Гиперболическое пространство - Hyperbolic space

Перспективная проекция додекаэдрической мозаики в H ³ .
Четыре додекаэдра пересекаются на каждом ребре, а восемь пересекаются в каждой вершине, как кубы кубической мозаики в E ^3.

В математике , А гиперболическое пространство является однородным пространством , которое имеет постоянную отрицательную кривизну , где в этом случае кривизна есть кривизна сечения. Это гиперболическая геометрия в более чем двух измерениях , и она отличается от евклидовых пространств с нулевой кривизной, которые определяют евклидову геометрию , и эллиптических пространств с постоянной положительной кривизной.

При вложении в евклидово пространство (более высокой размерности) каждая точка гиперболического пространства является седловой точкой . Еще одно отличительное свойство - это размер пространства, покрываемого n- шаром в гиперболическом n- пространстве: он увеличивается экспоненциально по отношению к радиусу шара для больших радиусов, а не полиномиально .

Формальное определение

Гиперболического п -пространство , обозначаемое Н ^п , является максимально симметричным, односвязны , п - мерное риманово многообразие с постоянной отрицательной секционной кривизны . Гиперболическое пространство - это пространство с гиперболической геометрией . Это аналог n- сферы с отрицательной кривизной . Несмотря на то, гиперболическое пространство Н ^п является диффеоморфен к R ^п , его отрицательной кривизны метрики дает ему очень разные геометрические свойства.

Гиперболическое 2-пространство H ² также называется гиперболической плоскостью .

Модели гиперболического пространства

Гиперболическое пространство, независимо разработанное Николаем Лобачевским и Яношом Бойяи , является геометрическим пространством, аналогичным евклидову пространству , но таким, что постулат о параллельности Евклида больше не считается справедливым. Вместо этого постулат параллельности заменяется следующей альтернативой (в двух измерениях):

• Учитывая , любая линия L и точка P не на L , есть по крайней мере две различные линии , проходящие через P , которые не пересекаются L .

Тогда это теорема, что таких прямых через P бесконечно много . Эта аксиома до сих пор не характеризует гиперболическую плоскость однозначно с точностью до изометрии ; существует дополнительная константа, кривизна K <0 , которую необходимо указать. Тем не менее, он однозначно характеризует его до гомотетии , то есть до взаимных однозначностей, которые изменяют понятие расстояния только на общую константу. Таким образом, выбирая подходящий масштаб длины, можно без ограничения общности считать, что K = −1 .

Могут быть построены модели гиперболических пространств, которые могут быть вложены в плоские (например, евклидовы) пространства. В частности, существование модельных пространств подразумевает, что постулат параллельности логически независим от других аксиом евклидовой геометрии.

Есть несколько важных моделей гиперболического пространства: в модели Клейна года гиперболоида модель , в шаровой модели Пуанкаре и полупространство модели Пуанкаре . Все они моделируют одну и ту же геометрию в том смысле, что любые два из них могут быть связаны преобразованием, которое сохраняет все геометрические свойства пространства, включая изометрию (хотя и не по отношению к метрике евклидова вложения).

Модель гиперболоида

Модель гиперболоида реализует гиперболоидное пространство как гиперболоид в R ^{n +1} = {( x ₀ , ..., x _n ) | x _i ∈ R ,  i = 0,1, ..., n }. Гиперболоид - это геометрическое место H ⁿ точек, координаты которых удовлетворяют

${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} - \ cdots -x_ {n} ^ {2} = 1, \ quad x_ {0}> 0.}$

В этой модели линия (или геодезическая ) - это кривая, образованная пересечением H ⁿ с плоскостью, проходящей через начало координат в R ^{n +1} .

Модель гиперболоида тесно связана с геометрией пространства Минковского . Квадратичная форма

${\ displaystyle Q (x) = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} - \ cdots -x_ {n} ^ {2},}$

который определяет гиперболоид, поляризуется, чтобы дать билинейную форму

${\ Displaystyle B (x, y) = (Q (x + y) -Q (x) -Q (y)) / 2 = x_ {0} y_ {0} -x_ {1} y_ {1} - \ cdots -x_ {n} y_ {n}.}$

Пространство R ^{n +1} , снабженное билинейной формой B , является ( n +1) -мерным пространством Минковского R ^{n , 1} .

Можно связать расстояние в модели гиперболоида, определив расстояние между двумя точками x и y на H ⁿ как

${\ displaystyle d (x, y) = \ operatorname {arcosh} B (x, y).}$

Эта функция удовлетворяет аксиомам метрического пространства . Он сохраняется действием группы Лоренца на R ^{n , 1} . Следовательно, группа Лоренца действует как группа преобразований, сохраняющая изометрию на H ⁿ .

