полуосей, которые не имеют общих начальных точек.

Угол двух прямых определяется следующим образом. Если θ - угол двух сегментов, по одному на каждой прямой, угол между любыми двумя другими сегментами, по одному на каждой прямой, равен либо θ, либо π - θ . Один из этих углов находится в интервале [0, π / 2] , а другой - в [ π / 2, π ] . Неориентированный углом из двух линий является одним из интервала [0, π / 2] . В ориентированной евклидовой плоскости ориентированный угол двух прямых принадлежит интервалу [- π / 2, π / 2] .

Декартовы координаты

Каждое евклидово векторного пространства имеет ортонормированный базис (на самом деле, бесконечно много в размерности выше , чем один, и два в размерности один), который является основой из единичных векторов ( ), которые попарно ортогональны ( для яJ ). Точнее, с учетом каких - либо основу процесс Грама-Шмидта вычисляет ортонормированный базис такой , что для любого I , то линейные оболочки из и равны.

Учитывая евклидово пространства Е , А декартову кадр представляет собой набор данных , состоящие из ортонормированной основы и точка Е , называется происхождением и часто обозначаются вывод . Декартова система отсчета позволяет определять декартовы координаты как для E, так и следующим образом.

Декартовы координаты вектора v являются коэффициентами при v на основе. Поскольку базис ортонормирован, i- й коэффициент является скалярным произведением.

Декартовы координаты точки P из E - это декартовы координаты вектора

Другие координаты

Трехмерные координаты перекоса

Поскольку евклидово пространство является аффинным пространством , на нем можно рассматривать аффинную систему отсчета , которая аналогична евклидовой системе отсчета, за исключением того, что не требуется, чтобы базис был ортонормированным. Это определяет аффинные координаты , иногда называемые косыми координатами, чтобы подчеркнуть, что базисные векторы не являются попарно ортогональными.

Аффинное базис евклидова пространства размерности п представляет собой набор п + 1 точек, которые не содержатся в гиперплоскости. Аффинный базис определяет барицентрические координаты для каждой точки.

Многие другие системы координат могут быть определены на евклидовом пространстве E размерности n следующим образом. Пусть F будет гомеоморфизм (или, что чаще, при Диффеоморфизм ) из плотного открытого подмножества из Й к открытому подмножеству The координат в точке х из Й являются компонентами F ( х ) . Полярная система координат (размер 2) и сферические и цилиндрическая система координат (размер 3) определены таким образом.

Для точек, которые находятся за пределами области f , координаты могут иногда определяться как предел координат соседних точек, но эти координаты могут быть не определены однозначно и могут быть не непрерывными в окрестности точки. Например, для сферической системы координат долгота не определена на полюсе, а на антимеридиане долгота проходит скачкообразно от –180 ° до + 180 °.

Этот способ определения координат легко распространяется на другие математические структуры, в частности на многообразия .

Изометрии

Изометрия между двумя метрическими пространствами является взаимно однозначным соответствием с сохранением расстояния, то есть

В случае евклидова векторного пространства изометрия, которая отображает начало координат в начало координат, сохраняет норму

поскольку норма вектора - это его расстояние от нулевого вектора. Сохраняет также внутренний продукт

поскольку

Изометрия евклидовых векторных пространств - это линейный изоморфизм .

Изометрия евклидовых пространств определяет изометрию связанных евклидовых векторных пространств. Это означает, что два изометрических евклидова пространства имеют одинаковую размерность. Наоборот, если E и F - евклидовы пространства, OE , O F , и является изометрией, то отображение, определенное формулой

является изометрией евклидовых пространств.

Из предыдущих результатов следует, что изометрия евклидовых пространств отображает прямые в прямые и, в более общем смысле, евклидовы подпространства в евклидовы подпространства той же размерности, и что ограничение изометрии на эти подпространства является изометрией этих подпространств.

Изометрия с прототипными примерами

Если E - евклидово пространство, связанное с ним векторное пространство можно рассматривать как евклидово пространство. Каждая точка OE определяет изометрию евклидовых пространств

который отображает O в нулевой вектор и имеет тождество как связанную линейную карту. Обратная изометрия - это карта

Евклидова рамка позволяет определить карту

которое является изометрией евклидовых пространств. Обратная изометрия

Это означает, что с точностью до изоморфизма существует ровно одно евклидово пространство данной размерности.

