Математика - Mathematics


Из Википедии, свободной энциклопедии

Евклид (проведение суппорты ), греческий математик, 3 - го века до н.э., как и представлял себе Рафаэль в этой детали из Школы Афин .

Математика (от греческого μάθημα máthēma , «знания, исследования, обучение») включает в себя изучение таких тем , как количество , структура , пространство , и изменения .

Математики искать и использовать модели для разработки новых гипотез ; они решают истинность или ложность гипотез путем математического доказательства . Когда математические структуры хорошие модели реальных явлений, то математические рассуждения могут дать представление или предсказания о природе. Благодаря использованию абстракции и логики , математики разработали из подсчета , вычисления , измерения и систематическое изучение форм и движений физических объектов. Практическая математика была деятельностью человека от еще в письменных записи существуют. Исследований , необходимых для решения математических задач может занять годы или даже столетия устойчивого исследования.

Строгие аргументы впервые появились в греческой математике , особенно в Евклида «s элементов . Так пионерской работы Джузеппе Пеано (1858-1932), Давид Гильберт (1862-1943) и других на аксиоматических систем в конце 19 - го века , стало принято рассматривать математические исследования , как установление истины путем строгого вычета из надлежащим образом выбранных аксиом и определения . Математика развивалась в относительно медленного темпа до Ренессанса , когда математические новшества , взаимодействующие с новыми научными открытиями привели к быстрому увеличению скорости математического открытия, которая продолжается до сегодняшнего дня.

Математика имеет важное значение во многих областях, в том числе естественных наук , техники, медицины, финансов и социальных наук . Прикладная математика привела к совершенно новые математические дисциплины, такие как статистика и теория игр . Математики участвовать в чистой математике или математике для своего собственного блага, не имея в виду применение. Практическое применение для того, что началось как чистая математика часто обнаруживаются.

история

Вавилонская математическая таблетка Плимптон 322, от 1800 г. до н.
Архимеда использовал метод исчерпывания для аппроксимации значения пи .
Цифры , используемые в рукописи Бахшали , датированных между BCE 2 - ого столетия и CE 2 века.

Историю математики можно рассматривать как постоянно увеличивающуюся серию абстракций . Первая абстракция, которая разделяется многими животными, было , вероятно , что из чисел: осознание того, что коллекция из двух яблок и коллекция из двух апельсинов (например) имеют нечто общее, а именно количество их членов.

Как видно из подсчетов , найденных на кости, в дополнение к признанию , как рассчитывать физические объекты, доисторические народы могут также признали , как считать абстрактные величины, как время - дни, сезоны, годы.

Данные для более сложной математики не появляется примерно до 3000  г. до н.э. , когда вавилоняне и египтяне начали использовать арифметическую , алгебру и геометрию для налогообложения и других финансовых расчетов, для строительства и строительства, а также для астрономии . Наиболее древние математические тексты из Месопотамии и Египта являются от 2000-1800 до н. Многие ранние тексты упоминают о пифагорейских троек и т.д., путем умозаключений, то теорема Пифагора , как представляется, наиболее древний и распространенный математическое развитие после основной арифметики и геометрии. Именно в вавилонской математике , что элементарная арифметика ( сложение , вычитание , умножение и деление ) впервые появляются в археологических данных. Вавилоняне также обладали системой места соотношения цены и качества , и использовали шестидесятеричную систему счисления, до сих пор используется сегодня для измерения углов и времени.

Начиная с 6 - го до н.э. века с пифагорейцами , что древние греки начали систематическое изучение математики как предмет в своем собственном праве с греческой математикой . Примерно в 300 г. до н.э., Евклид ввел аксиоматический метод до сих пор используется в математике сегодня, состоящий из определения, аксиомы, теоремы и доказательства. Его учебник Элементы широко считается самым успешным и влиятельным учебником всех времен. Величайшим математиком древности часто проводятся , чтобы быть Архимеда (ок. 287-212 до н.э.) из Сиракуз . Он разработал формулы для вычисления площади поверхности и объема твердых тел вращения и использовал метод исчерпывания для расчета площади под дугой параболы с суммированием бесконечной серии , таким образом , не слишком отличающемся от современного исчислении. Другие заметные достижения греческой математики являются конические сечения ( Аполлоний Перга , третий век до н.э.), тригонометрии ( Гиппарх Никейский (второй век до н.э.), и начала алгебры ( Диофант , третий век н.э.).

