Правильный многогранник - Regular polyhedron

Правильный многогранник является многогранником которого группа симметрии действует транзитивно на своих флагах . Правильный многогранник очень симметричен, поскольку все элементы транзитивны по ребрам , вершинам и граням . В классическом контексте используется много разных эквивалентных определений; обычным является то, что грани представляют собой конгруэнтные правильные многоугольники, которые собираются одинаковым образом вокруг каждой вершины .

Правильный многогранник идентифицируется его символом Шлефли формы { n , m }, где n - количество сторон каждой грани, а m - количество граней, пересекающихся в каждой вершине. Имеется 5 конечных выпуклых правильных многогранников ( Платоновы тела ) и четыре правильных звездных многогранника ( многогранники Кеплера – Пуансо ), что в целом составляет девять правильных многогранников. Кроме того, есть пять правильных соединений правильных многогранников.

Правильные многогранники

Есть пять выпуклых правильных многогранников, известных как тела Платона , четыре правильных звездных многогранника , многогранники Кеплера – Пуансо и пять правильных соединений правильных многогранников:

Платоновы тела

Тетраэдр {3, 3}	Куб {4, 3}	Октаэдр {3, 4}	Додекаэдр {5, 3}	Икосаэдр {3, 5}
χ = 2	χ = 2	χ = 2	χ = 2	χ = 2

Многогранники Кеплера – Пуансо

Малый звездчатый додекаэдр {5/2, 5}	Большой додекаэдр {5, 5/2}	Большой звездчатый додекаэдр {5/2, 3}	Большой икосаэдр {3, 5/2}
χ = −6	χ = −6	χ = 2	χ = 2

Обычные соединения

Два тетраэдра 2 {3, 3}	Пять тетраэдров 5 {3, 3}	Десять тетраэдров 10 {3, 3}	Пять кубиков 5 {4, 3}	Пять октаэдров 5 {3, 4}
χ = 4	χ = 10	χ = 0	χ = −10	χ = 10

Характеристики

Эквивалентные свойства

Свойство иметь подобное расположение граней вокруг каждой вершины можно заменить любым из следующих эквивалентных условий в определении:

• Все вершины выпуклого правильного многогранника лежат на сфере .
• Все двугранные углы многогранника равны
• Все фигуры вершин многогранника - правильные многоугольники .
• Все телесные углы многогранника равны.

Концентрические сферы

У выпуклого правильного многогранника есть все три связанные сферы (у других многогранников нет хотя бы одного вида), которые имеют общий центр:

• Insphere , касательное ко всем лицам.
• Межсфера или средняя сфера , касательная ко всем краям.
• Circumsphere , касательные ко всем вершинам.

Симметрия

Правильные многогранники - самые симметричные из всех многогранников. Они находятся всего в трех группах симметрии , названных в честь Платоновых тел:

• Тетраэдр
• Октаэдрический (или кубический)
• Икосаэдр (или додекаэдр)

Любые формы с икосаэдрической или октаэдрической симметрией также будут иметь тетраэдрическую симметрию.

Эйлерова характеристика

Пять Платоновых тел имеют эйлерову характеристику, равную 2. Это просто отражает то, что поверхность является топологической двумерной сферой, и то же самое верно, например, для любого многогранника, имеющего звездообразную форму относительно некоторой внутренней точки.

Внутренние точки

Сумма расстояний от любой точки внутри правильного многогранника до сторон не зависит от положения точки (это продолжение теоремы Вивиани ). Однако обратное неверно даже для тетраэдров .

Двойственность правильных многогранников

В двойственной паре многогранников вершины одного многогранника соответствуют граням другого, и наоборот.

Правильные многогранники показывают эту двойственность следующим образом:

• Тетраэдр самодвойственна, т.е. пар с самим собой.
• Куб и октаэдр двойственны друг другу.
• Икосаэдр и додекаэдр двойственны друг другу.
• Небольшой звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр двойственны друг другу.
• Большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр двойственны друг другу.

Символ Шлефли двойного - это просто оригинал, записанный в обратном порядке, например, двойственное к {5, 3} - это {3, 5}.