Это подтверждает , что многие авторы говорят о качестве в евклидово пространства размерности п .

Евклидова группа

Изометрия евклидова пространства на себя называется евклидовой изометрией , евклидовым преобразованием или жестким преобразованием . Жесткие преобразования евклидова пространства образуют группу (по композиции ), называемую евклидовой группой и часто обозначаемую E ( n ) из ISO ( n ) .

Простейшие евклидовы преобразования - это переводы

Они находятся в биективном соответствии с векторами. Это причина того, что пространство переводов называют векторным пространством, связанным с евклидовым пространством. Переводы образуют нормальную подгруппу евклидовой группы.

Евклидова изометрия f евклидова пространства E определяет линейную изометрию ассоциированного векторного пространства (под линейной изометрией подразумевается изометрия, которая также является линейной картой ) следующим образом: обозначая Q - P вектор , если O - произвольная точка из E , имеем

Несложно доказать, что это линейное отображение, не зависящее от выбора O.

Отображение представляет собой групповой гомоморфизм евклидовой группы на группу линейных изометрий, называемую ортогональной группой . Ядром этого гомоморфизма является группа трансляций, показывая, что это нормальная подгруппа евклидовой группы.

В изометрии, фиксирующая в данную точке Р образует стационарную подгруппу евклидовой группы по отношению к P . Ограничение на этот стабилизатор указанного выше гомоморфизма групп является изоморфизмом. Таким образом, изометрии, фиксирующие данную точку, образуют группу, изоморфную ортогональной группе.

Пусть P точка, f изометрия и t перевод, который отображает P в f ( P ) . Изометрии исправления Р . Так и евклидова группа является полупрямым произведением переводческой группы и ортогональной группы.

Специальная ортогональная группа является нормальной подгруппой ортогональной группы, защищающей хиральности . Это подгруппа индекса два ортогональной группы. Его прообраз по гомоморфизму групп является нормальной подгруппой индекса два евклидовой группы, которая называется специальной евклидовой группой или группой смещения . Его элементы называются жесткими движениями или перемещениями .

Жесткие движения включают в себя идентичность , переводы, вращения (жесткие движения, фиксирующие хотя бы точку), а также винтовые движения .

Типичными примерами жестких преобразований, которые не являются жесткими движениями, являются отражения , которые представляют собой жесткие преобразования, фиксирующие гиперплоскость и не являющиеся тождеством. Это также преобразования, заключающиеся в изменении знака одной координаты в некоторой евклидовой системе отсчета.

Поскольку специальная евклидова группа является подгруппой индекса два евклидовой группы, учитывая отражение r , каждое жесткое преобразование, которое не является жестким движением, является произведением r и жесткого движения. Скользящее отражение является примером жесткой трансформации, которая не является жестким движением или отражение.

Все группы, рассматриваемые в этом разделе, являются группами Ли и алгебраическими группами .

Топология

Евклидово расстояние делает евклидово пространство метрическим пространством и, следовательно, топологическим пространством . Эта топология называется евклидовой топологией . В случае этой топологии также является топология продукта .

В открытые множества являются подмножествами , который содержит открытый шар вокруг каждого из своих точек. Другими словами, открытые шары составляют основу топологии .

Топологическая размерность евклидова пространства равна его размерности. Отсюда следует, что евклидовы пространства разных размерностей не гомеоморфны . Более того, теорема инвариантности области утверждает, что подмножество евклидова пространства открыто (для топологии подпространства ) тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно открытому подмножеству евклидова пространства той же размерности.

Евклидовы пространства полны и локально компактны . То есть замкнутое подмножество евклидова пространства компактно, если оно ограничено (то есть содержится в шаре). В частности, замкнутые шары компактны.

Аксиоматические определения

Определение евклидовых пространств, описанное в этой статье, в корне отличается от определения евклидова . На самом деле Евклид формально не определял пространство, потому что он задумывался как описание физического мира, существующего независимо от человеческого разума. Потребность в формальном определении возникла только в конце 19 века, с введением неевклидовой геометрии .

Были использованы два разных подхода. Феликс Кляйн предложил определять геометрии через их симметрии . Представление евклидовых пространств, приведенное в этой статье, по сути, взято из его программы на Эрлангене , с акцентом на группы трансляций и изометрий.