Индо-арабская система счисления и правила использования своих операций, используемые во всем мире сегодня, эволюционировали в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы в западном мире по исламской математике . Другие заметные события индийской математики включают современное определение синуса и косинус , и раннюю форму бесконечного ряда .

Страница из Аль-Хорезми Алгебра

Во время Золотого века ислама , особенно во время 9 - го и 10 - го веков, математики видели многое важных новшества здания на греческой математике. Наиболее заметное достижение исламской математики является развитие алгебры . Другие заметные достижения исламского периода достижения в области сферической тригонометрии и добавления десятичной точки в арабской системе счисления. Многие известные математики этого периода были персидские, такие как Аль-Khwarismi , Омар Хайям и Шараф ад-Дин ат-Туси .

В начале современного периода , математика стала развиваться ускоренными темпами , в Западной Европе . Развитие исчисления Ньютоном и Лейбницем в 17 веке революцию математике. Леонард Эйлер был самыми известным математиком 18 - го века, способствуя многочисленные теоремы и открытия. Может быть, прежде всего математик 19 века был немецкий математик Карл Фридрих Гаусс , который сделал большой вклад в таких областях, как алгебра , анализ , дифференциальной геометрии , теории матриц , теории чисел и статистики . В начале 20 - го века, Курт Гедель трансформируется математика, опубликовав его неполноту теоремы , которые показывают , что любая аксиоматическая система , которая соответствует будет содержать недоказуемые предложения.

Математика с тех пор значительно расширилась, и было плодотворное взаимодействие между математикой и наукой, на благо обоих. Математические открытия продолжают быть сделано сегодня. По словам Михаила Б. Севрюк, в выпуске января 2006 Бюллетене Американского математического общества «Количество статей и книг , включенных в Mathematical Reviews базу данных начиная с 1940 (первый год работы MR) в настоящее время более 1,9 миллион, и более 75 тысяч наименований добавляются в базу данных каждый год. подавляющее большинство работ в этом океане содержат новые математические теоремы и их доказательства «.

Этимология

Слово математика происходит от древнегреческого μάθημα ( máthēma ), что означает «то , что стало известно», «то , что один получает знать», а значит , и «исследование» и «наука». Слово «математика» пришло , чтобы иметь более узкое и техническое значение «математическое исследование» даже в античные времена. Его прилагательное μαθηματικός ( mathēmatikós ), что означает «отношение к обучению» или «прилежное», который также в дальнейшем стал означать «математическим». В частности, μαθηματικὴ τέχνη ( mathēmatikḗ технэ ), Latin : АРС Mathematica , означало "математическое искусство".

Кроме того , одна из двух главных школ мысли в пифагореизма был известен как mathēmatikoi (μαθηματικοί) -Какой в то время означало «учителей» , а не «математики» в современном смысле этого слова.

На латыни, и на английском языке примерно до 1700, термин математики чаще всего означало «астрология» (или иногда «астрономия») , а не «математики»; смысл постепенно менялся его нынешнему приблизительно от 1500 до 1800. Это привело к нескольким неверному переводу. Например, святой Августин предупреждение о том , что христиане должны остерегаться mathematici , то есть астрологи, иногда неправильно переводят как осуждение математиков.

Видимая форма множественного числа в английском языке, как французского форма множественного числа ля Mathématiques (и реже используются сингулярная производная ла Mathematique ), восходит к латинскому среднему роду множественного числа Mathematica ( Cicero ), на основе греческой множественного числа ТОЙ μαθηματικά ( та mathēmatiká ), используемый Аристотель (384-322 до н.э.), а это означает примерно «все вещи математическими»; хотя вполне вероятно , что английский язык заимствовал только прилагательное математического (Аl) и образовал существительных математику заново, по образцу физики и метафизики , которые унаследовали от греческого. В английском языке существительные математика берет глагол в единственном числе. Он часто сокращаются до математики или, в Северной Америке, математика .