История

Предыстория

Камни, вырезанные в форме, напоминающей группы сфер или шишек, были найдены в Шотландии, и им может быть около 4000 лет. Некоторые из этих камней демонстрируют не только симметрии пяти Платоновых тел, но и некоторые из отношений дуальности между ними (то есть, центры граней куба дают вершины октаэдра). Примеры этих камней на выставке в John Evans зале музея Ашмола в Оксфордском университете . Почему были созданы эти предметы или как их создатели черпали вдохновение для них, остается загадкой. Есть сомнения относительно математической интерпретации этих объектов, поскольку многие из них имеют неплатонические формы, и, возможно, только один из них оказался истинным икосаэдром, в отличие от повторной интерпретации дуального икосаэдра, додекаэдра.

Также возможно, что этруски предшествовали грекам в их понимании по крайней мере некоторых из правильных многогранников, о чем свидетельствует открытие около Падуи (в Северной Италии ) в конце 19 века додекаэдра, сделанного из мыльного камня и датируемого более поздним временем. более 2500 лет (Lindemann, 1987).

Греки

Самые ранние известные письменные упоминания о правильных выпуклых телах относятся к классической Греции. Когда все эти твердые тела были открыты и кем неизвестно, но Теэтет ( афинянин ) был первым, кто дал математическое описание всех пяти (Ван дер Варден, 1954), (Евклид, книга XIII). Коксетер (Косетер, 1948, раздел 1.9) кредиты Платон (400 до н.э.) с сделав модель из них, а также упоминает , что один из более ранних пифагорейцев , Тимей из Locri , использовал все пять в переписке между многогранниками и природой из Вселенная, как она тогда воспринималась - это соответствие зафиксировано в диалоге Платона « Тимей» . Ссылка Евклида на Платона привела к их обычному описанию как платоновых тел .

Греческое определение можно охарактеризовать следующим образом:

• Правильный многоугольник - это ( выпуклая ) плоская фигура, у которой все края равны и все углы равны.
• Правильный многогранник - это сплошная (выпуклая) фигура, все грани которой являются конгруэнтными правильными многоугольниками, причем одинаковые числа расположены одинаково вокруг каждой вершины.

Это определение исключает, например, квадратную пирамиду (поскольку, хотя все грани правильные, квадратное основание не совпадает с треугольными сторонами), или форму, образованную соединением двух тетраэдров вместе (поскольку, хотя все грани этой треугольной бипирамиды были бы равносторонними треугольниками, то есть конгруэнтными и правильными, некоторые вершины имеют 3 треугольника, а другие 4).

Эта концепция правильного многогранника останется неизменной почти 2000 лет.

Правильные звездные многогранники

Правильные звездные многоугольники, такие как пентаграмма (звездный пятиугольник), также были известны древним грекам - пентаграмма использовалась пифагорейцами в качестве своего секретного знака, но они не использовали их для построения многогранников. Лишь в начале 17 века Иоганн Кеплер понял, что пентаграммы можно использовать как грани правильных звездных многогранников . Некоторые из этих звездных многогранников могли быть открыты другими до времени Кеплера, но Кеплер был первым, кто осознал, что они могут считаться «правильными», если убрать ограничение, что правильные многогранники будут выпуклыми. Двести лет спустя Луи Пуансо также разрешил фигуру звездных вершин (обходы вокруг каждого угла), что позволило ему открыть два новых правильных звездных многогранника, а также заново открыть Кеплера. Эти четыре - единственные правильные звездные многогранники, получившие название многогранников Кеплера – Пуансо . Лишь в середине XIX века, через несколько десятилетий после публикации Пуансо, Кэли дал им их современные английские названия: малый звездчатый додекаэдр (Кеплера) и большой звездчатый додекаэдр , и (Пуансо) большой икосаэдр и большой додекаэдр .

Многогранники Кеплера – Пуансо могут быть построены из платоновых тел с помощью процесса, называемого звездчатостью . Обратный процесс звездчатости называется фасетированием (или фасетированием). Каждая звёздчатая форма одного многогранника двойственна или обратна некоторой грани двойного многогранника. Правильные звездчатые многогранники также можно получить, ограняя Платоновы тела. Впервые это сделал Бертран примерно в то же время, когда Кейли дал им имя.

К концу XIX века было девять правильных многогранников - пять выпуклых и четыре звездных.

Правильные многогранники в природе

Каждое из Платоновых тел встречается в природе в той или иной форме.

Тетраэдр, куб и октаэдр встречаются в виде кристаллов . Этим ни в коем случае не исчерпывается количество возможных форм кристаллов (Smith, 1982, стр. 212), которых насчитывается 48. Среди них нет ни правильного икосаэдра, ни правильного додекаэдра , но кристаллы могут иметь форму пиритоэдра , что является визуально почти не отличить от правильного додекаэдра. Истинно икосаэдрические кристаллы могут быть образованы квазикристаллическими материалами, которые очень редки в природе, но могут быть получены в лаборатории.