Модель Кляйна

Альтернативная модель гиперболической геометрии на определенной области в проективном пространстве . Квадратичная форма Минковского Q определяет подмножество U ⁿ ⊂ RP ^n, заданное как геометрическое место точек, для которых Q ( x )> 0 в однородных координатах x . Область U ⁿ - это модель Клейна гиперболического пространства.

Линии этой модели - открытые отрезки окружающего проективного пространства, лежащие в U ⁿ . Расстояние между двумя точками x и y в U ⁿ определяется как

${\ displaystyle d (x, y) = \ operatorname {arcosh} \ left ({\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}} \ right).}$

Это правильно определено на проективном пространстве, поскольку отношение под обратным гиперболическим косинусом однородно степени 0.

Эта модель связана с моделью гиперболоида следующим образом. Каждая точка x ∈ U ⁿ соответствует прямой L _x, проходящей через начало координат в R ^{n +1} , по определению проективного пространства. Эта прямая пересекает гиперболоид H ⁿ в единственной точке. И наоборот, через любую точку на H ⁿ проходит единственная прямая через начало координат (которая является точкой в ​​проективном пространстве). Это соответствие определяет биекцию между U ⁿ и H ⁿ . Это изометрия, поскольку вычисление d ( x , y ) вдоль Q ( x ) = Q ( y ) = 1 воспроизводит определение расстояния, данное для модели гиперболоида.

Модель шара Пуанкаре

Близко связанной парой моделей гиперболической геометрии являются модели шара Пуанкаре и полупространства Пуанкаре.

Модель шара происходит от стереографической проекции гиперболоида в R ^{n +1} на гиперплоскость { x ₀ = 0}. Подробно, пусть S будет точкой в R ^{n +1} с координатами (−1,0,0, ..., 0): южный полюс для стереографической проекции. Для каждой точки P на гиперболоиде H ⁿ пусть P ^∗ - единственная точка пересечения прямой SP с плоскостью { x ₀ = 0}.

Это устанавливает биективное отображение H ⁿ в единичный шар

${\ displaystyle B ^ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) | x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} <1 \} }$

в плоскости { x ₀ = 0}.

Геодезические в этой модели - это полукруги , перпендикулярные граничной сфере B ⁿ . Изометрии шара порождаются сферической инверсией в гиперсферах, перпендикулярных границе.

Модель полупространства Пуанкаре

Модель полупространства является результатом применения инверсии в круге с центром в граничной точке модели шара Пуанкаре B ⁿ выше и радиусом, в два раза превышающим радиус.

Это превращает круги в круги и линии, и, кроме того, является конформным преобразованием . Следовательно, геодезические модели полупространства - это прямые и окружности, перпендикулярные граничной гиперплоскости.

Гиперболические многообразия

Каждое полное , подключено , односвязно многообразие постоянной отрицательной кривизны -1 изометрическое к реальному гиперболического пространства H ^н . В результате универсальное покрытие любого замкнутого многообразия M постоянной отрицательной кривизны −1, которое является гиперболическим многообразием , есть H ⁿ . Таким образом, каждые такие М можно записать в виде H ^п / Γ , где Γ является кручением дискретной группой из изометрии на Н ^н . То есть Γ - решетка в SO ⁺ ( n , 1) .

Римановы поверхности

Двумерные гиперболические поверхности также можно понимать на языке римановых поверхностей . Согласно теореме униформизации любая риманова поверхность может быть эллиптической, параболической или гиперболической. Большинство гиперболических поверхностей имеют нетривиальную фундаментальную группу π ₁ = Γ; возникающие таким образом группы называются фуксовыми группами . Фактор - пространство Н ² / Γ верхней полуплоскости по модулю фундаментальной группы известна как Фукс модель гиперболической поверхности. Полуплоскость Пуанкара также гиперболическая, но односвязная и некомпактный . Это универсальное покрытие других гиперболических поверхностей.

Аналогичной конструкцией для трехмерных гиперболических поверхностей является клейновская модель .

Смотрите также

• Поверхность Дини
• Гиперболическое 3-многообразие
• Идеальный многогранник
• Теорема жесткости Мостова
• Формула Мураками – Яно
• Псевдосфера

использованная литература

• А'Кампо, Норберт и Пападопулос, Атанас , (2012) Заметки о гиперболической геометрии , в: Страсбургский мастер-класс по геометрии, стр. 1–182, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, Vol. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, SBN ISBN  978-3-03719-105-7 , DOI 10.4171 / 105.
• Рэтклифф, Джон Г., Основы гиперболических многообразий , Нью-Йорк, Берлин. Springer-Verlag, 1994.
• Рейнольдс, Уильям Ф. (1993) "Гиперболическая геометрия на гиперболоиде", American Mathematical Monthly 100: 442–455.
• Вольф, Джозеф А. Пространства постоянной кривизны , 1967. См. Стр. 67.
• Гиперболические диаграммы Вороного стали проще, Фрэнк Нильсен