Определения математики

Леонардо Фибоначчи , итальянский математик , который ввел индо-арабскую систему счисления , изобретенной между 1 - м и 4 - м веками индийскими математиками, в западном мире

Математика не существует общепринятого определения . Аристотель определяется математика как «наука о количестве», и это определение преобладало до 18 - го века. Галилео Галилей (1564-1642) сказал: «Вселенная не может быть прочитан , пока мы не выучили язык и стали знакомы с персонажами , в котором она написана. Она написана на языке математики, а буквы треугольники, круги и другие геометрические цифры, без которых означает, что по- человечески невозможно понять ни одного слова. без них, один бродит в темном лабиринте «. Гаусс (1777-1855) называют математику как «Королева наук». Бенджамин Пирс (1809-1880) назвал математику «наука , которая привлекает необходимые выводы». Давид Гильберт сказал математики: «Мы не говорим здесь о произвольности ни в каком смысле Математика не так, как в игру, задачи определяются произвольно установленных правил Скорее, это концептуальная система , обладающая внутренней необходимостью , которая может быть только так и.. означает не иначе «. Альберт Эйнштейн (1879-1955) заявил , что «насколько законы математики относятся к реальности, они не уверены, и, насколько они уверены, что они не относятся к реальности.»

Начиная с 19 - го века, когда изучение математики увеличилось в строгости и стали обращаться абстрактные темы , такие как теории групп и проективная геометрия , которые не имеют четкое отношения к количеству и измерению, математика и философы стали предлагать различные новые определения. Некоторые из этих определений подчеркивают дедуктивный характер большей части математики, некоторые подчеркивают его абстрактность, некоторые подчеркнуть определенные темы в рамках математики. Сегодня нет единого мнения по определению математики не преобладает, даже среди профессионалов. Существует даже не консенсус в отношении того , математика является искусством или наукой. Очень многие профессиональные математики не интересуют в определении математики, или рассмотреть его неопределимым. Некоторые просто говорят, «Математика это то , что делает математика.»

Три ведущие типы определения математики называют логицистом , интуиционист и формалист , каждая из которых отражает различные философские школы мысли. Все они имеют серьезные проблемы, никто не имеет широкого распространения, и никакого примирения не представляется возможным.

Раннее определение математики с точки зрения логики был Бенджамин Пирса «s„наука , которая привлекает необходимые выводы“(1870). В Principia Mathematica , Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед выдвинули философскую программу , известную как логицизм , и пытались доказать , что все математические понятия, утверждение и принципы могут быть определены и доказаны исключительно в терминах символической логики . Определение логициста математики Рассел «Все Математики Символическая логика» (1903).

Интуициониста определение, развивающееся из философии математика LEJ Брауэра , определить математику с определенными психическими явлениями. Примером определения интуиционистской является «Математика является умственная деятельность , которая заключается в проведении строит один за другим.» Особенностью интуиционизма является то , что он отвергает некоторые математические идеи считаются действительными в соответствии с другими определениями. В частности, в то время как другие философии математики позволяют объекты , которые могут быть доказаны существование , даже если они не могут быть построены, интуитивизм позволяет только математические объекты , которые можно реально построить.

Формалист определения определить математику с ее символами и правила для работы на них. Haskell Curry определяется математика просто как «наука формальных систем». Формальная система представляет собой набор символов, или маркеров , а также некоторые правила , рассказывающие , как маркеры могут быть объединены в формулах . В формальных системах, слово аксиома имеет особое значение, отличное от обычного значения «самоочевидной истины». В формальных системах, аксиома представляет собой комбинация маркеров, которая включена в данной формальной системе без необходимости быть получено с использованием правил системы.

Математика как наука

Гаусс , известный как принц математиков

Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс называют математику как «царица наук». Совсем недавно Маркус дю Сотой назвал математику «Королева науки ... основной движущей силой научных открытий». В оригинальной Latin Regina Scientiarum , а также на немецком языке Königin дер Wissenschaften , слово , соответствующее науке означает «область знаний», и это было первоначальное значение «науки» на английском языке, также; математика в этом смысле область знаний. Специализации ограничивает значение «науки» к естественной науке следует подъем бэконовской науки , который контрастирует «естественные науки» , чтобы схоластики , в Aristotelean методе из запрашивая из первых принципов . Роль эмпирических экспериментов и наблюдений можно пренебречь в математике, по сравнению с естественными науками , такими как биология , химия , или физики . Альберт Эйнштейн сказал , что «насколько законы математики относятся к реальности, они не уверены, и, насколько они уверены, что они не относятся к реальности.»

Многие философы считают , что математика не является экспериментально опровергнута , и , таким образом , не наука по определению Карла Поппера . Однако в 1930 - е годы теоремы о неполноте Геделя убедили многих математиков , что математика не может быть сведена к логике в одиночку, и Карл Поппер пришел к выводу , что «большинство математических теорий, как и физики и биологии , гипотетико - дедуктивный : чистая математика поэтому оказывается намного ближе к естественным наукам , чьи гипотезы домыслы, чем это казалось еще недавно «. Другие мыслители, в частности , Лакатос , применили версию фальсификационизма к математике себя.