Более недавним открытием является ряд новых типов молекул углерода , известных как фуллерены (см. Curl, 1991). Хотя C ₆₀ , наиболее легко производимый фуллерен, выглядит более или менее сферическим, предполагается , что некоторые из более крупных разновидностей (такие как C ₂₄₀ , C ₄₈₀ и C ₉₆₀ ) принимают форму слегка закругленных икосаэдров размером в несколько нанометров.

Многогранники появляются и в биологии. В начале 20 века Эрнст Геккель описал ряд видов радиолярий , скелеты некоторых из которых имеют форму различных правильных многогранников (Haeckel, 1904). Примеры включают Circoporus octahedrus , Circogonia icosahedra , Lithocubus geometryus и Circorrhegma dodecahedra ; формы этих существ обозначены их именами. Внешние белковые оболочки многих вирусов образуют правильные многогранники. Например, ВИЧ заключен в правильный икосаэдр.

В древности пифагорейцы считали, что правильные многогранники гармонируют с орбитами планет . В 17 веке Иоганн Кеплер изучал данные о движении планет, составленные Тихо Браге, и в течение десятилетия пытался установить пифагорейский идеал, находя соответствие между размерами многогранников и размерами орбит планет. Его поиски не достигли своей первоначальной цели, но из этого исследования явились открытия Кеплера тел Кеплера как правильных многогранников, осознание того, что орбиты планет не являются кругами, и законы движения планет, которыми он теперь известен. Во времена Кеплера было известно только пять планет (не считая Земли), что точно соответствовало количеству Платоновых тел. Работа Кеплера и открытие с тех пор Урана и Нептуна опровергли идею Пифагора.

Примерно в то же время, что и пифагорейцы, Платон описал теорию материи, в которой каждый из пяти элементов (земля, воздух, огонь, вода и дух) составлял крошечные копии одного из пяти обычных твердых тел. Материя была составлена ​​из смеси этих многогранников, причем каждая субстанция имела разные пропорции в смеси. Две тысячи лет спустя атомная теория Дальтона покажет, что эта идея верна, хотя и не связана напрямую с обычными твердыми телами.

Дальнейшие обобщения

В ХХ веке последовала череда обобщений идеи правильного многогранника, что привело к появлению нескольких новых классов.

Правильные косые апейроэдры

В первые десятилетия Кокстер и Петри разрешили "седловые" вершины с чередующимися гребнями и впадинами, что позволило им построить три бесконечные складчатые поверхности, которые они назвали правильными косыми многогранниками . Кокстер предложил модифицированный символ Шлефли {l, m | n} для этих фигур, где {l, m} подразумевает фигуру вершины , с m правильными l -угольниками вокруг вершины. В п определяет п -gonal отверстия . Их фигуры вершин представляют собой правильные косые многоугольники , вершины зигзагообразно расположены между двумя плоскостями.

Бесконечные правильные косые многогранники в 3-м пространстве (частично нарисованы)
{4,6 | 4}	{6,4 | 4}	{6,6 | 3}

Правильные косые многогранники

Конечные правильные косые многогранники существуют в 4-пространстве. Эти конечные правильные косые многогранники в 4-пространстве можно рассматривать как подмножество граней однородных 4-многогранников . У них плоские правильные многоугольные грани, но правильные косые многоугольные вершины .

Два двойственных решения связаны с 5-ячейками , два двойственных решения связаны с 24-ячейками , а бесконечный набор самодуальных дуопризм порождает правильные косые многогранники как {4, 4 | n}. В бесконечном пределе они приближаются к дуоцилиндру и выглядят как тор в своих стереографических проекциях в трехмерное пространство.

Конечные правильные косые многогранники в 4-пространстве

Ортогональные проекции плоскости Кокстера				Стереографическая проекция
А 4		П 4
{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}	{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}	{4, 4 | n}
30 {4} граней 60 ребер 20 вершин	20 {6} граней 60 ребер 30 вершин	288 {4} граней 576 ребер 144 вершины	144 {8} грани 576 ребер 288 вершин	n 2 {4} граней 2 n 2 ребер n 2 вершин

Правильные многогранники в неевклидовом и других пространствах

Исследования неевклидовых ( гиперболических и эллиптических ) и других пространств, таких как сложные пространства , открытые за предыдущее столетие, привели к открытию новых многогранников, таких как сложные многогранники, которые могли принимать только правильную геометрическую форму в этих пространствах.

