Конструируемый многоугольник - Constructible polygon

Построение правильного пятиугольника

В математике , конструктивен полигон представляет собой правильный многоугольник , который может быть построен с циркулем и линейкой . Например, правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, а правильный семиугольник - нет. Существует бесконечно много конструктивных многоугольников, но известен только 31 многоугольник с нечетным числом сторон.

Условия конструктивности

Количество сторон известных конструктивных многоугольников, имеющих до 1000 сторон (жирный шрифт) или количество нечетных сторон (красный)
Строительство штатного 17-угольника.

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки; другие нет. В древнегреческие математики знали , как построить правильный многоугольник с 3 -х , 4 -х или 5 - ти сторон, и они знали , как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон данного правильного многоугольника. В связи с этим возник вопрос: можно ли построить все правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n -угольники (то есть многоугольники с n ребрами) можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пять лет спустя он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников. Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо , но никогда не публиковал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля :

Правильный n -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n является произведением степени 2 и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

Простое число Ферма - это простое число вида

Чтобы свести геометрическую проблему к проблеме чистой теории чисел , в доказательстве используется тот факт, что правильный n -угольник конструктивен тогда и только тогда, когда косинус является конструктивным числом, т. Е. Может быть записан в терминах четырех основные арифметические операции и извлечение квадратных корней . Эквивалентные регулярный п - угольник конструктивна , если любой корень из п - й круговой многочлен конструктивны.

Подробные результаты по теории Гаусса

Переформулируем теорему Гаусса-Вантцеля:

Обычный n -угольник можно построить с помощью линейки и циркуля тогда и только тогда, когда n = 2 k p 1 p 2 ... p t, где k и t - неотрицательные целые числа , а p i (когда t > 0) - различные простые числа Ферма.

Пять известных простых чисел Ферма :

F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257 и F 4 = 65537 (последовательность A019434 в OEIS ).

Поскольку существует 31 комбинация от одного до пяти простых чисел Ферма, известен 31 конструктивный многоугольник с нечетным числом сторон.

Следующие двадцать восемь чисел Ферма, от F 5 до F 32 , как известно, составные .

Таким образом, правильный n -угольник конструктивен, если

п = 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32 , 34 , 40 , 48 , 51, 60 , 64 , 68, 80 , 85, 96 , 102, 120 , 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257 , 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542, 1632, 1920, 2040, 2048, ... (последовательность A003401 в OEIS ),

в то время как обычный n -угольник не может быть построен с помощью циркуля и линейки, если

п = 7 , 9 , 11 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21 , 22 , 23 , 25, 26 , 27, 28 , 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42 , 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50 , 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90 , 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 100 , 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, ... (последовательность A004169 в OEIS ).

Связь с треугольником Паскаля

Поскольку известно 5 простых чисел Ферма, мы знаем 31 число, которое является произведением различных простых чисел Ферма, и, следовательно, 31 конструктивный нечетный правильный многоугольник. Это 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537 , 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (последовательность A045544 в OEIS ). Как заметил Джон Конвей в «Книге чисел» , эти числа, записанные в двоичном формате , равны первым 32 строкам треугольника Паскаля по модулю -2 , за вычетом верхней строки, которая соответствует моногону . (Из-за этого единицы в таком списке образуют приближение к треугольнику Серпинского .) После этого этот шаблон нарушается, поскольку следующее число Ферма является составным (4294967297 = 641 × 6700417), поэтому следующие строки не соответствуют конструируемые полигоны. Неизвестно, существуют ли еще простые числа Ферма, и поэтому неизвестно, сколько существует нечетных конструктивных правильных многоугольников. В общем, если имеется q простых чисел Ферма, то имеется 2 q −1 нечетных правильных конструктивных многоугольника.

Общая теория

В свете более поздних работ по теории Галуа принципы этих доказательств были прояснены. Из аналитической геометрии легко показать, что конструктивные длины должны происходить из базовых длин путем решения некоторой последовательности квадратных уравнений . С точки зрения теории поля , такие длины должны содержаться в расширении поля, порожденном башней квадратичных расширений . Отсюда следует, что поле, порожденное конструкциями, всегда будет иметь степень над базовым полем, равную степени двойки.

В частном случае правильного n -угольника вопрос сводится к вопросу о построении длины

потому что  2 π/п ,

которое является тригонометрическим числом и, следовательно, алгебраическим числом . Это число лежит в ˝n˝ -й круговом поле - и на самом деле в его реальном подполе , что является вполне вещественное поле и рациональное векторное пространство от размерности

½ φ ( п ),

где φ ( n ) - функция Эйлера . Результат Ванцела сводится к вычислению, показывающему, что φ ( n ) является степенью двойки именно в указанных случаях.

Что касается конструкции Гаусса, то, когда группа Галуа является 2-группой, следует, что она имеет последовательность подгрупп порядков

1, 2, 4, 8, ...