Альтернативная точка зрения является то , что некоторые научные направления (такие как теоретическая физика ) являются математика с аксиом, которые призваны соответствовать действительности. Математика разделяет много общего с многими областями , в области физических наук, в частности в исследовании логических последствий допущений. Интуиция и экспериментирование также играют определенную роль в разработке догадок в обоих математике и (других) наук. Экспериментальная математика продолжает расти значение в математике, а также расчет и моделирование играют все возрастающую роль в обеих науках и математике.

Мнения математиков по этому вопросу различны. Многие математики считают , что называть их область науки, чтобы преуменьшить важность его эстетической стороны, и его история в традиционных семи свободных искусств ; другие считают , что игнорировать ее связь с науками, чтобы закрывать глаза на то , что интерфейс между математикой и ее применением в науке и технике загнал много разработки в области математики. Один из способов это различие позиций разыгрывается в философской дискуссии относительно того , является ли математика создана (как в искусстве) или обнаружили (как в науке). Распространено видеть университеты разделены на секции , которые включают в себя разделение науки и математики , с указанием того, что поля рассматривается как союз , но они не совпадают. На практике, математика , как правило , сгруппированы с учеными на грубом уровне , но разделена на более тонких уровнях. Это один из многих вопросов , рассматриваемых в философии математики .

Вдохновение, чистая и прикладная математика и эстетика

Isaac Newton
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Исаак Ньютон (слева) и Лейбниц (справа), разработчики исчисления бесконечно малых

Математика возникает из множества различных проблем. Сначала это были найдены в торговле, измерения земли , архитектуры и поздней астрономии ; сегодня, все науки предполагают проблемы , изучаемые математиками, и многие проблемы возникают в самой математике. Например, физик Ричард Фейнман изобрел путь интегральную формулировку из квантовой механики , используя комбинацию математических рассуждений и физического понимания и современной теории струн , еще развивающейся научной теории , которая пытается объединить четыре фундаментальные силы природы , продолжает вдохновлять новая математика.

Некоторые математики имеют значения только в области , которая вдохновила его, и применяются для решения новых проблем в этой области. Но часто МАТЕМАТИКИ вдохновлены одна области оказывается полезной во многих областях, и соединяет общий запас математических понятий. Различие часто между чистой математикой и прикладной математикой . Однако чистые темы математики часто оказываются иметь приложение, например , теорию чисел в криптографии . Этот замечательный факт, что даже «чистейшая» математика часто оказывается иметь практическое применение, является то , что Юджин Вигнер назвал « неразумной эффективностью математики ». Как и в большинстве областей исследования, взрыв знаний в век науки привело к специализации: в настоящее время сотни специализированных областей математики и последняя Mathematics Subject Classification работает до 46 страниц. Несколько областей прикладной математики слили с соответствующими традициями за пределами математики и стать дисциплинами в своем собственном праве, в том числе статистических данных, исследования операций и информатики .

Для тех , кто склонен математически, часто определенный эстетический аспект много математики. Многие математики говорят о элегантности математики, ее сущностных эстетике и внутренней красоте. Простота и общность оцениваются. Существует красота в простом и элегантном доказательстве , такие как Евклид доказательство о том , что существует бесконечно много простых чисел , и в шикарном численном методе , что ускоряет вычисления, такие как быстрое преобразования Фурье . GH Hardy в Апологии математика в выразил убеждение , что эти эстетические соображения, сам по себе, достаточно , чтобы оправдать изучение чистой математики. Он определил такие критерии, как значение, неожиданность, неотвратимость и экономики в качестве факторов, способствующих математической эстетику. Математики часто стремятся найти доказательство, которые особенно элегантно, доказательство из «Книги» Бог согласно Эрдёшу . Популярность рекреационного математики является еще одним признаком удовольствия многие находят в решении математических вопросов.