Правильные многогранники в гиперболическом пространстве

В Н ³ гиперболического пространства , паракомпактные регулярные соты имеют евклидов МОЗАИЧНУЮ грани и фигуры вершин , которые действуют как конечные многогранники. Такие плитки имеют угловой дефект, который можно закрыть путем изгиба в ту или иную сторону. Если тайлинг правильно масштабирован, он закроется как асимптотический предел в единственной идеальной точке . Эти евклидовы мозаики вписаны в орисферу так же, как многогранники вписаны в сферу (которая содержит нулевые идеальные точки). Последовательность расширяется, когда гиперболические мозаики сами используются как грани некомпактных гиперболических мозаик, как в семиугольных мозаичных сотах {7,3,3}; они вписаны в эквидистантную поверхность (2- гиперцикл ), имеющую две идеальные точки.

Регулярные мозаики вещественной проективной плоскости

Другая группа правильных многогранников - мозаики вещественной проективной плоскости . К ним относятся полукуб , полуоктаэдр , полудодекаэдр и полуикосаэдр . Они являются (глобально) проективными многогранниками и являются проективными аналогами Платоновых тел . Тетраэдр не имеет проективного аналога, поскольку у него нет пар параллельных граней, которые можно идентифицировать, как у других четырех Платоновых тел.

Полукуб {4,3}

Гемиоктаэдр {3,4}

Полудодекаэдр {3,5}

Гемиикосаэдр {5,3}

Они возникают как двойные пары так же, как и исходные Платоновы тела. Все их эйлеровы характеристики равны 1.

Абстрактные правильные многогранники

К настоящему времени многогранники были прочно поняты как трехмерные примеры более общих многогранников в любом количестве измерений. Во второй половине столетия возникло развитие абстрактных алгебраических идей, таких как многогранная комбинаторика , кульминацией которых стала идея абстрактного многогранника как частично упорядоченного множества (poset) элементов. Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), его грани, ребра, вершины и нулевой многогранник или пустое множество. Эти абстрактные элементы могут быть отображены в обычном пространстве или реализованы в виде геометрических фигур. Некоторые абстрактные многогранники имеют правильную или точную реализацию, другие - нет. Флаг представляет собой связное множество элементов каждой размерности - для многогранника , который является телом, лицом, ребро грани, вершина края, а нуль многогранник. Абстрактный многогранник называется правильным, если его комбинаторные симметрии транзитивны на его флагах, т. Е. Что любой флаг может быть отображен на любой другой при симметрии многогранника. Абстрактные правильные многогранники остаются активной областью исследований.

Пять таких правильных абстрактных многогранников, которые не могут быть точно реализованы, были идентифицированы HSM Coxeter в его книге Regular Polytopes (1977) и снова JM Wills в его статье "Комбинаторно правильные многогранники индекса 2" (1987). Все пять имеют симметрию C ₂ × S _5, но могут быть реализованы только с половинной симметрией, то есть симметрией C ₂ × A ₅ или икосаэдрической симметрией. Все они топологически эквивалентны тороидам . Их конструкция путем размещения n граней вокруг каждой вершины может повторяться бесконечно долго как мозаики гиперболической плоскости . На диаграммах ниже изображения гиперболических мозаик имеют цвета, соответствующие цветам изображений многогранников.

Многогранник	Средний ромбический триаконтаэдр	Додекадодекаэдр	Медиальный триамбический икосаэдр	Дитригональный додекадодекаэдр	Выкапанный додекаэдр
Тип	Двойной {5,4} 6	{5,4} 6	Двойной из {5,6} 4	{5,6} 4	{6,6} 6
( v , e , f )	(24,60,30)	(30,60,24)	(24,60,20)	(20,60,24)	(20,60,20)
Фигура вершины	{5}, {5/2}	(5,5 / 2) 2	{5}, {5/2}	(5,5 / 3) 3
Лица	30 ромбов	12 пятиугольников 12 пентаграмм	20 шестиугольников	12 пятиугольников 12 пентаграмм	20 гексаграмм
Черепица	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

Двойной Петри

Petrie двойного правильного многогранника является регулярным отображением , вершина и ребра соответствуют вершинам и ребрам исходного многогранника, и чьих грани множество косых полигонов Петри .