которые вложены, каждый в следующий ( композиционный ряд , в терминологии теории групп ), что-то простое, что можно доказать по индукции в этом случае абелевой группы . Следовательно, внутри кругового поля вложены подполя, каждое из которых имеет степень 2 по сравнению с предыдущим. Генераторы для каждого такого поля можно записать с помощью теории гауссовского периода . Например, для n  = 17 существует период, который представляет собой сумму восьми корней из единицы , один - сумму четырех корней из единицы, а другой - сумму двух, т.е.

потому что 2 π/17 .

Каждый из них является корнем квадратного уравнения в терминах предыдущего. Более того, эти уравнения имеют действительные, а не комплексные корни, поэтому в принципе их можно решить с помощью геометрического построения: это потому, что вся работа происходит внутри полностью реального поля.

Таким образом, результат Гаусса можно понять в современных терминах; для фактического расчета решаемых уравнений периоды можно возвести в квадрат и сравнить с «более низкими» периодами с помощью вполне выполнимого алгоритма.

Конструкции компаса и линейки

Конструкции циркуля и линейки известны для всех известных конструктивных многоугольников. Если n  =  pq с p  = 2 или p и q взаимно просты , n -угольник может быть построен из p -угольника и q -угольника.

  • Если p  = 2, нарисуйте q -угольник и разделите пополам один из его центральных углов. Отсюда можно построить 2 q -угольник.
  • Если p  > 2, впишите p -угольник и q -угольник в один круг так, чтобы они имели общую вершину. Поскольку p и q взаимно просты, существуют целые числа a и b такие, что ap + bq = 1. Тогда 2 a π / q + 2 b π / p = 2π / pq . Отсюда можно построить pq -угольник.

Таким образом, достаточно найти компас и линейку для n -угольников, где n - простое число Ферма.

Галерея

Обычный пятиугольник, начертанный в круге. Обычный гептадекагон с использованием Carlyle Circle.gif Обычный 257-угольник с использованием Carlyle Circle.gif Регулярный 65537-угольник First Carlyle Circle.gif
Слева направо - конструкции 15-угольника , 17-угольника , 257-угольника и 65537-угольника . Показан только первый этап строительства 65537-угольников; конструкции 15-угольника, 17-угольника и 257-угольника даны полностью.

Прочие конструкции

Концепция конструктивности, обсуждаемая в этой статье, применима конкретно к конструкциям циркуля и линейки . Больше конструкций становится возможным, если разрешены другие инструменты. Так называемые конструкции neusis , например, используют маркированную линейку. Конструкции представляют собой математическую идеализацию и предполагается, что они выполнены точно.

Правильный многоугольник с n сторонами может быть построен с помощью линейки, циркуля и трисектора угла тогда и только тогда, когда где r, s, k ≥ 0 и где p i - различные простые числа Пирпонта, превышающие 3 (простые числа вида Эти многоугольники точно соответствуют правильные многоугольники, которые можно построить с помощью конического сечения , и правильные многоугольники, которые можно построить с помощью складывания бумаги . Первые числа сторон этих многоугольников следующие:

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45, 48, 51, 52, 54, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 80, 81, 84, 85, 90, 91, 95, 96, 97, 102, 104, 105, 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 133, 135, 136, 140, 144, 146, 148, 152, 153, 156, 160, 162, 163, 168, 170, 171, 180, 182, 185, 189, 190, 192, 193, 194, 195, 204, 208, 210, 216, 218, 219, 221, 222, 224, 228, 234, 238, 240, 243, 247, 252, 255, 256, 257, 259, 260, 266, 270, 272, 273, 280, 285, 288, 291, 292, 296, ... (последовательность A122254 в OEIS )

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Б Жирный, Бенджамин. Известные проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (ориг. 1969).
  2. ^ [ http://www.prothsearch.com/fermat.html Простые множители k · 2n + 1 чисел Ферма Fm и полный статус факторинга] Уилфрида Келлера.
  3. ^ Кокс, Дэвид А. (2012), «Теорема 10.1.6», Теория Галуа , чистая и прикладная математика (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 259, DOI : 10.1002 / 9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9.
  4. ^ Магнус Георг фон Паукер (1822). "Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis" . Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (на немецком языке). 2 : 160–219.
  5. ^ Фридрих Джулиус Ричелот (1832). «De Resolutione algebraica aequationis x 257 = 1, sive de Divisione circi per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata» . Journal für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 9 : 1–26, 146–161, 209–230, 337–358. DOI : 10,1515 / crll.1832.9.337 .
  6. ↑ Иоганн Густав Гермес (1894). "Uber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке). Гёттинген. 3 : 170–186.
  7. ↑ Глисон, Эндрю М. (март 1988 г.). «Трисечение угла, семиугольник и трехугольник». Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. DOI : 10.2307 / 2323624 .

внешние ссылки