С другой стороны, Дэвид Гильберт предложил набор аксиом , вдохновленный постулатами Евклида . Они относятся к синтетической геометрии , поскольку не содержат определения действительных чисел . Позже Биркгоф и Тарский предложили простые наборы аксиом, которые используют действительные числа (см аксиом Биркгофа и аксиомы Тарских ).

В геометрической алгебре , Артин доказал , что все эти определения евклидова пространств эквивалентны. Довольно легко доказать, что все определения евклидовых пространств удовлетворяют аксиомам Гильберта и что определения, содержащие действительные числа (включая данное выше определение), эквивалентны. Сложность доказательства Артина заключается в следующем. В аксиомах Гильберта конгруэнтность - это отношение эквивалентности на отрезках. Таким образом, можно определить длину сегмента как его класс эквивалентности. Таким образом, необходимо доказать, что эта длина удовлетворяет свойствам, характеризующим неотрицательные действительные числа. Артин доказал это с помощью аксиом, эквивалентных аксиомам Гильберта.

использование

С древних греков , евклидово пространство используется для моделирования фигуры в физическом мире. Таким образом, он используется во многих науках, таких как физика , механика и астрономия . Он также широко используется во всех технических областях, связанных с формами, фигурами, местоположением и положением, таких как архитектура , геодезия , топография , навигация , промышленный дизайн или технический рисунок .

Пространство измерений выше трех встречается в нескольких современных теориях физики; см. Высшее измерение . Они возникают также в конфигурационных пространствах в физических системах .

Помимо евклидовой геометрии , евклидовы пространства также широко используются в других областях математики. Касательные пространства на дифференцируемых многообразиях являются евклидовы векторные пространства. В более общем смысле многообразие - это пространство, которое локально аппроксимируется евклидовыми пространствами. Большинство неевклидовых геометрий можно смоделировать с помощью многообразия и вложить в евклидово пространство более высокой размерности. Например, эллиптическое пространство можно смоделировать эллипсоидом . В математике евклидова пространства принято представлять объекты, которые априори не имеют геометрической природы. Примером из многих является обычное представление графов .

Другие геометрические пространства

С момента появления в конце 19 века неевклидовой геометрии было рассмотрено множество видов пространств, геометрические рассуждения о которых можно проводить так же, как и с евклидовыми пространствами. В общем, они имеют общие свойства с евклидовыми пространствами, но могут также иметь свойства, которые могут показаться довольно странными. Некоторые из этих пространств используют евклидову геометрию для своего определения или могут быть смоделированы как подпространства евклидова пространства более высокого измерения. Когда такое пространство определяется геометрическими аксиомами , вложение пространства в евклидово пространство является стандартным способом доказательства непротиворечивости его определения или, точнее, доказательства того, что его теория непротиворечива, если евклидова геометрия непротиворечива (что не может быть доказано ).

Аффинное пространство

Евклидово пространство - это аффинное пространство, снабженное метрикой . У аффинных пространств есть много других применений в математике. В частности, поскольку они определены для любого поля , они позволяют выполнять геометрию в других контекстах.

Как только рассматриваются нелинейные вопросы, обычно полезно рассматривать аффинные пространства над комплексными числами как расширение евклидовых пространств. Например, круг и линия всегда имеют две точки пересечения (возможно, не разные) в сложном аффинном пространстве. Следовательно, большая часть алгебраической геометрии построена на сложных аффинных пространствах и аффинных пространствах над алгебраически замкнутыми полями . Формы, изучаемые в алгебраической геометрии в этих аффинных пространствах, поэтому называются аффинными алгебраическими многообразиями .

Аффинные пространства над рациональными числами и, в более общем смысле, над полями алгебраических чисел обеспечивают связь между (алгебраической) геометрией и теорией чисел . Например, Великая теорема Ферма может быть сформулирована как « кривая Ферма степени выше двух не имеет точки в аффинной плоскости над рациональными числами».

Геометрия в аффинных пространствах над конечными полями также широко изучается. Например, в криптографии широко используются эллиптические кривые над конечными полями .