Обычные лепестки

Имя	Петриальный тетраэдр	Петриальный куб	Петриальный октаэдр	Петриальный додекаэдр	Петриальный икосаэдр
Условное обозначение	{3,3} π	{4,3} π	{3,4} π	{5,3} π	{3,5} π
( v , e , f ), χ	(4,6,3), χ = 1	(8,12,4), χ = 0	(6,12,4), χ = −2	(20,30,6), χ = −4	(12,30,6), χ = −12
Лица	3 скошенных квадрата	4 косых шестиугольника		6 косых декагонов
Изображение
Анимация
Связанные цифры	{4,3} 3 = {4,3} / 2 = {4,3} (2,0)	{6,3} 3 = {6,3} (2,0)	{6,4} 3 = {6,4} (4,0)	{10,3} 5	{10,5} 3

Сферические многогранники

Обычные девять правильных многогранников также можно представить в виде сферических мозаик (мозаик сферы ):

Тетраэдр {3,3}

Куб {4,3}

Октаэдр {3,4}

Додекаэдр {5,3}

Икосаэдр {3,5}

Малый звездчатый додекаэдр {5 / 2,5}

Большой додекаэдр {5,5 / 2}

Большой звездчатый додекаэдр {5 / 2,3}

Большой икосаэдр {3,5 / 2}

Правильные многогранники, которые могут существовать только как сферические многогранники

Для правильного многогранника, символ Шлефли которого равен { m ,  n }, количество многоугольных граней можно определить следующим образом:

${\ displaystyle N_ {2} = {\ frac {4n} {2m + 2n-mn}}}$

В Платоновых тело , известные древности являются единственным целым числом решений для м ≥ 3 и п ≥ 3. Ограничение м ≥ 3 , что обеспечивает соблюдение многоугольных лица должны иметь по крайней мере , три стороны.

Если рассматривать многогранники как сферическую мозаику , это ограничение можно ослабить, поскольку двуугольники (2-угольники) могут быть представлены в виде сферических лунок, имеющих ненулевую площадь . Допуск m = 2 допускает новый бесконечный класс правильных многогранников, которые являются хозоэдрами . На сферической поверхности правильный многогранник {2,  n } представлен в виде n примыкающих друг к другу лунок с внутренними углами 2 π / n . Все эти лунки имеют две общие вершины.

Правильный диэдр { n , 2} (2-гранник) в трехмерном евклидовом пространстве можно рассматривать как вырожденную призму, состоящую из двух (плоских) n- сторонних многоугольников, соединенных «спина к спине», так что полученный объект не имеет глубины, аналогично тому, как двуугольник можно построить из двух отрезков . Однако, как сферическое мозаичное покрытие , диэдр может существовать как невырожденная форма с двумя n- сторонними гранями, покрывающими сферу, каждая грань является полусферой , и вершинами вокруг большого круга . Это нормально, если вершины расположены на одинаковом расстоянии.

Дигональный диэдр {2,2}	Тригональный диэдр {3,2}	Квадратный диэдр {4,2}	Пятиугольный диэдр {5,2}	Шестиугольный диэдр {6,2}	...	{ n , 2}
Дигональный осоэдр {2,2}	Тригональный осоэдр {2,3}	Квадратный осоэдр {2,4}	Пятиугольный осоэдр {2,5}	Шестиугольный осоэдр {2,6}	...	{2, n }

Осоэдр {2, n } двойственен диэдру { n , 2}. Обратите внимание, что когда n = 2, мы получаем многогранник {2,2}, который одновременно является осоэдром и диэдром. Все они имеют эйлерову характеристику 2.

Смотрите также

• Квазирегулярный многогранник
• Полуправильный многогранник
• Равномерный многогранник
• Правильный многогранник

использованная литература

• Бертран, Дж. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences , 46 , стр. 79–82.
• Геккель, Э. (1904). Kunstformen der Natur . Доступно как Haeckel, E. Art forms in nature , Prestel USA (1998), ISBN  3-7913-1990-6 , или на сайте http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/ natur.html
• Смит, СП (1982). Геометрическая и структурная кристаллография . Джон Уайли и сыновья.
• Соммервиль, ДМИ (1930). Введение в геометрию n измерений. EP Dutton, Нью-Йорк. (Издание Dover Publications, 1958 г.). Глава X: Правильные многогранники.
• Кокстер, HSM ; Регулярные многогранники (третье издание). ISBN  Dover Publications Inc. 0-486-61480-8

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Правильный многогранник" . MathWorld .