Нотация, язык и строгость

Леонард Эйлер , который создал и популяризировал большую часть математических обозначений , используемые сегодня

Большинство математических обозначений, используемых сегодня не был изобретен до 16 - го века. До этого, математика была написана прописью, ограничив математическое открытие. Эйлер (1707-1783) был ответственен за многие из обозначений, используемых сегодня. Современные обозначения делают математику намного проще для профессионала, но новички часто бывает сложно. По словам Барбары Oakley , это может быть связанно с тем , что математические идеи как более абстрактные и более зашифрованные , чем естественным языка. В отличие от естественного языка, где люди могут часто приравнивают слово (например, коровы ) с физическим объектом он соответствует, математические символы являются абстрактными, не хватает какого - либо физического аналога. Математические символы также более высоко зашифрованы , чем обычные слова, то есть один символ может кодировать несколько различных операции или идей.

Математический язык может быть трудно понять , для начинающих , потому что даже общие термины, такие как или и только , имеют более точное значение , чем они в повседневной речи, и другие термины , такие как открытая и поле относятся к конкретным математическим идеям, не охватывается их непрофессионалы значение. Математический язык также включает в себя множество технических терминов , такие как гомеоморфизм и интегрируемый , которые не имеют никакого значения за пределами математики. Кроме того, сокращенные фразы , такие как тогда и только тогда для « тогда и только тогда , когда » принадлежат математической жаргоне . Существует причина для специальных обозначений и технической лексики: математика требует большей точности , чем повседневная речь. Математики называют эту точность языка и логики , как «строгость».

Математическое доказательство принципиально вопрос строгости . Математики хотят , чтобы их теорема, следует из аксиом с помощью систематического рассуждения. Это позволяет избежать ошибочных « теоремы », на основе несовершенных интуиций, из которых много случаев , имевших место в истории вопроса. Уровень строгости ожидается в математике менялось с течением времени: греки ожидали подробные аргументы, но в то время Исаака Ньютона методы , используемые были менее строгими. Проблемы , присущие определения , используемых Ньютон приведут к всплеску тщательного анализа и формального доказательства в 19 веке. Непонимание строгости является причиной некоторых из распространенных заблуждений математики. Сегодня математики продолжают спорить между собой о компьютеризованных доказательствах . Так как большие вычисления трудно проверить, такие доказательства не могут быть достаточно строгими.

Аксиомы в традиционной мысли были «самоочевидные истины», но эта концепция является проблематичным. На формальном уровне, аксиома является просто строкой символов, которая имеет внутреннее значение только в контексте всех выводимых формул в аксиоматической системе . Это была цель программы Гильберта поставить всю математику на твердую аксиоматической основе, но в соответствии с теоремой Гёделя о неполноте любой (достаточно мощный) аксиомой система имеет неразрешимые формулы; и поэтому окончательная аксиоматизация математики невозможно. Тем не менее математики не часто представлял себе , чтобы быть (насколько его формальным содержанием) ничего , кроме теории множеств в некоторой аксиоматике, в том смысле , что каждое математическое утверждение или доказательство может быть посажено в формулы в рамках теории множеств.

Поля математики

Абак , простой инструмент счетного используется с древних времен

Математика может, вообще говоря, можно подразделить на изучение количества, структуры, пространства и изменения (т.е. арифметики , алгебры , геометрии и анализа ). В дополнении к этим основным проблемам, есть также подразделения , посвященные исследованию связей от сердца математики в другие областях: в логику , в теории множеств ( основы ), к эмпирическим математике различных наук ( прикладная математика ), а в последнее время к строгому исследованию неопределенности . Хотя в некоторых районах может показаться не связаны, то программа Langlands нашел связи между районами , ранее считалось не связаны, такие как группы Галуа , римановых поверхностей и теории чисел .

Основы и философии

Для того , чтобы прояснить основы математики , области математической логики и теории множеств были разработаны. Математическая логика включает в себя математическое исследование логики и применения формальной логики в других областях математики; теория множеств является ветвью математики , которая изучает наборы или коллекции объектов. Теория категорий , которая занимается абстрактно с математическими структурами и отношениями между ними, все еще находится в разработке. Фраза «кризис основ» описывает поиск строгой основы для математики , которые имели место примерно от 1900 до 1930. Некоторых разногласий по поводу основ математики продолжается до сегодняшнего дня. Кризис основ стимулируются рядом противоречия в то время, в том числе споров по поводу теории множеств Кантора и Брауэр-Гильберт противоречия .