Проективное пространство

Первоначально проективные пространства были введены путем добавления « бесконечно удаленных точек » к евклидовым пространствам и, в более общем смысле, к аффинным пространствам, чтобы сделать истинным утверждение «две компланарные прямые пересекаются ровно в одной точке». Проективное пространство разделяет с евклидовым и аффинным пространствами свойство быть изотропным , то есть у пространства нет свойства, позволяющего различать две точки или две прямые. Поэтому обычно используется более изотропное определение, которое заключается в определении проективного пространства как набора векторных линий в векторном пространстве размерности еще один.

Что касается аффинных пространств, проективные пространства определены над любым полем и являются фундаментальными пространствами алгебраической геометрии .

Неевклидовы геометрии

Неевклидова геометрия обычно относится к геометрическим пространствам, в которых постулат параллельности неверен. К ним относятся эллиптическая геометрия , где сумма углов треугольника больше 180 °, и гиперболическая геометрия , где эта сумма меньше 180 °. Их введение во второй половине 19 века и доказательство того, что их теория непротиворечива (если евклидова геометрия не противоречит), является одним из парадоксов, которые лежат в основе фундаментального кризиса в математике начала 20 века, и мотивировал систематизацию аксиоматических теорий в математике.

Изогнутые пространства

Многообразие является пространством, в окрестности каждой точки напоминает евклидово пространство. С технической точки зрения, многообразие является топологическим пространством , так что каждая точка имеет окрестность , которая гомеоморфно к открытому подмножеству евклидова пространства. Многообразие можно классифицировать по возрастающей степени этого «сходства» на топологические многообразия , дифференцируемые многообразия , гладкие многообразия и аналитические многообразия . Однако ни один из этих типов «сходства» не учитывает расстояния и углы, даже приблизительно.

Расстояния и углы могут быть определены на гладком многообразии путем обеспечения гладко изменяющейся евклидовой метрики на касательных пространствах в точках многообразия (эти касательные пространства, таким образом, являются евклидовыми векторными пространствами). В результате получается риманово многообразие . Как правило, прямых линий не существует в римановом многообразии, но их роль играют геодезические , которые представляют собой «кратчайшие пути» между двумя точками. Это позволяет определять расстояния, которые измеряются вдоль геодезических, и углы между геодезическими, которые представляют собой угол их касательных в касательном пространстве на их пересечении. Итак, римановы многообразия локально ведут себя как изогнутые евклидовы пространства.

Евклидовы пространства - тривиально римановы многообразия. Пример, хорошо иллюстрирующий это, - поверхность сферы . В этом случае геодезические - это дуги большого круга , которые в контексте навигации называются ортодромами . В более общем смысле, пространства неевклидовой геометрии могут быть реализованы как римановы многообразия.

Псевдоевклидово пространство

Скалярное произведение вещественных векторного пространства является положительно определенной билинейной формой , и так характеризуется положительно определенной квадратичной формой . Псевдоевклидово пространства является аффинным пространством с соответствующим реальным векторным пространством , снабженным невырожденной квадратичной формой (которые могут быть неопределенными ).

Фундаментальный пример такого пространства является пространством Минковского , которое является пространственно-временным от Эйнштейна «ы специальной теории относительности . Это четырехмерное пространство, в котором метрика определяется квадратичной формой

где последняя координата ( t ) является временной, а остальные три ( x , y , z ) пространственными.

Чтобы принять во внимание гравитацию , общая теория относительности использует псевдориманово многообразие, которое имеет пространства Минковского в качестве касательных . Кривизны этого многообразия в точке является функцией от величины гравитационного поля в этой точке.

Смотрите также

Сноски

использованная литература

  • Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
  • Артин, Эмиль (1988) [1957], Геометрическая алгебра , библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc., стр. X + 214, DOI : 10.1002 / 9781118164518 , ISBN 0-471-60839-4, Руководство по ремонту  1009557
  • Болл, У. В. Рауз (1960) [1908]. Краткий отчет по истории математики (4-е изд.). Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0.
  • Бергер, Марсель (1987), Геометрия I , Берлин: Springer, ISBN 3-540-11658-3
  • Кокстер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр. Шлефли ... открыл их до 1853 года - времени, когда Кэли, Грассман и Мёбиус были единственными людьми, которые когда-либо постигали возможность геометрии в более чем трех измерениях.
  • Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], "Евклидово пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press