Точка (геометрия) - Point (geometry)

В классической евклидовой геометрии , А точка является примитивным понятием , что модели точного расположения в пространстве и не имеет длину, ширину или толщины. В современной математике , А точка относится в более общем смысле к элементу некоторого множества называется пространством .

Быть примитивным понятием означает, что точка не может быть определена в терминах ранее определенных объектов. То есть точка определяется только некоторыми свойствами, называемыми аксиомами , которым она должна удовлетворять; например, «есть ровно одна линия, которая проходит через две разные точки» .

Точки в евклидовой геометрии

Конечное множество точек в двумерном евклидовом пространстве .

Точки, рассматриваемые в рамках евклидовой геометрии , являются одними из самых фундаментальных объектов. Евклид первоначально определил точку как «то, что не имеет части». В двумерном евклидовом пространстве точка представлена упорядоченной парой ( x ,  y ) чисел, где первое число условно представляет горизонталь и часто обозначается x , а второе число условно представляет вертикаль и часто обозначается пользователя y . Эта идея легко обобщается на трехмерное евклидово пространство, где точка представлена ​​упорядоченным триплетом ( x ,  y ,  z ) с дополнительным третьим числом, представляющим глубину и часто обозначаемым z . Дальнейшие обобщения представлены упорядоченным набором из n терминов ( a 1 ,  a 2 ,…,  a n ), где n - размерность пространства, в котором расположена точка.

Многие конструкции в евклидовой геометрии состоят из бесконечного набора точек, соответствующих определенным аксиомам. Обычно это представлено набором точек; В качестве примера, линия представляет собой бесконечное множество точек вида , где с 1 по с п и д является постоянными и п есть размерность пространства. Существуют аналогичные конструкции, которые определяют плоскость , линейный сегмент и другие связанные понятия. Отрезок, состоящий только из одной точки, называется вырожденным отрезком.

В дополнение к определению точек и построений, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею о точках, что любые две точки могут быть соединены прямой линией. Это легко подтверждается современными расширениями евклидовой геометрии и имело длительные последствия при ее введении, позволяя построить почти все геометрические концепции, известные в то время. Однако постулирование точек Евклида не было ни полным, ни окончательным, и он иногда предполагал факты о точках, которые не вытекали непосредственно из его аксиом, такие как порядок точек на прямой или существование конкретных точек. Несмотря на это, современные расширения системы служат для устранения этих предположений.

Размер точки

В математике существует несколько неэквивалентных определений размерности . Во всех общих определениях точка 0-мерна.

Размерность векторного пространства

Размерность векторного пространства - это максимальный размер линейно независимого подмножества. В векторном пространстве, состоящем из одной точки (которая должна быть нулевым вектором 0 ), нет линейно независимого подмножества. Нулевой вектор не является самим по себе линейно независим, потому что существует нетривиальная линейная комбинация делает его нуль: .

Топологическое измерение

Топологическая размерность топологического пространства определяется как минимальное значение п , таким образом, что каждое конечное открытое покрытие из допускает конечное открытое покрытие из которого уточняет , в котором ни одна точка не входит в более чем п + 1 элементов. Если такого минимального n не существует, пространство называется бесконечной покрывающей размерностью.

Точка нульмерна по отношению к измерению покрытия, потому что каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из одного открытого множества.

Хаусдорфово измерение

Пусть X - метрическое пространство . Если SX и d ∈ [0, ∞), то д - мерное содержание Хаусдорфовы из S является нижней гранью множества чисел δ ≥ 0, что есть некоторый (индексируется) сбор шаров , покрывающих S с р я > 0 для каждого iI , удовлетворяющего .

Хаусдорфова из X определяется

Точка имеет размерность Хаусдорфа 0, потому что ее можно покрыть одним шаром сколь угодно малого радиуса.

Геометрия без точек

Хотя понятие точки обычно считается фундаментальным в основной геометрии и топологии, есть некоторые системы, которые отказываются от него, например, некоммутативная геометрия и бессмысленная топология . «Бессмысленное» или «бесточечное» пространство определяется не как множество , а через некоторую структуру ( алгебраическую или логическую соответственно), которая выглядит как хорошо известное функциональное пространство на множестве: алгебра непрерывных функций или алгебра множеств соответственно . Точнее, такие структуры обобщают хорошо известные пространства функций таким образом, что операция «принять значение в этой точке» не может быть определена. Дальнейшая традиция начинается с некоторых книг А. Н. Уайтхеда, в которых понятие региона рассматривается как примитивное вместе с понятием включения или соединения .

Точечные массы и дельта-функция Дирака

Часто в физике и математике полезно рассматривать точку как имеющую ненулевую массу или заряд (это особенно часто встречается в классическом электромагнетизме , где электроны идеализируются как точки с ненулевым зарядом). Дельта - функции Дирака , или δ функции , представляет собой (неформально) а обобщенная функция на вещественной числовой прямой , которая равна нулю всюду , кроме нуля, с интегралом одного над всей прямой. Дельта-функция иногда рассматривается как бесконечно высокий, бесконечно тонкий всплеск в начале координат с общей площадью, равной единице под иглой, и физически представляет собой идеализированную точечную массу или точечный заряд . Он был введен физиком-теоретиком Полем Дираком . В контексте обработки сигналов его часто называют символом единичного импульса (или функцией). Его дискретным аналогом является дельта- функция Кронекера, которая обычно определяется в конечной области и принимает значения 0 и 1.

Смотрите также

Рекомендации

  • Кларк, Боуман, 1985, " Отдельные лица и точки ", Нотр-Дам, Журнал формальной логики, 26 : 61–75.
  • Де Лагуна, Т., 1922, «Точка, линия и поверхность как множества твердых тел», The Journal of Philosophy 19 : 449–61.
  • Герла, Г., 1995, " Бессмысленная геометрия " в Бюкенхауте, Ф., Кантор, У. ред., Справочник по геометрии падения: здания и фундаменты . Северная Голландия: 1015–31.
  • Уайтхед, А. Н. , 1919. Исследование основ естественного знания . Cambridge Univ. Нажмите. 2-е изд., 1925.
  • Уайтхед, А. Н., 1920. Концепция природы . Cambridge Univ. Нажмите. 2004 г. в мягкой обложке, Книги Прометея. Лекции Тарнера 1919 года, прочитанные в Тринити-колледже .
  • Уайтхед, АН, 1979 (1929). Процесс и реальность . Свободная пресса.

Внешние ссылки