Математическая логика связана с настройкой математики в строгой аксиоматической основе, а также изучении последствий таких рамок. Таким образом , он является домом для теоремы Гёделя о неполноте , которые (неформально) следует , что любая эффективная формальная система , которая содержит основные арифметические действия , если звук ( это означает , что все теоремы , которые могут быть доказаны истинны), обязательно неполная ( это означает , что есть истинные теоремы которые не могут быть доказаны в этой системе ). Независимо от конечного набора теоретико-числовых аксиом берутся в качестве основы, Гедель показал , как построить формальное заявление , что является истинным теоретико-числовым фактом, но не следует из этих аксиом. Таким образом, не формальная система не является полной аксиоматизация полной теории чисел. Современная логика делится на теорию рекурсии , теории моделей и теорию доказательств , и тесно связана с теоретической информатикой , а также к теории категорий . В контексте теории рекурсии, невозможность полной аксиоматики теории чисел может также быть формально продемонстрировано , как следствие теоремы MRDP .

Теоретическая информатика включает в себя теорию вычислимости , теорию сложности вычислений и теорию информации . Теория вычислимости рассматривает ограничения различных теоретических моделей компьютера, в том числе наиболее известной модели - машины Тьюринга . Теория сложности является изучение сговорчивости с помощью компьютера; некоторые проблемы, хотя теоретически разрешима с помощью компьютера, так дорого с точки зрения времени и пространства, их решения, скорее всего, останется практически невыполнимым, даже с быстрым продвижением компьютерного оборудования. Известная проблема является « P = NP ? » Проблема, одна из проблем премии тысячелетия . Наконец, теория информации связана с количеством данных , которые могут храниться на данную среду, и , следовательно , имеет дело с такими понятиями, как сжатие и энтропия .

Venn A intersect B.svg Commutative diagram for morphism.svg DFAexample.svg
Математическая логика теория множеств теория категорий Теория вычислений

Чистая математика

Количество

Исследование количества начинается с числа, первые знакомые натуральных чисел и целых чисел ( «целых чисел») и арифметические операции над ними, которые характеризуются в арифметике . Более глубокие свойства целых чисел изучаются в теории чисел , из которых приходят такие популярные результаты , как теоремы Ферма . Близнец премьер - гипотеза и гипотеза Гольдбаха две нерешенные проблемы в теории чисел.

Поскольку система числа дальнейшего развития, целые числа признаны в качестве подмножества из рациональных чисел ( « дробь »). Это, в свою очередь, содержится в пределах действительных чисел , которые используются для представления непрерывных величин. Действительные числа обобщаются на комплексные числа . Это первые шаги иерархии чисел , которая продолжается включать кватернионы и Октонионы . Рассмотрение натуральных чисел также приводит к трансфинитам , которые формализуют понятие « бесконечность ». Согласно основной теореме алгебры все решения уравнений с одной неизвестной с комплексными коэффициентами являются комплексными числами, независимо от степени. Другая область исследования является размером множеств, который описывается с кардинальными числами . К ним относятся число алеф , которые позволяют правомерное сравнение размеров бесконечно больших множеств.

Натуральные числа Целые Рациональное число Вещественные числа Сложные числа

Состав

Многие математические объекты, такие как наборы чисел и функций , проявляют внутреннюю структуру , как следствие операций или отношений , которые определены на множестве. Математика затем изучает свойства тех множеств , которые могут быть выражены в терминах этой структуры; например , теории чисел изучает свойства множества целых чисел , которые могут быть выражены в терминах арифметических операций. Кроме того, часто бывает , что различные такие структурированные наборы (или структура ) обладают сходными свойствами, что делает возможным, еще на стадии абстракции , в государственные аксиом для класса структур, а затем изучить сразу весь класс структур , удовлетворяющим эти аксиомы. Таким образом, можно изучать группы , кольца , поля и другие абстрактные системы; вместе такие исследования (для структур , определенных алгебраических операций) составляют область абстрактной алгебры .

К большой общности, абстрактная алгебра часто может быть применена к , казалось бы , не связанные между собой проблемы; например , ряд древних проблем , связанных с циркулем и линейкой конструкций были окончательно решен с помощью теории Галуа , которая включает в себя теорию поля и теорию групп. Другой примером является алгебраической теорией линейной алгебры , которая является общим исследованием векторных пространств , элементы которых называются векторы имеют как количество и направление, и может быть использована для моделирования (отношений между) точками в пространстве. Это один из примеров феномена , что первоначально несвязанные участки геометрии и алгебры имеют очень сильные взаимодействия в современной математике. Комбинаторика изучает способы перечисления количества объектов , которые соответствуют данной структуре.

Elliptic curve simple.svg Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg Braid-modular-group-cover.svg
Комбинаторика теория чисел теория групп теория графов теория Заказать Алгебра

Космос

Изучение пространства происходит с геометрией  - в частности, евклидовой геометрии , которая сочетает в себе пространство и номер, и включает в себя хорошо известную теорему Пифагора . Тригонометрия это раздел математики , который имеет дело с отношениями между сторонами и углами треугольников и с тригонометрическими функциями. Современное исследование пространства обобщает эти идеи включает в себя многомерные геометрии, неевклидовы геометрии (которые играют центральную роль в общей теории относительности ) и топологию . Количество и пространство и играют определенную роль в аналитической геометрии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии . Выпуклые и дискретная геометрия были разработаны для решения задач теории чисел и функционального анализа , но теперь преследуются с прицелом на применение в оптимизации и вычислительной техники . В дифференциальной геометрии является понятие расслоений и исчисления на многообразиях , в частности, вектор и тензорный анализе . В алгебраической геометрии является описанием геометрических объектов как множества решений полиномиальных уравнений, сочетающим в себе понятие количества и пространства, а также изучение топологических групп , которые сочетают в себе структуру и пространство. Группы Ли используются для изучения пространства, структуры и изменений. Топология во всех ее многочисленных проявлениях , возможно, был самый большой рост области математики двадцатого века; она включает в себя точки множественной топологии , теоретико-множественной топологии , алгебраической топологии и дифференциальной топологии . В частности, примеры современной топологии являются теория метризуемости , аксиома теории множеств , теория гомотопий , и теория Морса . Топология также включает в себя в настоящее время решена гипотеза Пуанкаре , и до сих пор нерешенных областей гипотезы Ходжа . Другие результаты в геометрии и топологии, в том числе теоремы четыре цвета и Kepler гипотезы доказаны только с помощью компьютеров.

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sinusvåg 400px.png Hyperbolic triangle.svg Torus.svg Mandel zoom 07 satellite.jpg Measure illustration (Vector).svg
Геометрия тригонометрия Дифференциальная геометрия Топология Фрактальная геометрия теория меры

+ Изменить

Понимание и описание изменений является общей темой в области естественных наук , а также исчисление было разработано в качестве мощного инструмента для изучения его. Функции здесь возникают, как центральное понятие , описывающее изменяющуюся величину. Строгое исследование вещественных чисел и функций вещественной переменной называется реальным анализом , с комплексным анализом эквивалентного поля для комплексных чисел . Функциональный анализ фокусирует внимание на (обычно бесконечномерным) пространств функций. Одна из многих приложений функционального анализа является квантовой механикой . Многие проблемы , естественно приводят к отношениям между количеством и скоростью его изменения, и они изучаются в качестве дифференциальных уравнений . Многие явления в природе могут быть описаны с помощью динамических систем ; теория хаоса дает точные способы , в которых многие из этих систем проявляют непредсказуемое пока еще детерминированное поведение.

Integral as region under curve.svg Vector field.svg Navier Stokes Laminar.svg Limitcycle.svg Lorenz attractor.svg Conformal grid after Möbius transformation.svg
Исчисление Вектор исчисление Дифференциальные уравнения Динамические системы Теория хаоса сложный анализ

Прикладная математика

Прикладная математика относится сама с математическими методами, которые обычно используются в области науки, техники, бизнеса и промышленности. Таким образом, «прикладная математика» является математической наукой со специальными знаниями. Термин прикладной математики описывает также профессиональная специальность , в которой математики работают на практических задачах; как профессия ориентирована на практические проблемы, прикладная математика фокусируется на «разработки, исследования и использования математических моделей» в области науки, техники и других областях математической практики.

В прошлом практические приложения мотивировали развитие математических теорий, которые затем стали предметом исследования в чистой математике, где математика разрабатывается в первую очередь для своего собственного блага. Таким образом, активность прикладной математики жизненно связана с исследованиями в области чистой математики .

Статистика и другие науки решения

Прикладная математика имеет значительное перекрытие с дисциплиной статистики, чья теория сформулирована математически, особенно с теорией вероятностей . Статистики (работа в рамках исследовательского проекта) «создают данные , которые имеют смысл» с случайной выборкой и с рандомизированными экспериментами ; дизайн статистической выборки или эксперимента указывает анализ данных (до того , как данные будут доступны). При пересматривают данные из экспериментов и образцов или при анализе данных из наблюдательных исследований , статистики «иметь смысл данных» с использованием искусства моделирования и теорий логического вывода  - с выбором модели и оценкой ; расчетные модели и косвенные прогнозы должны быть проверены на новых данных .

Статистическая теория исследования проблемы решения , такие как сведение к минимуму риска ( ожидаемый убыток ) статистического действия, например, с помощью процедуры , например, оценки параметров , проверки гипотез и выбора лучших . В этих традиционных областях математической статистики , проблема статистического решения формулируется посредством минимизации целевой функции , как ожидаемые потери или стоимость , в соответствии с конкретными ограничениями: Например, проектирование обследования часто включает в себя минимизации стоимости оценки популяции означает , с учетом уровень доверия. Из - за его использование оптимизации , математическая теория статистики акций проблем с другими науками решения , такие как исследования операций , теории управления и математической экономики .

Вычислительная математика

Вычислительная математика предлагает и изучают методы решения математических задач , которые обычно слишком велики для человека численного потенциала. Численный анализ методы исследования для задач в области анализа с использованием функционального анализа и теории приближений ; Численный анализ включает в себя изучение приближения и дискретизации широкого плана с особой заботой ошибок округления . Численный анализ и, в более широком смысле, научные вычисления также изучают неаналитические темы математической науки, особенно алгоритмической матрицы и теории графов . Другие области вычислительной математики включают компьютерную алгебру и символьные вычисления .

Arbitrary-gametree-solved.svg BernoullisLawDerivationDiagram.svg Composite trapezoidal rule illustration small.svg Maximum boxed.png Two red dice 01.svg Oldfaithful3.png Caesar3.svg
Теория игры Динамика жидкостей Числовой анализ оптимизация Теория вероятности Статистика криптография
Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png Gravitation space source.svg CH4-structure.svg Signal transduction pathways.svg GDP PPP Per Capita IMF 2008.svg Simple feedback control loop2.svg
Математическое финансирование Математическая физика Математическая химия Математические биологии Математическая экономика теория управления

Математические награды

Пожалуй, самой престижной награды в области математики является Fields Medal , созданная в 1936 году и присуждается каждые четыре года ( за исключением вокруг Второй мировой войны) до целых четырех человек. Медаль Поля часто считается математическим эквивалентом Нобелевской премии.

Премии Вольфа по математике , учрежденная в 1978 году, признает за выслугу, а другой крупной международной премии, Абель премии , была учреждена в 2003 году Черна медаль была введена в 2010 году признать пожизненную достижение. Эти награды присуждаются в знак признания того или иного органа работы, которая может быть инновационным, или обеспечить решение выдающейся задачи в установленной области.

Известный список из 23 открытых проблем , называемых « проблемы Гильберта », был составлен в 1900 году немецкий математик Давид Гильберт . Этот список достиг больших знаменитость среди математиков, и по крайней мере девять из проблем уже решены. Новый список из семи важных проблем, название которого « Millennium Prize проблема », был опубликован в 2000 году только один из них, гипотеза Римана , дублирует один из проблем Гильберта. Решение любой из этих проблем несет вознаграждение в размере 1 миллиона долларов .

Смотрите также

Заметки

Сноски

Рекомендации

дальнейшее чтение

  • Бенсон, Дональд К. (2000). Момент Доказательство: Математическое Epiphanies . Oxford University Press. ISBN  978-0-19-513919-8 .
  • Дэвис, Филип Дж .; Херш, Рувим (1999). Математический Опыт (переиздание ред.). Mariner Книги. ISBN  978-0-395-92968-1 .
  • Гуллберг, Ян (1997). Математика: От рождения чисел (1 - е изд.). WW Нортон & Company. ISBN  978-0-393-04002-9 .
  • Хазевинкель, Михель, изд. (2000). Энциклопедия математики . Kluwer Academic Publishers. - Переведенный и расширенный вариант советской математики энциклопедии, в десяти томах. Кроме того, в мягкой обложке и на компакт-диске, и онлайн .
  • Журден, Филипп EB (2003). «Природа математики». В Джеймс Р. Ньюман. Мир математики . Dover Publications. ISBN  978-0-486-43268-7 .
  • Maier, Annaliese (1982). Стивен Сарджент, под ред. На пороге точной науки: Избранные труды по Annaliese Майера на Позднесредневековой натурфилософии . Филадельфия: Университет Пенсильвании Press.

внешняя ссылка

Wikiversity
В Викиверситете , вы можете узнать
больше и учить других о математике в школе математики .